Analisi numerica e confronto tra le principali teorie per piastre e gusci meccanici

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1 POLITECNICO DI TORINO Facoltà di Ingegneria Corso di Larea in Ingegneria Aerospaiale Tesi di Larea Analisi nmerica e confronto tra le principali teorie per piastre e gsci meccanici Relatore: Prof. Erasmo Carrera Candidato: Salvatore Vitale Settembre 27

2 Ringraiamenti Desidero ringraiare innanittto il Prof. Carrera, che mi ha segito con paiena in qesti mesi, trasmettendomi ttto il so entsiasmo e la sa professionalità. Ringraio anche l Ing. Brischetto per la paiena e l aito donatomi drante la stesra di qesto lavoro di tesi. Voglio dedicare qesta tesi a mia madre, mio padre e mia sorella che mi hanno spportato e incoraggiato drante i momenti bi di qesto lngo e faticoso cammino fatto di gioie e d amaree. Graie, sena di voi nlla sarebbe stato possibile. La meta agognata è stata ragginta, ma è stato il percorso fatto a riempirmi di gioia e d orgoglio poiché in qesti anni sono crescito come ingegnere, ma sopratttto come omo. Con qesto lavoro di tesi si chide n importante capitolo della mia vita nella sperana e nella criosità che no novo si apra regalandomi altrettanta soddisfaione. I

3 Indice Ringraiamenti I Teorie per piastre e gsci mltistrato 3. Introdione Sistemi di riferimento adottati Formlaione nificata PVD (Principle of Virtal Displacement) RMVT (Reissner Mixed Variational Theorem) Descriione LW ed ESL delle variabili Presentaione dei nclei fondamentali per la formlaione nificata 8.3 Formlaione agli spostamenti Modelli ESL di primo ordine e più Fnione Zig Zag di Mrakami Modelli LW di primo ordine e più. Espansione di Legendre Formlaione mista Teorie ESL per modello RMVT Teorie LW per modello RMVT Riepilogo delle teorie considerate. Utilio degli acronimi Piastra Legge di Hooke Caso ortotropo Caso ortotropo tiliato per la formlaione mista Relaioni fra deformaioni e spostamenti Plane stress e plane strain Gscio Geometria Legge di Hooke Relaioni fra deformaioni e spostamenti Conclsioni PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci 3 2. Introdione Nclei fondamentali per piastre Assnioni generali Eqaioni costittive II

4 INDICE Relaioni geometriche Eqaioni di governo Nclei fondamentali per gsci Assnioni generali Eqaioni costittive Relaioni geometriche Eqaioni di governo RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci 4 3. Introdione Nclei fondamentali per piastre Assnioni generali Eqaioni costittive Relaioni geometriche Eqaioni di governo Nclei fondamentali per gsci Assnioni generali Eqaioni costittive Relaioni geometriche Eqaioni di governo Analisi generale del thickness locking Introdione Piastra isotropa monostrato Thickness locking Conclsioni Metodi per correggere il thickness locking Conclsioni Piastra ortotropa monostrato Thickness locking Conclsioni Metodi per correggere il thickness locking Conclsioni Conclsioni finali sl fenomeno del TL Risltati per piastre mono e mlti strato Introdione Analisi statica PVD ed RMVT Piastra isotropa monostrato Grafici Piastra ortotropa monostrato Piastra isotropa mltistrato Grafici Analisi dinamica PVD ed RMVT Piastra isotropa monostrato III

5 INDICE Assessment delle freqene fondamentali Plottaggio dei modi Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply 6 6. Introdione Analisi statica PVD ed RMVT Pannello sandwich Grafici Pannello sandwich con rigidea variabile Grafici Piastra cross-ply /9/ Grafici Piastra cross-ply /9// Grafici Analisi dinamica PVD ed RMVT Pannello sandwich mltistrato Assessment delle freqene fondamentali Plottaggio dei modi delle fondamentali Pannello sandwich con rigidea variabile Risltati per gsci mono e mlti strato Introdione Analisi statica PVD ed RMVT Gscio monostrato isotropo Grafici Gscio isotropo mltistrato Grafici Risltati per gsci cilindrici di Ren e sandwich Introdione Analisi statica PVD ed RMVT Gscio sandwich Grafici Gscio cilindrico di Ren Cilindo di Ren con fibre a Grafici Cilindro di Ren con fibre a / Grafici Cilindro di Ren con fibre a 9// Grafici IV

6 INDICE Premessa Lo scopo principale di qesto lavoro è qello di confrontare, attraverso lo stdio di n analisi statica e dinamica, ttte le principali teorie note il letteratra per piastre e gsci meccanici di materiale differente ed implementate nella nified formlation svilppata dal Prof. Carrera. Inoltre analieremo il meccanismo del thickness locking mettendo in evidena ttte le problematiche che tale problema comporta, come sia possibile correggerlo e qali sono le case che l hanno generato. Di segito riportiamo i contenti dei vari capitoli così da avere ben chiara la strada che è stata segita. Capitolo Nel primo capitolo vengono trattate le teorie rigardanti piastre e gsci nel caso meccanico, partendo dalle relaioni geometriche e fisiche per gingere alla formlaione nificata che ci permetterà di scrivere i nclei fondamentali rigardanti i modelli P V D e RMV T sia per le piastre che per i gsci. In tale capitolo inoltre sono presentate le varie teorie Layer Wise ed Eqivalent Single Layer sia per la trattaione mista, che per qella agli spostamenti. Capitolo 2 In qesto capitolo si ricaveranno i nclei fondamentali per piastre e gsci nel caso meccanico, basandosi slla formlaione agli spostamenti. Capitolo 3 Qesto capitolo sarà dedicato alla stesra dei nclei fondamentali per piastre e gsci sempre nel caso meccanico, ma stavolta tiliando la formlaione mista. Capitolo 4 In qesto importante capitolo si applicano e si verificano ttte le teorie tiliate nei precedenti capitoli applicandole ad na piastra isotropa monostrato ed ad na piastra ortotropa monostrato analiando in generale il problema del thickness locking e ttti i vari metodi per correggerlo seleionando qelli che fnionano meglio. Capitolo 5 In qesto capitolo viene esegita na dettagliata analisi statica tiliando i modelli P V D e RMV T e le varie teorie principali s piastre di tipo isotropo monostrato, ortotropo monostrato ed isotropo mltistrato. Inoltre viene svilppata n analisi dinamica slla piastra isotropa monostrato con l assessment delle freqene fondamentali e il relativo plottaggio dei modi. Capitolo 6 Nel capitolo sei viene svolta no stdio statico applicando i modelli P V D e RMV T e le varie teorie principali s vari pannelli di tipo sandwich e piastre cross ply con diverse disposiioni delle fibre. Inoltre viene svilppata n analisi dinamica si vari pannelli di tipo sandwich con l assessment delle freqene fondamentali e il relativo plottaggio delle fondamentali. Capitolo 7 In qesto capitolo vengono raccolti i risltati per gsci di tipo di monostrato isotropo e mltistrato isotropo attraverso n analisi statica applicando i modelli P V D e RMV T e le varie teorie principali.

7 INDICE Capitolo 8 In qesta seione vengono analiati attraverso n analisi statica applicando i modelli P V D e RMV T e le varie teorie principali s gsci di tipo sandwich e gsci cilindrici di Ren con diverse disposiioni delle fibre. 2

8 Capitolo Teorie per piastre e gsci mltistrato. Introdione Per strttre mltistrato s intendono piastre o gsci costititi da più strati sovrapposti, i qali in genere hanno proprietà meccaniche diverse tra loro. Le piastre sono elementi considerati bidimensionali in qanto na dimensione rislta trascrabile rispetto alle altre de, mentre i gsci sono anch essi elementi bidimensionali, ma presentano crvatre lngo le de direioni nel piano. Per stdiare tali elementi occorrono teorie che siano in grado di ridrre il problema da tridimensionale a bidimensionale; ciò pò essere fatto tramite de diversi tipi di approccio: - tipo asintotico - tipo assiomatico. Nelle teorie asintotiche si introdce n parametro indicativo dello spessore, e facendo tendere qesto a ero, si cerca di capire il grado di approssimaione della relativa teoria bidimensionale. Nelle teorie assiomatiche invece, si impone il soddisfacimento di particolari reqisiti dai qali scatriscono i relativi modelli matematici. In qesta tesi verranno tiliati modelli matematici derivanti da n approccio di tipo assiomatico, si sppone infatti l assena di delaminaioni. Ciò comporta che gli spostamenti lngo qalsiasi direione debbano essere gali all interfaccia fra no strato e qello adiacente in modo da avere la continità degli spostamenti lngo la direione. Tali spostamenti però, debbono avere la discontinità delle derivate prime lngo, poichè le tensioni trasversali σ x, σ y, e σ all interfaccia debbono essere gali per ragioni di eqilibrio fra i de strati adiacenti. Attenione però, che tali tensioni trasversali sono legate alle derivate prime degli spostamanti graie a coefficienti che dipendono dalle proprietà meccaniche di ciascn strato; poichè tali proprietà sono diverse da strato a strato, l nico modo per avere continità delle tensioni trasversali è qello di avere derivate degli spostamenti diverse da strato a strato. Ttto ciò rislta chiaro dall osservaione della figra.: Generalmente tale dimensione è lo spessore. 3

9 Teorie per piastre e gsci mltistrato Z Y layer k+ layer k X yy k+ xy k+ xx k+ y k+ k k+ x k+ yy k xy k xx k y k x k discontinos continos Figra.. Condiioni di eqilibrio all interfaccia Per qanto rigarda invece le tensioni nel piano, ossia σ xx, σ yy e σ xy, qeste possono essere diverse fra no strato e l altro (vedi ancora figra.). Qindi riepilogando, le tensioni trasversali e gli spostamenti debbono essere contini come fnione lngo, mentre non debbono essere contine le derivate prime (n esempio tipico di tali andamenti si pò ritrovare in figra.2). Tale condiione prende il nome di: reqisiti C ossia continità lngo della fnione in qestione ( sta appnto per derivata di ordine ero) (Cfr.[43]). Qindi i modelli matematici che vedremo scatriscono dal soddisfacimento di tale reqisito, il qale a sa volta proviene dal fatto di aver imposto che non ci sia delaminaione fra no strato ed il so adiacente; ecco perchè le teorie che vedremo sono teorie assiomatiche, poichè derivano dall imposiione di determinate condiioni. In qesto capitolo saranno presi in consideraione de differenti modi di procedere, sempre relativi ovviamente ad n approccio di tipo assiomatico, essi sono: PVD Principle of Virtal Displacement RMVT Reissner Mixed Variational Theorem Il ttto verrà svilppato sia per le piastre che per i gsci, ma prima di fare ttto ciò occorre soffermarsi slla descriione della nified formlation e solo dopo introdrremo le opportne relaioni geometriche e fisiche per piastre e gsci che ci condrranno alla scrittra dei nclei fondamentali. 4

10 Teorie per piastre e gsci mltistrato Figra.2. Distribione tipica delle tensioni nel piano, degli spostamenti, e delle tensioni trasversali lngo lo spessore di na lamina mltistrato... Sistemi di riferimento adottati Vediamo i sistemi di riferimento adottati sia per la piastra che per il gscio. Per la piastra il sistema di riferimento è qello di figra.3, qi si introdce na sperficie di riferimento Ω, ed n sistema di assi cartesiani (x,y,), in ci l asse rislta perpendicolare al piano individato dagli assi x e y. E chiaro che il ttto pò essere replicato per ogni singolo strato, graie all introdione di n opportno pedice k. y h k=n L k h k, k k k k x k,yk x b k= x,y a Figra.3. Geometria e sistema di riferimento per piastra mltistrato Per qanto rigarda il gscio invece, la geometria di riferimento è qella di figra.4; anche qi si definisce na sperficie di riferimento Ω, in qesto caso crva, e poi de coordinate crvilinee s tale piano che sono α e β, e la coordinata perpendicolare. Come per la piastra il ttto si pò replicare per vari strati graie all agginta di n pedice k. 5

11 Teorie per piastre e gsci mltistrato Z K=N l l K=N l - αk Ω h α, β β k h k Γ k Ω k Z k K=2 K= K+ Z k (K+)-bottom K K-top h k Ω k K-bottom (K-)-top K- Figra.4. Geometria e sistema di riferimento per gscio mltistrato.2 Formlaione nificata La formlaione nificata è stata introdotta dal Prof. Carrera per descrivere ed implementare in maniera nificata n elevato nmero di teorie e di metodi agli elementi finiti, in modo da avere come parametri liberi sia l ordine N dell espansione lngo, che il nmero N n dei nodi per l elemento finito (Cfr.[47]). In n approccio di tipo assiomatico, si possono avere de differenti modi di procedere, sempre relativi al calcolo variaionale, essi sono la formlaione agli spostamenti (PVD) e la formlaione mista (RMVT); il ttto pò essere fatto sia per le piastre che per i gsci. Le teorie si gsci e le piastre vengono ottente graie ai segenti passi: 6

12 Teorie per piastre e gsci mltistrato. Le distribioni lngo degli sfori e degli spostamenti sono svilppate graie ad n certo nmero di fnioni base che sono relative a specifiche teorie per gsci e piastre. 2. Il comportamento del materiale rislta assegnato, ad esempio la Legge di Hooke. 3. Sono date le relaioni geometriche, ad esempio si assme la relaione che lega gli sfori agli spostamenti. 4. Si tilia il teorema di Gass o opportne integraioni per parti, per risolvere le eqaioni di governo con le relative condiioni al contorno, sia per la formlaione P V D che RMV T..2. PVD (Principle of Virtal Displacement) Nella formlaione agli spostamenti viene assnta come incognita il solo vettore degli spostamenti, così per esso viene introdotta n opportna espansione lngo : in essa si ha: = F τ τ (.) = ( x, y, ), ossia le tre componenti dello spostamento del pnto P (x,y,) rispetto all opportno sistema di riferimento cartesiano, vedi per piastre e gsci le figre.3 e.4. τ = ( τx, τy, τ ), sono variabili dello spostamento lngo la sperficie di riferimento Ω del pnto P Ω (x,y,). F τ sono opportne fnioni introdotte, che variano con. L ordine dell espansione, così come la scelta delle fnioni base per costrire le fnioni F τ, sono completamente libere. Impiegando il principio dei lavori virtali si ha: (δɛ T pgσ ph + δɛ T ngσ nh )dv = ρδüdv + δl e (.2) V in essa ρ k indica la densità di massa, infatti viene moltiplicata per l acceleraione. T indica la trasposiione dei vettori e V è il volme del corpo. Il pedice p sta ad indicare le componenti degli sfori e delle deformaioni nel piano, σ p = [σ xx,σ yy,σ xy ], e ɛ p = [ɛ xx,ɛ yy,ɛ xy ]. Il pedice n indica invece le componenti degli sfori e delle deformaioni fori dal piano, σ n = [σ x,σ y,σ ], e ɛ n = [ɛ x,ɛ y,ɛ ]. Il pedice H sottolinea il fatto che gli sfori sono stati calcolati tramita la legge di Hooke, mentre il pedice G sta ad indicare che le deformaioni vengono determinate da relaioni geometriche. Infine, δl e è la variaione del lavoro virtale fatto dalle fore esterne. V 7

13 Teorie per piastre e gsci mltistrato.2.2 RMVT (Reissner Mixed Variational Theorem) Nella formlaione mista sono assnte come variabili sia lo spostamento che gli sfori normali σ n ; essi vengono espansi nella direione dello spessore: = F τ τ (.3) σ nm = F τ σ nmτ (.4) Il pedice M sta ad indicare che sono valori assnti, mentre il vettore σ nmτ = [σ xmτ,σ ymτ,σ Mτ ] rappresenta gli sfori normali assnti del pnto P Ω (x,y,) nel piano di riferimento Ω. Impiegando il teorema variaionale misto di Reissner si ottiene: (δɛ T pgσ ph + δɛ T ngσ nm + δσ T nm(ɛ ng ɛ nh ))dv = ρδüdv + δl e (.5) V.2.3 Descriione LW ed ESL delle variabili L assnione sgli spostamenti (caso relativo al metodo PVD), oppre sgli spostamenti e gli sfori trasversali (caso relativo al metodo RMVT), pò essere fatta sia sl singolo strato, che sll intero mltistrato. Nel primo caso si ha la LW (Layer Wise), nel secondo caso invece si ha la ESL (Eqivalent Single Layer). Se siamo n descriione LW, τ e σ nmτ sono variabili del singolo strato, ed esse sono diverse per ciascn strato. Invece in na descriione ESL τ e σ nmτ sono variabili dell intera piastra o gscio, ed essi sono gali per l intero mltistrato. In figra.5 sono riportati degli esempi relativi all ESL ed al LW. V Figra.5. Esempio di ESL e di LW. Casi lineari e cbici..2.4 Presentaione dei nclei fondamentali per la formlaione nificata In qesto paragrafo vedremo le relaioni geometriche, la legge di Hooke e le eqaioni di governo, relative al caso PVD e RMVT. Per ora non sarà detto nlla s come sono fatti i vettori e le matrici relative ai de casi; il ttto sarà poi ripreso in apposite seioni prima della stesra completa dei nclei fondamentali. 8

14 Teorie per piastre e gsci mltistrato Caso PVD Le relaioni geometriche che intercorrono fra deformaioni nel piano e spostamenti, e deformaioni fori dal piano e spostamenti sono: dove D n e D p sono matrici [3 3] di operatori differeniali. La legge di Hooke invece assme la forma segente: ɛ k pg = D p k (.6) ɛ k ng = D n k (.7) σ k ph = C k pp ɛ k pg + C k pn ɛ k ng (.8) σ k nh = C k np ɛ k pg + C k nn ɛ k ng (.9) dove C K pp, C K pn, C K np, C K nn, sono matrici [3 3] riferite al sistema di riferimento strttra, ossia agli assi problema. Avendo a disposiione qeste relaioni, ora si ottiene l eqaione di governo relativa ad ogni singolo strato: δ k τ : O d S s + O d Düs = f (.) Il pedice τ indica variaioni virtali delle variabili spostamento, mentre s indica valori finiti degli spostamenti. f indica il vettore di carico, mentre O d S e O d D sono matrici [3 3] che rappresentano rispettivamenta i contribti statici e qelli dinamici; esse comprendono gli indici τ, s, e k (nmero strati), e per ogni τ, s, e k, tali matrici hanno 9 termini. Per ottenere le eqaioni e le matrici finali occorre costrire n opportno loop s qesti 3 indici. Caso RMVT In qesto caso ho come variabili, non solo gli spostamenti, ma anche gli sfori trasversali, qindi la legge di Hooke richiesta è diversa, poichè deve essere presentata in na forma mista: σ k ph = C k pp ɛ k pg + C k pn σ k nm (.) ɛ k nh = C k np ɛ k pg + C k nn σ k nm (.2) In qesto caso le eqaioni di governo sono rappresentate da n sistema di de eqaioni per ogni strato, qesto perchè nel caso RMVT le incognite sono sia lo spostamento che gli sfori trasversali. δ k τ : O s + O σ σ ns + O d Düs = f (.3) δσ k nτ : O σ s + O σσ σ ns = f σ (.4) 9

