MECCANICA COMPUTAZIONALE

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1 Lca Salvatori Enzo Marino MECCANICA COMPUTAZIONALE Lezione Rivisitazione dei modelli della meccanica del contino Rev. febbraio (rev. //) Capitolo : /NDIAP

2 Sommario Richiami di elastostatica e notazione di Voigt Problema nidimensionale Trave piana rigida a taglio Trave piana deformabile a taglio Problema piano di tensione Piastra di Kirchhoff Gsci Sottili (rev. //) Capitolo : /NDIAP

3 Problema elastostatico (contino 3D) Il problema elastostatico è caratterizzato dai tre grppi di eqazioni definiti in ogni pnto del contino i j Congrenza: ij + j i E ν Legame: ij ij + kkδij + ν ν Eqilibrio: ij i + b j in V Ci si aggingono le condizioni al contorno: c.c. statiche s S ijnj ti t c.c. ematiche i r i s S r (rev. //) Capitolo : 3/NDIAP

4 (rev. //) Capitolo : 4/NDIAP Notazione comptazionale γ γ γ b b b b In meccanica comptazionale si è soliti raccogliere spostamenti, deformazioni e sforzi nei vettori: 3 t t t t 3 r r r r Si noti come anche i tensori del secondo ordine di sforzi e deformazione vengano rappresentati in vettori colonna.

5 Problema in notazione comptazionale congrenza: legame: eqilibrio: E sta + b c.c. statiche: c.c. ematiche: Rsta t s St R r s S r T 3 sta R 3 3 sta 3 α α α3 α α α α3 α α ν ν ν ν ν ν ν ν ν E ν E ( + ν)( ν ) ν ν R (rev. //) Capitolo : 5/NDIAP

6 carichi esterni sta + b sforzi generalizzati b EQUILIBRIO Diagramma di Tonti LEGAME E spostamenti R CONGRUENZA deformazioni generalizzate r condizioni al contorno ematiche R t sta condizioni al contorno statiche (rev. //) Capitolo : 6/NDIAP

7 Problema nidimensionale (asta) È possibile generalizzare la notazione matriciale tilizzando la stessa scrittra per differenti problemi strttrali. Ad esempio per il caso nidimensionale della biella, i vettori (con na sola componente) sono: b [ ] q [ N ] [ ] [ ] N t r [ ] N q N e le matrici relative sono banalmente: T d sta E [ EA] d R [ ± ] R [ ± ] sta (rev. //) Capitolo : 7/NDIAP

8 (rev. //) Capitolo : 8/NDIAP Trave piana rigida a taglio A E J E y T sta d d f y y q q T M N y κ N M y q q b N T M t y ϕ r

9 Trave piana deformabile a taglio b q qy m N T M γ κ ϕ y t N T M r y ϕ qy q m d T sta d d y f y T M N EA E GAs EJ (rev. //) Capitolo : 9/NDIAP

10 Problema piano (di tensione) Per il problema piano di tensione (che verrà meglio analizzato nel cap. 4), si ha: b q q y n nyy n y yy γ y y t p n p t r n t p n y qy q p t T sta y y E ν Eh ν ν ( ν ) R α α α α y y sta αα y α αy αα y R α αy αy α (rev. //) Capitolo : /NDIAP

11 Piastra (o lastra inflessa) rigida a taglio (teoria di Kirchhoff-Love) b [ ] q z m m m y κ κ yy κ y [ ] z t t m r z t ϕ y z q z z t t n m y h T sta ν 3 Eh E ν ( ν ) ν yy y (rev. //) Capitolo : /NDIAP

12 Gsci Sottili G (²) Definizione: Si definisce gscio na regione materiale modellata s na sperficie Q avente spessore ² i ci pnti sono descritti da n sistema di coordinate crvilineo: ;» ª : G (²)! IR 3 ; con ; p 7! f (p) ;»(p)g La trattazione al contino viene svilppata interamente in coordinate crvilinee e si basa slle segenti ipotesi: ²R. Gscio Sottile: ;. Teoria Lineare: Spostamenti e deformazioni infinitesimi (I ordine); 3. Le fibre materiali normali alla sperficie media sono inestensibili; 4. Kirchhoff-Love: le fibre materiali rimangono ortogonali alla sp. media (qesta hp pò essere rimossa: teoria di Mindlin-Reissner) (rev. //) Capitolo : /NDIAP

