LA SUA PROIEZIONE ORTOGONALE E SEMPRE UGUALE AD ESSA

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1 PROIEZIONI ORTOGONALI DI FIGURE PIANE Per figura piana si intende una parte di piano delimitata da una linea chiusa. Poiché questo contorno è riconducibile ad un insieme di punti, si può ottenere la proiezione ortogonale della figura proiettando sul quadro alcuni suoi punti. FIGURA PIANA PARALLELA AL QUADRO LA SUA PROIEZIONE ORTOGONALE E SEMPRE UGUALE AD ESSA

2 FIGURA PIANA ORTOGONALE AL QUADRO FIGURA PIANA ORTOGONALE AL QUADRO LA SUA PROIEZIONE ORTOGONALE E SEMPRE UN SEGMENTO

3 FIGURA PIANA INCLINATA RISPETTO AL QUADRO LA SUA PROIEZIONE ORTOGONALE E SEMPRE DEFORMATA RISPETTO ALLA FIGURA REALE

4 Quando una figura piana è parallela ad un quadro, la sua proiezione ortogonale sul quel quadro rappresenta la sua vera forma e grandezza, cioè la figura non subisce alcuna deformazione. Per tale motivo: È molto vantaggioso iniziare il disegno dalla vista in cui la figura mostra la sua vera forma.

5 Proiezioni ortogonali di un triangolo equilatero parallelo al piano p1

6 PROIEZIONI ORTOGONALI DI UN SOLIDO Un solido può essere semplificato prendendo in considerazione solo i punti cospicui delle sue facce. Per ottenere la proiezione ortogonale di un solido è quindi sufficiente proiettare perpendicolarmente sul quadro i suoi elementi (vertici e profili) Per descrivere compiutamente un solido, si ricorre alle proiezioni ortogonali su più quadri, il cui numero viene definito in base alla complessità dell oggetto da rappresentare. Per i solidi la proiezione ortogonale su un solo quadro non è sufficiente per avere informazioni complete sull oggetto, in genere occorrono tre proiezioni.

7 Le proiezioni ortogonali sui piani non devono essere necessariamente due o tre, ma vengono definite in base alla complessità dell oggetto da rappresentare.

8 Le tre proiezioni ortogonali sui tre piani coordinati prendono il nome di: -Vista dall alto (o pianta) sul piani π1 -Vista anteriore (o prospetto frontale) sul piano π2 -Vista da sinistra (o prospetto laterale) sul piano π3

9 Per disegnare sul piano del foglio da disegno occorre ribaltare due dei tre quadri, in modo che i tre piani coordinati diventino complanari e le viste siano rappresentabili su un unico foglio da disegno.

10 PROIEZIONI ORTOGONALI: RAPPRESENTAZIONE DI UN PARALLELEPIPEDO

11 PROIEZIONI ORTOGONALI: RAPPRESENTAZIONE DI UN CONO

12 PROIEZIONI ORTOGONALI: RAPPRESENTAZIONE DI UN CILINDRO

13 Proiezioni ortogonali della volta a botte Rappresentazione a fil di ferro

14 Proiezioni ortogonali della volta a botte Prospetto frontale Prospetto laterale Pianta della copertura Rappresentazione con spessore

15 Proiezioni ortogonali della volta a crociera Rappresentazione a fil di ferro

16 Proiezioni ortogonali della volta a crociera Prospetto frontale Prospetto laterale Pianta della copertura Rappresentazione con spessore

17 Proiezioni ortogonali della volta a crociera

18 Proiezioni ortogonali della volta a padiglione Rappresentazione a fil di ferro

19 Proiezioni ortogonali della volta a padiglione Prospetto frontale Prospetto laterale Pianta della copertura Rappresentazione con spessore