15 Teorie per piastre e gsci mltistrato Osservaioni I nclei fondamentali scritti nelle eqaioni. e.3, sono n estensione delle matrici iniiali [3 3] della legge di Hooke. Ciò viene fatto graie ad n integraione lngo la direione dello spessore delle fnioni F τ e F s per ogni valore di τ e s, segita da n integraione in che sposta le fnioni da n generico pnto P (x,y,) del dominio della piastra o gscio, alla sperficie di riferimento P Ω (x,y). La dimensione finale della matrice originale [3 3] dipende dall ordine di espansione (N) sato per le variabili spostamento, e spostamento più sfori nel caso RMV T (Cfr.[49])..3 Formlaione agli spostamenti In qesta seione presenteremo i modelli per piastre e gsci mltistrato basati slla formlaione PVD, ossia avente come variabili solo gli spostamenti. Il ttto sarà descritto in modo tale da non fare differene fra la geometria della piastra (coordinate x, y e ) e la geometria del gscio (coordinate α, β e ). Le teoria più semplice basata slla formlaione agli spostamenti è la CLT (Classical Lamination Theory) la qale si basa slle ipotesi di Kirchhoff. Tale teoria enncia che: - spessore rimane costante qando la piastra s inflette, - la sa seione si conserva perpendicolare all asse deformato, - resta piana. Tali ipotesi assiomatiche si trasformano in relaioni; infatti l ipotesi di spessore costante si tradce in ɛ =, mentre l ipotesi che la seione resta perpendicolare si tradce in scorrimento al taglio nllo e qindi γ x = γ y =. Qest ltima ipotesi mi permette di scrivere le rotaioni attorno a x e y come derivate rispetto ad x ed y dello spostamento lngo. Invece l ipotesi spessore costante mi porta a dire che lo spostamento lngo non cambia e resta sempre qello riferito alla sperficie di riferimento Ω. Il ttto in eqaioni si tradce nel segente modello degli spostamenti: x (x,y,) = x (x,y),x (x,y) y (x,y,) = y (x,y),y (x,y) (.5) (x,y,) = (x,y) Un modello più accrato di qesto è qello che si rifà alle assnioni di Reissner-Mindlin, in qesto caso si rimove l ipotesi di trascrare la deformabilità al taglio e qindi le rotaioni non sono più sostitibili con le derivate dello spostamento lngo rispetto ad x e y; qesta teoria prende il nome di FSDT (First order Shear Deformation Theory). Anche ora l ipotesi ɛ = permane e qindi lo spostamento lngo resta costante con. Ecco qindi il modello agli spostamenti in qesto caso: x (x,y,) = x (x,y) + φ x (x,y) y (x,y,) = y (x,y) + φ y (x,y) (.6) (x,y,) = (x,y)

16 Teorie per piastre e gsci mltistrato Da qeste scatriscono poi teorie di ordine speriore che sono le HSDT (High Order Shear Deformation Theories), nelle qali si amenta l ordine di espansione dei termini in relativi però solo alle componenti di spostamento nel piano; ciò perchè permane ancora l ipotesi di ɛ =. Se invece rimoviamo pre tale ipotesi ed estendiamo lo svilppo in anche per lo spostamento, ecco allora le teorie di ordine speriore vere e proprie che chiameremo HOT (High Order Theories). Nel segito ci occperemo proprio di tali teorie, iniiando da qelle relative al modello PVD nella visione ESL (Eqivalent Single Layer), continando con le LW (Layer Wise), per poi vedere nella prossima seione qelle relative al modello RMVT sia nella visione ESL che LW..3. Modelli ESL di primo ordine e più In na teoria Eqivalent Single Layer le variabili in qestione non cambiano da strato a strato e qindi non c è bisogno del pedice k, ed inoltre nel caso PVD tali variabili sono solo gli spostamenti. In n modello al primo ordine posso qindi scrivere: x (x,y,) = x (x,y) + x (x,y) y (x,y,) = y (x,y) + y (x,y) (.7) (x,y,) = (x,y) + (x,y) Il pedice indica valori riferiti alla sperficie Ω; tale modello acqista l acronimo ED, dove E sta per ESL, D sta per formlaione agli spostamenti, e sta per primo ordine di espansione in. Il ttto si pò scrivere in forma compatta se pongo: ed inoltre τ =,; F = ; F = (.8) = ( x, y, ); = ( x, y, ); = ( x, y, ) (.9) Così in forma compatta il modello agli spostamenti del primo ordine diventa: = F + F = F τ τ ; con τ =, (.2) Si pò osservare che se dalla ED elimino in il termine lineare, ottengo la EDd, coincidente con la F SDT, poichè con tale operaione ripristino l ipotesi di ɛ =. A partire dalla ED, amentando l ordine di espansione in, si ottengono le EDN, ad esempio la ED2 se mi arresto al secondo ordine come svilppo in, la ED3 se svilppo fino al tero ordine in, e così via. I modelli di ordine speriore compaiono allora nella segente forma: x (x,y,) = x (x,y) + x (x,y) + 2 x2 (x,y) N xn (x,y) y (x,y,) = y (x,y) + y (x,y) + 2 y2 (x,y) N yn (x,y) (.2) (x,y,) = (x,y) + (x,y) (x,y) N N (x,y)

17 Teorie per piastre e gsci mltistrato Anche ora il ttto si pò scrivere nella forma compatta: = F + F F N N = F τ τ ; con τ =,,2,...,N (.22) N è l ordine di espansione e le F τ valgono: F =, F =, F 2 = 2,..., F N = N (.23) Qindi, riepilogando, ttte qeste teorie dal primo ordine fino agli ordini speriori si scrivono con gli acronimi: ED, ED2, ED3,..., EDN..3.2 Fnione Zig Zag di Mrakami La fnione di Mrakami ci permette di introdrre l effetto ig-ag rimanendo comnqe nell ambito della Eqivalent Single Layer, sena bisogno di passare alle teorie di tipo Layer Wise (Cfr.[5]). Così ad esempio si pò avere la FSDT con in più la fnione ig-ag: x (x,y,) = x (x,y) + x (x,y) + ( ) k ζ k xz y (x,y,) = y (x,y) + y (x,y) + ( ) k ζ k yz (.24) (x,y,) = (x,y) Il pedice Z indica che è stata introdotta la fnione di Mrakami, il ci significato rislta chiaro dall osservaione della figra.6. Si ha na coordinata adimensionale che vale ζ k = 2 k /h k ed inoltre l esponente k cambia di segno in ogni strato. Il ttto è qindi n artificio per ottenere la discontinità della derivata prima dello spostamento, cosa che le teorie ESL non permettono di fare, ma che invece rislta importante se si vole avere continità degli sfori trasversali lngo i vari strati. Ora il ttto si pò estendere al caso Figra.6. Fnione di Mrakami per caso lineare e cbico. della ED, che modificata con l agginta della fnione di Mrakami per i motivi sopra esposti diventa na EDZ dove Z sta per ig-ag fnction. x (x,y,) = x (x,y) + x (x,y) + ( ) k ζ k xz y (x,y,) = y (x,y) + y (x,y) + ( ) k ζ k yz (.25) (x,y,) = (x,y) + (x,y) + ( ) k ζ k Z 2

18 Teorie per piastre e gsci mltistrato poi si intodcono le segenti notaioni: e τ =,,2; F = ; F = ; F 2 = F Z = ( ) k ζ k (.26) = ( x, y, ); = ( x, y, ); = ( x, y, ); Z = ( xz, yz, Z ) (.27) in tal modo ecco la forma compatta: = + ( ) k ζ k Z + ; con τ =,,Z (.28) Rislta chiaro che il ttto si pò estendere anche a modelli di ordine speriore così da avere EDZ2, EDZ3,..., EDZN: x (x,y,) = x + x + 2 x N xn (x,y) + ( ) k ζ k xz y (x,y,) = y + y + 2 y N yn (x,y) + ( ) k ζ k yz (.29) (x,y,) = N N (x,y) + ( ) k ζ k Z Ttto ciò in forma compatta si scriva come: = + ( ) k ζ k Z + r r = F τ τ ; con τ =,,2,...,N (.3) dova N è l ordine di espansione (Cfr.[56]), e qindi: F = ; F = ; F 2 = 2 ;...; F N = N ; F N = F Z = ( ) k ζ k (.3).3.3 Modelli LW di primo ordine e più. Espansione di Legendre Rimanendo sempre nell ambito della formlaione agli spostamenti, si pò ora descrivere la teoria Layer Wise dove la variabile rislta diversa per ogni singolo strato, comportando così la necessità di imporre le condiioni di compatibilità ad ogni interfaccia. Se siamo n ordine di espansione in pari ad si perviene alla LD; qi il modello degli spostamenti è il segente: k x(x,y,) = k x(x,y) + k x(x,y) k y(x,y,) = k y(x,y) + k y(x,y) (.32) k (x,y,) = k (x,y) + k (x,y) l apice k è relativo a ciascn strato, e qesta è la sostaniale differena rispetto al modello ED, in ci invece la variabile spostamento è relativa all intero mltistrato. Per avere le condiioni di compatibilità ad ogni interfaccia si potrebbero tiliare i polinomi di Lagrange; ad essi si preferisce però, l tilio dei polinomi di Legendre. Viene adottata la segente espansione: k x = F t k xt + F b k xb k y = F t k yt + F b k yb (.33) k = F t k t + F b k b 3

19 Teorie per piastre e gsci mltistrato i pedici t e b indicano i valori relativi rispettivamente alla parte speriore (top) ed inferiore (bottom) della sperficie dello strato (layer) in qestione. Le fnioni F τ (ζ k ) dato no strato generico k sono così definite: F τ = P + P ; F b = P P 2 2 (.34) dove P j = P j (ζ k ) è il polinomio di Legendre di ordine j definito nel dominio - ζ k. I polinomi di Legendre sono così fatti: P =, P = ζ k, P 2 = 3ζ2 k, P 3 = 5ζ3 k 2 2 3ζ k 2, P 4 = 35ζ4 k 8 5ζ2 k Graie alla scelta di qesto tipo di polinomi le fnioni prima definite hanno la segente proprietà: ζ k = { : Ft = ; F b = ; F r = : F t = ; F b = ; F r =, Così non ho bisogno di lteriori eqaioni per imporre le condiioni C formlaione nificata rislta essere: (.35) (Cfr.[47]). La k = F t k t + F b k b = F τ k τ, con τ = t,b (.36) Qesta teoria è nota con l acronimo LD dove L sta per Layer Wise, D per formlaione agli spostamenti (Displacement), ed sta per primo ordine di espansione. Le teorie Layer Wise di ordine speriore sono così fatte: dove k x = F t k xt + F b k xb + F 2 k x F N k xn k y = F t k yt + F b k yb + F 2 k y F N k yn (.37) k = F t k t + F b k b + F 2 k F N k N Così la formlaione nificata rislta essere: F r = P r P r 2, con r = 2,3,...,N (.38) k = F t k t + F b k b + F r k r = F τ k τ con τ = t,b, r = 2,3,..,N (.39) Si hanno così gli acronimi LD2, LD3, LD4,..., LDN, in fnione dell ordine di espansione..4 Formlaione mista Nella formlaione mista si hanno come variabili sia gli spostamenti, che gli sfori normali σ n. Per qanto rigarda le σ n, qeste vengono viste per ogni singolo strato in modo da poter imporre la loro continità; qindi per le σ n so na teoria Layer Wise. Nel modello RMVT gli sfori normali sono trattati sempre con la LW, allora la differena 4

20 Teorie per piastre e gsci mltistrato risiede nel come vengono trattati gli spostamenti, cioè si ha n modello RMV T con teoria Layer Wise se gli spostamenti sono visti nella visione LW, invece si ha modello RMV T con teoria Eqivalent Single Layer se gli spostamenti sono visti nella visione ESL (Cfr.[45]). Prima di vedere la descriione ESL e LW per la formlaione mista, soffermiamoci slla formlaione nificata rigardante gli sfori normali. Partiamo dal caso lineare, ed siamo al solito, così come avevamo già fatto per gli spostamenti, n espansione di Legendre: ed in forma compatta si ha: σ k x = F t σ k tx + F b σ k xb σ k y = F t σ k ty + F b σ k yb (.4) σ k = F t σ k t + F b σ k b σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb = F τ σ k nτ, con τ = t,b (.4) Il ttto si pò replicare anche per casi di ordine speriore, così da avere: ed in forma compatta: σ k x = F t σ k tx + F b σ k xb + F 2 σ k x F N σ k xn σ k y = F t σ k ty + F b σ k yb + F 2 σ k y F N σ k yn (.42) σ k = F t σ k t + F b σ k b + F 2 σ k F N σ k N σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ con τ = t,b, r = 2,3,..,N (.43) Possiamo così ora vedere le teorie ESL e LW per il modello RMVT..4. Teorie ESL per modello RMVT Nel caso di Eqivalent Single Layer gli sfori normali sono visti sempre come al paragrafo precedente (cioè con na teoria Layer Wise), mentre gli spostamenti sono visti con la teoria Eqivalent Single Layer. Vediamo al primo ordine direttamente la forma compatta: = F + F = F τ τ con τ =, σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb = F τ σ k nτ con τ = t,b (.44) tale teoria è denominata con l acronimo EMni dove E sta per Eqivalent Single Layer, M sta per Formlaione Mista, indica il primo ordine di espansione, ed ni sta ad indicare che la continità interlaminare non è stata ancora imposta. Tale forma compatta estendiamola ora al caso degli svilppi di ordine speriore: = F + F + F r r = F τ τ con τ =,,...,N σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ con τ = t,b,2,...,n (.45) 5

21 Teorie per piastre e gsci mltistrato si hanno così gli acronimi EM2ni, EM3ni,..., EMNni, dove la continità interlaminare contina a non essere imposta. Se voglio imporre la continità interlaminare, dico che: in più slla sperfici esterne si ha: σ k nt = σ k+ nb, con k =,N l (.46) σ nb = σ nb, σ N l nt = σ nt (.47) imponendo tali condiioni i modelli risltanti hanno acronimi EM C, EM C2,..., EM CN, dove C sta ad indicare appnto la continità interlaminare. In tal caso siccome lo spostamento è strtttato con la teoria ESL, per esso posso anche introdrre la Fnione Zig-Zag di Mrakami, ricordando che ho appena imposto le condiioni di continità interlaminare, al primo ordine si ha che: = F + F + ( ) k ζ k Z = F τ τ con τ =, σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb = F τ σ k nτ con τ = t,b (.48) in qesto caso l acronimo tiliato è EM ZC poichè è na Eqivalent Single Layer con formlaione mista, in ci Z sta per Zig-Zag Fnction, e C indica la continità interlaminare. Se prosegiamo con l ordine di espansione ho le EMZCN; in forma compatta si scrive: = F + F + ( ) k ζ k Z + F r r = F τ τ con τ =,,...,N σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ con τ = t,b,2,...,n (.49).4.2 Teorie LW per modello RMVT In qesto caso si ha na descriione LW completa in qanto sia gli spostamenti che gli sfori trasversali sano la teoria Layer Wise. Al primo ordine, qindi nel caso lineare si ha: k = F t k t + F b k b = F τ k τ con τ = t,b σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb = F τ σ k nτ con τ = t,b (.5) mentre per ordini speriori: k = F t k t + F b k b + F r k r = F τ k τ con τ = t,b,2,...,n σ k n = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ con τ = t,b,2,...,n (.5) In qesti modelli gli acronimi tiliati sono: LM, LM2,..., LMN (Cfr.[44]). 6

22 Teorie per piastre e gsci mltistrato.5 Riepilogo delle teorie considerate. Utilio degli acronimi. Gli acronimi vengono tiliati per descrivere in modo completo e semplice le teorie bidimensionali che stanno alla base dei modelli presentati nei precedenti paragrafi. Infatti n modello pò tiliare il calcolo variaionale di tipo PVD o RMVT, la descriione delle variabili in gioco pò essere di tipo LW o ESL, si possono scegliere ordini di espansione diversi, si pò considerare o meno gli effetti della σ e della ɛ, e così via. Un completo riepilogo si ha in figra.7, in ci si spiega pre come tali acronimi vengono costriti. La prima lettera pò essere na L se le variabili sono descritte con la teoria Figra.7. Significato e costrione degli acronimi Layer Wise, o na E se si sa l Eqivalent Single Layer. Qindi sege na lettera D se si è impiegata na formlaione agli spostamenti basata sl principio dei lavori virtali, o na M se si tilia n formlaione mista basata sl calcolo variaionale di Reissner-Mindlin. Dopo qeste de lettere possono segire na Z se si tiene conto dell effetto Zig-Zag, e pre na C se si è prevista la continità interlaminare. Infine si ha n nmero che indica l ordine di espansione in. Si pò fare n riepilogo per vedere nei vari modelli come si possono combinare le varie teorie bidimensionali. PVD ESL: visto che l nica variabile è lo spostamento non vedrò mai n EDCN poichè la continità interlaminare sgli sfori normali non la posso imporre dato che qest ltimi non sono delle variabili. Si hanno qindi modelli EDN e modelli EDNd se tolgo l espansione in per qanto rigarda la, e modelli EDZN se introdco per gli spostamenti la fnione Zig-Zag. LW : i modelli che si hanno sono gli LDN, non posso avere la Z poichè non ho bisogno della Zig-ag fnction visto che già ogni strato è trattato singolarmente, e non ho la C poichè in qanto formlaione PVD gli sfori trasversali non sono delle variabili. 7

23 Teorie per piastre e gsci mltistrato RMVT ESL: in qesto caso le variabili sono sia gli spostamenti che gli sfori trasversali, ho così le EMN, e le EMCN poichè in qesto caso visto che si tilia n modello RMVT, gli sfori trasversali sono delle variabili e qindi si pò imporre la continità interlaminare, in qesto caso visto che si è nell ambito dell Eqivalent Single Layer si hanno pre le EM ZCN in qanto posso introdrre la Zig-Zag fnction visto che lo spostamento è considerato nico per l intero mltistrato. LW : i modelli che si hanno sono gli LMNin qando non ho continità interlaminare sgli sfori trasversali, e gli LMN qando ho continità interlaminare. Non ho la Z poichè le variabili in gioco sono già riferite ad ogni singolo strato..6 Piastra.6. Legge di Hooke Caso Isotropo Nel caso isotropo il materiale presenta infiniti piani di simmetria, ciò comporta che il nmero di coefficienti indipendenti sati per esprimere la legge di Hooke sono soltanto de. Al solito focaliiamo la nostra attenione sl generico strato k: σxx k C k C2 k C3 k ɛ k xx σyy k C2 k C22 k C k 23 ɛ k yy σ xy k C k 66 ɛ k xy σx k = C55 k ɛ k (.52) x σy k C44 k ɛ k y C3 k C23 k C33 k σ k i vari coefficienti della matrice possono essere espressi in fnione di de soli coefficienti indipendenti: C k = C k 22 = C k 33 = λ k + 2 µ k C k 2 = C k 3 = C k 23 = λ k C k 44 = C k 55 = C k 66 = µ k (.53) ɛ k dove: µ k G k = Ek 2 (+υ k ) λ k = υ k E k (+υ k )( 2υ k ) (.54) in ci µ k e λ k sono i coefficienti di Lamè, E k indica il modlo di Yong, G k è il modlo di elasticità trasversale, e υ k il coefficiente di Poisson. 8