13 Gsci Sottili: eqilibrio La teoria rigorosa condce alle segenti eqazioni di eqilibrio r n + L n» + p r n» + L n + p 3 r m q ² L m n Dove n m e q sono le caratteristiche della sollecitazione [F/L] e [FL/L]; p sono le forze esterne agenti slla sp. media (forze di massa + forze esterne); L è il tensore di Weingarten che contiene le crvatre della sperficie media: L μ k R k k k k k R k k (R R ) (rev. //) Capitolo : 3/NDIAP

14 Gsci Sottili e Ribassati: eqilibrio I I gsci sottili ribassati sono n sottogrppo dei precedenti per i qali valgono notevoli semplificazioni prché valide le segenti condizioni: z ; z ; z ;; sin cos Eqilibrio alla traslazione n ; + n ; + p n ; + n ; + p n + k n +k n + q ; + q ; + p 3 (rev. //) Capitolo : 4/NDIAP

15 Gsci Sottili e Ribassati: eqilibrio II Eqilibrio alla rotazione ( m + m d ) d m d + ( m + m d ) d,, md qd d + p3dd m, + m, q m, + m, q d Derivando qeste eqazioni, sommandole m. a m. e sando l eqilibrio alla traslazione in direzione 3, si ottiene: m + m + m + k n + k n + k n + p,,, 3 che governa il problema dell eqilibrio dei gsci ribassati. Tale eqazione è nota come eqazione di Mindlin-Reisnerr (rev. //) Capitolo : 5/NDIAP

16 Gsci Sottili e Ribassati: eqilibrio III Operatore differenziale DI EQUILIBTIO dove sta k k k n n p n p m k k k p 3 m m Termini di LASTRA p p p 3 Termini di PIASTRA Termini di accoppiamento LASTRA-PIASTRA m dovti alla crvatra (rev. //) Capitolo : 6/NDIAP b n n n m m

17 Gsci Sottili e Ribassati: deformazione I Si dimostra che il tensore delle deformazioni è: " ( ; + ; +k 3 ) con ; ; 3; con ; ; Da ci in forma estesa si ha " ; + k 3 " ; + k 3 " ( ; + ; +k 3 ) 3; 3; 3; (rev. //) Capitolo : 7/NDIAP

18 Gsci Sottili e Ribassati: deformazione II Operatore differenziale CINEMATICO: sta b deformazioni k k scorrimento k variazione di crvatra γ γ 3 deformazione distorcente γ spost. tangenziali spost. trasversali (rev. //) Capitolo : 8/NDIAP

19 (rev. //) Capitolo : 9/NDIAP Gsci Sottili e Ribassati: legame Eqazione di legame: E n n n m m m D B ν ν ν ν ν ν κ κ κ Dove D Eh ν ( ) B Eh 3 ν e

20 Energia potenziale totale Π dv bdv t da EPT T T T V V S t Il pedice indica che si tratta di n fnzionale in ci la variabile indipendente sono gli spostamenti (deformazioni e tensioni sono assnti in fnzione di qesti tramite congrenza e legame). Nella formlazione agli spostamenti del FEM è qesto il fnzionale che tilizzeremo. È possibile scrivere fnzionali analoghi dove le variabili indipendenti sono gli sforzi (metodo delle forze): energia potenziale complementare Per problemi specifici si ricorre inoltre alle formlazioni miste con l assnzione di più variabili indipendenti: potenziale di Hellinger-Reissner (spostamenti e sforzi) potenziale di Vebeke-H-Washiz (spostamenti, deformazioni e sforzi) (rev. //) Capitolo : /NDIAP