Università degli Studi di Cagliari - Facoltà di Ingegneria e Architettura. Metodi agli Elementi Finiti - (AA 2017/ 18) L elemento BEAM

Transcript

1 elemento BEAM In qesto capitolo si calcolerà la matrice di rigidea dell elemento BEAM secondo la teoria semplificata di Elero_Bernolli, tiliando il Direct Stiffness Method. Si tratta di na procedra tiliata solo per lo svilppo degli elementi più semplici: in segito vedremo n metodo alternativo di carattere più generale. Partiamo dallo stdio dell elemento piano a de nodi disposto nella direione dell asse (vedi Fig.1). In ogni nodo sono presenti de gradi di libertà, lo spostamento verticale v e la rotaione intorno all asse, θ : la matrice di rigidea avrà qindi dimensione 4 4. Segendo il Direct Stiffness Method cerchiamo il sistema di fore eqilibrate capaci di imporre no spostamento noto. In qesto caso avremo: v θ 1 M ] { v } = 1 F θ { M } Fig.1 Schema della trave e della sa seione trasversale 1 Cerchiamo le fore eqilibrate capaci di imporre lo spostamento: { } = { }. Tali fore valgono: θ ] { } = { 1 M } = F { M } Trovate le fore, saremo qindi in grado di calcolare la prima colonna della matrice di rigidea. Qesta procedra verrà ripetta per le qattro colonne. 1 o schema statico per stdiare la strttra è il segente: Imponiamo qindi lo spostamento: { } θ 1 v 1 v 1 θ 1 v θ v { v 1 = 1 θ 1 = { v = θ = () Come è evidente, la strttra è na volta iperstatica. Calcoliamo le reaioni vincolari tiliando il Principio dei avori Virtali. Eliminiamo il vincolo iperstatico: c = 1Nmm] (1) X a strttra () è il sistema degli spostamenti; la strttra (1) qella delle fore. Il lavoro delle fore esterne è gale a: et = c θ 1 = Il lavoro delle fore interne è gale a: int = (M + XM 1 )M 1 d + χ(t + XT 1 )T 1 d GA Poiché rislta che T 1 () = e che i momenti valgono: M () = e M 1 () = 1 A cra di Filippo Bertolino: maro 18 Pag 1

2 rislta: Abbiamo qindi: (M + XM 1 )M 1 d = M M 1 d + X M 1M 1 d = X = M M 1 d M 1M 1 d = M M 1 d M 1 d = d d = Scrivendo le eqaioni di eqilibrio possiamo calcolare il valore delle reaioni a terra nei de nodi: F = + F = da ci F = M = M 1 M = da ci M = M 1 = M 1 = = Fig. Reaioni nodali M F Calcoliamo adesso la fora necessaria per provocare lo spostamento verticale nitario del primo nodo. Utiliando il Principio dei avori Virtali, applichiamo na fora nitaria verticale nel nodo n.1. M 1 = M M 1 1 = M 1 = F 1 1 Fig.3a Sistema degli spostamenti o spostamento vale: Fig.3b Sistema delle fore Poiché le aioni interne valgono: otteniamo: Svilppando abbiamo: v 1 = M M 1 d + χt T 1 GA d M () = M 1 () = v 1 = M M 1 d + χt T 1 GA ; T () = ; T 1 () = 1 d = ( ) d + χ GA d v 1 = 3 + χ 1 GA Trascrando l effetto del taglio e ponendo v 1 = 1 abbiamo: = 1 3 Di consegena la prima colonna della matrice di rigidea vale: A cra di Filippo Bertolino: maro 18 Pag

3 { M 1 F } = 41 { M } Calcoliamo la seconda colonna della matrice di rigidea: 1 Imponiamo qindi lo spostamento: { } = { } o schema statico per stdiare la strttra è il segente: M 1 { v 1 = θ 1 = 1 { v = θ = Come è evidente, la strttra è na volta iperstatica. Calcoliamo le reaioni vincolari tiliando il Principio dei avori Virtali. Eliminiamo il vincolo iperstatico: M 1 M 1 () X F = 1N] (1) a strttra () è il sistema degli spostamenti; la strttra (1) qella delle fore. Il lavoro delle fore esterne è gale a: et = F v 1 = Il lavoro delle fore interne è gale a: e aioni interne nei de sistemi valgono: da ci: (M + XM 1 )M 1 d + χ(t + XT 1 )T 1 GA Abbiamo qindi: int = (M + XM 1 )M 1 d + χ(t + XT 1 )T 1 d GA T () = e T 1 () = 1 Trascrando l effetto del taglio possiamo scrivere: X = M () = M 1 e M 1 () = M M 1 d M 1M 1 d d = M M 1 d + X M 1M 1 d + X χt 1T 1 GA d = M M 1 d X = M 1M 1 d + χt 1T 1 GA d = M M 1 d M 1 d = M 1 d d = M 1 3 = 3 M 1 3 Scrivendo le eqaioni di eqilibrio possiamo calcolare il valore delle reaioni a terra nei de nodi: A cra di Filippo Bertolino: maro 18 Pag 3