24 Teorie per piastre e gsci mltistrato.6.2 Caso ortotropo Nel caso di materiale ortotropo si hanno tre soli piani di simmetria. Indichiamo con,2,3 gli assi che individano le coordinate nel sistema di riferimento materiale, se si tilia tale sistema di riferimento la legge di Hooke è pittosto semplice e non differisce come strttra da qella del caso isotropo, così si ha: σ k C k C2 k C3 k ɛ k σ22 k C2 k C22 k C k 23 ɛ k 22 σ 2 k C k 66 ɛ k 2 σ3 k = C55 k ɛ k (.55) 3 σ23 k C44 k ɛ k 23 C3 k C23 k C33 k ɛ k 33 σ k 33 la matrice ha la stessa strttra di qella del caso del materiale isotropo, ma ovviamente il significato dei vari coefficienti è del ttto diverso: C k = E k C k 22 = E k 2 υ23 k υk 32 ; C k 2 = E k υ2 k +υk 3 υk 23 = E k υ k 2 k +υk 32 υk 3 2 k υ3 k υk 3 ; C k k 3 = E k υ3 k +υk 2 υk 32 = E k υ k 3 k +υk 2 υk 23 3 k C k 33 = E k 3 υ2 k υk 2 ; C k k 23 = E2 k υ32 k +υk 2 υk 3 = E k υ k 23 k +υk 2 υk 3 3 k (.56) C k 44 = G k 23; C k 55 = G k 3; C k 66 = G k 2 k = υ k 2υ k 2 υ k 23υ k 32 υ k 3υ k 3 2υ k 2υ k 32υ k 3 dove: E k, E2 k, E3 k sono i modli di Yong nelle tre direioni degli assi materiali υij k rappresentano i coefficienti di Poisson G k 23, G k 3, G k 2 sono i modli di elasticità trasversale. Fra coefficienti di Poisson e modli di Yong vale la segente relaione: υ k ij E k i = υk ji (i,j =,2,3) (.57) Ej k Se però non mi riferisco più agli assi materiali ma facciamo riferimento, come nella pratica accade spesso, ad n sistema di riferimento della strttra (anche detto assi problema), la strttra della matrice nella legge di Hooke cambia, così come il significato dei coefficienti. Indichiamo con pedice m gli sfori e gli spostamenti nel sistema assi materiali, e sena alcn pedice gli sfori e gli spostamenti nel sistema strttra, così si ha: σ k m = [ σ k σ k 22 σ k 2 σ k 3 σ k 23 σ k 33 ] T (.58) 9

25 Teorie per piastre e gsci mltistrato ɛ k m = [ ɛ k ɛ k 22 ɛ k 2 ɛ k 3 ɛ k 23 ɛ k 33 ] T (.59) σ k = [ σ k xx σ k yy σ k xy σ k x σ k y σ k ] T (.6) ɛ k = [ ɛ k xx ɛ k yy ɛ k xy ɛ k x ɛ k y ɛ k ] T (.6) le relaioni che intercorrono fra le grandee espresse nel sistema di riferimento strttra e qello materiale sono: σ k = T k σ k m (.62) ɛ k m = T kt ɛ k (.63) la matrice che lega i de sistemi di riferimento è qella che contiene i coseni direttori della rotaione che si è effettata, per arrivare ad essa osserviamo qindi la figra.8, tale matrice T contenta nelle relaioni.62 e.63 ha la segente forma: Figra.8. Coordinate problema o strttra e coordinate materiale T k = cos 2 θ sin 2 θ sin 2θ sin 2 θ cos 2 θ sin 2θ sin θ cos θ sin θ cos θ cos 2 θ sin 2 θ cos θ sin θ sin θ cos θ k (.64) 2

26 Teorie per piastre e gsci mltistrato La legge di Hooke per il caso di assi materiali si pò scrivere in forma compatta: σ k m = C k ɛ k m (.65) sostitendo così la.63 nella.65, tenendo presente la.62, si ottiene in forma compatta la legge di Hooke per il caso del sistema di riferimento strttra: σ k = T k C k T kt ɛ k (.66) in essa la matrice di elasticità vale: C k = T k C k T kt = C k C 2 k C 2 k C 22 k C 6 k C 26 k C 6 k Ck 3 C 26 k Ck 23 C 66 k Ck 36 Ck 55 Ck 45 Ck 45 Ck 44 C 3 k C 23 k C k 36 Ck 33 (.67) così la legge di Hooke diviene: σ k = C k ɛ k (.68).6.3 Caso ortotropo tiliato per la formlaione mista Inanittto introdciamo na sddivisione della relaione.68 in de contribti, qelli sl piano e qelli fori dal piano, ossia normali. Ttto ciò sarà estremamente tile qando si applicheranno il principio dei lavori virtali e l eqaione mista di Reissner. Splittiamo qindi gli sfori e le deformaioni in componenti nel piano e componenti normali: σ k p = [ σ k xx σ k yy σ k xy ] T ; σ k n = [ σ k x σ k y σ k ] T (.69) ɛ k p = [ ] ɛ k xx ɛ k yy ɛ k T xy ; ɛ k n = [ ] ɛ k x ɛ k y ɛ k T (.7) in tal modo la matrice di elasticità viene sddivisa in qattro parti: C k C 2 k C 6 k Ck 3 C k pp = C 2 k C 22 k C 26 k ; C k pn = Ck 23 Ck 36 C k 6 C k 26 C k 66 (.7) C k np = C k 3 C k 23 C k 36 ; C k nn = C 55 k C 45 k C 45 k C 44 k Ck 33 (.72) 2

27 Teorie per piastre e gsci mltistrato così la legge di Hooke per gli assi problema si pò riscrivere come: σk p σ k n = C k pp C k np il ttto eqivale alle segenti de eqaioni: C k pn C k nn ɛk p ɛ k n (.73) σ k p = C k ppɛ k p + C k pnɛ k n (.74) σ k n = C k npɛ k p + C k nnɛ k n (.75) ovviamente i pedici p ed n indicano rispettivamente le componenti nel piano e fori dal piano. La legge di Hooke si pò ancora elaborare in n modo diverso che rislterà molto tile nella formlaione mista di Reissner, nel fare ciò i novi coefficienti che si otterranno saranno scritti novamente sena la tilde, ma ciò non significa che si ritorna agli assi materiali, siamo infatti ancora nel sistema di riferimento strttra, è solo na scelta per non appesantire lteriormente la notaione e distingere così i coefficienti che saranno tiliati nella formlaione agli spostamenti dai coefficienti che verranno tiliati nella formlaione mista. Così si ha dalla.75: ) σ k ɛ k n = ( Ck nn n sostitendo la.76 in.74: [ σ k p = C k pp C ( ) ] k pn Ck nn Ck np ɛ k p + C k pn Le.76 e.77 diventano pertanto: ( ) Ck nn Ck npɛ k p (.76) ( ) Ck nn σ k n (.77) σ k p = C k ppɛ k p + C k pnσ k n (.78) ɛ k n = C k npɛ k p + C k nnσ k n (.79) in esse sempre facendo riferimento al sistema strttra, i coefficienti che verranno tiliati nella formlaione mista di Reissner (sono qelli sena la tilde) sono legati a qelli che verranno tiliati nella formlaione agli spostamenti (i coefficienti con la tilde) nel segente modo: C k pp = C k pp C ( ) k pn Ck nn Ck np C k pn = C k pn ( Ck nn C k np = ( Ck nn C k nn = ( Ck nn ) ) ) Ck np (.8) 22

28 Teorie per piastre e gsci mltistrato Il ttto in forma esplicita: C k pp = C k ( C k 3) 2 C k 33 C 2 k C 3 k C C k 33 k 23 C 6 k C 3 k C C k 33 k 36 C 2 k C 3 k C C k 33 k 23 C k 22 ( C k 23) 2 C k 33 C 26 k C 23 k C C k 33 k 36 C 6 k C 3 k C C k 33 k 36 C 26 k C 23 k C C k 33 k 36 C k 66 ( C k 36) 2 C k 33 C k pn = C k np = C k nn = C 3 k C 33 k C 23 k C 33 k C 36 k C 33 k C k 3 C k 33 C k 23 C k 33 C k 44 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 C k 36 C k 33 C k 45 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 C k 45 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 Ck 55 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 C k Relaioni fra deformaioni e spostamenti Le relaioni che intercorrono fra deformaioni e spostamenti possono anch esse essere splittate in relaioni nel piano e fori dal piano, così si ha: ɛ k p = D p k (.8) ɛ k n = D n k = (D nω + D n ) k (.82) in esse k indica il vettore degli spostamenti, che è così fatto: k = k x k y k (.83) 23

29 Teorie per piastre e gsci mltistrato le matrici presenti nelle.8 e.82 sono matrici che contengono degli operatori differeniali e sono così fatte: x D p = y y x ; D n = x D nω = y ; D n =.6.5 Plane stress e plane strain x y (.84) (.85) Nel caso plane stress vengono modificate le [C] poichè le σ = 2 che vado ad imporre si trovano a sinistra dell gale e qesto comporta che si modificano le altre eqaioni, ottenendo così, delle nove [ C]. Attenione però, che se vado ad imporre σ = nella formlaione {ε} = [S]{σ} qesta volta la σ si trova a destra dell gale e qindi le [S] non si modificano, pr continando ad essere plane stress. Ttto ciò comporta che invertendo le [ C] ottengo le [S] non modificate, e qindi per poter sare le [ C] modificate devo sare na formlaione agli spostamenti del tipo {σ} = [ C]{ε}. Con σ xx σ yy σ σ y σ x σ xy = {σ} = [C]{ε} (.86) C C 2 C 3 C 2 C 22 C 23 C 3 C 23 C 33 C 44 C 55 C 66 ε xx ε yy ε ε y ε x ε xy (.87) C = C 22 = ( ν)e ( + ν)( 2ν), C 2 = ( ν)e ( + ν)( 2ν), C 23 = νe ( + ν)( 2ν), C 3 = νe ( + ν)( 2ν), C 33 = νe ( + ν)( 2ν) ( ν)e ( + ν)( 2ν) (.88) (.89) C 44 = G 23, C 55 = G 3, C 66 = G 2 (.9) 2 Imponendo σ = otteniamo le eqaioni Costittive di Kirchhoff. 24

30 Teorie per piastre e gsci mltistrato Qindi σ = C 3 ε xx + C 23 ε yy + C 33 ε = (.9) ε = C 3 C 33 ε xx C 23 C 33 ε yy (.92) Sostitendo σ xx = C ε xx + C 2 ε yy + C 3 ε (.93) σ xx = (C C2 3 C 33 )ε xx + (C 2 C 3C 23 C 33 )ε yy (.94) σ yy = C 2 ε xx + C 22 ε yy + C 23 ε (.95) σ yy = (C 2 C 3C 23 C 33 )ε xx + (C 22 C2 23 C 33 )ε yy (.96) Qindi Le [ C] modificate sono: [ C ] = C2 C22 (.97) C66 C C 2 C = C C2 3 C 33 = ε xx ε yy ε ε y ε x ε xy C 22 = C C2 23 C 33 = = E ν 2, C2 = C 2 C 3C 23 C 33 = νe ν 2 (.98) E ν 2, C66 = C 66 = G 2 (.99) {ε} = [S]{σ} (.) S S 2 S 3 S 2 S 22 S 23 S 3 S 23 S 33 S 44 S 55 S 66 σ xx σ yy σ σ y σ x σ xy Qindi nel plane stress la matrice si ridce ad na 5 5 ottenendo così (.) S = E, S 2 = ν E, S 3 = ν E (.2) 25

31 Teorie per piastre e gsci mltistrato S 22 = E, S 23 = ν E, S 33 = E (.3) S 44 = G 23, S 55 = G 3, S 66 = G 2 (.4) Qindi le [S] non si modificano, infatti [ C] = [S]. Nel caso plane strain vengono modificate le [S] poichè le ε = che vado ad imporre si trovano a sinistra dell gale e qesto comporta che si modificano le altre eqaioni, ottenendo così, delle nove [ S]. Attenione però, che se vado ad imporre ε = nella formlaione {σ} = [C]{ε} qesta volta la ε si trova a destra dell gale e qindi le [C] non si modificano, pr continando ad essere plane strain. Ttto ciò comporta che invertendo le [ S] ottengo le [C] non modificate, e qindi per poter sare le [ S] modificate devo sare na formlaione alle tensioni del tipo {ε} = [ S]{σ}. ε xx ε yy ε ε y ε x ε xy = {ε} = [S]{σ} (.5) S S 2 S 3 S 2 S 22 S 23 S 3 S 23 S 33 S 44 S 55 S 66 σ xx σ yy σ σ y σ x σ xy (.6) Con S = E, S 2 = ν E, S 3 = ν E (.7) Qindi Sostitendo S 22 = (E, S 23 = ν E, S 33 = (E (.8) S 44 = G 23, S 55 = G 3, S 66 = G 2 (.9) ε = S 3 σ xx + S 23 σ yy + S 33 σ = (.) σ = S 3 S 33 σ xx S 23 S 33 σ yy (.) ε xx = S σ xx + S 2 σ yy + S 3 σ (.2) ε xx = (S S2 3 S 33 )σ xx + (S 2 S 3S 23 S 33 )σ yy (.3) 26

32 Teorie per piastre e gsci mltistrato ε yy = S 2 σ xx + S 22 σ yy + S 23 σ (.4) ε yy = (S 2 S 3S 23 S 33 )σ xx + (S 22 S2 23 S 33 )σ yy (.5) Qindi Le [ S] modificate sono: [ S ] = S2 S22 (.6) S66 S S 2 S = S S2 3 S 33 = ν2 E, S2 = S 2 S 3S 23 S 33 = ν + ν2 E (.7) σ xx σ yy σ σ y σ x σ xy S 22 = S S2 23 S 33 = ν2 E, S66 = S 66 = G 2 (.8) = {σ} = [C]{ε} (.9) C C 2 C 3 C 2 C 22 C 23 C 3 C 23 C 33 C 44 C 55 C 66 ε xx ε yy ε ε y ε x ε xy Qindi nel plane stress la matrice si ridce ad na 5 5 ottenendo così (.2) C = C 22 = ( ν)e ( + ν)( 2ν), C 2 = ( ν)e ( + ν)( 2ν), C 23 = νe ( + ν)( 2ν), C 3 = νe ( + ν)( 2ν), C 33 = νe ( + ν)( 2ν) ( ν)e ( + ν)( 2ν) (.2) (.22) Qindi le [C] non si modificano, infatti [ S] = [C]..7 Gscio C 44 = G 23, C 55 = G 3, C 66 = G 2 (.23) Prima di introdrre la legge di Hooke e le relaioni fra deformaioni e spostamenti per qanto rigarda il gscio, conviene presentare la sa geometria e vedere come caratteriare qesta da n pnto di vista matematico. 27

33 Teorie per piastre e gsci mltistrato.7. Geometria In qesto caso la sperficie di riferimento è na sperficie crva, così saranno crvilinee pre le coordinate α k e β k riferite a tale sperficie media Ω k. La tera coordinata è qella perpendicolare k. In n sistema di coordinate crvilinee ortogonali si hanno le segenti relaioni: ds 2 k = Hα k dαk 2 + Hβ k dβk 2 + H k dk 2 dω k = Hα k Hβ k dα k dβ k (.24) in esse i coefficienti H k valgono: dv = H k α H k β H k dα k dβ k d k Hα k = A k ( + k ) Rα k Hα k = B k ( + k ) (.25) Rβ k H k = R k α e R k β sono i raggi di crvatra rispettivamente nelle direioni di α k e β k. A k e B k sono i coefficienti della prima forma fondamentale della sperficie media di riferimento, essi per gsci a crvatra costante sono di valore nitario (A k = B k = )..7.2 Legge di Hooke Nella legge di Hooke la strttra della matrice di elasticità non cambia, cambiano le simbologie per indicare gli sfori e le deformaioni visto che il sistema di riferimento è ora (α,β,) e non più (x,y,). Il ttto è sempre riferito al sistema di riferimento strttra e si fa la distinione fra caso tile per la formlaione agli spostamenti ( C), e caso tile per la formlaione mista (C). Il ttto è qindi gale concettalmente al caso della piastra, qindi limitiamoci a fare na rapida esposiione solo al fine di chiarire la nova simbologia. La legge di Hooke debitamente divisa in contribti nel piano e contribti normali, vale ancora: σ k p = C k ppɛ k p + C k pnɛ k n (.26) dove C k pp = C k np = C k C k 2 C k 6 σ k n = C k npɛ k p + C k nnɛ k n (.27) C k 2 C k 22 C k 26 C k 3 C k 23 C k 36 Ck 3 ; C k pn = Ck 23 Ck 36 C 55 k C 45 k ; C k nn = C 45 k C 44 k Ck 33 C k 6 C k 26 C k 66 (.28) (.29) 28

34 Teorie per piastre e gsci mltistrato Qesta volta però i vettori deformaioni e sfori nel piano e fori dal piano si scrivono come: σ k p = [ ] σαα k σββ k σαβ k T ; σ k n = [ ] σα k σβ k σ k T (.3) ɛ k p = [ ] ɛ k αα ɛ k ββ ɛ k T αβ ; ɛ k n = [ ] ɛ k α ɛ k β ɛ k T (.3) se invece adotto la formlaione mista tilio la segente legge di Hooke: σ k p = C k ppɛ k p + C k pnσ k n (.32) ɛ k n = C k npɛ k p + C k nnσ k n (.33) al solito le relaioni che intercorrono fra i coefficienti della legge di Hooke per formlaione agli spostamenti e per formlaione mista sono: C k pp = C k pp C ( ) k pn Ck nn Ck np C k pn = C k pn ( Ck nn C k np = ( Ck nn C k nn = ( Ck nn ) ) ) Ck np (.34).7.3 Relaioni fra deformaioni e spostamenti Nel caso di gscio le relaioni differeniali che legano le deformaioni agli spostamenti sono profondamente diverse da qelle relative alle piastra, il ttto anche a casa della nascita di termini che non sono operatori differeniali e che consideriamo nelle matrici A. I vettori rappresentanti le deformaioni li abbiamo già introdotti nel paragrafo precedente, mentra il vettore degli spostamenti vale ( k = k α, k β,k ). Così le relaioni geometriche sono: ɛ k p = D p k + A p k (.35) ɛ k n = D nω k + A n k + D n k dove D p = α H k α β H k β β H k β α H k α ; A p = H k αr k α H k β Rk β (.36) 29

35 Teorie per piastre e gsci mltistrato D nω = α H k α β H k β ; D n = ; A n = H k α R k α H k β Rk β (.37).8 Conclsioni Qanto fin qi esposto costitisce la base dei prossimi de capitoli, nei qali verranno ricavati i nclei fondamentali per piastre e gsci meccanici con le de diverse formlaioni: agli spostamenti e mista. Le relaioni geometriche e costittive ci fare riferimento sono qelle già elencate, all occorrena saranno introdotte nove notaioni al fine di chiarire il significato di alcni termini, e di fornire na trattaione più completa e chiara. 3

