( z) ν ν. 1) Tensioni orizzontali litostatiche dalle eq. indefinite di equilibrio + condizioni di simmetria indefinita (ε h = ε x = ε y =0):

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1 Semispaio elastico lineare isotropo: E, ν ) Tensioni oriontali litostatiche dalle e. indefinite di euilibrio condiioni di simmetria indefinita (ε h ε ε ): ν ε h [ h ν( h v )] h ( ν) νv h v E ν ma: difficoltà di misura di ν, ambiguità tensioni totali/efficaci, evidene sperimentali Quindi (no meo elastico): h () K vo ) Carico superficiale infinitamente esteso ( indefinito ) h ( ) v ( ) γ h ( ) Caso generale (III euaione indefinita di euilibrio condiione ε ε ) v( ) v ( ) γ d v ( ) v ν ν h( ) ν ν ) [ v ] d ( ) γ h ( h OK NO: è preferibile ancora h () K v ()

2 Deformaioni indotte da carico superficiale indefinito v ( ) ε ( ) h γ h ( ) Incrementi di deformaione prodotti dal sovraccarico (solo ε sono ) ε E [ ν( )] [ ν ] E v h E v ν ν ν v E v ν ν ν E v ed avendo posto E ed ν E ν ν modulo di compressione edometrica (altrimenti detto M v modulo di compressione unidimensionale) NB: nel meo elastico ideale E ed > E, risultando: ν E ed E ν. E ed

3 Stato tensionale indotto da una fora concentrata Stato tensionale indotto da una fora concentrata Schema: semispaio caricato da fora concentrata F, assena di peso (γ ) sistema (,,) r θ F Soluione di Boussines problema assialsimmetrico coordinate cilindriche θ r τ r τ ν ν θ r r r F F ) F( ) ( r F coordinate cartesiane sistema (r,,θ) r, θ f(r,,ν), τ r f(r,) ν τ τ τ ν ν ) ( ) ( F F F F ) ( ) ( ) ( F ) ( ) ( ) ( F,, τ f(,,,ν), τ, τ f(,,) r ) arctan( / r r θ

4 4 Semispaio soggetto a carico lineare Problema a simmetria piana (ε ) coordinate cartesiane carico lineare p [F/L] d p γ E,ν P La soluione è ottenuta per sovrapposiione ed integraioni della soluione per carico concentrato: d F (pd,p ),p, τ p 4 pν ν( ) p 4 p 4 Anche in uesto caso risulta: f (p,,,ν),, τ f (p,,) cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto

5 Profili oriontali di tensioni indotte da carico lineare Caso ν. tensioni (kpa) (m). τ In prossimità della superficie, tutte le componenti: p kn/m -. m diventano infinitamente elevate in prossimità del punto d applicaione del carico tendono ad annullarsi rapidamente con la distana tensioni (kpa).... (m). τ p kn/m - m All aumentare della profondità: le componenti lungo ( e τ ) si annullano in asse, poi aumentano e diminuiscono con la distana le componenti e sono massime in asse, poi diminuiscono con la distana

6 6 Profili oriontali di tensioni indotte da carico lineare tensioni (kpa) Caso ν. tensioni (kpa) τ (m) (m) 4 4 τ p kn/m - p kn/m - m In asse al carico: le componenti lungo ( e τ ) si annullano le componenti e sono infinite in superficie, poi diminuiscono con la profondità A distana dal carico, tutte le componenti: si annullano in superficie aumentano e poi diminuiscono con la profondità

7 7 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme carico nastriforme [F/L ] La soluione è ottenuta per sovrapposiione ed integraioni della soluione per carico lineare: p rdθ γ E, ν α δ θ P r θ θ τ ν( ) αν sin αsin( α δ) [ α sin αcos( α δ) ] [ α sin αcos( α δ) ], θ θ d p(p rdθ,p), P Anche in uesto caso risulta: f(p, ν),, τ f(p) cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto

8 8 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Distribuione delle tensioni in asse Per risulta αδ : / ν( τ [ α sinα] [ α sinα] ) αν e poiché è anche α arctan B gli incrementi di tensione sono esprimibili in forma adimensionale: / f(/b) si estinguono ad una distana proporionale a B (p.es. risulta <. per 4B) la componente si estingue più rapidamente della /B 4 ν.

