CAPITOLO 6 PRESSIONI DI CONTATTO E DIFFUSIONE DELLE TENSIONI IN UN SEMISPAZIO ELASTICO

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1 CAPITOLO 6 PESSIONI DI CONTATTO E IN UN SEMISPAZIO ELASTICO 6. Pressioni di contatto Una fondaione suerficiale trasmette al terreno il carico roveniente dalla struttura in e- levaione. Le ressioni mutue all intradosso della fondaione sono dette ressioni di contatto. La distribuione delle ressioni di contatto diende dall entità e distribuione del carico all estradosso della fondaione, dalla rigidea della struttura di fondaione e dalla rigidea del terreno di fondaione. In Figura 6. sono ualitativamente raresentati gli effetti della rigidea della struttura di fondaione e della rigidea del terreno di aoggio sulla distribuione della ressione di contatto er fondaioni soggette ad un carico uniforme. Se la fondaione è riva di rigidea, ovvero non resistente a flessione, la distribuione delle ressioni di contatto è necessariamente eguale alla distribuione del carico alicato, e la sua deformata si adatta ai cedimenti del terreno. Se il terreno di aoggio ha eguale rigidea sotto ogni unto della fondaione (argilla), il cedimento è massimo in meeria e minimo al bordo, ovvero la deformata ha concavità verso l alto. Se invece il terreno di aoggio ha rigidea crescente con la ressione di confinamento (sabbia), il cedimento è minimo in meeria e massimo al bordo, ovvero la deformata ha concavità verso il basso (Figura 6.a). Lo schema di fondaione riva di rigidea si alica, ad esemio, alle fondaioni dei rilevati. a) fondaioni flessibili b) fondaioni rigide c) fondaioni semi-rigide schema su argilla min ma min ma ma min ma min su sabbia min ma ma min ma min ma Figura 6.: Pressioni di contatto e cedimenti er fondaioni suerficiali su terreno omogeneo soggette a carico verticale uniforme 6 - Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

2 Se la fondaione ha rigidea infinita, ovvero è indeformabile e di infinita resistena a flessione, er effetto di un carico a risultante verticale centrata, subisce una traslaione verticale rigida (cedimenti uniformi). La distribuione delle ressioni di contatto è simmetrica er euilibrio e diende dalla rigidea del terreno di aoggio. Se il terreno di aoggio ha eguale rigidea sotto ogni unto della fondaione (argilla), le ressioni di contatto sono massime al bordo e minime in meeria. Viceversa se terreno di aoggio ha rigidea crescente con la ressione di confinamento (sabbia), le ressioni di contatto sono massime al centro e minime al bordo (Figura 6.b). Lo schema di fondaione infinitamente rigida si alica, ad esemio, a linti in calcestruo, alti e oco armati. Se la fondaione ha rigidea finita, il suo comortamento è intermedio fra i due soradescritti, ovvero ha una deformata curvilinea ma meno ronunciata di uella della fondaione riva di rigidea, con concavità verso l alto o verso il basso a seconda del tio di terreno di aoggio (Figura 6.c). Lo schema di fondaione di rigidea finita si alica, ad esemio, alle latee di fondaione. Se il carico roveniente dalla struttura in elevaione (e alicato all estradosso della struttura di fondaione) non è uniforme ma ha comunue risultante verticale centrata, la distribuione delle ressioni di contatto è: - er fondaioni flessibili, eguale alla distribuione del carico alicato, - er fondaioni di rigidea infinita, eguale alla distribuione er carico uniforme di ari risultante, - er fondaioni di rigidea finita, intermedia ai due casi recedenti. 6. Diffusione delle tensioni nel terreno La realiaione di un oera di ingegneria geotecnica roduce un alteraione dello stato di tensione naturale nel terreno, e uindi deformaioni e cedimenti. Per stimare i cedimenti è necessario conoscere: a) lo stato tensionale iniiale nel sottosuolo, b) l incremento delle tensioni rodotto dalla realiaione dell oera, e c) la relaione fra incrementi di tensione e incrementi di deformaione (legge costitutiva). Lo stato tensionale iniiale nel sottosuolo corrisonde alle tensioni geostatiche, di cui abbiamo discusso nel Caitolo. Per la stima, arossimata, dell incremento delle tensioni verticali nel sottosuolo, da cui rincialmente diendono i cedimenti in suerficie, si fa sesso riferimento al modello di semisaio omogeneo, isotroo, elastico lineare e sena eso che, ur avendo un comortamento er molti asetti diverso da uello dei terreni reali, fornisce soluioni sufficientemente accurate ai fini rogettuali. In articolare, le rinciali differene tra il modello del continuo elastico e i terreni reali, sono:. raramente i deositi di terreno reale sono costituiti da un unico strato di grande sessore, iù sesso sono stratificati, e ogni strato ha differente rigidea, e/o è resente Ai soli fini del calcolo strutturale delle fondaioni, er la stima della distribuione delle ressioni di contatto, si fa sesso riferimento al modello di inkler, argomento che esula dal resente corso. 6 - Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