4 F = + F = da ci M = 3 da ci F = M 1 M 1 M = M = 3 M 1 M 1 = M 1 Fig.4 Reaioni nodali M 1 = 3 M 1 M F Calcoliamo adesso la coppia M 1 necessaria per provocare la rotaione nitaria del primo nodo. Utiliando il Principio dei avori Virtali, applichiamo na coppia nitaria al nodo n.1. M 1 M 1 1 M 1 = 1 F 1 = 3 M 1 F F 1 1 = 3 F 1 = 3 Fig.5a Sistema degli spostamenti Fig.5b Sistema delle fore a rotaione vale: Poiché le aioni interne valgono: θ 1 = M M 1 d + χt T 1 GA d abbiamo: Svilppando abbiamo: M () = 3 M 1 M 1 ; T () = 3 M 1 M 1 () = 3 1 ; T 1() = 3 θ 1 = M M 1 d + χt T 1 GA d = M 1 ( 3 1) θ 1 = M 1 + χm GA 4 Trascrando l effetto del taglio e ponendo θ 1 = 1 abbiamo: M 1 = 4 Di consegena la seconda colonna della matrice di rigidea vale: { 1 3 M 1 F } = 4 { M } d + χm 1 GA ( 3 ) d A cra di Filippo Bertolino: maro 18 Pag 4 = { } Per calcolare la tera e la qarta colonna della matrice di rigidea possiamo osservare che scambiando i nodi della trave le fore generaliate non cambiano il loro valore ma solo la loro posiione. In altre parole:

5 Di consegena la matrice rislta la segente: ] = ] ] Per completare la matrice di rigidea della trave nel piano è necessario aggingere i gradi di libertà relativi agli spostamento oriontali. Ricordo che la matrice di rigidea dell elemento tirante/pntone nel piano per n elemento rotato dell angolo α rispetto all oriontale ha la forma segente: cos(α) cos(α)sin(α) cos(α) cos(α)sin(α) e = EA cos(α)sin(α) sin(α) cos(α)sin(α) sin(α) cos(α) cos(α)sin(α) cos(α) cos(α)sin(α) cos(α)sin(α) sin(α) cos(α)sin(α) sin(α) ] Poiché l elemento BEAM che abbiamo stdiato è orientato secondo n angolo α = rispetto all oriontale, alle se righe e colonne dobbiamo aggingere nelle opportne posiioni la segente matrice di rigidea: Abbiamo qindi: e = EA 1 1 ] 1 1 EA EA F v 1 θ 1 M EA = 1 EA F v F { θ } { M } ] Per calcolare la matrice di rigidea di n elemento BEAM piano rotato di n angolo α intorno all asse è necessario segire la segente procedra. Osserviamo che per passare dal sistema di riferimento locale (rotato in senso antiorario dell angolo α) a qello globale è necessaria la segente operaione matriciale: { } = R] { } cos(α) sin(α) = G sin(α) cos(α) ] { } G Per rotare il vettore degli spostamenti generaliati relativi ad n solo nodo tiliiamo la segente relaione: A cra di Filippo Bertolino: maro 18 Pag 5