9 9 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Consideraioni sull euilibrio alla traslaione verticale d B.La distribuione di su piani oriontali si appiattisce all aumentare della profondità.le aree dei diagrammi sono costanti

10 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Distribuioni con la profondità degli incrementi di tensione verticale al variare della distana dall asse All aumentare della distana: l incremento in superficie salta da a. a gli incrementi in profondità tendono ad uniformarsi e poi anche a crescere al di fuori della fondaione

11 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Isolinee (isobare) di incrementi di tensioni principali massime ( ) e minime ( ) Entrambe le tensioni principali nel piano diminuiscono con la distana Le tensioni minime ( ) si attenuano più velocemente di uelle massime ( )

12 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Direioni di tensioni tangeniali massime (τ ma) e principali (, ) τma, Si osserva una rotaione continua di 9 delle direioni principali e delle τ ma Dall asse della fondaione verso la superficie, da verticale diventa oriontale

13 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Isobare di tensioni tangeniali massime τ ma e tensioni verticali Le tensioni tangeniali massime aumentano e poi diminuiscono con la distana Ciò dipende dalla variaione combinata delle tensioni principali massime (τ - )

14 4 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme: analisi FEM kpa B m Codice Plais V.8 B/ Modello Elastico E MPa ν. Modello Elasto-plastico E MPa ν. φ, c kpa

15 Confronto tra soluioni numeriche e analitiche: profili in asse (kpa) (kpa) (m) (m) sigma (FEM) sigma (FEM) sigma (FEM) sigma (semispaio elastico) sigma (semispaio elastico) sigma (semispaio elastico) sigma (FEM elastico) sigma (FEM elastico) sigma (FEM elastico) sigma (FEM elastoplastico) sigma (FEM elastoplastico) sigma (FEM elastoplastico)

16 6 Isocontorni FEM di tensione verticale e oriontale h h

17 7 Semispaio soggetto a sovraccarico circolare Problema a simmetria radiale coordinate polari La soluione è ottenuta per sovrapposiione ed integraioni della soluione per carico concentrato: rdθ dr rdθ dr dθ d F ( rdθ dr, θ,r) r P In asse (r), gli incrementi di tensione valgono: τ h v τ τ ( ν) ( ) ( ν) Anche in uesto caso risulta: h f(p, ν), v f(p) ( )

18 8 Semispaio soggetto a sovraccarico circolare Isobare degli incrementi di tensione verticale v : v a parità di larghea ( B/), gli incrementi di tensione si attenuano più rapidamente rispetto alla fondaione nastriforme

19 9 Semispaio soggetto a sovraccarico circolare Isobare degli incrementi di tensioni principali (, ) e di deviatore ( - ): ( )

20 BL BL arctg L B L B Soluione di Steinbrenner (94): dove Semispaio soggetto a sovraccarico rettangolare Semispaio soggetto a sovraccarico rettangolare - I Tensioni verticali lungo uno spigolo di un area rettangolare di carico

21 Semispaio soggetto a sovraccarico rettangolare - II Applicando il principio di sovrapposiione degli effetti, è possibile ottenere le tensioni verticali in un generico punto: lungo una verticale di bordo (sovrapposiione di aree rettangolari) P ( ABCD) P(AQPD) P(QBCP) lungo una verticale interna (sovrapposiione di 4 aree rettangolari) P ( ABCD) P(AQPT) P(QBP) P(PCS) P(TPSD) lungo una verticale esterna (sovrapposiione di 4 aree rettangolari) P ( ABCD) P (AQPT) P (BQPS) P (DPT) P (CPS)