3 un substrato roccioso (bedrock) di rigidea molto sueriore a uella degli strati sovrastanti ;. anche nel caso di terreno omogeneo, la rigidea dei terreni reali non è costante ma cresce con la rofondità ;. i terreni reali non sono isotroi. Il raorto tra i moduli di deformaione in direione verticale ed oriontale, E v /E h, è di norma maggiore di uno er terreni normalmente consolidati e debolmente sovraconsolidati, mentre è minore di uno er terreni fortemente sovraconsolidati; 4. l iotesi di elasticità lineare uò essere accolta solo er argille sovraconsolidate e sabbie addensate limitatamente a valori molto bassi di tensione, ma non è accettabile er tutti gli altri casi 4. La non corrisondena fra le iotesi del modello e la realtà fisica, orta a risultati generalmente inaccettabili in termini di deformaioni calcolate, ma accettabili limitatamente alla stima delle tensioni verticali. Pertanto, con una rocedura teoricamente non corretta ma raticamente efficace e molto comune in ingegneria geotecnica, si utiliano modelli diversi (leggi costitutive diverse) er risolvere asetti diversi dello stesso roblema. Ad esemio, er una stessa fondaione suerficiale, si utilia il modello rigidoerfettamente lastico er il calcolo della caacità ortante, il modello continuo elastico lineare er la stima delle tensioni verticali indotte in condiioni di eserciio, il modello edometrico er il calcolo dei cedimenti e del decorso dei cedimenti nel temo, il modello di inkler er il calcolo delle sollecitaioni nella struttura di fondaione, etc Tensioni indotte da un carico verticale concentrato in suerficie (roblema di oussines) Il matematico francese oussines, nel 885, fornì la soluione analitica del roblema caostiite di tutte le successive soluioni elastiche: tensioni e deformaioni indotte da una fora alicata ortogonalmente sulla suerficie di un semisaio ideale, continuo, omogeneo, isotroo, elastico lineare e rivo di eso. Con riferimento allo schema di Figura 6. le tensioni indotte in un generico unto di tale semisaio, valgono (in coordinate cilindriche) 5 : Esistono soluioni elastiche che considerano il terreno stratificato e/o il bedrock. La resena di un bedrock orta a valori della tensione verticale indotta sueriori a uelli del semisaio omogeneo. Esistono soluioni elastiche che considerano il modulo di Young linearmente crescente con la rofondità. Tali soluioni ortano a valori della tensione verticale indotta sueriori a uelli del semisaio omogeneo. 4 Per carichi concentrati l iotesi di elasticità lineare conduce a valori infiniti della tensione in corrisondena del carico. Non esiste un materiale reale caace di resistere a tensioni infinite. (E d altra arte anche i carichi concentrati sono solo un astraione matematica). 5 Con riferimento ad un caso reale, uindi ad un terreno dotato di eso, le tensioni ottenute dalla soluione di oussines (e er i casi di seguito considerati) vanno sommate alle tensioni geostatiche reesistenti. 6 - Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