6 { v θ } = R] { v θ }G cos(α) sin(α) = sin(α) cos(α) ] { v 1 Per rotare l intero vettore degli spostamenti generaliati è necessaria la segente relaione: { v { v θ }1 R] ] = ] R] ] θ }1 { v } { v } { θ } { θ } G dove ] indica na matrice 3 3 piena di eri. Abbiamo qindi: e ] {s} = {F} dove {s} è il vettore degli spostamenti generaliati espressi nel sistema di riferimento locale e {F} è il corrispondente vettore delle fore generaliate. Possiamo scrivere qanto sege: R] ] e ] ] R] ] {s} R] ] G = ] R] ] {F} G Premoltiplicando entrambe i membri dell ltima eqaione per l inversa della matrice di rotaione abbiamo: 1 R] ] ] R] ] Possiamo partiionare la matrice e ] nel modo segente: θ }G R] ] e ] ] R] ] {s} G = e ] G {s} G = {F} G e ] = ] le ci sotto matrici ij hanno dimensione 3 3. In qesto modo rislta che la matrice di rigidea nel sistema di riferimento globale vale: 1 R] ] e ] G = ] R] ] 11 1 R] ] 1 ] ] R] ] = 11 R] R] 1 1 R] R] 1 R] 1 1 R] R] 1 R] ] G Ricordo che le matrici di rotaione hanno la segente proprietà: R] 1 = R] T per ci: e ] G = R]T 11 R] R] T 1 R] R] T 1 R] R] T R] ] G Per il calcolo della matrice di rigidea dell elemento BEAM nello spaio è necessario aggingere alla matrice precedentemente svilppata le righe e le colonne relative ai gradi di libertà di spostamento w in direione, di rotaione θ intorno all asse e di rotaione θ intorno all asse. I coefficienti si possono ricavare segendo la stessa procedra vista precedentemente. Disposto l elemento in direione dell asse (Fig.6) si calcolano le relaioni che legano gli spostamenti generaliati w e θ alle fore generaliate F e M w 1 F θ 1 M 1 ] { w } = F θ { M } θ 1 Fig.6 Schema della trave e della sa seione trasversale θ w 1 w A cra di Filippo Bertolino: maro 18 Pag 6

7 Il risltato si ottiene segendo la stessa procedra descritta precedentemente: A cra di Filippo Bertolino: maro 18 Pag ] E importante osservare che il momento d ineria I presente nella matrice di rigidea è calcolato rispetto all asse. Inoltre bisogna ricordare che I e I devono essere i MOMENTI PRINCIPAI D INERZIA della seione trasversale della trave prismatica. a matrice appena calcolata va assemblata nella matrice di rigidea dell elemento BEAM che possiede 1 Gd, 6 per nodo. Rimane n ltimo coefficiente da calcolare, qello relativo alla rigidea torsionale. Se si applica la coppia M 1 nel nodo n.1, per l eqilibrio nel nodo n. si avrà na coppia di modlo gale, ma di verso contrario. a rotaione prodotta varrà: θ 1 = M 1 GI dove I indica il momento d ineria polare della seione trasversale della trave. Posto θ 1 = 1 è possibile calcolare la rigidea torsionale della trave: M 1 = GI In conclsione, la matrice di rigidea dell elemento BEAM nello spaio è la segente: EA EA EA GI GI GI 6 EA GI ] 1 v 1 w 1 θ 1 θ 1 θ 1 v w θ θ { θ } = F 1 F 1 M 1 M 1 M 1 F F F M M { M } Qesta matrice deve essere rotata dal sistema di riferimento locale a qello globale segendo la stessa procedra descritta precedentemente per il caso piano. nico pnto che bisogna tenere in consideraione è che gli assi locali,, devono coincidere con gli assi principali d ineria. Indicati gli assi globali come G, G, G i coseni direttori sono così definiti: l 1 = cos( G ) ; m 1 = cos( G ) ; n 1 = cos( ) G l = cos( G ) ; m = cos( G ) ; n = cos( ) G l 3 = cos( ) G ; m 3 = cos( ) G ; n 3 = cos( ) G

8 a matrice di rotaione diventa: j i G G G l 1 m 1 n 1 R] = l m n ] l 3 m 3 n 3 Fig.7a Elemento nello spaio con i soi assi principali d ineria. Fig.7b Matrice di rotaione Osserviamo che se l asse fosse parallelo all asse G avremmo: l 1 m 1 cos( G ) cos( G ) cos(α) sin(α) R] = l m ] = cos( G ) cos( G ) ] = sin(α) cos(α) ] Saremmo qindi ritornati al caso piano. Possiamo partiionare la matrice e ] nel modo segente: e ] = ] dove ogni sotto matrice ha dimensione 33. a trasformaione è la segente: R] ] ] ] R] ] ] ] ] R] ] ] ] R] ] ] e ] ] {s} ] ] R] ] G = ] {F} ] ] R] ] G ] ] ] R] ] ] ] R] Dopo alcni passaggi, già descritti per il caso piano, la matrice di rigidea nel sistema di riferimento globale rislta: R] T 11 R] R] T 1 R] R] T 13 R] R] T 14 R] e ] G = R] T 1 R] R] T 31 R] R] T R] R] T 3 R] R] T 3 R] R] T 33 R] R] T 4 R] R] T 34 R] R] 41 R] R] T 4 R] R] T 43 R] R] T 44 R]] G Natralmente la matrice è simmetrica e qindi è necessario calcolarne solo il triangolo speriore o inferiore. A cra di Filippo Bertolino: maro 18 Pag 8