Considerazioni relative alla flessione del supporto dei magneti a causa del campo magnetico.

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Considerazioni relative alla flessione del supporto dei magneti a causa del campo magnetico."

Agnese Beretta
5 anni fa
Visualizzazioni

1 6$5&)(/ 1RYHPEHU Considerazioni relative alla flessione del supporto dei magneti a causa del campo magnetico. A. Zucchini (1($±&5(]LR&OHPHQWHO9LD0DUWLULGL0RQWH6ROH±%RORJQD,WDO\

2 La geometria del problema è schematicamente descritta in Fig.1: i magneti, inseriti in due travi O Fig. 1 U affiancate, generano una forza di attrazione per unità di superficie [1] pari a ). 2 S (1) 2 O dove ) 1. O P. Si ricava : p=1800 Pa Fig. 2 Nel caso di trave appoggiata agli estremi le formule classiche della teoria delle travi forniscono la freccia della deformata : 4 5 S O G (2) 84 (- dove, se b 0 è la larghezza dei magneti, p l è la forza per unità di lunghezza : S SE 0 () Per una trave a sezione rettangolare come quella considerata si ha inoltre. EU - (4) 12 dove b è la larghezza della trave. Combinando le relazioni precedenti si ha : ). E0O G (5) 2 84 ( O EU Consideriamo il caso con O PE E P U P. La forza lineare risulta : p l =6690 Pa m e il carico totale su ogni trave è : P t =p l l= N = 1502 Kg p (6) Se supponiamo la trave di acciaio, con un modulo di Young ( *D e una densità U NJP, otteniamo infine : G=157 Pm (7) Questo valore è ben superiore al valore limite che è indicato in [1] attorno a 5 Pm.

3 Risultati decisamente migliori si possono ottenere con la trave di Fig., appoggiata in due punti intermedi e libera alle estremità. Fig. c a/2 c Le teoria delle travi [2] fornisce lo spostamento alle estremità : G SE0OF (F 24(-O D 6F 2 D) SE0F (F 2(EU D 6F 2 D) (8) Consideriamo il caso con O PE P ( *DD P Possiamo allora calcolare lo spostamento agli estremi in funzione delle dimensioni della sezione, cioè della rigidezza flessionale della trave, per esempio: b=0.05m, r=0.25m G= 4.8 Pm b=m, r=0.25m G= 2.4 Pm (9) b=0.05m, r=0.0m G= 2.8 Pm Questi valori sono lo spostamento alle estremità libere. La massa delle travi (M=Ulbr) è, rispettivamente, di 220 kg, 440 kg e 264 kg. Si noti però che la (2) e la (8) assumono che i vincoli siano applicati all'asse della trave, cosa non vera nel nostro caso dove sono eccentrici. Inoltre la validità delle formule citate è ristretta alla teoria delle travi di St. Venant ed in particolare alle travi Eulero-Bernoulli, in cui si trascura la deformazione dovuta al taglio. In linea di massima ciò è vero se le dimensioni della sezione sono inferiori ~1/15 della distanza fra gli appoggi. Per verifica dei risultati precedenti sono state eseguite analisi FEM con differenti modelli. L'impiego di elementi finiti "beam" (monodimensionali) di Eulero-Bernoulli, nelle stesse condizioni di vincolo, ha confermato pienamente i precedenti risultati, come ovvio. Elementi "beam" del tipo Tymoshenko (con deformazione dovuta al taglio) possono estendere la validità degli elementi monodimensionali fino a dimensioni della sezione inferiori a ~1/8 della distanza fra gli appoggi. Nel nostro caso questo rapporto è 0.25/1.2~1/5, valore per il quale anche la validità della teoria di Timoshenko che non è più garantita e buona parte della struttura non soddisfa più nemmeno le condizioni dello stesso principio del St. Venant. Si è allora preferito passare direttamente ad una più sicura analisi FEM con elementi bidimensionali in "plane stress". Nel caso corrispondente al risultato (7) l'analisi FEM (Fig.4) fornisce ora, grazie alla corretta applicazione dei vincoli eccentrici ed al maggiore dettaglio del mesh bidimensionale : G=84 Pm