4 r θ r Figura 6.: Carico concentrato, roblema di oussines ψ P P E. (6.) 5 π ( ν) ( + ) P r r + E.(6.) π θ ( ν) P ( ) E. (6.) π + P r τ r E. (6.4) 5 π dove r + Si osservi che l E. 6., che ermette di calcolare la tensione verticale indotta, non contiene il coefficiente di Poisson, ν. La distribuione delle tensioni verticali su un iano oriontale alla rofondità dal.c. è una suerficie di rivoluione avente forma di una camana, simile alla curva gaussiana, il cui volume è ari al carico alicato in suerficie. Al crescere di la camana è semre iù estesa e schiacciata. A rofondità 0, la camana degenera in una tensione infinita su un area infinitesima, ovvero nel carico alicato P. A titolo di esemio in Figura 6. sono raresentate le distribuioni di tensione verticale indotte da un carico concentrato P00kN alle rofondità m, 5m e 0m. La distribuione delle tensioni verticali al variare della rofondità er un assegnato valore della distana oriontale r dall asse di alicaione della fora P, è indicata in Figura 6.4. Per r0, ovvero in corrisondena del carico alicato, la tensione a rofondità 0 è infinita er oi decrescere monotonicamente al crescere di. Per r>0, la ressione verticale vale 0 alla rofondità 0, oi cresce con fino ad un valore massimo er oi decrescere tendendo al valore ero. A titolo di esemio in Figura 6.4 sono raresentate le distribuioni di tensione verticale indotte da un carico concentrato P 00kN alle distane r 0m, m e 5m. Poiché er l iotesi di elasticità lineare è valido il rinciio di sovraosiione degli effetti, la soluione di oussines è stata integrata er ottenere le soluioni elastiche relative a differenti condiioni di carico alicato in suerficie. Le iù freuentemente usate nella ratica rofessionale sono le seguenti. 6.. Tensioni indotte da un carico verticale distribuito su una linea retta in suerficie Con riferimento allo schema di Figura 6.5, le tensioni indotte da un carico verticale distribuito su una linea retta in suerficie sono fornite dalle euaioni (6.5), (6.6), (6.7) e (6.8) (in coordinate cartesiane ed assumendo l asse y orientato secondo la direione della linea di carico): 6-4 Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

5 8 Z m Z 5m Z 0m (kpa) (kpa) 4 (m) r (m) 5 0 r 0m r m r 5m Figura 6. - Distribuioni di tensione verticale indotte in un semisaio alla oussines da un carico P00kN alle rofondità m, 5m e 0m Figura Distribuioni di tensione verticale indotte in un semisaio alla oussines da un carico P 00kN alle distane r 0m, m e 5m P P' (E. 6.5) 4 π P' (E. 6.6) 4 π P' y ν (E. 6.7) π P' τ y (E. 6.8) 4 π y dove P è il carico er unità di lunghea, e +. 6 Figura Carico distribuito su una linea retta 6 Si osservi come le tensioni, er evidenti ragioni di simmetria, siano indiendenti da y. 6-5 Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

6 6.. Tensioni indotte da una ressione verticale uniforme su una striscia indefinita Con riferimento allo schema di Figura 6.6, le tensioni indotte da una ressione verticale uniforme su una striscia indefinita sono fornite dalle euaioni (6.9), (6.0), (6.) e (6.) (in coordinate cartesiane ed assumendo l asse y orientato secondo la direione della striscia di carico). [ α + senα cos( α + β) ] π (E. 6.9) [ α senα cos( α + β) ] π (E. 6.0) y ν α π (E. 6.) τy senα sen( α + β) π (E. 6.) α β dove è il carico er unità di suerficie, α e β sono esressi in radianti, β è negativo er unti sotto l area caricata. y Figura 6.6: Pressione uniforme su striscia indefinita 6..4 Tensioni indotte da una ressione verticale triangolare una striscia indefinita Con riferimento allo schema di Figura 6.7, le tensioni indotte da una ressione verticale triangolare su una striscia indefinita sono fornite dalle euaioni (6.), (6.4) e (6.5) (in coordinate cartesiane ed assumendo l asse y orientato secondo la direione della striscia di carico): α senβ (E. 6.) π α ln + senβ (E. 6.4) π τ + cos β α (E. 6.5) π 6-6 Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

7 dove è il valore massimo del carico er unità di suerficie, α e β sono esressi in radianti, β è negativo er unti sotto l area caricata. α β y Figura Pressione triangolare su striscia indefinita 6..5 Tensione verticale indotta da una ressione verticale traeia su una striscia indefinita a' a Figura Pressione traeia su striscia indefinita Il caso della ressione verticale traeia, di uso molto freuente oiché corrisonde al carico trasmesso da rilevati stradali, uò essere risolto er sovraosiione di effetti utiliando le euaioni delle strisce di carico rettangolare e triangolare. 6-7 Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

8 Se interessa conoscere la tensione verticale in asse al rilevato, con riferimento allo schema ed ai simboli di Figura 6.8, uò essere utiliata, iù semlicemente, la seguente e- uaione: a a' ( 0) a arctan a' arctan ( ) E. (6.6) a a' π 6..6 Tensione verticale indotta da una ressione uniforme su una suerficie circolare Con riferimento allo schema di carico di Figura 6.9, le tensioni verticali indotte in asse all area caricata ossono essere calcolate con la seguente euaione: ( r 0) (E. 6.7) + mentre er la stima il delle tensioni indotte in corrisondena di altre verticali si uò fare riferimento alla Tabella 6. ed alle curve raresentate in Figura 6.0. r / 0 0,5 0,5 0,75 0 Figura Pressione uniforme su area circolare Osservando la Figura 6.0 si uò notare che alla rofondità 0 in corrisondena delle verticali interne all area caricata (r < )la ressione di contatto è ari alla ressione agente sull area circolare (fondaione flessibile), in corrisondena delle verticali e- / 4 5 r/0 r/0,5 r/ r/ Figura Variaione della tensione verticale indotta da una ressione su area circolare er differenti verticali 6-8 Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