36 Capitolo 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci 2. Introdione In qesto capitolo verranno ricavati i nclei fondamentali per il caso meccanico, rigardante le piastre ed i gsci, il ttto facendo riferimento alla formlaione agli spostamenti. Qesta trattaione sarà qindi divisa in de seioni; nella prima verranno ricavati i nclei fondamentali per la piastra, e nell altra qelli per il gscio. In ciascna seione, prima di gingere alle eqaioni di governo, saranno brevemente riprese le eqaioni costittive e qelle geometriche, anche se esse sono state ampiamente trattate nel primo capitolo, ci bisogna fare sempre riferimento; qi n loro breve riepilogo si è reso necessario solo per ragioni di comodità operative. 2.2 Nclei fondamentali per piastre L intera trattaione verrà condotta, basandosi slla formlaione nificata introdotta dal Prof. Carrera, qesta è na formlaione vettoriale sata per le tre componenti dello spostamento e per le tre componenti degli sfori trasversali (qest ltimi tili per il modello RMVT). In tal modo si gingerà alle eqaioni di governo, dove si avranno n certo nmero di matrici [3 3] definite appnto nclei fondamentali (Cfr.[48]) Assnioni generali Visto che tilieremo la formlaione agli spostamenti (PVD), per ora rislta tile vedere solamente la formlaione nificata per qanto concerne gli spostamenti. Così si ha: = F t t + F r r + F b b = F τ τ (2.) dove τ = t,b,r e r =,2,...,N il ttto è stato ampiamente trattato nel paragrafo.3, ricordiamo qindi solo il significato dei vari simboli. 3

37 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci Il campo degli spostamenti è indicato come (x,y,) = ( x, y, ), esso è espresso come n certo nmero di variabili di spostamento τ (x,y) slla sperficie di riferimento combinate con delle fnioni F τ dipendenti dalla sola coordinata. L indice τ pò assmere i valori t, r e b dove r è pari ad no se la distribione è di tipo lineare Eqaioni costittive Il comportamento del materiale verrà descritto tramite la legge di Hooke, la qale lega gli sfori σ con le deformaioni ɛ graie alla matrice elastica C. Qesta è la matrice elastica ottenta riferendosi al sistema di riferimento strttra, essa è nella versione tile per la formlaione agli spostamenti (ricordiamo che il ttto è stato ampiamente trattato nel paragrafo.6.). Se dividiamo gli sfori e le deformaioni, in componenti nel piano (p) e componenti normali (n), si ha: σ p = [σ xx,σ yy,σ xy ] T σ n = [σ x,σ y,σ ] T (2.2) ɛ p = [ɛ xx,ɛ yy,ɛ xy ] T ɛ n = [ɛ x,ɛ y,ɛ ] T (2.3) la lettera T indica la trasposiione dei vettori. In forma compatta si ha: σ p = C pp ɛ p + C pn ɛ n σ n = C np ɛ p + C nn ɛ n (2.4) dove le varie matrici hanno la segente strttra: C C2 C6 C3 C pp = C 2 C22 C26 C pn = C23 C 6 C26 C66 C36 C 55 C45 C np = C nn = C 45 C44 C 3 C23 C36 C Relaioni geometriche Si riprendono le relaioni esistenti fra deformaioni ɛ e gli spostamenti, anche ora il ttto viene splittato in componenti nel piano (p), e componenti fori dal piano (n), per maggiori dettagli riferirsi al paragrafo.6.4. Qindi: ɛ p = D p ɛ n = D n (2.5) Le matrici D p e D n contengono gli operatori differeniali: x x D p = y D n = y y x 32

38 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci Eqaioni di governo Ricordiamo la formlaione PVD riferita però allo strato k, così si ha: (δɛ k pgt σ k ph + δɛ k ngt σ k nh )dv = ρ k δ kt ü k dv + δl k e (2.6) V se poi voglio riferirmi all intero mltistrato, ecco che compaiono le sommatorie: N L k= Ω k N L = k= Ω k A k { } δɛ k pgt σ k ph + δɛ k T ng σ k nh A k ρ k δ kt ük dω k d + δa k e V dω k d (2.7) dove k identifica lo strato e N L il nmero di strati totali del laminato. Indichiamo il lavoro virtale esterno come δa k e. Se introdciamo per n dato strato k la legge di Hooke, si ha: Ω k = Ω k [ ( ) δɛ k pgt C k ppɛ k pg + C ( )] k pnɛ k ng + δɛ k ngt C k npɛ k pg + C k nnɛ k ng dω k d A k A k ρ k δ kt ük dω k d + δa k e (2.8) Usando le relaioni geometriche viste, possiamo esprimere le deformaioni ɛ p e ɛ n in termini di spostamenti: ( [(D p δ k ) T C kppd p k + C kpnd ) n k Ω k = A k ( )] + (D n δ k ) T C k npd p k + C k nnd n k dω k d Ω k A k ρ k δ kt ük dω k d + δa k e (2.9) Introdco la 2. così da eprimere l andamento degli spostamenti lngo lo spessore. La fnione F ha i valori virtali indicati con τ e qelli reali con s: {(D p δ kτ) [ ( T F τ C kppd p + C kpnd ) n F s k s Ω k A k [ ( ) ]} + (D n δ k τ) T F τ C k npd p + C k nnd n F s k s dω k d (2.) = δ k T τ Fτ ρ k F s ü k s dω k d + δa k e Ω k A k Conviene separare la matrice degli operatori differeniali in de matrici, na contenente solo gli operatori differeniali nel piano e l altra solo qelli in : D n = D nω + D n (2.) 33

39 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci con x D nω = y D n = Bisogna qindi procedere ad na integraione per parti, che in formlaione vettoriale è così espressa: ( Dξ δ k) T k dω k = δ kt D T ξ k dω k + δ kt Iξ k dγ k (2.2) Ω k Ω k Γ k con ξ = p, nω, così si ottengono: I p = e I nω = (2.3) Applicando tale integraione per parti si scrive: { [ ( δ k T ( τ D T p F τ C k ppd p + C k pn(d nω +D n ) ) F s k s Ω k A k ( ( + (D T n D T nω)f τ C k npd p + C k nn(d nω +D n ) ) ]} F s k s dω k d { [ ( + δ k T ( τ I T p F τ C k ppd p + C k pn(d nω +D n ) ) F s k s Γ k A k ( ( + I T nωf τ C k npd p + C k nn(d nω +D n ) ) ) ]} F s k s dγ k d = δ k T τ Fτ ρ k F s ü k s dω k d + δa k e (2.4) Ω k A k Ricordando qindi la., dove in pratica la matrice O S matrice O D è qella d ineria, si ottiene: è qella delle rigidee e la δ k τ : K kτs d k s = M kτs ü k s + p k τ (2.5) mentre le condiioni al contorno possono essere scritte come: k τ = ū k τ o Π kτs d k s = Π kτs d ū k s (2.6) Dal confronto della 2.4 con la 2.5 e la 2.6, e ricordando che il vettore p k rappresenta le fore esterne, si ottiene la matrice K kτ s d che rappresenta i nclei fondamentali per la formlaione agli spostamenti (PVD): { K kτs d = D T p ( C k ppf τ F s D p + C k pnf τ F s D nω + C k pnf τ D n F s ) A k D T nω( C k npf τ F s D p + C k nnf τ F s D nω + C k nnf τ D n F s ) + D T nf τ ( C k npf s D p + C k nnf s D nω + C k nnd n F s ) } d 34 (2.7)

40 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci inoltre si pò ricavare pre la matrice dei termini di contorno: { Π kτs d = Ip ( C k ppf τ F s D p + C k pnf τ F s D nω + C k pnf τ D n F s ) A k + I nω ( C k npf τ F s D p + C k nnf τ F s D nω + C k nnf τ D n F s ) } d (2.8) e la matrice delle masse: { M kτs = ρ k F τ F s I } d (2.9) A k Non ci resta qindi, che scrivere in modo esplicito le varie componenti. Ricordiamo che le fnioni F τ e F s dipendono solo da, allora si possono introdrre i segenti integrali, i qali rislteranno estremamente tili nelle scritta esplicita dei nclei fondamentali: E τs = F τ F s d A E τs = A F τ F s d E τ s = A E τ s = F τ F s d A F τ F s d (2.2) Le matrici K kτ s d, Π kτ s d, M kτ s, hanno dimensione [3 3] ed il pedice d indica che sono state ricavate nell ambito della formlaione agli spostamenti. Dalle 2.7 e 2.8 svolgendo i prodotti, cioè eliminando le parentesi tonde, si ottengono nove addendi, ciascno di essi è na matrice [3 3], sommando qeste nove matrici [3 3], si ottiene qella delle rigidee le ci componenti sono fatte come sege, ricordiamo che i nmeri a pedice indicano la posiione dell elemento nella matrice: K kτs d = ( C k xx 2 C k 6 x y C k 66 yy )E τs + C k 55E τ s K kτs d 2 = ( C k 6 xx ( C k 2 + C k 66) x y C k 26 yy )E τs + C k 45E τs K kτs d 3 = ( C k 55 x + C k 45 y )E τ s ( C k 3 x + C k 36 y )E τs K kτs d 2 = ( C k 6 xx ( C k 2 + C k 66) x y C k 26 yy )E τs + C k 45E τ s K kτs d 22 = ( C k 66 xx 2 C k 26 x y C k 22 yy )E τs + C k 44E τs K kτs d 23 = ( C k 45 x + C k 44 y )E τ s ( C k 36 x + C k 23 y )E τs K kτs d 3 = ( C k 3 x + C k 36 y )E τs ( C k 55 x + C k 45 y )E τs K kτs d 32 = ( C k 36 x + C k 23 y )E τ s ( C k 45 x + C k 44 y )E τs K kτs d 33 = ( C k 55 xx 2 C k 45 x y C k 44 yy )E τs + C k 33E τ s analogamente per la matrice dei termini di contorno si ha: Π kτs d = ( x ( C k + C k 6) + y ( C k 6 + C k 66))E τs Π kτs d 2 = ( x ( C k 6 + C k 66) + y ( C k 2 + C k 26))E τs Π kτs d 3 = ( C k 3 + C k 36)E τs Π kτs d 2 = ( x ( C k 2 + C k 6) + y ( C k 26 + C k 66))E τs Π kτs d 22 = ( x ( C k 26 + C k 66) + y ( C k 22 + C k 26))E τs Π kτs d 23 = ( C k 23 + C k 36)E τs Π kτs d 3 = ( C k 45 + C k 55)E τs Π kτs d 32 = ( C k 44 + C k 45)E τs Π kτs d 33 = ( x ( C k 45 + C k 55) + y ( C k 44 + C k 45))E τs (2.2) (2.22) 35

41 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci 2.3 Nclei fondamentali per gsci Rimaniamo sempre nell ambito della formlaione agli spostamenti (PVD), stavolta però trattiamo elementi bidimensionali con crvatra nelle de direioni nel piano, cioè i gsci. Dal pnto di vista concettale non cambia molto, infatti le eqaioni costittive come strttra rimangono le stesse, così come l eqaione di governo da ci si parte, ciò che cambia sono ovviamente le relaioni geometriche Assnioni generali Non cambia nlla rispetto al caso della piastra, l nica variabile è infatti ancora il vettore degli spostamenti, ed esso è espresso ancora tramite la 2., cambiano ovviamente le coordinate così come illstrato nel primo capitolo Eqaioni costittive Come strttra rimangono ancora qelle del paragrafo 2.2.2, per meglio chiarire il ttto è opportno riferirsi ai paragrafi.6 e.7, ricordiamo che per il PVD le matrici sono ancora le C, poi qeste vengono elaborate diversamente per il RMVT e le chiameremo C Relaioni geometriche In segito all introdione della crvatra, la strttra degli operatori differeniali si modifica, facendo riferimento al paragrafo.7.3, e ricordando che per il gscio le coordinate del sistema di riferimento sono (α,β,), si ottiene: ɛ k p = D p k + A p k (2.23) ɛ k n = D nω k + A n k + D n k dove D p = α H k α β H k β β H k β α H k α ; A p = H k αr k α H k β Rk β (2.24) D nω = α H k α β H k β ; D n = ; A n = H k α Rk α H k β Rk β (2.25) 36

42 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci Eqaioni di governo La formlaione generale PVD riferita allo strato K non cambia: (δɛ k pgt σ k ph + δɛ k ngt σ k nh )dv = ρ k δ kt ü k dv + δl k e (2.26) V faccio comparire le sommatorie se mi riferisco all intero mltistrato: N L k= Ω k N L = k= Ω k A k { } δɛ k pgt σ k ph + δɛ k T ng σ k nh A k ρ k δ kt ük dω k d + δa k e V dω k d (2.27) il significato dei simboli è lo stesso del paragrafo 2.2.4, e visto che come strttra la legge di Hooke non cambia rispetto al caso della piastra, si ha: [ ( ) δɛ k pgt C k ppɛ k pg + C ( )] k pnɛ k ng + δɛ k ngt C k npɛ k pg + C k nnɛ k ng dω k d Ω k A k (2.28) = ρ k δ kt ük dω k d + δa k e A k Ω k Cambiano però le relaioni geometriche, vedi paragrafo 2.3.3, qindi introdcendo qest ltime nella precedente, tenendo presente la 2., e procedendo alla solita integraione per parti, si ottiene: Nl k= ( Ω k A k δ kt τ { ( F τ D T p + F τ A T p ) [ C pp (F s D p + F s A p ) + C pp (F s D nω + F s A n + F s ) ] + ( F τ D T nω + F τ A T n + F τ ) [ C np (F s D p + F s A p ) + C nn (F s D nω + F s A n + F s ) ] } s dω k + Γ k A k δ kt τ {F τ I T p [ C pp (F s D p + F s A p ) + C pp (F s D nω + F s A n + F s )] (2.29) dove +F τ I T nω[ C np (F s D p + F s A p ) + C nn (F s D nω + F s A n + F s )] } s dγ k ) = N l k= Ω k δ kt τ p k τdω p k, + N l k= Ω k δ kt τ ρ k F τ F s ü k I p = Hα k Hβ k Hβ k Hα k dal confronto della (2.29) con le segenti: Hα k e I nω = Hβ k (2.3) δ k τ : K kτs d k s = M kτs ü k s + p k τ (2.3) 37

43 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci k τ = ū k τ o Π kτs d k s = Π kτs d ū k s (2.32) si ottengono i nclei fondamentali, qindi la matrice di rigidea, qella dei termini di contorno e la matrice delle masse: K kτs d = A k { ( F τ D T p + F τ A T p ) [ C pp (F s D p + F s A p ) + C pn (F s D nω + F s A n + F s ) ] + ( F τ D T nω + F τ A T n + F τ ) [ C np (F s D p + F s A p ) + C nn ( F s D nω + F s A n + F s ) ] } H k αh k β d k Π kτs d = A k { F τ I T p [ C pp (F s D p + F s A p ) + C pp (F s D nω + F s A n + F s ) ] (2.33) +F τ I T nω[ C np (F s D p + F s A p ) + C nn (F s D nω + F s A n + F s ) ] } H k αh k β d k M kτs = A k ρ k F τ F s I H k αh k β d k in qesto caso introdcendo gli integrali che segono: ( J kτs,j kτs α,j kτs β,j kτs α,j kτs β,j kτs β α αβ ) = A k F τ F s (,H k α,h k β, Hk α H k β, Hk β,h H αh k k α k β ) d ( J kτs,j kτs α ( J kτs,j kτs α,j kτ s β,j kτ s αβ ) = A k F τ F s (,Hα,H k β k,hk αhβ k) d,j kτs β,j kτs αβ ) = A k F τ F s (,Hα,H k β k,hk αhβ k) d (2.34) ( J kτ s,j kτs αβ ) = A k F τ F s (,H k αh k β ) d e procedento all opportna espansione dei termini ricordando i valori assnti dai vari pedici: k =,2,..,N l ; τ = t,r,b, s = t,r,b, (r = 2,..,N) 38

44 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci si ottengono gli elementi delle matrici rappresentanti i nclei fondamentali. Per la matrice di rigidea si ottiene: Kd kτs = Ck 55 J kτs αβ + C R 55( J k kτs α k β J kτs β + J kτs Rα k βα ) C J K β/α kτs αα 2 C 6J k kτs αβ C 66J k α/β kτs ββ Kd kτs 2 = Ck 45 J kτs αβ + C 45( k J kτ s Rβ k α J kτs Rα k β + J kτs ) C RαR 2J k kτs k β K αβ C 6J k β/α kτs αα C 26J k α/β kτs ββ + C 66J k αβ kτs Kd kτs 3 = Ck 55 (J kτ s β α J kτs Rα k β/α α) + C 45(J k kτ s α β Rα k C k 36J kτs α β R k α ( C k J kτs β/α α + C k 6J kτs β ) R k β J kτs β ) C 3J k kτs β α ( C k 2J kτs α + C k 26J kτs α/β β) Kd kτs 2 = Ck 45 J kτs αβ + C 45( k J kτ s Rβ k α J kτs Rα k β + J kτs ) C RαR 2J k kτs k β K αβ K kτs d 22 = Ck 44 J kτs αβ + R k β K kτs d 23 = Ck 44 (J kτs α β R k β C k 36J kτs β α R k β C 6J k β/α kτs αα C 26J k α/β kτs ββ + C 66J k αβ kτs C k 44( J kτ s α = Kkτs d 2 J kτs α + J kτs Rβ k αβ ) C 22J K α/β kτs ββ C k 26J kτs ( βα + αβ ) C k 66J kτs β/α ββ J kτs β ) + C k 45(J kτ s β α R k β C 22 J kτs α/β β R k β C k 26J kτs α R k α Kd kτs 3 = ( C 55(J k kτ s β α J kτs Rα k β/α α) + C 45(J k α kτs β Rα k R k α K kτs d 32 = ( C k 44(J kτ s α β R k β R k β ( C k J kτs β/α α + C k 6J kτs β ) R k β C 22 J kτs α/β β R k β J kτs β ) + C k 45(J kτs β α R k β C k 26J kτs α R k α J kτs α/β α) C 23J k α kτs C 2J k kτs β Rα k J kτs β ) C k 3J kτs β β C k 6J kτs β/α α α C 36J k α kτs β ( C k 2J kτs α + C k 26J kτs α/β β)) = K kτs d 3 J kτs C k 2J kτs β R k α β C 36J k kτs β α C 6J k β/α kτs α) = Kd kτs 23 α/β α) C 23J k kτs α K kτs d 33 = C k 55J kτs β/α αα 2 C k 45J kτs αβ C k 44J kτs α/β ββ + C k 33J kτ s αβ + C k 6J kτs β ) + 2 R k α Rk β J kτs α C k 2 + R k β ( R k β R k α C 22J k α/β kτs + C 26J k kτ s α ( C R J k kτs α k β/α + C 6J k kτ s + C 26J k kτs α ) (2.35) β + 39