20 Proiezioni ortogonali della volta a vela Rappresentazione a fil di ferro

21 Proiezioni ortogonali della volta a vela Prospetto frontale Pianta della copertura Rappresentazione con spessore

22 RIBALTAMENTO DI FIGURE PIANE Spesso i solidi rappresentati in un disegno presentano alcune facce inclinate rispetto ai piani di riferimento e, come noto, le figure piane si presentano nella loro vera forma e grandezza solo quando sono parallele al quadro. Nel caso di figure inclinate le proiezioni ortogonali forniscono immagini deformate e quindi non se ne può conoscere la vera forma. Per trovare la vera forma di una figura piana, comunque disposta, occorre ribaltare la figura intorno alla traccia del piano a cui appartiene finchè non si adagi sul piano di riferimento. In genere l asse di rotazione è la retta di intersezione dei due piani di cui, in genere, il primo è uno dei piani di proiezione e l altro è il piano che si vuole ribaltare.

23 RIBALTAMENTO E un rotazione, che porta un piano a coincidere con un altro, in cui l asse di rotazione è la retta di intersezione dei due piani, di cui uno è il piano di proiezione e l altro è il piano che si vuole ribaltare E un operazione necessaria per conoscere la vera forma e grandezza di una figura appartenente ad un piano qualsiasi o viceversa quando note la vera forma e grandezza di una figura si vogliono determinare le sue proiezioni. E un affinità ortogonale, la relazione che intercorre tra la proiezione di una figura e il suo ribaltamento, con asse nella retta di intersezione dei due piani e centro improprio con direzione ortogonale all asse.

24 z x y Ribaltare sul piano xy un punto P appartenente al piano α. Il ribaltamento viene effettuato attorno alla τ1α ed è quindi simile a quanto avviene sfogliando le pagine di un libro. Da P si traccia un arco con centro nel punto di intersezione τ1α e τ2α fino a toccare l asse x in P *;da questo si conduce una retta parallela a y fino ad intersecare la retta per P parallela a x, nel punto P*, che è il ribaltamento di P su xy.

25 Determinare la vera forma e grandezza di una retta inclinata rispetto ai tre piani di proiezione Una retta generica r forma un angolo w con il primo piano di proiezione (angolo di pendenza della retta) e un angolo f con il secondo piano. Tali angoli non sono rilevabili nella proiezione ortogonale perché subiscono una deformazione. Per determinare l angolo w e la retta r in vera forma e grandezza si costruisce un piano b perpendicolare a p1e passante per r,e si ribalta la retta sul piano p1( il ribaltamento può essere effettuato ribaltando la seconda traccia T2r); unendo T1r con T2r* si trova la r*, ribaltamento di r. L angolo w è definito dalla prima proiezione di r, r1, e da r*.

26 Eseguire il ribaltamento del piano a su p1. Per ribaltare un piano su altro è sufficiente conoscere il ribaltamento di una sua retta o di un suo punto. Assegnato il piano α mediante le sue tracce, si disegna un piano ausiliario g,, tale che tγ1 sia ortogonale a ta1 e tg2 sia ortogonale alla LT. L intersezione dei 2 piani individua la retta r, appartenete ad entrambi. Si effettua il ribaltamento della T2r sul piano p1, attorno alla traccia tg1, quindi si ribalta T2r** attorno alla ta1 facendo perno in T1r. Congiungendo T2r* con il punto M si ottiene la t2a*

27 Determinare la vera forma e grandezza di un triangolo appartenente al piano α. Si esegue il ribaltamento sul piano yz effettuando la rotazione attorno a τ3α; ; tutti i punti descrivono traiettorie circolari parallele al piano π2.

28 Dato un parallelepipedo poggiato su π1 1 con uno spigolo e avente le facce medie e minori inclinate rispetto a tutti i piani (solo le facce maggiori sono perpendicolari a π1), determinare la vera forma e grandezza di una faccia maggiore. Il piano ausiliario è parallelo alla proiezione della faccia A H G F ; le sue tracce t e t lo delimitano rispetto a π1 1 e π2, mentre (t ) è il ribaltamento di t sul piano orizzontale.

29 Una figura del piano potrà essere ribaltata sul primo piano di proiezione attraverso il ribaltamento dei suoi singoli punti, e tenendo conto delle relazioni omologiche.

