Sistemi dinamici a tempo discreto. Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada

Transcript

1 Sistemi dinamici a tempo discreto Fondamenti di Atomatica Prof. Silia Strada

2 Introdione I sistemi dinamici a tempo discreto sono caratteriati dal fatto che ttte le ariabili del sistema sono fnioni di na ariabile temporale che assme solo alori interi. () 4 5 Le motiaioni dello stdio dei sistemi a tempo discreto sono dplici: è di aito noteole per la migliore comprensione di alcni aspetti del controllo digitale (sistemi di controllo realiati al calcolatore) è di spporto nello stdio di sistemi (economici, ecologici, sociologici, ecc.) che si lasciano descriere in modo strttrale come sistemi a tempo discreto Ripercorreremo, in segito, rapidamente, l analisi dei sistemi solta a tempo contino, applicandola a tempo discreto.

3 Definiione e classificaioni ariabili di ingresso S ariabili di scita Il sistema dinamico a tempo discreto è caratteriato da n certo nmero (m) di ingressi e n certo nmero (p) di scite. Il nmero minimo di condiioni iniiali che occorre assegnare per determinare ttte le scite del sistema, noti gli andamenti degli ingressi a partire dall istante iniiale, prende il nome di ordine del sistema: lo si indica con n. Il sistema si lascia descriere per meo di n eqaioni alle differene, ci si aggingono p eqaioni algebriche per determinare le scite. ( ) f ( ( ), ( ), ) ( ) g( ( ), ( ), ) Si sano le stesse classificaioni iste per i sistemi a tempo contino: sistemi SISO e MIMO, strettamente propri e no, lineari e non lineari, tempo inarianti e arianti.

4 Moimento ed eqilibrio Assegnata na condiione iniiale all istante ed n ingresso a partire da, definiamo moimento dello stato la solione delle eqaioni di stato corredate dalla condiione iniiale assegnata e moimento dell scita la consegente scita, ricaabile dalla trasformaione d scita. L eqilibrio è n particolare moimento costante nel tempo a segito di n ingresso costante nel tempo. Per determinare gli stati di eqilibrio corrispondenti a n ingresso si impone che: ( ) ( ) Pertanto gli stati di eqilibrio sono le solioni dell eqaione implicita: ( ) f, Si danno le stesse definiioni, iste a tempo contino, di moimento stabile, instabile, asintoticamente stabile. 4

5 Esempio: algoritmo iteratio Si spponga di doer risolere nmericamente l eqaione scalare f ( ) con f generica fnione non lineare. Un metodo per risolere l eqaione pò consistere nel partire da na certa solione iniiale di tentatio ed iterare secondo la formla: ( ) f ( ( )) Sistema dinamico non lineare tempo inariante: l indice temporale scandisce le sccessie iteraioni dell algoritmo ( ) f ( ) Se f() Gli eqilibri del sistema sono le solioni dell eqaione data ( ) ( ) Partendo da () / ( ) ( ) 8 ( ) ( 8) 5 ( ) ( 5)

6 Sistemi LTI Qando ttte le eqaioni del sistema sono lineari nelle ariabili di stato e di ingresso e non dipendono esplicitamente dal tempo, il sistema si definisce lineare tempo inariante (LTI) ed è descritto dalle eqaioni: ( ) A( ) B( ) ( ) C( ) D( ) Calcoliamo iteratiamente il moimento dello stato a partire da na condiione iniiale, assegnato n ingresso: ( ) A( ) B( ) A B( ) ( ) A( ) B( ) A AB( ) B( ) ( ) A( ) B( ) A A B( ) AB( ) B( ) Iterando, possiamo troare la formla del moimento dello stato e qindi dell scita. 6

7 Moimento libero e forato [ ] i ( ) A A B( i ) i [ ] D( ) i ( ) CA CA B( i ) i Moimento libero Moimento forato Poiché il moimento libero è lineare nello stato iniiale e il moimento forato è lineare nell ingresso ale il principio di sorapposiione degli effetti. 7

8 Eqilibri nei sistemi discreti LTI ( ) A( ) B( ) ( ) C( ) D( ) Gli eqilibri in n sistema LTI si indiidano con l eqaione: A B Se la matrice IA è inertibile, ossia se A non ha atoalori in s, esiste n solo stato di eqilibrio, dato dall espressione: ( I A) B Inoltre rislta: µ con: ( I A) B D µ C gadagno statico del sistema 8