45 2 PVD: Nclei fondamentali per piastre e gsci Invece i termini della matrice sl contorno sono: Π kτs d = Ck J kτs β/α α + C k 6J kτs ( α + β ) + C k 66J kτs α/β β Π kτs d 2 = Ck 6 J kτs β/α α + C k 66J kτs α + C k 2J kτs β + C 26 J kτs α/β β Πd kτs 3 = C 6J k kτs β + C 66J k kτs α + ( )( C R J k kτs α k β/α + C 6J k kτs ) + ( )( C R 26J k kτs β k α/β + C 2J k kτs ) Π kτs d 2 = Ck 6 J kτs β/α α + C k 2J kτs α + C k 66J kτs β + C k 26J kτs α/β β Π kτs d 22 = Ck 66 J kτs β/α α + C k 26J kτs ( α + β ) + C k 22J kτs α/β β Πd kτs 23 = C 66J k kτs β + C 26J k kτs α + ( )( C R 6J k kτs α k β/α + C 2J k kτs ) + ( )( C R 22J k kτs β k α/β + C 26J k kτs ) Πd kτs 3 = Ck 55 J kτs β ( )( C R 55J k kτs α k β/α + C 45J k kτs ) + C 45J k kτs α Πd kτs 32 = Ck 45 J kτs β ( )( C R 44J k kτs β k α/β + C 45J k kτs ) + C 44J k α kτs Π kτs d 33 = Ck J kτs β/α α + C k 45J kτs ( α + β ) + C k 44J kτs α/β β (2.36) 4

46 Capitolo 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci 3. Introdione Facendo riferimento alla formlaione mista (le variabili sono gli spostamenti e gli sfori fori dal piano), in qesto capitolo verranno ricavati i nclei fondamentali per il caso meccanico, sia per la piastra che per il gscio (Cfr.[39] e [4]). Qindi il ttto sarà sddiviso in de seioni, na inerente alla piastra, e l altra inerente il gscio. Rispetto al capitolo 2 la grande differena risiede nelle eqaioni di governo in qanto in qesto caso le incognite sono oltre che il vettore degli spostamenti nelle tre direioni, anche il vettore degli sfori fori dal piano. Per qanto rigarda invece le eqaioni costittive cambia la loro strttra con l introdione dei coefficienti C a posto di qelli C, come è stato ampiamente illstrato nel paragrafo.6.. Invece le relaioni geometriche restano immtate con la solita differena fra il caso della piastra e qello del gscio. 3.2 Nclei fondamentali per piastre Così come per il Capitolo 2, si farà riferimento alla formlaione nificata, in qesto caso però sarà considerata anche l assnione sgli sfori normali, così la formlaione variaionale sarà nella forma mista e non più nella forma degli spostamenti virtali (Cfr.[52]). Ciò comporta che i nclei fondamentali non saranno solo na matrice di rigidea [3 3] ed na di anologhe dimensioni per qanto concerne le condiioni al contorno, ma ci saranno inoltre le matrici di rigidea relative agli spostamenti, agli sfori normali e all accoppiamento fra sfori normali e spostamenti, e viceversa. Le matrici delle condiioni al contorno rigarderanno invece, la prima gli spostamenti e la seconda gli sfori fori dal piano. Si iniia dalla piastra, in qanto la trattaione geometrica rislta più semplice, e così la stesra dei nclei fondamentali è meno difficoltosa rispetto al caso del gscio. 4

47 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci 3.2. Assnioni generali Visto che tilieremo la formlaione mista (RMVT), qesta volta sarà tile oltre alla formlaione nificata per qanto rigarda gli spostamenti, anche qella rigardante gli sfori normali. Per gli spostamenti si ha al solito: = F t t + F r r + F b b = F τ τ (3.) dove τ = t,b,r e r =,2,...,N invece per qanto concerne gli sfori fori dal piano si scrive: σ nm = F t σ nt + F r σ nr + F b σ nb = F τ σ nτ (3.2) dove τ = t,b,r and r =,2,...,N il pedice M indica che ora gli sfori normali sono assnti per il modello in qestione Eqaioni costittive Nella formlaione mista gli sfori normali sono assnti, e qindi essi non possono essere più espressi in fnione delle deformaioni ɛ p e ɛ n come illstrato per la legge di Hooke convenionale. Allora facendo riferimento alla seione.6., si ricava la formlaione mista delle eqaioni costittive, che esprimono gli sfori nel piano σ p e le deformaioni normali ɛ n in fnione delle deformaioni nel piano ɛ p e degli sfori normali assnti σ nm : σ pc = C pp ɛ pg + C pn σ nm ɛ nc = C np ɛ pg + C nn σ nm (3.3) dove il pedice C sta ad indicare ciò che si ricava dalle eqaioni costittive e qello G le grandee ricavate dalle relaioni geometriche. Le eqaioni 3.3 provengono dalla trasformaione della legge di Hooke convenionale. Per il caso misto le matrici di elasticità sono così ottente: C pp = C pp C pn C C nn np C np = C C nn np Relaioni geometriche C pn = C pn C nn (3.4) C nn = C nn (3.5) Siamo nel caso della piastra, qindi le relaioni geometriche sono identiche a qelle della seione 2.2.3, e qindi: ɛ p = D p ɛ n = D n (3.6) in ci le matrici degli operatori differeniali sono così fatte: x x D p = y D n = y y x 42

48 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci Eqaioni di governo Partiamo dalla formlaione RMVT riferita allo strato k: (δɛ T pgσ ph + δɛ T ngσ nm + δσ T nm(ɛ ng ɛ nh ))dv = V V ρδüdv + δl e (3.7) dove G sta ad indicare che vanno sate le relaioni geometriche, ed H la legge di Hooke (in qesto caso di formlaione mista si preferisce tiliare il pedice C che sta ad indicare le relaioni costittive in generale visto che la legge di Hooke tiliata non è qelle classica, ma qella in forma mista). Se ci riferiamo all intero mltistrato compaiono ora le sommatorie ed inoltre indichiamo il lavoro virtale esterno con δa k e: N L k= Ω k N L = k= Ω k A k { } δɛ k pgt σ k pc + δɛ k ngt σ k nm + δσ k T nm (ɛ k ng ɛ nc ) A k ρ k δ kt ük dω k d + δa k e dω k d (3.8) introdcendo le eqaioni costittive e le relaioni geometriche, si ottiene: { (D p δ k ) ( T C k ppd p k + C k pnσnm) k + (Dn δ k ) T σ k nm Ω k = A k Ω k + δσ k T ( nm Dn k C k npd p k C k nnσnm) } k dω k d A k ρ k δ kt ük dω k d + δa k e (3.9) Si splitta qindi l operatore differeniale D n, e poi si passa all integraione per parti già illstrata graie alla 2.2, così si ottiene: { [ ( ) ] δ kt τ D T p F τ C k ppd p F s k s + C k pnf s σ k ns + (D T n D T nω)f τ F s σ k ns Ω k A k [ ]} + δσ k T nτ Fτ (D nω + D n )F s k s C k npd p F s k s C k nnf s σ k ns dω k d { [ ( ) ]} (3.) + δ kt τ I T p F τ C k ppd p F s k s + CpnF k s σ k ns + I T nωf τ F s σ k ns dγ k d Γ k A k = δ k T τ ρ k F τ F s ü k s dω k d + δa k e A k Ω k Le variaioni delle variabili virtali δ k τ e δσ k τ sono indipendenti na dall altra. Così posso separare il ttto in de eqaioni distinte in modo da costrire n sistema differeniale di eqaioni di governo nella formlaione mista (RMVT). Le eqaioni di eqilibrio sono: δ k τ : δσ k nτ : K kτs s + K kτs σ σ ns =M kτs ü k s + p k τ K kτs σ k s + K kτs σσ σ k ns = (3.) 43

49 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci con condiioni al contorno k τ = ū k τ o Π kτs k s + Π kτs σ σ k ns = Π kτs ū k s + Π kτs σ σ k ns (3.2) Dal confronto della 3. e della 3.2 con la 3. si ottengono le varie strttre dei nclei fondamentali: K kτs = ( D T p C k ppf τ F s D p ) d (3.3) A k K kτs σ = (F τ D T nf s D nω F τ F s D p C k pnf τ F s ) d (3.4) A k K kτs σ = (F τ D T nf s F τ F s D nω C k npf τ F s D p ) d (3.5) A k K kτs σσ = ( C k nnf τ F s ) d (3.6) A k Π kτs = (I T p F τ C k ppd p F s ) d (3.7) A k Π kτs σ = (I T p F τ C k pnf s + I T nωf τ F s ) d (3.8) A k M kτs = (ρ k F τ F s I) d (3.9) A k Da qi si passa qindi alla formla esplicita dei vari termini tenendo sempre presente le espressioni degli integrali date dalle 2.2. Per i termini di rigidea si ottiene: K kτs = E τs (C k xx + 2C6 k x y + C66 k yy ) (C6 k xx + (C2 k + C 66 ) x y + C26 k yy ) (C 6 k xx + (C2 k + C66) k x y + C26 k yy ) (C22 k yy + 2C26 k x y + C66 k xx ) (3.2) K kτs σ = E τs (C3 k x + C36 k y )E τs E τ s (C36 k x + C23 k y )E τs (3.2) x E τs y E τs E τ s E τs x E τs E τs y E τs (3.22) (C3 k x + C36 k y )E τs (C36 k x + C23 k y )E τs E τs C55E k τs C45E k τs K kτs σσ = (3.23) K kτs σ = invece per i termini sl contorno si scrive: C45E k τs C44E k τs C33E k τs 44

50 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci Π kτs = E τs (C k + C6) k x + (C6 k + C66) k y (C6 k + C66) k x + (C2 k + C26) k y (C 6 k + C2) k x + (C26 k + C66) k y (C26 k + C66) k x + (C22 k + C26) k y Π kτs σ 3.3 Nclei fondamentali per gsci (3.24) C3 k = E τs C23 k (3.25) C36 k Rimanendo sempre nell ambito della formlaione mista (RMVT), passiamo ora ad illstrare la procedra per scrivere i nclei fondamentali per il gscio. Dal pnto di vista concettale non cambia molto, si ha però l introdione di qalche difficoltà in più dovta al fatto che i gsci rispetto alle piastre presentano crvatra lngo le de direioni nel piano Assnioni generali Per il gscio non cambia nlla rispetto al caso della piastra, l introdione della crvatra non modifica la trattaione degli spostamenti e degli sfori normali σ nm, qindi la formlaione nificata resta la stessa delle 3. e Eqaioni costittive Le eqaioni costittive sono qelle relative alla formlaione RMVT, qindi le matrici di elasticità sono le C e non le C. Rislta chiaro che la presena della crvatra non va a modificare qella che è la strttra delle eqaioni costittive che qindi risltano identiche a qelle della seione Relaioni geometriche In segito all introdione della crvatra si passa dalle coordinate (x,y,) alle coordinate crvilinee (α,β,), ttto ciò comporta la modifica della strttra delle relaioni geometriche e degli operatori differeniali contenti in esse. Facendo riferimento alla seione ricordiamo che: ɛ k p = D p k + A p k (3.26) ɛ k n = D nω k + A n k + D n k 45

51 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci dove D p = α H k α β H k β β H k β α H k α ; A p = H k α Rk α H k β Rk β (3.27) D nω = α H k α β H k β ; D n = ; A n = H k α R k α H k β Rk β (3.28) Eqaioni di governo Partiamo dalla formlaione mista già vista per il caso della piastra: (δɛ T pgσ ph + δɛ T ngσ nm + δσ T nm(ɛ ng ɛ nh ))dv = ρδüdv + δl e (3.29) V qi il significato dei vari simboli è qello già indicato nel paragrafo Si passa così dal singolo strato all intero mltistrato, in tal modo compaiono le sommatorie: N L { } δɛ k pgt σ k pc + δɛ k ngt σ k nm + δσ k T nm (ɛ k ng ɛ nc ) dω k d k= Ω k N L = k= Ω k A k A k ρ k δ kt ük dω k d + δa k e V (3.3) si introdcono qindi le assnioni fatte sgli spostamenti e sgli sfori normali, e le eqaioni costittive opportne, che sono qelle nella formlaione mista, ossia con i coefficienti C e non i C. La grande differena rispetto alle piastra sono le relaioni geometriche, introdcendo qest ltime e ricordando la formla di integraione per parti (ossia la 2.2) si arriva alla segente: Nl k= ( Ω k { δ kt τ [ ( F τ D T p + F τ A T p ) C pp (F s D p + F s A p ) k s+ ( F τ D T p + F τ A T p ) C pn F s σ k ns + ( F τ D T nω + F τ A T n + F τ )F s σ k ns ] δσ kt τ [ ( F τ F s D nω + F τ F s A n + F τ F s F τ C np (F s D p + F s A p ) ) k s F τ F s C nn σ k ns ] } dω k + (3.3) Γ k A k δ kt τ [ F τ I T p C pp (F s D p + F s A p ) k s+ F τ F s I T p C pn σ k ns + F τ F s I T nω σ k ns] dγ k ) = N l k= Ω k δ kt τ p k τdω k + N l k= Ω k δ kt τ ρ k F τ F s ü k dω k 46

52 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci ricordiamo qindi le eqaioni di eqilibrio e di compatibilità: δ k τ : δσ k nτ : K kτs K kτs σ k s + K kτs σ σ k ns = M kτs ü k s + p k τ k s + K kτs σσ σ k ns = (3.32) dove il pedice τ sta ad indicare le variaioni virtali. Le condiioni al contorno sono: geometriche s Γ g k k τ = ū k τ oppre Π kτs meccaniche s Γ m k k s + Π kτs σ σ k ns = Π kτs I nclei fondamentali si ricavano dal confronto della 3.3 con le 3.32: K kτs = A k ( F τ D T p + F τ A T p ) C k pp(f s D p + F s A p ) H k α H k β d k ū k s + Π kτs σ σ k ns (3.33) K kτs σ = A k [ ( F τ D T p + F τ A T p ) C k pnf s + F τ F s I + F τ F s A n F τ F s D T nω] H k α H k β d k K kτs σ = A k {F τ F s D nω + F τ F s A n + F τ F s I C kτs np K kτs σσ = A k F τ F s C kτs nn Hα k Hβ k d k Π kτs = A k F τ I T p C pp (F s D p + F s A p )I T p H k αh k β d k Π kτs σ = A k ( F τ F s I T p C pn + F τ F s I T nω ) H k α; H k β d k (F τ F s D p + F τ F s A p ) } Hα k Hβ k d k (3.34) Ricordiamo le espressioni degli integrali J (sono identiche al caso del gscio PVD meccanico, vedi le 2.34): ( J kτs,j kτs α,j kτs β,j kτs α,j kτs β,j kτs β α αβ ) = A k F τ F s (,H k α,h k β, Hk α H k β, Hk β,h H αh k k α k β ) d ( J kτ s,j kτ s α ( J kτs,j kτs α,j kτ s β,j kτ s αβ ) = A k F τ F s (,Hα,H k β k,hk αhβ k) d,j kτs β,j kτs αβ ) = A k F τ F s (,Hα,H k β k,hk αhβ k) d (3.35) Inoltre definiamo i segenti coefficienti: ( J kτ s,j kτs αβ ) = A k F τ F s (,H k αh k β ) d (D p,a p,d nω,a n,i p,i nω ) = H α (D α p,a α p,d α nω,a α n,i p,i nω ) + H β (D β p,a β p,d β nω,,aβ n,i β p,i β nω ) (3.36) 47

53 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci Così le matrici di rigidea e qelle delle condiioni al contorno sono: K kτs = ( D αt p + A αt p ) C pp [ J kτs (D α p + A α p ) + J kτs (D β p + A β p) ] + β α ( D β T p + A βt p ) Cpp [ J kτs α (D α p + A α p ) + J kτs (D β p + A β p) ] β K kτs σ = ( J kτs β D αt p Jα kτs D βt p + Jα kτs A βt p + Jβ kτs A αt p ) C k pn + J kτs αβ I + ( Jβ kτs A αt n + Jα kτs A β n T ) J kτs β D α nω T Jα kτs D β T nω K kτs σ = C k np ( J kτs β D α p + J kτs α D β p + J kτs α A β p + J kτs β A α p ) (3.37) + J kτs αβ K kτs σσ = Jα kτs β C kτs nn I + ( J kτs β A α n + J kτs α A β n ) + J kτs β D α nω + Jα kτs D β nω Π kτs = (J kτs β I αt p + J kτs I β T p ) Cpp ( D α p + A α p ) + (J kτs I αt p α + J kτs α β I β p T ) Cpp ( D β p + A β p) Π kτs σ = ( Jβ kτs I αt p + J kτs α I β T p ) Cpn + Jβ kτs I α T nω + J kτs α I β T nω Invece la matrice di ineria si scrive come: M kτs ij = J kτs αβ δ ij, i,j =,3 (3.38) Le forme esplicite delle eqaioni di governo per ogni strato possono essere scritte espandendo i pedici e gli apici presenti nel segente modo: k =,2,..,N l ; τ = t,r,b; s = t,r,b; (r = 2,..,N) Riportiamo come prima cosa gli elementi in forma esplicita costitenti la matrice di 48

54 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci rigidea K kτ s : K kτs = C k 66J kτs α/β ββ 2C k 6J kτs αβ C k J kτs β/α αα K kτs 2 = C k 26J kτs α/β ββ C k 2J kτs αβ C k 66J kτs βα C k 6J kτs β/α αα K kτs 3 = (C R 26J k kτs β k α/β β + C2J k kτs α ) (C R 6J k kτs α k β + CJ k β/α kτs α) K kτs 2 = C k 26J kτs α/β ββ C k 2J kτs αβ C k 66J kτs βα C k 6J kτs β/α αα = K kτs 2 K kτs 22 = C k 66J kτs β/α αα 2C k 26J kτs βα C k 22J kτs α/β ββ K kτs 23 = (C R 6J k kτs α k β/α α + C2J k kτs β ) (C R 26J k kτs β k α + C22J k α/β kτs β) K kτs 3 = ( (C R 26J k kτs β k α/β β + C2J k kτs α ) (C R 6J k kτs α k β + CJ k β/α kτs α)) = K kτs 3 K kτs 32 = ( (C R 6J k kτs α k β/α α + C2J k kτs β ) (C R 26J k kτs β k α + C22J k α/β kτs β)) = K kτs 23 K kτs 33 = Rβ k Gli elementi della matrice di rigidea K kτ s σ 2 C22J k α/β kτs + 2 C RαR 2J k kτs + C k β k R J k kτs α k 2 β/α sono: (3.39) Kσ kτs = J kτs αβ ( )J kτs Rα k β K kτs σ 2 = K kτs σ 3 = C36J k kτs β C3J k kτs K kτs σ 2 = α β α Kσ kτs 22 = J kτ s αβ ( )J kτs Rβ k α (3.4) σ 23 = C36J k kτs α C23J k α kτs K kτs K kτs σ 3 = J kτs K kτs σ 32 = Jα kτs Kσ kτs 33 = J kτs αβ + ( )C R 3J k kτs α k β + ( )C R 23J k kτs β k α β β α β β 49

