Applicazioni ed esercitazioni

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1 Applicazioni ed esercitazioni Università Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà di Architettura Corso di DISEGNO Modulo 1 Prof. Franco Prampolini Unità didattica n. 5 Fondamenti di Geometria Descrittiva

2 Enti geometrici fondamentali Punto: adimensionale, proprio, indicato con lettera maiuscola dell alfabeto latino A, B, C, P, Q, ecc. Retta: punteggiata, monodimensionale, indicata con lettera minuscola dell alfabeto latino a, b, c, r, s, ecc. Piano: punteggiato, rigato, bidimensionale, indicato con lettera minuscola dell alfabeto greco α,,,,, ecc. Punto improprio di una retta è la direzione della retta stessa; sia la retta a, si indica con I a. La direzione, indipendente dal verso, è il punto comune alle rette parallele. Retta impropria di un piano è la giacitura del piano stesso; sia il piano α, si indica con i. La giacitura è costituita dall insieme delle direzioni delle rette del piano ed è la retta comune ai piani paralleli. Due rette individuano sempre un punto, proprio se incidenti, improprio se parallele. Due piani individuano sempre una retta, propria se incidenti, impropria se paralleli. Piano improprio è l insieme delle direzioni e delle giaciture dello spazio

3 Rappresentazione degli enti fondamentali: il punto Un punto P è rappresentato in doppia proiezione ortogonale mediante le sue due immagini P e P, rispettivamente proiezione di P sui due piani di riferimento dai due centri (impropri) di proiezione, ortogonali ai piani stessi. P o è la proiezione (coincidente) di P e P sulla Linea di Terra Considerato un piano γ ortogonale ai due piani π 1 e π 2 passante per P, detto piano di profilo, si ha che le immagini del punto P si troveranno sull intersezione del piano γ con i due piani che costituiscono il riferimento: tali rette, ortogonali alla linea di terra, sono dette rette di richiamo. La distanza del punto P dal piano orizzontale assunto come riferimento è detta quota, ed è uguale al segmento P P o, mentre la distanza dal piano verticale assunto come riferimento, P P o, è detta aggetto. P o

4 Rappresentazione del punto: casi particolari Il punto, ovviamente, può trovarsi in ciascuno dei quattro diedri fondamentali: avremo allora P, Q, R ed U, rispettivamente nel 1, 2, 3 e 4 diedro. Ferme restando le convenzioni sul ribaltamento di π 2 su π 1 come base della doppia proiezione mongiana, la rappresentazione varia di conseguenza come si vede nella figura sottostante. Un altro caso particolare è costituito dal punto che si trovi su uno dei due piani coordinati fondamentali. In tale caso la proiezione assume la conformazione segnata a destra. Per le finalità del corso, considereremo d ora innanzi solo figure rappresentabili nel primo diedro. P o LT LT

5 Rappresentazione degli enti fondamentali: la retta Una retta r è rappresentata in doppia proiezione ortogonale dalle sue immagini, r ed r, rispettivamente proiezione della retta dai due centri di proiezione sui due piani π 1 e π 2 e quindi dall intersezione dei due piani proiettanti, rispettivamente perpendicolari a π 1 e π 2, passanti per r. Le due immagini della retta si possono comunque definire note le immagini di due punti qualsiasi della retta. Per convenzione si utilizzano due punti particolari della retta, i punti Tr ed Sr, intersezioni della retta con i piani π 1 e π 2, tali punti sono le tracce della retta e possono essere individuati anche con la notazione T 1 r LT r e T 2 r LT r. Le tracce della retta, in pratica, sono costituite dai punti in cui la retta stessa buca il piano di riferimento quando lo attraversa. Anche in questo caso possiamo valutare il caso particolare di una retta orizzontale, cioè parallela a π 1 e comunque inclinata rispetto a π 2.

6 Rappresentazione degli enti fondamentali: la Retta notazioni Vediamo qui una rappresentazione più completa delle notazioni di riferimento per la proiezione della retta. Si noti, in particolare, come la seconda traccia di r (T 2 ) coincida con la propria proiezione sul P.V. (T 2 ) in quanto, per definizione, si trova sul piano stesso, ma come, appunto, i due concetti rimangano formalmente distinti. Con T 2 si indica, invece, la proiezione della seconda traccia sul P.O. e si procede analogamente come per il l altra traccia. A, B e C sono punti generici della retta (condizione di collinearità). Notiamo qui anche i due punti T 1 e T 2. Questi sono le proiezioni delle tracce T 1 e T 2 sulla Linea di Terra. In pratica, la proiezione della retta r sui piani mongiani si ottiene unendo le tracce stesse con le proiezioni dell altra traccia sulla LT. Questo passaggio si può comprendere meglio confrontando la proiezione mongiana e la rappresentazione tridimensionale.

7 Rappresentazione degli enti fondamentali: rette incidenti e rette sghembe Le rette incidenti r ed f hanno un punto in comune Q le cui proiezioni giacciono sulla stessa perpendicolare alla L.T. Nel secondo caso i punti P ed R (intersezioni apparenti sui due piani coordinati) non godono della stessa proprietà.