9 Altre proprietà dei sistemi LTI ( ) A( ) B( ) ( ) C( ) D( ) Cambiamento di ariabili di stato: algono le stesse formle dei sistemi a tempo contino ˆ ( ) A ˆ ˆ ( ) B ˆ ( ) Aˆ TAT, Bˆ TB, ˆ ( ) T( ), det( T ) C ˆ ˆ D ˆ Cˆ CT, Dˆ D ( ) ( ) ( ) Raggingibilità: definiione e test sono gli stessi dei sistemi a tempo contino n [ B AB A B A B] Kr Sistema completamente raggingibile se e solo se ran(k r ) n Osserabilità: definiione e test sono gli stessi dei sistemi a tempo contino K o C T A T C T A T n T C Sistema completamente osserabile se e solo se ran(k o ) n 9

10 Sistemi LTI: stabilità Per i sistemi LTI a tempo discreto algono consideraioni slla stabilità del ttto analoghe a qelle fatte a tempo contino: la stabilità è na proprietà del sistema (ttti i moimenti sono asintoticamente stabili, stabili o instabili). la stabilità si pò altare stdiando i moti liberi del sistema ( ) ( ) A δ δ ( ) ( ) A δ δ Se A è diagonaliabile, cioè: { } diag λ n λ λ,,, ˆ : A TAT T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ T T T A T AT T δ λ λ λ δ δ δ n Introdotte le ariabili δ (differena tra moimento pertrbato e moimento nominale):

11 Modi Le componenti del moto libero del sistema sono qindi combinaioni lineari degli esponeniali degli atoalori (modi). Di segito sono riportati gli andamenti di λ al ariare di λ reale: λ > λ < λ < < λ <.6 λ λ <

12 Criterio degli atoalori Natralmente, accanto ad n atoalore complesso λ i ρ i e jϑi ci sarà anche il conigato e la combinaione dei de termini darà logo ad n termine reale del tipo ρ i cos(ϑ i ϕ i ). Possiamo qindi osserare che se A è diagonaliabile: se ttti gli atoalori hanno modlo minore di, ttti i moti liberi sono limitati e decadono a ero se non ci sono atoalori a modlo maggiore di, ma ce ne sono a modlo nitario, nessn moto libero dierge, ma i sono moti liberi che non decadono a ero se c è almeno n atoalore a modlo maggiore di, almeno n moto libero non è limitato.

13 Criterio degli atoalori Dall analisi dei modi del sistema si possono trarre le segenti conclsioni (alide per matrice A diagonaliabile): Un sistema dinamico LTI a tempo discreto è: asintoticamente stabile: se e solo se ttti gli atoalori di A hanno modlo minore di stabile: se e solo se ttti gli atoalori di A hanno modlo minore o gale a e ne esistono a modlo gale a instabile: se e solo se esistono atoalori di A a modlo maggiore di Regione di asintotica stabilità tempo contino semipiano sinistro tempo discreto cerchio di centro l origine e raggio nitario

14 Criterio degli atoalori De osseraioni: ) L analisi della stabilità è del ttto indipendente dalla scelta delle ariabili di stato: la proprietà di stabilità è na proprietà strttrale del sistema dinamico ) Se la matrice A non è diagonaliabile, l ennciato precedentemente a precisato: se i sono atoalori mltipli a modlo nitario (e non i sono atoalori a modlo maggiore di ), il sistema è instabile se per almeno no degli atoalori a modlo nitario la molteplicità geometrica (nmero degli atoettori linearmente indipendenti associati all atoalore) è inferiore alla molteplicità algebrica (molteplicità con ci l atoalore è radice del polinomio caratteristico) 4

15 Stabilità: analisi del polinomio caratteristico Anche per i sistemi a tempo discreto è possibile stdiare la stabilità eitando il calcolo diretto degli atoalori, ma stdiando i coefficienti del polinomio caratteristico della matrice A: Si pò procedere in de modi: ϕ n n n ( ) det( I A) ϕ ϕ ϕ ϕn introdrre n criterio (criterio di Jr) che fornisce direttamente le condiioni per ci il polinomio ha ttte le radici a modlo minore di (non lo ediamo) ricondrsi con n cambiamento di ariabili a n polinomio che ha radici a parte reale negatia se e solo se il polinomio originario le ha a modlo minore di, e qindi sare il criterio di Roth s s trasformaione bilineare 5

16 6 Trasformaione bilineare: esempio Consideriamo il polinomio: ( ) 6 8 ϕ Applicando la trasformaione bilineare ed gagliando a ero si ottiene: 6 8 s s s s s s ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 8 s s s s s s s s s Tabella di Roth: polinomio in s ha ttte le radici a p.r. < polinomio in ha ttte le radici a modlo <