4 Fig. 4 Sono stati simulati anche i casi descritti nella (9) con differenti condizioni di vincolo: a) cerniera in un singolo nodo (Fig.5) b) doppia cerniera in due nodi adiacenti (Fig.6) I risultati sono i seguenti : Appoggio (a) Fig. 5 Fig. 6 b=0.05m, r=0.25m b=m, r=0.25m b=0.05m, r=0.0m G= 6.7 Pm G=.4 Pm G= 4.8 Pm Appoggio (b) b=0.05m, r=0.25m b=m, r=0.25m b=0.05m, r=0.0m G= 5.2 Pm G= 2.6 Pm G=.8 Pm Si noti che mentre i risultati (9) forniscono lo spostamento alle estremità, quelli FEM forniscono il valore massimo, che può essere sia alle estremità che al centro. I risultati FEM confermano comunque l'ordine di grandezza ottenuto con le formule analitiche teoriche pur al di fuori del loro campo di applicazione (errori fino al 50%). L'analisi FEM eseguita è solo preliminare e non sono stati eseguiti studi di convergenza od altro sui modelli utilizzati. Il carico applicato (6) è quello nominale dovuto solo al campo magnetico, senza il peso proprio della trave, ma gli effetti di questo carico aggiuntivo, così come di eventuali margini di sicurezza, possono facilmente essere valutati

come un fattore di proporzionalità degli spostamenti, data la linearità del problema strutturale, pur di approssimarli con una pressione aggiuntiva sulla trave.

5 come un fattore di proporzionalità degli spostamenti, data la linearità del problema strutturale, pur di approssimarli con una pressione aggiuntiva sulla trave. Un' ultima importante considerazione riguarda il problema delle condizioni al contorno della trave. Data la sua estrema rigidità non è possibile ipotizzare che i suoi vincoli possano essere considerati perfettamente rigidi ed è quindi opportuno per lo meno verificare l' interazione della trave con la struttura esterna considerata deformabile. A solo titolo di esempio, si sono calcolate le deformazioni della struttura in Fig.7, basata su uno schema di supporto simile a quello dell' U50 in Germania (Fig.8), nel caso b=b0=0.05m, r=0.25m Fig $ % & Fig. 8 ' Fig. 9 Per questa analisi FEM preliminare si sono usati semplici elementi "beam" di Eulero-Bernoulli e la deformazione risultante è mostrata in fig.9. Come si vede, essendo la trave dei magneti molto più rigida della trave di supporto, il carico provoca una deformazione molto maggiore in quest' ultima. Se esiste un sistema di regolazione micrometrica del gap fra le due travi simmetriche dei magneti, questo potrebbe non essere un problema. Tuttavia anche la deformazione propria della trave dei magneti risulta modificata. Si ottengono infatti le seguenti deformazioni: G = -29 Pm G = -205 Pm GC= -206 Pm GD= -221 Pm G GC= +1.Pm GD GC= -14.Pm

6 Il valore del massimo spostamento relativo risulta quindi di 15.6 Pm, invece dei 6.7 o 5.2 Pm (a secondo dei vincoli) trovati precedentemente per la stessa trave, ma con vincoli rigidi, ed anche la forma della deformata sembra significativamente diversa. [1] Memorandum, 8QGXODWRU0DJQHWLF)LHOGRQ$[LV9DULDWLRQGXHWRWKH'HIOHFWLRQRIWKH6XSSRUW 6WUXFWXUH, F. Ciocci, G. Dattoli and L. Mezi. [2] C. Colombo, ³0DQXDOHGHOO,QJHJQHUH Ulrico Hoepli, Milano (1971).

Documenti analoghi

High-Performance Elements - Caratteristiche e Nuove Funzioni dell'elemento Beam (HPBEAM)

28-10-06 Ing. Dessì High-Performance Elements - Caratteristiche e Nuove Funzioni dell'elemento Beam (HPBEAM) Diamo un occhiata a cosa c'è alla base di EdiLus-MU: si tratta di un solutore molto potente