8 Rappresentazione degli enti fondamentali: il piano Un piano è univocamente individuato da due rette incidenti. Nel metodo delle proiezioni ortogonali un piano α è biunivocamente determinato mediante le due rette di intersezione del piano con π 1 e π 2, dette tracce, rispettivamente s α e t α. Anche in questo caso è possibile usare la notazione alternativa α 1 e α 2. π 2 α 2 LT α 1 π 1

9 Rappresentazione degli enti fondamentali: il piano, casi particolari Vediamo ora alcuni casi particolari di giacitura dei piani. Piano verticale inclinato rispetto al P.V. Piano inclinato rispetto al P.O. e perpendicolare al P.V. Piano orizzontale parallelo al P.O. Piano verticale parallelo al P.V.

10 Condizioni di Appartenenza: Punti, Rette e Piani Nel metodo delle doppie proiezioni ortogonali (ricordando che i Punti sono rappresentati tramite le loro proiezioni, le rette tramite proiezioni e tracce e i piani tramite le tracce e che tracce e proiezioni prendono il nome dal piano di riferimento, di volta in volta prima e seconda ) valgono le seguenti relazioni fondamentali: Un punto P appartiene ad una retta r se le proiezioni del punto appartengono alle proiezioni omonime della retta. Una retta appartiene ad un piano se le tracce della retta appartengono alle tracce omonime del piano. Un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta del piano. Punto che appartiene alla retta r Retta che appartiene al piano α Punto che appartiene al piano α : per comodità si sceglie una retta parallela ad uno dei piani coordinati

11 Condizioni di parallelismo: Rette Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che le immagini (proiezioni) omonime siano parallele. Una retta ed un piano sono paralleli se esiste sul piano una retta parallela alla retta data.

12 Condizioni di parallelismo: Piani Due piani sono paralleli se le tracce omonime sono parallele. Attenzione! Nonostante alcune fonti sostengano il contrario, questa condizione è necessaria, ma non sufficiente in doppia proiezione. Basta pensare al fascio di piani generato da una retta parallela alla linea di terra: tutte le tracce omonime saranno parallele alla LT (quindi orizzontali e parallele tra loro), ma i piani non lo sono. In questo caso è necessario considerare anche le terze tracce sul piano di proiezione laterale. Per risolvere il problema, conviene rivolgersi alla geometria analitica. Consideriamo i piani α e ß, le cui equazioni sono, rispettivamente, ax + by + cz + d = 0 e a x + b y + c z + d = 0. Tralasciando le dimostrazioni i due piani sono paralleli se e solo se le due equazioni sono equivalenti, quindi deve sussistere la relazione di proporzionalità tra i coefficienti: a : b : c = a : b : c.

13 Condizioni di ortogonalità Due piani sono ortogonali quando dividono lo spazio in quattro diedri uguali. Due rette sono ortogonali quando dividono il piano in quattro parti uguali e quindi formano quattro angoli di 90. Una retta n è ortogonale ad un piano α quando costruendo per n un piano β esso è sempre ortogonale ad a. Un piano α è ortogonale ad una retta n quando per il punto di incidenza P si può costruire una retta r appartenente ad α ortogonale ad n.

14 Rappresentazione di una retta r d'intersezione di due piani α e β Si comincia tracciando la linea di Terra (LT). Si segnano poi i due piani α e ß con inclinazione diversa delle tracce omonime. Per le condizioni di appartenenza (una retta appartiene ad un piano quando le sue tracce appartengono alle tracce omonime del piano), la retta r, dovendo essere comune ad α e ß, avrà le tracce T1 e T2 rispettivamente nell'incontro di α1 e ß1, e di α2 e ß2. Una volta individuate le due tracce si procede convenzionalmente alla rappresentazione della retta.

15 Dati tre punti A, B e C, tracciare il piano passante per i tre punti. Conduciamo la retta f per due punti dati, A e B. Sopra tale retta prendiamo un punto D e tracciamo la retta r passante per C e D; il piano passante per le due rette r e f è quello cercato. Perciò tracciata f per A e B e f per A e B, si fissa un punto D sopra f, quindi D su f in corrispondenza alla normale LT condotta per D ; le proiezioni della retta r passante per C e D si ricavano come si è fatto per la f. Dalle tracce delle rette f ed r, si ricavano le tracce α 1 ed α 2 del piano cercato congiungendo rispettivamente T 1 f con T 1 r e T 2 f con T 2 r.

16 Per approfondimenti e per preparare gli esercizi per l esame finale consultare: C. Bonfigli C. R. Braggio, Geometria Descrittiva e Prospettiva, Hoepli, (fino a pag. 50). Docci M., Migliari R. - Scienza della Rappresentazione: Fondamenti e Applicazioni della Geometria Descrittiva, Ed. La Nuova Italia Scientifica, Roma, 1992