17 7 Stabilità degli eqilibri Dato il sistema non lineare: p m n R R R consideriamo l eqilibrio caratteriato da: ( ) ( ) ( ),, Il comportamento del sistema nell intorno dello stato di eqilibrio è approssimabile con il sistema lineariato: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D C B A δ δ δ δ δ δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) δ doe: g D g C f B f A,,,,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g f,,

18 Stabilità degli eqilibri Si consideri dnqe la matrice A del sistema lineariato nell intorno dello stato di eqilibrio: A f, Si dimostrano i segenti risltati: Se la matrice A ha ttti atoalori a modlo minore di (ossia se il sistema lineariato è asintoticamente stabile) lo stato di eqilibrio è asintoticamente stabile Se la matrice A ha almeno n atoalore a modlo maggiore di lo stato di eqilibrio è instabile Se la matrice A ha atoalori a modlo gale a e non ne ha a modlo maggiore di, occorrono approssimaioni del sistema dinamico di ordine speriore rispetto al sistema lineariato. 8

19 Approccio nel dominio delle Trasformate Si consideri noamente n sistema LTI: ( ) A( ) B( ) ( ) C( ) D( ) Analogamente a qanto fatto a tempo contino, possiamo considerare na rappresentaione alternatia del sistema, ottenta introdcendo i ettori U() e Y(), rispettiamente ettori delle trasformate degli ingressi e delle scite del sistema dinamico: () eq. alle differene () trasformata antitrasformata U() eq. algebriche Y() Anche in qesto caso il legame ingresso-scita nel dominio delle trasformate è espresso da eqaioni algebriche. Per i sistemi a tempo discreto si sa la trasformata Zeta. 9

20 La trasformata Zeta Si consideri na generica fnione reale (), definita per intero. La fnione della ariabile complessa, definita dalla serie: si dice trasformata Zeta di. V ( ) ( ) In generale la serie conerge solo per alori di esterni a n cerchio (oero nel co-cerchio) centrato nell origine del piano complesso, cioè per > r >. Tttaia si assme come trasformata la fnione che, nel co-cerchio di conergena della serie, coincide con la somma della serie stessa: in qesto modo la trasformata è definita qasi onqe nel piano complesso.

21 Esempi Implso Consideriamo l implso nitario a tempo discreto (delta di Kronecer): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V ( ) ( ) ( ) δ,, imp rislta: Esponeniale Consideriamo l esponeniale a tempo discreto () a. Rislta: ( ) ( ) ( ) a a a a a a V > < per, Per a si ha lo scalino a tempo discreto: ( ) ( ) ( ) sca V

22 Proprietà della trasformata Linearità ( ) α ( ) β ( ) V ( ) αv ( ) V ( ) β Anticipi e ritardi ( ) ( ) V ( ) ( V( ) ( ) ) ( ) ( ) V ( ) V ( ) Deriaione in ( ) ( ) V ( ) Valore iniiale ( ) lim V ( ) dv d Valore finale (applicabile se i poli di V sono a modlo < o in ) ( ) lim[ ( ) V ( ) ] ( )

23 Esempi Rampa ram ( ), Poiché ram() sca(), si ha: Esponeniale [ ( ) ] Ζ[ sca( ) ] Ζ ram d d Consideriamo n segnale di trasformata: V ( ) Dai teoremi del alore iniiale e finale: lim V ( ) ( ) Se Se a < a d d a ( ) lim[ ( ) V ( ) ] lim ( ) ( ) lim[ ( ) V ( ) ] lim ( ) a ( ) coerente con il fatto che () a

24 Trasformate noteoli Utiliando le proprietà della trasformata, si pò compilare la segente tabella di trasformate noteoli: doe par() ()/, imp sca ram par ( ) V ( ) ( ) ( ) a a ( ) ( ) ( ) ( ) a a ( a) 4

25 Antitrasformata Per trasformate Zeta raionali (rapporti di polinomi), si pò tiliare per l antitrasformata il metodo di Heaiside, ossia di scomposiione in fraioni semplici. Di fatto coniene scomporre V()/, secondo il segente schema (per poli semplici): V V ( ) ( ) α α ( ) α ( ) α p α p, α p α p imp αn p α n n p n n n In alternatia si pò sare il metodo della lnga diisione, che consiste nel diidere il polinomio a nmeratore e qello a denominatore, in modo da troare i primi campioni dell antitrasformata: V ( ) ( ) ( ) N D β β β ( ) β ( ) β ( ) β 5

