Esercizio Esercizio Determinare gli eventuali punti stazionari della funzione. f (x,y) = x 2 + xy + y 2 4x 2y ***

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1 Esercizio 161 Determinare gli eventuali punti stazionari della funzione Il versore di una qualunque retta orientata è f (x,y) = x + xy + y 4x y f = (x + y 4)i + (x + y )j n = λi + µj donde: = (x + y 4) λ + (x + y ) µ n Per definizione di punto stazionario: n, ) n = 0 ( λ,µ R, (x + y 4)λ + (x + y )µ = 0) { x + y = 4 x + y =, che è un sistema di Cramer, la cui soluzione è: (x 0,y 0 ) = (, 0) Quindi la funzione assegnata ha l unico punto stazionario P 0 (, 0). Esercizio 16 Determinare la derivata di f (x,y) = x y secondo la direzione n che forma un angolo α = π con l asse x. Il versore di n con n = λi + µj λ = cos α = 1 ( µ = cos β = cos α π ) = sinα = 1,

2 donde: Il gradiente di f n = 1 i + j f = 4xi 6yj Ad esempio nel punto P 0 (1, 0): ( ) n = xi yj = = n P 0 Esercizio 16 Determinare la derivata di f (x,y) = x xy y secondo la direzione n che forma un angolo α = π con l asse x e nel punto P 0 (1, ). Il versore di n con n = λi + µj donde: Il gradiente di f Nel punto P 0 : ( n = 1 Esercizio 164 λ = cos α = 1 ( π ) µ = cos β = cos α = sinα = n = 1 i + j f = (x y)i (x + 4y)j ) xi ( ) 1 + yj =, ( ) = 9 n P 0 Sia f C 1 (A) con A campo di R n. Preso arbitrariamente P A, il vettore f P è ortogonale in P alla superficie di livello di f.

3 Senza perdita di generalità consideriamo una funzione di due variabili f (x, y). Quindi, preso P (x,y) A: f P = f x (x,y)i + f y (x,y)j La curva di livello ha equazione f (x,y) = c, e considerando y = y (x), abbiamo la funzione composta f [x,y (x)]. La derivata totale di tale funzione rispetto a x è: da cui: f x (x,y) + f y (x,y) y (x) = 0, y (x) = f x (x,y) f y (x,y) Se (x,y) sono le coordinate di P, la (1) è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva di livello f (x,y) = c nel punto P, onde: m = f x (x,y) f y (x,y) Ma il coefficiente angolare di una retta parallela a f P è: m = f y (x,y) f x (x,y) = 1 m, donde l asserto. Osserviamo che tale risultato è intuitivamente ovvio, poiché essendo la derivata secondo la direzione n data da = ( f) n, n dove n è il versore della retta orientata n, se calcoliamo tale derivata nella direzione della tangente τ alla curva di livello, segue: = 0, () τ in quanto lungo la curva di livello la funzione è costante. Quindi dalla (): Qui τ è il versore della retta tangente. Esercizio 165 Determinare la derivata della funzione ( f) τ = 0 f τ f (x,y) = ln x + y secondo la direzione della bisettrice del I e III quadrante. Calcolare poi il valore assunto dalla derivata nel punto (1, 1). (1)

4 Un vettore parallello e concorde alla retta orientata (nel verso delle x crescenti) x y = 0 è: Il versore è: v = i + j La derivata secondo la direzione n è: n = v v = 1 (i + j) n = n f, essendo f il gradiente della funzione f: f = x i + y j Per il calcolo delle derivate parziali, scriviamo: onde: f (x,y) = 1 ln ( x + y ), Da ciò segue: x = x x + y, y = y x + y La derivata secondo la direzione n f = 1 (xi + yj) x + y Nel punto (1, 1) n = x + y (x + y ) n = 0 (1, 1) Esercizio 166 Determinare la derivata della funzione f (x,y) = x x y + xy + 1 secondo la direzione della retta congiunte i punti P (1, ), Q (4, 6), orientata nel verso da P a Q. Calcolarn poi il valore nel puntp P. 4

5 Indichiamo con u il vettore individuato dal segmento PQ: Il suo versore è: u = i + 4j n = u u = 5 i j La derivata di f nella direzione n è data dal prodotto scalare: Calcoliamo quindi il gradiente di f Le derivate parziali sono: n = f n f = x i + y j Quindi il gradiente: x = x 4xy + y, y = x (x y) La derivata secondo la direzione n: f = ( x 4xy + y ) i x (x y)j n = 1 ( x 4xy + y ), 5 che calcolata nel punto P porge: n = 1 P Esercizio 167 Determinare l angolo compreso tra i gradienti della funzione ( y f (x,y) = ln, x) nei punti P ( 1, 1 4) e Q (1, 1). 5

6 Calcoliamo innanzitutto le derivate parziali di f: x = 1 x, y = 1 y f = 1 x i + 1 y j Poniamo: L angolo α tra tali vettori è dato da: v 1 = f P = i + 4j v = f Q = i + j cos α = v 1 v v 1 v, essendo v 1 v il prodotto scalare tra i due vettori. quindi: Esercizio 168 cosα = 6 10 = 10 (File scaricato da Costruire il campo vettoriale del gradiente della funzione f (x,y) = x + y Calcoliamo innanzitutto le derivate parziali di f: x = 1, y = 1 f = i + j cioè il campo vettoriale costante (fig. 1). Questo risultato è intuitivamente ovvio, giacché la funzione assegnata è lineare, quindi il suo grafico è un piano, mentre le curve di livello sono rette parallele di equazione: y = x + c, < c < + 6

7 Figure 1: Campo vettoriale del gradiente di f (x, y) = x + y Come è noto f è ortogonale alle curve di livello, e siccome queste sono rette parallele, segue necessariamente f. Si noti che f esprime la direzione di massima crescita di una funzione. Anche questo risultato è intuitivamente ovvio, poiché lungo le curve di livello la funzione è costante, mentre in una direzione perpendicolare si ha la massima variazione. Esercizio 169 Costruire il campo vettoriale del gradiente della funzione f (x,y) = x + y Calcoliamo innanzitutto le derivate parziali di f: Tale campo è riportato in fig.. x = x, y = x f = (xi + yj) 7

8 Esercizio 170 Figure : Campo vettoriale del gradiente di f (x,y) = x + y (File scaricato da Costruire il campo vettoriale del gradiente della funzione f (x,y) = 1 x + y Calcoliamo innanzitutto le derivate parziali di f: x = x x + y, y = y x + y () Tale campo è riportato in fig.. f = x + y (xi + yj) 8

9 1 Figure : Campo vettoriale del gradiente di f (x,y) = x +y 9