55 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci Gli elementi dell altro termine misto K kτ s σ sono: Kσ kτs = J kτs αβ ( )J kτs Rα k β K kτs σ 2 = K kτs σ 3 = J kτs K kτs σ 2 = β α Kσ kτs 22 = J kτs αβ ( )J kτs Rβ k α (3.4) K kτs σ 23 = Jα kτs K kτs β σ 3 = C36J k kτs β C3J k kτs K kτs σ 32 = C23J k kτs β C36J k kτs Kσ kτs 33 = J kτs αβ ( )C R 3J k kτs α k β ( )C R 23J k kτs β k α La matrice di rigidea K kτ s σσ è composta da 9 elementi aventi ttti la medesima strttra, basta qindi fare n opportno loop si pedici i,j: K kτs σσ ij α α β β α α = Cnnij k J kτs αβ ; con i,j =,2,3 (3.42) La matrice delle condiioni al contorno Π kτ s, ha i segenti 9 elementi: Π kτs = C k J kτs β/α α + C k 6J kτs ( α + β ) + C k 66J kτs α/β β Π kτs 2 = C k 6J kτs β/α α + C k 66J kτs α + C k 2J kτs β + C k 26J kτs α/β β Π kτs 3 = ( )(C R J k kτs α k β/α + Ck 6J kτs ) + ( )(C R 26J k kτs β k α/β + Ck 2J kτs ) Π kτs 2 = C k 6J kτs β/α α + C k 2J kτs α + C k 66J kτs β + C k 26J kτs α/β β Π kτs 22 = C k 66J kτs β/α α + C k 26J kτs ( α + β ) + C k 22J kτs α/β β (3.43) Π kτs 23 = ( )(C R 6J k kτs α k β/α + Ck 2J kτs ) + ( )(C R 22J k kτs β k α/β + Ck 26J kτs ) Π kτs 3 = Π kτs 32 = Π kτs 33 = 5

56 3 RMVT: Nclei fondamentali per piastre e gsci Ed infine ecco gli elementi dell altra matrice delle condiioni al contorno Π kτ s σ : Π kτs σ = Π kτs σ 2 = Πσ kτs 3 = C3J k β kτs + C36J k α kτs Π kτs σ 2 = Π kτs σ 22 = (3.44) Πσ kτs 23 = C36J k β kτs + C23J k α kτs Π kτs σ 3 = J kτs Π kτs σ 32 = J kτs Π kτs σ 33 = β α α β 5

57 Capitolo 4 Analisi generale del thickness locking 4. Introdione Qesto capitolo sarà dedicato allo stdio preliminare del fenomeno del thickness locking s na piastra isotropa monostrato ed na piastra ortotropa monostrato nel caso meccanico. Analieremo tale meccanismo applicando in maniera completa la teoria svolta nei precedenti capitoli andando a verificare qali, tra le varie teorie note in letteratra ed implementate nella nified formlation, siano le più efficienti nel contrastarne e attenarne le problematiche che esso comporta, sopratttto, qando tilieremo e confronteremo nei capitoli sccessivi le principali teorie s vari tipi di materiali. Perciò stdieremo tale fenomeno in maniera generale incominciando dal sottoparagrafo 4.2. dove è stata svolta n analisi dinamica slla freqena ω ed n analisi statica sllo spostamento w per na piastra isotropa monostrato evideniandone il fenomeno del thickness locking. Nel relativo sottoparagrafo sono stati esposti vari metodi per correggere tale problema commentandone la loro validità. Lo stesso tipo di analisi sono state esegite nel paragrafo 4.3. per na piastra ortotropa monostrato in ci è stato fatto variare il rapporto tra i modli di Yong longitdinale e trasversale; nel sottoparagrafo sono stati introdotti e commentati, i vari metodi per correggere il meccanismo del thickness locking per na piastra ortotropa monostrato. Infine, il capitolo termina nel paragrafo 4.4 in ci sono state fatte le conclsioni generali s qanto è stato stdiato. 4.2 Piastra isotropa monostrato In qesto paragrafo viene presa in cosideraione na piastra isotropa monostrato in lega di allminio denominata 224 T 6. Le caratteristiche di tale materiale sono riportate in tabella 4.. Il carico bi-sinsoidale applicato al top della sperficie vale p (x,y) = p sin( mx a ) sin(ny b ) (4.) 52

58 4 Analisi generale del thickness locking dove p =, a,b sono le dimensioni della piastra e m,n sono le semionde imposte. S qesto tipo di piastra sono state calcolate le freqene fondamentali (le minime), opportnamente adimensionaliate, al variare del rapporto a (dove h rappresenta lo spessore h ed a la lnghea della piastra) e con n nmero di semionde m ed n imposto. I risltati ottenti sono stati riportati slle tabelle 4.3, 4.4 e 4.5 dove i valori delle freqene fondamentali sono stati ottenti attraverso l applicaione di varie teorie e slla formlaione PVD. Tali teorie sono: CLT (Classical Lamination Theory) FSDT (First Order Shear Deformation Theory) EDN (Eqivalent Single Layer) LDN (Layer Wise). Un lteriore distinione è stata fatta nella CLT poiché sono state sate le Eqaioni Costittive Classiche e le Eqaioni Costittive di Kirchhoff. I valori ottenti dello spostamento attraverso l analisi statica e opportnamente adimensionaliati si riferiscono ad n materiale con caratteristiche diverse dall Allminio 224 T 6. Per lteriori raggagli vedi tabella 4.2. Anche i valori dello spostamento sono stati ricavati al variare del rapporto a h attraverso l applicaione delle varie teorie sddette e calcolati in meeria. In figra 4. sono riportate le caratteristiche geometriche di na generica piastra meccanica monostrato. Proprietà Al 224 E [GP a] 73 ν.34 G [GP a] ρ [Kg/m 3 ] 28 h [m]. Tabella 4.. Proprietà elastiche e geometriche della piastra isotropa in allminio 224 Proprietà E [GP a] 73 ν.3 G [GP a] ρ [Kg/m 3 ] h [m]. Tabella 4.2. Proprietà elastiche e geometriche della piastra isotropa tiliata per l analisi statica. 53

59 4 Analisi generale del thickness locking Z Y X Figra 4.. Caratteristiche geometriche di na piastra meccanica monostrato 4.2. Thickness locking Dai risltati ottenti si evidenia il fenomeno chiamato thickness locking cioé i valori ottenti con le teorie EDN, sia per l analisi statica che per qella dinamica, prodcono degli errori nmerici rispetto alla CLT tiliata con le Eqaioni Costittive Classiche sopratttto all amentare del rapporto a/h. a/h CLT F SDT ED ED2 ED3 ED Tabella 4.3. Thickness locking per la piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h. I valori riportati sono relativi all applicaione delle eqaioni costittive 2 classiche. 54

60 4 Analisi generale del thickness locking a/h CLT F SDT ED ED2 ED3 ED Tabella 4.4. Thickness locking per la piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h. I valori riportati sono relativi all applicaione delle eqaioni costittive 2 di Kirchhoff. Poniamo l attenione sl fatto che i risltati ottenti con N = 2, N = 3 ed N = 4, nel caso dell applicaione delle eqaioni costittive di Kirchhoff, (vedi tabella 4.4), dimostrano che il loro impiego prodce degli errori. Qesto è gisto perché non è corretto sare le eqaioni di Kirchhoff per stdiare i casi sddetti poiché esse si basano sll ipotesi σ = e ɛ = e qindi devono essere applicate solo alle teorie classiche. Lo stesso tipo di ragionamento è applicato anche per la tabella 4.7 per l analisi statica. a/h CLT CLT 2 F SDT ED ED2 ED3 ED Tabella 4.5. Thickness locking per la piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h. L apice indica l tilio delle eqaioni Costittive Classiche mentre il 2 2 indica le eqaioni costittive di Kirchhoff. 55

61 4 Analisi generale del thickness locking a/h CLT F SDT ED ED2 ED3 ED Tabella 4.6. Thickness locking della piastra generica indicata nella tabella 4.2. Spostamento (E w = U T )h 3 p a. Analisi statica. I valori riportati sono relativi all applicaione delle eqaioni 4 costittive classiche. a/h CLT F SDT ED ED2 ED3 ED Tabella 4.7. Thickness locking della piastra generica indicata nella tabella 4.2. Spostamento (E w = U T )h 3 p a. Analisi statica. I valori riportati sono relativi all applicaione delle eqaioni 4 costittive di Kirchhoff. a/h CLT CLT 2 F SDT ED ED2 ED3 ED Tabella 4.8. Thickness locking della piastra generica indicata nella tabella 4.2. Spostamento (E w = U T )h 3 p a. Analisi statica. L apice indica l tilio delle eqaioni costittive classiche 4 mentre il 2 indica le eqaioni costittive di Kirchhoff. 56

62 4 Analisi generale del thickness locking Conclsioni Dai risltati ottenti nelle tabelle 4.5 e 4.8 si mette in lce il fenomeno del thickness locking sia per la freqena che per lo spostamento. L tilio della teoria EDN prodce degli errori si valori ricavati rispetto alla CLT con le Eqaioni Costittive Classiche nel caso di piastre sottili. Come si nota nelle tabelle, tttavia, tale fenomeno diventa del ttto trascrabile se nella teoria CLT si sano come costittive le Eqaioni Costittive di Kirchhoff. A dimostraione di ciò, e a titolo d esempio, si pùò fare riferimento alla tabella 4.9 in ci sono riportati gli errori in percentale tra le CLT con le diverse eqaioni costittive applicate e la ED4 per n analisi di tipo dinamico. a/h CLT Err.% CLT 2 Err.% ED % % % % % % % % % % Tabella 4.9. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h. 2 Apice : costittive classiche; 2: costittive di Kirchhoff. Confronto tra le CLT e la ED4. 57

63 4 Analisi generale del thickness locking Metodi per correggere il thickness locking Nel sottoparagrafo 4.2. abbiamo visto che per piastre sottili esiste il fenomeno del thickness locking qando confrontiamo le EDN con la CLT con le Costittive Classiche; tttavia se applichiamo alla CLT le Costittive di Kirchhoff tale problema diviene trascrabile. Oltre alla correione citata poc ani è possibile risolvere il fenomeno del thickness locking andando a penaliare determinati coefficienti della matrice di rigidea. Per na piastra isostropa ed ortotropa la legge di Hooke pò essere scritta come: σ xx σ yy σ σ x σ y σ xy = C C 2 C 3 C 2 C 22 C 23 C 3 C 23 C 33 C 44 C 55 C 66 ε xx ε yy ε ε x ε y ε xy (4.2) Dalla 4.2 possiamo penaliare alcni coefficienti in modo tale da correggere il fenomeno del thickness locking; essi sono: C 3, C 23, C 33, C 44, C 55. Tali penaliaioni avvengono tramite l introdione di opportni nmeri denominati γ, β e χ. Qindi i novi coefficienti sono: γ : C3 = C 3 γ, C 23 = C 23 γ (4.3) β : C 33 = C 33 β (4.4) χ : C 44 = C 44 χ, C 55 = C 55 χ (4.5) dove l apice indica i coefficienti penaliati. Nelle tabelle 4. e 4. sono state ricalcolate le freqene minime e gli spostamenti applicando qesti coefficienti penaliati alle varie teorie già citate. Nelle tabelle 4.2 e 4.3 sono state esegite delle altre correioni sia per la freqena che per lo spostamento basandosi s n differente ordine di espansione N p ed N w dove: tenendo presente che ( x, y ) = ( x, y ) + i ( xi, yi ) i =, N p (4.6) = + i i i =, N w (4.7) N p > N w (4.8) N w = N p k, k =,2,3,4 con N w >. (4.9) Nelle tabelle 4.4 e 4.5 sono state esegite n analisi dinamica e statica attraverso l tilio della teoria LDN ed LDN corretto con le relative penaliaioni dei coefficienti della matrice di rigidea. 58

64 4 Analisi generale del thickness locking γ = a/h a/h CLT CLT F SDT ED ED ED ED γ = CLT CLT F SDT ED ED ED ED γ = CLT CLT F SDT ED ED ED ED β = CLT CLT F SDT ED ED ED ED χ = CLT CLT F SDT ED ED ED ED Tabella 4.. TL corretto con le penaliaioni γ, β, χ per la piastra 224-T6. m,n =,. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h. L apice indica le eqaioni costittive classiche; il 2 indica le 2 eqaioni costittive di Kirchhoff. 59

65 4 Analisi generale del thickness locking γ = a/h a/h CLT CLT F SDT ED ED ED ED γ = CLT CLT F SDT ED ED ED ED γ = CLT CLT F SDT ED ED ED ED β = CLT CLT F SDT ED ED ED ED χ = CLT CLT F SDT ED ED ED ED Tabella 4.. TL corretto con le penaliaioni γ, β, χ per la piastra generica indicata nella (E tabella 4.2. Spostamennto w = U T )h 3 p a. L apice indica le eqaioni costittive classiche; 4 il 2 indica le eqaioni costittive di Kirchhoff. 6

66 4 Analisi generale del thickness locking a/h CLT CLT N p = 4 N w = N p = 3 N w = N p = 2 N w = N p = N w = N p = 4 N w = N p = 3 N w = N p = 2 N w = N p = N w = N p = 4 N w = N p = 3 N w = N p = 2 N w = N p = 4 N w = N p = 3 N w = N p = 4 N w = Tabella 4.2. TL corretto con l ordine di espansione N p e N w per la piastra 224-T6. EDN. Freqena ω = ω a4 ρ (E T )h. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. 2 a/h CLT CLT N p = 4 N w = N p = 3 N w = N p = 2 N w = N p = N w = N p = 4 N w = N p = 3 N w = N p = 2 N w = N p = N w = N p = 4 N w = N p = 3 N w = N p = 2 N w = N p = 4 N w = N p = 3 N w = N p = 4 N w = Tabella 4.3. TL corretto con l ordine di espansione N p e N w per la piastra generica indicata (E nella tabella 4.2. EDN. Spostamento w = U T )h 3 p a. Apice : costittive classiche; apice 2: 4 costittive di Kirchhoff. 6

67 4 Analisi generale del thickness locking a/h CLT CLT F SDT LD LD LD LD LD(γ = ) LD2(γ = ) LD3(γ = ) LD4(γ = ) LD(β = ) LD2(β = ) LD3(β = ) LD4(β = ) Tabella 4.4. TL corretto con le penaliaioni γ, β, per la piastra 224-T6. m,n =,. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h. L apice indica le eqaioni costittive classiche; il 2 indica le 2 eqaioni costittive di Kirchhoff. a/h CLT CLT F SDT LD LD LD LD LD(γ = ) LD2(γ = ) LD3(γ = ) LD4(γ = ) LD(β = ) LD2(β = ) LD3(β = ) LD4(β = ) Tabella 4.5. TL corretto con le penaliaioni γ, β, per la piastra generica indicata nella (E tabella 4.2. Spostamento w = U T )h 3 p a. L apice indica le eqaioni costittive classiche; il 4 2 indica le eqaioni costittive di Kirchhoff. 62

68 4 Analisi generale del thickness locking Conclsioni Nelle tabelle 4. e 4., si evidenia che il fenomeno del thickness locking scompare completamente se lo correggiamo con: χ = Applicando le altre correioni il meccanismo del T L permane e qindi nelle sccessive tabelle seremo qella con γ = poichè vogliamo mostrarne il so effetto ed inoltre perché essa comporta minori modifiche da esegire all interno del programma tiliato mentre, la prima correione (γ = a/h), ha appnto il problema che γ varia in fnione del rapporto a/h generando così maggiori modifiche. La correione con β = è meno precisa delle precedenti mentre la correione γ = non prodce nessn effetto rilevante. Per qanto rigarda le correioni svolte nelle tabelle 4.2 e 4.3, attraverso la modifica dell ordine di espansione N p ed N w, qelle che annllano il fenomeno del thickness locking sono qelle relative a: N w 2 Nelle tabelle 4.4 e 4.5 si nota che anche tiliando la teoria LDN si manifesta il problema del thickness locking sia per l analisi dinamica e sia per l analisi statica nel caso di piastre sottili, anche se dalle tabelle non si evidenia nessna differena sostaniale dai risltati ottenti con l so delle EDN, ma ttto ciò è natrale poichè abbiamo sato na piastra di tipo monostrato. É possibile correggere tale fenomeno attraverso la penaliaione dei coefficienti della matrice di rigidea come visto poc ani, ma tttavia preferiamo visaliarne il so effetto attraverso i coefficienti C 3 e C 23, penaliati con il nmero γ =, e il coefficiente C 33 penaliato con il nmero β = così come tilieremo le N w = nelle tabelle sccessive. Per il LDN non è possibile applicare la correione attraverso n diverso ordine di espansione come invece è stata esegita nelle tabelle 4.2 e 4.3. Poniamo l attenione sl fatto che, se tiliiamo le Eqaioni Costittive di Kirchhoff nella CLT, il fenomeno chiamato thickness locking non esiste e qindi i risltati che noi otteniamo dalle teorie EDN e LDN, sena le varie correioni (γ, β e N w =, N w = ), sono corretti. Ricordiamo inoltre che le Costittive di Kirchhoff vanno applicate solo alla teoria CLT ed F SDT, mentre per le EDN (con n ordine di espansione N p 2) e LDN si sano le Costittive Classiche. 63

69 4 Analisi generale del thickness locking 4.3 Piastra ortotropa monostrato In qesto paragrafo viene presa in cosideraione na piastra ortotropa monostrato. Le caratteristiche di tale materiale sono riportate in tabella 4.6 mentre per le caretteristiche geometriche si pò fare riferimento alla figra 4.2. Il carico applicato è lo stesso della piastra isotropa monostrato. S qesto tipo di piastra sono state calcolate le freqene fondamentali e gli spostamenti, opportnamenti adimensionaliati, al variare del raporto a/h e del rapporto tra i modli di Yong longitdinale e trasversale, cioé: tiliando sempre le varie teorie già citate. E L E T = 2, 5,, 5 Proprietà Piastra Ortotropa E L [GP a] 5 E T [GP a] E 3 [GP a] ν.25 G [GP a] 5 ρ [Kg/m 3 ] 6 h [m]. Tabella 4.6. Proprietà elastiche e geometriche della piastra ortotropa monostrato Z Y X Figra 4.2. Caratteristiche geometriche di na piastra meccanica monostrato 64

70 4 Analisi generale del thickness locking 4.3. Thickness locking Nelle tabelle 4.7 e 4.8 sono riportati i casi in ci si manifesta il fenomeno del thickness locking per na piastra ortotropa monostrato. E L E T = 2 a/h CLT CLT F SDT ED ED ED ED CLT E L E T = CLT F SDT ED ED ED ED CLT E L E T = CLT F SDT ED ED ED ED CLT E L E T = CLT F SDT ED ED ED ED Tabella 4.7. Thickness locking per la piastra ortotropa. m,n =,. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h. L apice indica le eqaioni costittive classiche; il 2 indica le eqaioni costittive 2 di Kirchhoff. 65

