PARALLELISMO NELLO SPAZIO

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1 1 PARALLELISMO NELLO SPAZIO 3.1 Parallelismo retta piano Def Si dicono paralleli una retta e un piano che non hanno punti in comune Come già sappiamo non è sufficiente una definizione per garantire l esistenza di un ente geometrico, perciò si dà il seguente teorema. Teorema 13 Una retta che passa per un punto esterno a un piano e che è parallela a una retta del piano è parallela al piano. Ipotesi: B esterno al piano α Tesi: b // α b // a Dim. Le rette a, b essendo parallele sono complanari, indichiamo con β il piano a cui appartengono. I piani α e β hanno in comune la retta a e non possono avere in comune altri punti, perciò nessuno dei punti della retta b appartiene al piano α. Presentiamo due teoremi che illustrano le proprietà di cui godono un piano e una retta ad esso parallela Teorema 14 Se una retta è parallela a un piano, ogni piano che passa per essa e interseca il piano dato lo interseca secondo una retta ad essa parallela. Ipotesi: r // α r β Tesi: a // r α β a Teorema 15 Tutti i punti di una retta parallela a un piano sono equidistanti dal piano. Ipotesi: r // α P r, Q r Tesi: PH PK PH r, PK r

2 2 Quest ultimo teorema suggerisce una definizione di distanza di una retta parallela a un piano dal piano stesso. Def Dati una retta e un piano tra loro paralleli si dice distanza della retta dal piano la distanza di un qualunque punto della retta dal piano. 3.2 Parallelismo tra piani Come è ormai naturale partiamo dalla definizione di parallelismo tra piani. Def. Due piani si dicono paralleli se non hanno alcun punto in comune. Ma esistono coppie di piani tra loro paralleli? Risponde alla domanda il seguente teorema che ricalca il teorema di esistenza di rette parallele nel piano. Teorema 16 ( Teorema di esistenza) Due piani perpendicolari a una stessa retta sono tra loro paralleli. Ipotesi: r α in A Tesi: α // β r β in B Dim. Per assurdo, supponiamo che i due piani abbiano un punto P in comune. Nel piano generato dai punti A, B, P succederebbero i seguenti fatti: PB r condotta da P PA r condotta da P ma in un piano è unica la perpendicolare condotta da un punto a una retta, così abbiamo trovato l assurdo e il punto P non può esistere. Da questo teorema segue immediatamente l esistenza del piano parallelo a uno dato e passante per un punto. Infatti, dato un piano α e considerato un punto P esterno ad esso, sappiamo che esiste ed è unica la retta r che passa per P e che è perpendicolare a α. D altra parte è unico anche il piano β che è perpendicolare a r in P, per il teorema appena dimostrato ne consegue che i piani α e β sono tra loro paralleli. Quindi l esistenza di piani paralleli nello spazio è un teorema della geometria euclidea. Il parallelismo tra piani può essere introdotto anche a partire dalla nozione di parallelismo retta piano che abbiamo appena introdotto, infatti vale il seguente teorema. Teorema 17 Due rette passanti per uno stesso punto e parallele a uno stesso piano generano un piano ad esso parallelo.

3 3 Ipotesi: r // α, s // α P r s β piano generato da r, s Tesi: β // α Teorema 18 Se un piano interseca due piani paralleli, le loro intersezioni sono parallele La trasposizione allo spazio di proprietà di geometria piana prosegue con i prossimi teoremi che illustrano due condizioni necessarie soddisfatte da due piani paralleli. In particolare vediamo alcune proprietà legate all intersezione tra una retta e due piani tra loro paralleli. Teorema 19 Se due piani sono paralleli, ogni retta che intersechi uno interseca anche l altro. Teorema 20 Se due piani sono paralleli ogni retta perpendicolare a uno è perpendicolare anche all altro.

4 4 Affrontiamo la trasposizione allo spazio di una questione che si è rivelata di grande importanza nel piano: l unicità del piano passante per un punto e parallelo a un piano assegnato. Come vedremo tale questione è risolta da un teorema, quindi è conseguenza degli assiomi dati. Teorema 21 (Teorema di unicità) Dati un piano e un punto esterno ad esso, per questo punto passa sempre un solo piano parallelo a quello dato. Da questo teorema segue che l assioma della parallela, dato sul piano, è sufficiente per trattare il parallelismo nello spazio senza dover introdurre alcun nuovo assioma. Anche il parallelismo tra piani può essere trattato attraverso le distanze a partire dal seguente teorema. Teorema 22 Se due piani sono paralleli le distanze di ognuno di essi dall altro sono tutte uguali.

5 5 A questo punto è possibile definire la distanza tra piani paralleli. Def Si dice distanza di due piani paralleli la distanza di un qualsiasi punto di uno dei due piani dall altro piano. Concludiamo definendo un piano parallelo a uno dato in termini di luogo geometrico. Teorema 23 Il luogo dei punti dello spazio che sono equidistanti da un piano dato e che giacciono da una stessa parte rispetto ad esso è un piano ad esso parallelo.