26 Antitrasformata (esempio) ( ) 6 5 V Lnga diisione ( ) ( ) ( ) ( ) Heaiside ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) α α α α α α V Valtando il polinomio a nmeratore in,,, si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V imp 6 6 α α α α α α coerenti 6

27 Fnione di trasferimento Si consideri il sistema LTI: ( ) A( ) B( ) ( ) C( ) D( ) Applichiamo la trasformata Zeta ad entrambi i membri delle eqaioni, spponendo lo stato iniiale nllo (()): X Y Si è ottento: ( ) AX( ) BU( ) ( ) CX( ) DU( ) X Y ( ) ( I A) BU( ) ( ) C( I A) B ( ) G( ) U( ), G( ) C( I A) B D Y [ D] U( ) La matrice a p righe e m colonne G() prende il nome di fnione di trasferimento (pm) del sistema e dà la trasformata dell scita forata dall ingresso. 7

28 Fnione di trasferimento: proprietà La fnione di trasferimento a tempo discreto ha formalmente la stessa espressione di qella a tempo contino. Pertanto gode delle stesse proprietà: è inariante rispetto a cambiamenti di ariabili di stato per sistemi SISO è il rapporto di de polinomi: ( ) G le radici del polinomio a nmeratore si chiamano eri, le radici del polinomio a denominatore poli a meno di cancellaioni, i poli coincidono con gli atoalori della matrice A N D ( ) ( ) 8

29 Fnione di trasferimento: tipo La definiione di tipo della fnione di trasferimento a tempo discreto è diersa da qella a tempo contino. Esso infatti conta il nmero di eri o poli in. Precisamente: tipo g : sono presenti g poli in tipo g : non sono presenti né eri, né poli in tipo g : sono presenti (g) eri in 9

30 Fnione di trasferimento: gadagno Consideriamo na fnione di trasferimento pria di poli o eri in (oero di tipo ). Definiamo gadagno della fnione di trasferimento il alore che assme per : µ G ( ) C ( I A) B D Per g, il gadagno della fnione di trasferimento coincide qindi con il gadagno statico del sistema, ossia con il rapporto scita/ingresso all eqilibrio. Per alori del tipo g, la noione di gadagno si generalia: µ [( ) G( ) ] g lim

31 Fnione di trasferimento: gadagno Si spponga il sistema asintoticamente stabile e lo si solleciti con n ingresso a scalino: Rislta: lim ( ) sca( ) U ( ) ( ) lim[ ( ) Y ( ) ] lim ( ) G( ) G( ) µ Pertanto il gadagno della fnione di trasferimento è il alore di regime della risposta allo scalino del sistema (come a tempo contino).

32 Sistema del primo ordine Consideriamo n sistema del primo ordine: G ( ) µ Calcoliamo la risposta allo scalino nitario: p p p p ( ) sca( ) U ( ) Y ( ) µ µ p ( ) ( µ p ), Se p < il sistema è asintoticamente stabile e la risposta conerge a µ.

33 Sistema del primo ordine ( ) ( µ p ), <p< p <p< Contrariamente ai sistemi a tempo contino, anche n sistema del primo ordine, con polo compreso tra e, pò dare logo ad na risposta allo scalino oscillante

34 Ritardo di tempo Un ritardo di tempo a tempo discreto si esprime mediante la relaione: ( ) ( h) con h intero e positio. Applicando iteratiamente la regola della trasformata per il ritardo di n passo: Fnione di trasferimento: Y h ( ) U( ) ( ) G Y U ( ) h ( ) h Contrariamente al tempo contino la fnione di trasferimento di n ritardo di tempo è na fnione raionale. È n sistema a gadagno nitario con h poli in. 4

35 Risposta in freqena In n sistema LTI asintoticamente stabile, sollecitato dall ingresso: ( ) U sin( θ φ) esarito n transitorio iniiale, l scita assme l espressione: con: ( ) Y sin( θ ψ ) La fnione complessa della ariabile reale θ definita da: Y U G e ψ φ ( ) jθ ( jθ G e ) jθ ( ), θ [, π ] G e * θ solo fino a π perché il periodo Tπ/θ minimo di na sinsoide discreta è!! ϑπ Im ϑ ϑ Re prende il nome di risposta in freqena del sistema e, come a tempo contino, si definisce per qalsiasi sistema LTI, indipendentemente dalla sa stabilità. Il so so, a tempo discreto, è in qalche misra limitato dalla difficoltà nel tracciamento dei diagrammi di Bode (non esiste n approssimaione asintotica semplice). 5