71 4 Analisi generale del thickness locking E L E T = 2 a/h CLT CLT F SDT ED ED ED ED CLT E L E T = CLT F SDT ED ED ED ED CLT E L E T = CLT F SDT ED ED ED ED E L E T = 5 CLT CLT F SDT ED ED ED ED Tabella 4.8. Thickness locking per la piastra ortotropa. Spostamento w = U (E T )h 3 p a 4. L apice indica le eqaioni costittive classiche; il 2 indica le eqaioni costittive di Kirchhoff. 66

72 4 Analisi generale del thickness locking Conclsioni Da qanto viene riportato dalle tabelle 4.7 e 4.8 anche per la piastra ortotropa monostrato si manifesta il fenomeno del thickness locking, sia per l analisi dinamica che per qella statica. Tttavia, si nota come tale fenomeno si ridca notevolmente all amentare del rapporto tra i modli di Yong longitdinale e trasversale. Inoltre è da rimarcare il fatto che lavorando sl rapporto E L E T la piastra rislta più rigida e qindi si inflette di meno, ma vibra maggiormente; è per qesto che la ED4 é più grande della CLT nel caso dell analisi statica mentre avviene il contrario per la freqena Metodi per correggere il thickness locking Nel sottoparagrafo 4.3. abbiamo visto che per piastre sottili esiste il fenomeno del thickness locking qando confrontiamo le EDN con la CLT con le Costittive Classiche; tttavia se applichiamo alla CLT le Costittive di Kirchhoff tale problema diviene trascrabile. Oltre alla correione citata poc ani è possibile eliminare tale problema attraverso la modifica dell ordine di espansione N p e N w, ma anche tiliando rapporti E L E T nota na notevole ridione. Nelle tabelle 4.9 e 4.2 sono riportate tali correioni sia per la freqena che per lo elevati si spostamento al variare del rapporto a h e del rapporto E L E T. Nelle tabelle 4.2 e 4.22 viene mostrato che anche nella piastra ortotropa monostrato, l applicaione della teoria LDN prodce il fenomeno del thickness locking e come tale problema si manifesti ancora attraverso la penaliaione γ = ; ttto ciò è natrale poichè l so della teoria LDN non prodce qasi nessna differena con le EDN perchè abbiamo considerato na piastra di tipo monostrato. 67

73 4 Analisi generale del thickness locking E L E T = 2 a/h CLT CLT N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = CLT E L E T = CLT N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = CLT E L E T = CLT N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = E L E T = 5 CLT CLT N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = Tabella 4.9. TL corretto con l ordine di espansione N p e N w per la piastra ortotropa. EDN. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h. L apice indica le eqaioni costittive classiche; il 2 indica le 2 eqaioni costittive di Kirchhoff. 68

74 4 Analisi generale del thickness locking E L E T = 2 a/h CLT CLT N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = CLT E L E T = CLT N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = E L E T = CLT CLT N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = CLT E L E T = CLT N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = N p = 4 N w = Tabella 4.2. TL corretto con l ordine di espansione N p e N w per la piastra ortotropa. EDN. (E Spostamento w = U T )h 3 p a. L apice indica le eqaioni costittive classiche; il 2 indica le 4 eqaioni costittive di Kirchhoff. 69

75 4 Analisi generale del thickness locking E L E T = 2 a/h CLT CLT F SDT ED ED ED ED LD LD LD LD ED(γ = ) ED2(γ = ) ED3(γ = ) ED4(γ = ) LD(γ = ) LD2(γ = ) LD3(γ = ) LD4(γ = ) CLT E L E T = CLT F SDT ED ED ED ED LD LD LD LD ED(γ = ) ED2(γ = ) ED3(γ = ) ED4(γ = ) LD(γ = ) LD2(γ = ) LD3(γ = ) LD4(γ = ) Tabella 4.2. TL corretto con la penaliaione γ per la piastra ortotropa. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. 2 7

76 4 Analisi generale del thickness locking E L E T = 2 a/h CLT CLT F SDT ED ED ED ED LD LD LD LD ED(γ = ) ED2(γ = ) ED3(γ = ) ED4(γ = ) LD(γ = ) LD2(γ = ) LD3(γ = ) LD4(γ = ) E L E T = 5 CLT CLT F SDT ED ED ED ED LD LD LD LD ED(γ = ) ED2(γ = ) ED3(γ = ) ED4(γ = ) LD(γ = ) LD2(γ = ) LD3(γ = ) LD4(γ = ) Tabella TL corretto con la penaliaione γ per la piastra ortotropa. Spostamento w =. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. U (E T )h 3 p a 4 7

77 4 Analisi generale del thickness locking Conclsioni Per qanto rigarda le correioni svolte nelle tabelle 4.9 e 4.2, attraverso la modifica dell ordine di espansione N p ed N w, qelle che annllano il fenomeno del thickness locking sono qelle relative a: N w 2. Oltre a ciò, è possibile eliminare tale inconveniente applicando le Costittive di Kirchhoff o tiliando materiali con rapporti E L E T elevati; ovviamente il problema persiste se siamo la penaliaione γ = sia per la EDN che per la LDN, come mostrato nelle tabelle 4.2 e Conclsioni finali sl fenomeno del TL In qest ltimo importante paragrafo trarremmo le principali conclsioni sl fenomeno del thickness locking. Sono stati stdiati problemi di natra flessionale e vibraionale per na piastra isotropa ed ortotropa monostrato (le consideraioni che andremo a svolgere potranno essere estese anche alle varie piastre e gsci isotropi ed ortotropi mono e mltistrato e ai vari pannelli e gsci in materiale composito che saranno stdiati nei capitoli sccessivi) attraverso i modelli P V D ed RMV T applicando le teorie: - Classical Lamination Theory (CLT ) - First order Shear Deformation Theory (F SDT ) - Higher Order Theories (HOT ) - Layer Wise (LW ) implementate nella Unified Formlation. Indagheremo le case principali che hanno generato il problema del thickness locking e come esso potrà essere corretto. L so di approssimaioni asintotiche o assiomatiche ha introdotto il fenomeno del thickness locking il qale non è presente nelle solioni 3D. Il problema del T L è da collegare all so dell ipotesi di plane strain (ε x = ε y = ε = ) e plane stress (σ x = σ y = σ = ) applicate alla teoria della piastra. Qesta contraddiione prodce il meccanismo del thickness locking (conoscito anche come Poisson Locking) il qale non permette alle teorie CLT, le qali si basano sll ipotesi di Kirchhoff e di Poisson, di gingere alle teorie 3D. Allo scopo di capire le case che hanno prodotto il fenomeno del TL visto nei precedenti capitoli di qesto lavoro di tesi, analieremo i risltati trovati partendo dai motivi che generano il thickness locking attraverso n approccio geometrico e fisico delle relaioni costittive. Per ragioni di semplicità faremo riferimento al modello matematico basato s na piastra isotropa. In qesto lavoro di tesi le 3D sono, a seconda dei casi analiati, le ED4, le LD4, le EMC4 e le LM 4. Esistono altre solioni 3D già note in letteratra, ma corrispondono ai valori ricavati. 72

78 4 Analisi generale del thickness locking Tensioni basate slla cinematica. Come prima cosa introdciamo la teoria della piastra basata s n differente ordine di espansione di N p e N w nella direione. L ordine delle tensioni lineari si basa s relaioni geometriche del tipo: Possiamo notare che: ɛ G xx = x,x ɛ G yy = y,y N p (4.) N p ɛ G =, N w. Le deformaioni nel piano hanno n ordine N p. 2. L ordine della deformaione ɛ G è sempre gale a N w. 3. ɛ G = nelle CLT e FSDT. 4. La distribione di ɛ G potrebbe essere costante lngo lo spessore se e solamente se N w = (qesto sccede anche nelle HOT con il caso N=, come ad esempio ED,EDZ,EMZC). 5. Per evitare che ɛ G sia costante occorre sare: N w 2. Tensioni basate slle relaioni di tipo fisico. Un lteriore relaione che lega tra loro le ɛ e ɛ xx si basa sl modlo di Poisson stabilendo così na relaione proporionale del tipo: ɛ ν ν ɛ G xx E chiaro che le distribioni delle tensioni normali legate al modlo di Poisson hanno lo stesso ordine, infatti le CLT, le F SDT e le HOT con N=, riferite ai casi esaminati, comportano l esistena che se ɛ G xx è lineare (N p = ), allora anche ɛ ν sarà lineare. Qesta tragica contraddiione tra le ipotesi cinematiche delle tensioni del piano nelle CLT è la casa dell origine del fenomeno del thickness locking o Poisson locking e qindi, in realtà, il TL è indipendente dallo spessore della piastra anche se tttavia la geometria della piastra deve essere tenta in consideraione. Apprata qesta contraddiione dovta al modello matematico, il meccanismo del thickness locking dipende anche dalla fisica dei materiali attraverso il rolo del modlo di Poisson e perciò l analieremo nelle tabelle segenti. 73

79 4 Analisi generale del thickness locking a/h CLT Err.% CLT 2 Err.% ED4 ν = % % % % % % % % % % Tabella Piastra isotropa monostrato. Effetto del TL. Confronto tra le CLT e ED4. a b =. Spostamento w = U (E T )h 3 p a. Apice :costittive classiche; apice 2: costittive di 4 Kirchhoff. a/h CLT Err.% CLT 2 Err.% ED4 ν = % % % % % % % 3.5.4% % 3.5.% 3.5 ν = % % % % % % % % % % Tabella Piastra isotropa monostrato. Effetto del rapporto di Poisson sl TL. Confronto a tra le CLT e ED4. b =. Spostamento w = U (E T )h 3 p a. Apice : costittive classiche; apice 4 2: costittive di Kirchhoff. Nelle tabelle analiate abbiamo variato il modlo di Poisson della piastra isotropa monostrato dal valore originale (ν =.34 in qanto il materiale applicato è l allminio 224) e precisamente ν =.5 e ν =.45. Possiamo notare come il modlo di Poisson intervenga pesantemente nel meccanismo del thickness locking; infatti na ridione del modlo prodce na diminione del TL e vice versa (l errore nelle CLT si ridce dal 66.9% al 3.%). Dai risltati ottenti in qesta tesi sembrerebbe che l errore commesso tra le CLT e le 3D nei problemi dinamici stdiati sia minore rispetto ai casi statici. In realtà ciò non è vero in qanto bisogna tener presente che la freqena è legata al qadrato della rigidea della piastra; infatti se consideriamo ω 2 otterremmo lo stesso errore percentale commesso nei casi statici. 74

80 4 Analisi generale del thickness locking A qesto pnto sorge na domanda: come contrastare ɛ ν e qindi il TL? Di segito riscriviamo brevemente i vari metodi tiliati in qesto lavoro di tesi. Primo rimedio per il TL: so di n elevato ordine di espansione. Un rimedio semplice è qello di sare N w 2. Qesto significa sare la teoria della piastra con la minima espansione qadratica dello spostamento trasversale : N w 2 : (x,y,; t) = (x,y; t) + (x,y; t) (x,y; t) +... (4.) Sfortnatamente la solione sata è molto complicata da sare rispetto alle teorie classiche e qindi sono state stdiate altre solioni. Nei casi stdiati (vedi in particolare tabelle 4.2 e 4.3, capitolo 4) abbiamo capito che: Le HOT con N w = e N w = confrontate con la CLT 2 confermano il thickness locking ed inoltre mostrano come il TL sia del ttto indipendente dalle componenti nel piano indicate dai valori N p. Il TL scompare se tiliiamo la CLT 2 e le HOT con N w 2 in modo tale che ɛ G non sia costante. Secondo rimedio per il TL: modifica dei coefficienti elastici. E chiaro che ɛ ν sia originata dalle eqaioni costittive date dal materiale in esame ed inoltre casata anche da n accoppiamento intrinseco tra le tensioni normali nel piano e qelle fori dal piano e qindi n altra solione pò essere qella di andare a modificare le relaioni costittive attraverso i coefficienti elastici, cioè:. che in forma esplicita diventa: σ xx C C 2 C 3 σ yy C 2 C 22 C 23 σ = C 3 C 23 C 33 σ x C 44 σ y C 55 σ xy C 66 {σ} = [C] {ɛ} (4.2) I coefficienti elastici dipendono da delle costanti ingegneristiche come il coefficiente di Poisson ν, dal modlo di Yong E e dal modlo di elasticità trasversale G, cioè: ɛ xx ɛ yy ɛ ɛ x ɛ y ɛ xy C = C 22 = C 33 = ( ν)e, C νe (+ν)( 2ν) 2 = C 3 = C 23 =, (+ν)( 2ν) C 44 = C 55 = C 66 = G Le eqaioni costittive possono essere qindi modificate per contrastare ɛ ν attraverso l imposiione della condiione σ = ottenendo così i coefficienti elastici sati nella teoria CLT 2 di qesto lavoro di tesi chiamate anche Costittive di Kirchhoff. I coefficienti modificati sono: (4.3) (4.4) C = C 22 = C C2 3 C 33 = E, C2 = C ν 2 2 C 3C 23 C 33 = νe, ν C 2 (4.5) 44 = C 44, C55 = C 55 C66 = C 66 75

81 4 Analisi generale del thickness locking Da notare il fatto che solamente i coefficienti elastici del piano sono stati modificati. L so di qesti coefficienti modificati permette alla teoria CLT 2 di raggingere le solioni trovate con le 3D. Ttto ciò è stato confermato per la piastra/gscio isotropo mono e mlti strato e per le piastre ortotrope mono e mlti strato mentre, per i casi di materiale anisotropo trattati in qesto lavoro di tesi, c è na leggera differena tra le 3D e le CLT 2. Tero rimedio per il TL: penaliaioni dei coefficienti della matrice di rigidea attraverso dei nmeri nelle teorie HOT, LW e miste. Dalla 4.3 possiamo penaliare alcni coefficienti in modo tale da correggere il fenomeno del thickness locking; essi sono: C 3, C 23, C 33, C 44, C 55. Tali penaliaioni avvengono tramite l introdione di opportni nmeri denominati γ, β e χ. Qindi i novi coefficienti sono: γ : C3 = C 3 γ, C 23 = C 23 γ (4.6) β : C 33 = C 33 β (4.7) χ : C 44 = C 44 χ, C 55 = C 55 χ (4.8) dove l apice indica i coefficienti penaliati. Dai risltati ricavati rislta che la correione più efficace è qella che tilia il nmero χ = mentre le altre non hanno prodotto effetti rilevanti. Nelle strttre mlti strato analiate in qesto lavoro di tesi 2 lo stdio del meccanismo del thickness locking ha portato a delle solioni diverse, cioè: Il TL è presente anche nelle strttre mlti strato, ma appare in modo differente rispetto ai casi mono strato. Rispetto alla piastra isotropa monostrato il tkickness locking presente nella piastra isotropa mlti strato si ridce di poco e lo stesso avviene anche per le strttre sandwich. Il TL scompare qasi completamente se tiliiamo modelli di tipo LW e teorie di tipo misto. Nelle strttre ortotrope mlti strato il meccanismo del TL è pressochè assente indipendentemente dalle teorie e modelli applicati, a patto però, di assmere rapporti E L E T > in qanto essi si comportano analogamente a qanto visto per il modlo di Poisson. 2 Vedi capitoli 5.2.4, 6, e 8. 76

82 Capitolo 5 Risltati per piastre mono e mlti strato 5. Introdione Qesto capitolo sarà dedicato ai risltati ottenti attraverso n analisi statica e dinamica s piastre di tipo isotropo monostrato, ortotropo monostrato e isotropo mltistrato. Graie alle informaioni ottente nel capitolo precedente, nel qale si evideniò che solamente alcne ipotesi prodcevano risltati soddisfacenti per ridrre il meccanismo del thickness locking, in qesta seione analieremo e confronteremo tra loro solo le principali teorie per piastre facendo anche attenione alla ricerca del TL attraverso l analisi dello spostamento w e della freqena ω, opportnamente adimensionaliati, della σ xx e della σ x relative ad n determinato rapporto a/h; infine saranno riportati gli andamenti delle tensioni citate poc ani inerenti alle principali teorie. Il carico bi-sinsoidale applicato al top della sperficie vale p (x,y) = p sin( mx a ) sin(ny b ) (5.) dove p =, a,b sono le dimensioni della piastra e m,n sono le semionde imposte. 5.2 Analisi statica PVD ed RMVT In qesto paragrafo stdieremo le varie piastre citate attraverso l applicaione della formlaione agli spostamenti (PVD) e la formlaione mista (RMVT) sando le principali teorie e correioni analiate nei precedenti capitoli e con i modelli eqivalent single layer (ESL) ed layer wise (LW). 77

83 5 Risltati per piastre mono e mlti strato 5.2. Piastra isotropa monostrato A differena di qanto abbiamo analiato nel capitolo precedente dove per lo stdio flessionale avevamo sato na generica piastra, in qesta seione prenderemo in consideraione na piastra isotropa monostrato in lega di allminio 224 le ci proprietà elastiche e geometriche sono riportate nella tabella 5.. Proprietà Al 224 E [GP a] 73 ν.34 G [GP a] ρ [Kg/m 3 ] 28 h [m]. Tabella 5.. Proprietà elastiche e geometriche della piastra isotropa in lega di allminio 224 Lo stdio che effetteremo s qesta piastra sarà più articolato rispetto alle altre piastre tiliate nei paragrafi sccessivi. Confronteremo le principali teorie per piastre note in letteratra ed implementate nella nified formlation attraverso la valtaione degli spostamenti e delle tensioni. Nella tabella relativa all analisi flessionale seremo solamente le teorie classiche e le EDN 2, tralasciando le teorie più raffinate, poichè esse già raggingono i valori delle solioni 3D. Valteremo anche il fenomeno del thickness locking sopratttto attraverso la tabella 5.3 in ci analieremo l errore commesso nell tiliare nella CLT delle differenti eqaioni costittive dimostrando e confermando così, ttte le consideraioni svolte nel capitolo precedente. Ricordiamo inoltre che i valori della w sono riferiti in meeria. Nella tabella sccessiva, cioè la 5.5, mostreremo i valori dei coefficienti della matrice di rigidea in ci si evidenia chiaramente come le varie teorie e correioni inflenino i valori ottenti il ttto in accordo con la teoria esposta nei precedenti capitoli. Infine sono riportati nella tabella 5.6 i valori delle tensioni, attraverso l tilio di ttte le teorie più importanti, per dei determinati rapporti a/h. Ricordiamo inoltre che i valori della σ xx riportati nella tabella 5.6 sono riferiti al top mentre i valori della σ x sono riferiti in meeria. Vedi tabella Nelle ED abbiamo sato le eqaioni costittive classiche evideniando così il TL; tttavia, se avessimo applicato le costittive di Kirchhoff, sempre alle ED, avremmo avto dei valori più vicini a qelli ottenti con le solioni 3D. 78