30 GENERALITA SULLE SEZIONI Gli oggetti da rappresentare contengono spesso delle parti che dall esterno risultano nascoste; per facilitare la loro rappresentazione si ricorre alla sezione. Questa operazione consiste nel taglio dell oggetto con un piano ideale (piano di sezione) e nella rappresentazione di una delle due parti in cui l oggetto è stato diviso. Per rappresentare una casa, la vista dall alto non consente di vedere i muri interni, che invece risulteranno visibili sezionandola con un piano orizzontale.

31 La scelta del piano di sezione è legata alla posizione e alla forma dell oggetto; si ricorre pertanto a piani di sezione disposti nel modo opportuno: orizzontali, verticali, obliqui. In genere nella rappresentazione degli edifici vengono eseguite anche delle sezioni con piani verticali, che consentono la vista dei solai, delle porte, finestre etc.

32 Per ridurre il numero delle viste o delle sezioni si può ricorrere ai semipiani di sezione, ovvero l oggetto viene tagliato solo per una parte. La semisezione mostra l oggetto per metà intero e per l altra metà sezionato.

33 INDICAZIONE DELLE SUPERFICI SEZIONATE Le superfici sezionate, devono essere campite con il tratteggio generico. Esso è formato da linee sottili, equidistanti, inclinate di 45 rispetto al contorno o agli assi della figura. La distanza tra le linee deve essere proporzionata alla dimensione della figura.

34 SEZIONI DI SOLIDI Parallelepipedo ruotato, sezionato con un piano parallelo a p3

35 Cilindro sezionato da un piano perpendicolare a π3

36 SEZIONI CONICHE La sezione di una superficie conica con un piano genera una curva conica (cerchio, ellisse, parabola, iperbole). CONO SEZIONATO CON UN PIANO INCLINATO METODO DEI PIANI PARALLELI

37 CONO SEZIONATO CON UN PIANO INCLINATO METODO DELLE GENERATRICI

38 Vera forma e grandezza della sezione Le sezioni sono talvolta ottenute con piani inclinati rispetto ai piani di proiezione; pertanto in questi casi le figure ottenute con l operazione di sezione si presentano deformate nelle proiezioni ortogonali. Pertanto per ottenere la vera forma e grandezza della sezione si ricorre all operazione di ribaltamento di una figura piana. Il ribaltamento può essere effettuato su qualsiasi piani di proiezione.

39 Vera forma e grandezza dell ellisse ottenuta sezionando il cono con un piano α comunque inclinato. Il ribaltamento viene effettuato attorno alla traccia del piano di sezione.

40 Sezioni della volta a crociera

41 Sezioni della volta a padiglione

42 Sezione della volta a vela

43 INTERSEZIONI DI SOLIDI In genere gli oggetti sono entità complesse scomponibili in solidi o figure piane geometriche. La compenetrazione di diversi solidi crea delle linee di intersezione che hanno forma di segmenti o linee spezzate quando le facce che si intersecano sono piane, quando invece una delle superfici è curva vengono originate delle line di intersezione curve oppure miste (segmenti e curve). La determinazione della linea di intersezione si risolve riconducendo il problema a casi più semplici quali l intersezione tra due piani oppure tra una superficie e una retta.

44 SOLIDO PRISMATICO CON FORO CILINDRICO Tra le facce del solido e il cilindro si crea una linea di intersezione formata da una semicirconf. su π3 e da una semiellisse su π1. I punti di quest ultima si possono ottenere tracciando delle generatrici del cilindro e individuando la loro intersezione sul piano inclinato nella vista su p2.

45 Intersezione di due volte a botte di luce diversa (Volta a botte con lunetta cilindrica)

46 Intersezione di una volta a botte con due piani verticali passanti per l imposta dell arco di apertura (Volta a botte con lunetta sferoidica)

47 Volta a crociera con foro cilindrico Volta a padiglione con foro cilindrico