9 sterne (r > ) la ressione di contatto è ero, e che in corrisondena delle verticali sul bordo (r ) la ressione di contatto è ari alla metà della ressione Tensioni indotte da una ressione uniforme su una suerficie rettangolare La soluione relativa al caso di un area rettangolare uniformemente caricata è molto imortante, non solo erché molte fondaioni hanno forma rettangolare, ma anche erché, sfruttando il rinciio di sovraosiione degli effetti, ermette di calcolare lo stato tensionale indotto da una ressione uniforme agente su un area scomonibile in rettangoli. Con riferimento allo schema di Figura 6., le tensioni indotte dal carico in un unto sulla verticale er uno sigolo O dell area caricata, osto: Tabella 6.: Variaione della tensione verticale indotta da una ressione su area circolare er differenti verticali (dati relativi alla Figura 6.0) r/ 0 0,5 / / 0,000,000 0,500 0,000 0, 0,999 0,995 0,48 0,000 0, 0,99 0,977 0,464 0,00 0, 0,976 0,94 0,447 0,00 0,4 0,948 0,894 0,40 0,006 0,5 0,90 0,840 0,4 0,00 0,6 0,86 0,780 0,95 0,06 0,7 0,8 0,78 0,78 0,0 0,8 0,758 0,664 0,6 0,08 0,9 0,700 0,6 0,46 0,05 0,646 0,565 0,9 0,04, 0,546 0,480 0,98 0,05,4 0,46 0,408 0,68 0,06,6 0,90 0,5 0,4 0,067,8 0, 0,0 0,7 0,07 0,84 0,6 0,95 0,07, 0,45 0,8 0,76 0,07,4 0, 0,0 0,58 0,07,6 0,86 0,78 0,4 0,07,8 0,64 0,58 0, 0,069 0,46 0,4 0,9 0, ,086 0,08 0,077 0,05 5 0,057 0,054 0,05 0,04 y valgono: L 0,5 ( L + ) 0,5 ( + ) ( L + + ) 0, 5 y Figura 6.- Pressione uniforme su un area rettangolare 6-9 Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

10 L L arctan + π + E. (6.8) L L arctan π E. (6.9) y L L arctan π E. (6.0) τ π E. (6.) Volendo conoscere lo stato tensionale in un unto del semisaio alla rofondità, sulla verticale di un unto M non coincidente con lo sigolo O del rettangolo, si rocede er sovraosiione di effetti di aree di carico rettangolari, nel modo seguente (Figura 6.): a) M interno ad ACD; le tensioni risultano dalla somma delle tensioni indotte in M dalle 4 aree (), (), () e (4), ciascuna con vertice in M: E. (6.) M(ACD) M(AA'MC') M(A''M) M('DD'M) M(D'CC'M) b) M esterno ad ACD; le tensioni risultano dalla somma algebrica delle tensioni indotte da rettangoli oortunamente scelti, semre con vertice in M: + E. (6.) M(ACD) M(A'MC') M('MD'') M(CD'MC') M(DD'MD'') Può essere talvolta utile valutare anche i cedimenti elastici. L euaione er il calcolo del cedimento in corrisondena dello sigolo O dell area flessibile di carico uniforme, di forma rettangolare L su un semisaio continuo, elastico lineare, omogeneo e isotroo, avente modulo di Young E, e coefficiente di Poisson ν, è la seguente: caso a) caso b) A A A ' C M 4 C D D C D D' C' Figura 6. - Esemi di sovraosiione di aree di carico rettangolari D'' M 6-0 Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)

11 osto ξ L/ ( ν ) ln( ξ + + ξ ) + + ξ w + ξ ln E. (6.4) π E ξ L E. 6.4 ermette di calcolare il cedimento elastico in ualunue unto della suerficie, er sovraosiione degli effetti, con rocedura analoga a uella sora descritta er il calcolo delle tensioni verticali. 6 - Università degli Studi di Firene - Diartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Seione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Disense di Geotecnica (ev. Settembre 0)