84 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/h D CLT CLT F SDT F SDT ED ED ED ED ED4(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) ED3(γ = ) ED4(β = ) ED3(β = ) a Tabella 5.2. Piastra isotropa monostrato. Analisi statica. b =. Spostamento w =. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. U (E T )h 3 p a 4 a/h CLT Err.% CLT 2 Err.% ED % % % % % % % % % % a Tabella 5.3. Piastra isotropa monostrato. Confronto tra le CLT e ED4. b =. Spostamento (E w = U T )h 3 p a. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. 4 79

85 5 Risltati per piastre mono e mlti strato C C 2 C 3 C 2 C 22 C 23 CLT CLT F SDT F SDT ED ED ED ED ED4(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) ED3(γ = ) ED4(β = ) ED3(β = ) Tabella 5.4. Contina C 3 C 32 C 33 C 44 C 55 C 66 CLT CLT F SDT F SDT ED ED ED ED ED4(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) ED3(γ = ) ED4(β = ) ED3(β = ) Tabella 5.5. a Piastra isotropa monostrato. Analisi statica. b =. Coefficienti della matrice di rigidea. Risltati adimensionaliati per E = 73 [GPa]. 8

86 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/h = 4 a/h = a/h = 4 a/h = CLT CLT F SDT F SDT CLT 3D CLT 2 3D F SDT 3D F SDT 2 3D ED EDZ ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) EMC EMZC3(N p = 4, N w = ) EMC4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) σ xx σ x Tabella 5.6. Piastra isotropa monostrato. Valori della σ xx e della σ x. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. 8

87 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Grafici In qesto paragrafo plotteremo gli andamenti della w, di ttte le tensioni ed di ttte le deformaioni in fnione dello spessore al variare del rapporto a/h tiliando ttte le teorie più importanti. Nelle figre inerenti agli andamenti delle tensioni σ e σ x si evince l errore commesso nel plottare l andamento delle tensioni tiliando la teoria CLT, sando sia le Costittive Classiche che le Costittive di Kirchhoff. Gli andamenti corretti avrebbero dovto essere qelli inerenti ai valori ricavati dal file 3D; tttavia da qesti errori ne traiamo n importante esperiena in modo tale da riportare correttamente gli andamenti sccessivi nei prossimi plottaggi relativi alle altre piastre di qesto capitolo. Anche da qesti andamenti è comnqe possibile trarre delle osservaioni; infatti la differena tra le teorie basate sl modello eqivalent single layer e sl modello layer wise sono trascrabili in qanto la piastra analiata è di tipo monostrato ed inoltre dai grafici delle deformaioni si conferma l ipotesi di ε = per le teorie classiche. Infine il paragrafo termina con le tabelle 5.7 e 5.8 in ci si riportano i valori della w, calcolata in meeria, ma con dei diversi valori del rapporto a/b rispetto alla tabella vista all iniio del paragrafo precedente; da esse si osserva come il meccanismo del thickness locking permanga e sia del ttto indipendente dalla variaione del rapporto in pianta della piastra. Nei grafici segenti riporteremo la notaione D in riferimento a N p = 4 N w = e D per N p = 4 N w =. 82

88 5 Risltati per piastre mono e mlti strato 7 w a/h=2 8 w a/h=2 6 7 w CLT CLT2 FSDT FSDT2 w CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED w a/h=2 8 w a/h=2 7 7 w CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β w CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM w a/h=2 7 6 w CLT CLT2 ED3 ED4 LD3 LD Figra 5.. Piastra isotropa monostrato. Andamento dello spostamento w in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 3 w a/h= 3 w a/h= w 2 w 2.5 CLT CLT2 FSDT FSDT2.5 CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED w a/h= 2.5 w a/h= w CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β w CLT ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β Figra 5.2. Piastra isotropa monostrato. Andamento dello spostamento w in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 83

89 5 Risltati per piastre mono e mlti strato w a/h= 2.8 w a/h= w CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM4 w CLT CLT2 LD3 LD Figra 5.3. Piastra isotropa monostrato. Andamento dello spostamento w in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff..5 CLT CLT2 FSDT FSDT2 σ a/h=2.5 CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED4 σ a/h=2 σ σ CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β σ a/h=2.5 σ a/h=2 σ -.5 σ -.5 CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM4 3DLM σ a/h=2 σ a/h=2.5.5 σ CLT CLT2 ED3 ED4 ED4 d ED4 d LD3 LD σ CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d Figra 5.4. Piastra isotropa monostrato. Andamento della σ in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 84

90 5 Risltati per piastre mono e mlti strato σ a/h= σ a/h= 2 CLT CLT2 FSDT FSDT2 2 CLT CLT2 ED σ σ σ a/h= σ a/h=.2 2 σ ED2 ED3 ED4 σ CLT CLT2 ED4 d ED4 d σ a/h= σ a/h= σ.8.6 ED3 ED4 ED4 γ ED4 β σ CLT CLT2 LM σ a/h= σ a/h= σ LM2 LM3 LM4 3DLM4 σ ED3 ED4 LD3 LD Figra 5.5. Piastra isotropa monostrato. Andamento della σ in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 85

91 5 Risltati per piastre mono e mlti strato.4 σ x a/h=2 σ x a/h= CLT CLT2 FSDT FSDT σ x σ x.2 CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED σ x a/h=2.5 σ x a/h= σ x.2. CLT.2 CLT2 ED4 ED4 d ED4. d ED4 γ ED4 β σ x CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM4 3DLM σ x a/h= σ x.2. CLT CLT2 ED3 ED4 LD3 LD Figra 5.6. Piastra isotropa monostrato. Andamento della σ x in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 86

92 5 Risltati per piastre mono e mlti strato σ x a/h= σ x a/h= σ x CLT CLT2 FSDT FSDT2 σ x CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED σ x a/h= σ x a/h= σ x 5 CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM4 3DLM4 σ x 5 CLT CLT2 ED3 ED4 LD3 LD σ x a/h= σ x 5 CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β Figra 5.7. Piastra isotropa monostrato. Andamento della σ x in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 87

93 5 Risltati per piastre mono e mlti strato σ xx a/h=2 σ xx a/h=2.5 σ xx.5 CLT CLT2 FSDT FSDT2 σ xx.5 CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED σ xx a/h=2 σ xx a/h=2.5.5 σ xx.5 CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β σ xx.5 CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM σ xx a/h=2.5.5 CLT CLT2 ED3 ED4 LD3 LD4 σ xx Figra 5.8. Piastra isotropa monostrato. Andamento della σ xx in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 88

94 5 Risltati per piastre mono e mlti strato σ xx a/h= σ xx a/h= 2 CLT CLT2 FSDT FSDT2 2 CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED4 σ xx σ xx σ xx a/h= σ xx a/h= σ xx 2 CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β σ xx 2 CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM σ xx a/h= 2 CLT CLT2 ED3 ED4 LD3 LD4 σ xx Figra 5.9. Piastra isotropa monostrato. Andamento della σ xx in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. σ y a/h=2 σ y a/h= σ y CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM4 3DLM σ y 5-5 CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM4 3DLM Figra 5.. Piastra isotropa monostrato. Andamento della σ y in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 89

95 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ε a/h=2 ε a/h=2 6e-34 9e-2 8e-2 5.5e-34 CLT CLT2 FSDT FSDT2 7e-2 6e-2 5e-2 ε 5e e-34 ε 4e-2 3e-2 2e-2 e-2 CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED4 4e e ε a/h=2 ε a/h=2 9e-2 8e-2 8e-2 7e-2 6e-2 6e-2 5e-2 ε 4e-2 2e-2 CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β ε 4e-2 3e-2 2e-2 e-2 CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM e ε a/h=2 9e-2 8e-2 7e-2 6e-2 5e-2 ε 4e-2 3e-2 2e-2 e-2 CLT CLT2 ED3 ED4 LD3 LD4 -e Figra 5.. Piastra isotropa monostrato. Andamento della ɛ in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 9

96 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ε a/h= ε a/h= 6e-34 2e-8 5.5e-34 CLT CLT2 FSDT FSDT2 e-8 ε 5e-34 ε 4.5e-34 -e-8-2e-8 CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED4 4e e ε a/h= ε a/h=.5e- 2e-8 e- 5e-.5e-8 e-8 5e-9 CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM4 ε ε -5e- -e- CLT CLT2 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β -5e-9 -e-8 -.5e-8 -.5e e ε a/h= 2e-8.5e-8 e-8 5e-9 CLT CLT2 ED3 ED4 LD3 LD4 ε -5e-9 -e-8 -.5e-8-2e Figra 5.2. Piastra isotropa monostrato. Andamento della ɛ in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 9

97 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ε x a/h=2 ε x a/h=2.4e-.2e-.5e- ε x e- 8e-2 6e-2 4e-2 CLT CLT2 FSDT FSDT2 ε x e- 5e-2 CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED4 2e e ε x a/h=2 ε x a/h=2 2e- 3e- ε x.5e- e- 5e-2 CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β ε x 2.5e- 2e-.5e- e- CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM4 5e-2-5e e ε x a/h=2 2e-.5e- ε x e- 5e-2 CLT CLT2 ED3 ED4 LD3 LD4-5e Figra 5.3. Piastra isotropa monostrato. Andamento della ɛ x in fnione dello spessore. :eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 92

98 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ε x a/h= ε x a/h= 7e- e-9 6e- 5e- 8e- 4e- 6e- ε x 3e- 2e- e- -e- CLT CLT2 FSDT FSDT2 ε x 4e- 2e- CLT CLT2 ED ED2 ED3 ED4-2e e ε x a/h= ε x a/h= e-9 e-9 8e- 8e- 6e- 6e- ε x 4e- 2e- CLT CLT2 ED4 ED4 d ED4 d ED4 γ ED4 β ε x 4e- 2e- CLT CLT2 LM LM2 LM3 LM4-2e e ε x a/h= e-9 8e- 6e- ε x 4e- 2e- CLT CLT2 ED3 ED4 LD3 LD4-2e Figra 5.4. Piastra isotropa monostrato. Andamento della ɛ x in fnione dello spessore. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 93

99 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/h CLT CLT F SDT F SDT ED ED ED ED ED4(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) ED3(γ = ) ED4(β = ) ED3(β = ) a Tabella 5.7. Piastra isotropa monostrato. Analisi statica. b = 5. Spostamento w =. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. U (E T )h 3 p a 4 a/h CLT CLT F SDT F SDT ED ED ED ED ED4(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) ED3(γ = ) ED4(β = ) ED3(β = ) a Tabella 5.8. Piastra isotropa monostrato. Analisi statica. b =. Spostamento w =. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. U 4 (E T )h 3 p a 4 94

100 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Piastra ortotropa monostrato In qesto paragrafo prenderemo in esame na piastra ortotropa monostrato le ci proprietà elastiche e geometriche sono riportate nella tabella 5.9. Proprietà E L [GP a] 5 E T = E [GP a] ν.25 G [GP a] 5 ρ [Kg/m 3 ] 6 h [m]. Tabella 5.9. Proprietà elastiche e geometriche della piastra ototropa monostrato. S qesto tipo di piastra confronteremo le teorie classiche e le EDN 3, tralasciando le teorie più raffinate, poichè esse già raggingono i valori delle solioni 3D ed inoltre valteremo il problema del thickness locking tiliando le informaioni ottente dal capitolo antecedente. Riporteremo anche come le varie teorie e correioni inflenano i valori dei coefficienti della matrice di rigidea il ttto in accordo con la teoria esposta nei precedenti capitoli. Infine, il meccanismo del thickness locking viene stdiato e riproposto nelle tabelle inerenti all analisi dello spostamento applicando de rapporti E L E T differenti; infatti riportando i valori delle w, opportnamente adimensionaliati e calcolati in meeria, per n valore del rapporto E L E T = 5 si evidenia come il thickness locking si ridce in maniera rilevante poichè tale rapporto fniona in maniera analoga a qanto visto per la variaione del modlo di Poisson analiato per la piastra isotropa monostrato. 3 Nelle ED abbiamo sato le eqaioni costittive classiche evideniando così il TL; tttavia, se avessimo applicato le costittive di Kirchhoff, sempre alle ED, avremmo avto dei valori più vicini a qelli ottenti con le solioni 3D. 95

101 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/h D CLT CLT F SDT F SDT ED ED ED ED ED4(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) ED3(γ = ) ED4(β = ) ED3(β = ) a Tabella 5.. Piastra ortotropa monostrato. Analisi statica. b =. E L E T = 5. Spostamento (E w = U T )h 3 p a. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. 4 C C 2 C 3 C 2 C 22 C 23 CLT CLT F SDT F SDT ED ED ED ED ED4(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) ED3(γ = ) ED4(β = ) ED3(β = ) Tabella 5.. Contina 96

102 5 Risltati per piastre mono e mlti strato C 3 C 32 C 33 C 44 C 55 C 66 CLT CLT F SDT F SDT ED ED ED ED ED4(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) ED3(γ = ) ED4(β = ) ED3(β = ) Tabella 5.2. a Piastra ortotropa monostrato. Analisi statica. b =. Coefficienti della matrice di rigidea. Risltati adimensionaliati per E L = 5 [GPa]. a/h D CLT CLT F SDT F SDT ED ED ED ED ED4(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) ED3(γ = ) ED4(β = ) ED3(β = ) a Tabella 5.3. Piastra ortotropa monostrato. Analisi statica. b =. E L E T = 5. Spostamento (E w = U T )h 3 p a. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. 4 97

103 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Piastra isotropa mltistrato Dopo aver visto le differene tra la piastra isotropa monostrato e la piastra ortotropa monostrato, in qesta seione esamineremo il comportamento statico di na piastra isotropa mltistrato; essa sarà costitita da 3 strati di differente materiale ed in specifico tilieremo l allminio 224, il titanio e l acciaio le qali proprietà elastiche e geometriche sono riportate nella tabella 5.4. Proprietà Strato Al 224 E [GP a] 73 ν.34 G [GP a] ρ [Kg/m 3 ] 28 h [cm].3 3 Strato 2 Titanio E [GP a] 4 ν.3 G [GP a] ρ [Kg/m 3 ] 2768 h 2 [cm].3 3 Strato 3 Acciaio E [GP a] 2 ν.3 G [GP a] ρ [Kg/m 3 ] 785 h 3 [cm].3 3 Tabella 5.4. Proprietà elastiche e geometriche della piastra isotropa mltistrato. S qesto tipo di piastra analieremo e confronteremo ttte le principali teorie incontrate in qesto lavoro di tesi attraverso i modelli basati sl P V D e sl RMV T, tenendo presente anche il meccanismo del thickness locking. Essendo na piastra mltistrato seremo in qesto seione anche le teorie mlti layer e, a differena di qanto è avvento per la piastra isotropa monostrato, osserviamo come i valori ottenti tiliando n modello di tipo layer wise prodcano dei risltati più 98

104 5 Risltati per piastre mono e mlti strato efficenti rispetto alle teorie EDN 4 sopratttto negli andamenti della σ x, anche se, nell analisi degli spostamenti, i modelli basati slla formlaione di tipo misto e slla fnione di Mrakami (sempre in ambito single layer) generano risltati soddisfacenti. I valori ricavati nelle tabelle 5.5 e 5.6 sono calcolati in meeria e sono adimensionaliati con E T dell allminio. Infine, riportiamo i risltati delle tensioni σ xx e della σ x per n determinato rapporto a/h ricordando che i valori ottenti riportati nella tabella 5.7 sono riferiti al top per la σ xx mentre i valori della σ x sono riferiti in meeria. a/h CLT CLT F SDT F SDT PVD ED ED ED ED EDZ EDZ EDZ ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) RMVT EMC EMC EMC EMC EMZC EMZC EMZC EMZC3(N p = 4, N w = ) EMC4(γ = ) a Tabella 5.5. Piastra isotropa mltistrato. Analisi statica. b =. Spostamento w =. ESL. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. U (E T ) Al h 3 p a 4 4 Nelle ED, EDZ ed EMC abbiamo sato le eqaioni costittive classiche evideniando così il TL; tttavia, se avessimo applicato le costittive di Kirchhoff alle teorie citate poc ani avremmo avto dei valori più vicini a qelli ottenti con le solioni 3D. 99

105 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/h CLT CLT F SDT F SDT PVD LD LD LD LD LD4(γ = ) RMVT LM LM LM LM LM4(γ = ) a Tabella 5.6. Piastra isotropa mltistrato. Analisi statica. b =. Spostamento w =. LW. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. U (E T ) Al h 3 p a 4

106 5 Risltati per piastre mono e mlti strato A titolo di esempio, riportiamo in generale nella figra sottastante il fnionamento delle varie teorie inerenti agli andamenti degli spostamenti e degli sfori trasversali. LM2 Figra 5.5. Fnionamento delle varie teorie inerenti agli andamenti degli spostamenti e degli sfori trasversali.

107 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/h = 4 a/h = a/h = 4 a/h = CLT CLT F SDT F SDT CLT 3D CLT 2 3D F SDT 3D F SDT 2 3D ED EDZ ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) EMC EMZC EMZC3(N p = 4, N w = ) EMC4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) σ xx σ x Tabella 5.7. Piastra isotropa mltistrato. Valori della σ xx e della σ x. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff Grafici Di segito plotteremo gli andamenti delle tensioni σ xx e della σ x in fnione dello spessore tenendo in consideraione l errore fatto in precedena per la piastra isotropa monostrato mostrando l andamento sbagliato della σ x rispetto all andamento corretto sempre della σ x, ma ricavata dal file 3D. Dai plottaggi segenti possiamo osservare come il meccanismo del thickness locking sia molto più ridotto nell andamento della σ x rispetto alla σ xx, come non ci sia na grande differena tra le teorie CLT e CLT 2 riportate negli andamenti di σ x e come i plottaggi basati slla teoria LMN siano più efficaci rispetto a qelli basati slla teoria EDN. 2

108 5 Risltati per piastre mono e mlti strato σ xx a/h=4 σ xx a/h=4 σ xx CLT CLT2 FSDT FSDT2 σ xx CLT CLT2 ED4 EDZ3 ED4D ED4 γ σ xx a/h=4 σ xx a/h= CLT CLT2 EM4 EMZ3 EMZ3D EM4 γ CLT CLT2 LD4 LD4 γ LM4 LM4 γ σ xx σ xx Figra 5.6. Piastra isotropa mltistrato. Andamento della σ xx in fnione dello spessore. = 4. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. a h σ xx σ xx a/h= CLT CLT2 FSDT FSDT2 σ xx 3 2 CLT CLT2 ED4 EDZ3 ED4D ED4 γ σ xx a/h= σ xx a/h= 3 σ xx a/h= σ xx 2 CLT CLT2 EM4 EMZ3 EMZ3D EM4 γ σ xx 2 CLT CLT2 LD4 LD4 γ LM4 LM4 γ Figra 5.7. Piastra isotropa mltistrato. Andamento della σ xx in fnione dello spessore. =. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. a h 3

109 5 Risltati per piastre mono e mlti strato.2 σ x a/h=4.4 σ x a/h= σ x CLT.4 CLT2 FSDT.2 FSDT2 CLT 3D CLT2 3D FSDT 3D -.2 FSDT2 3D σ x.6 CLT 3D CLT2 3D CLT CLT2 ED4 EDZ3 ED4D ED4 γ σ x a/h=4.2 σ x a/h=4 σ x CLT 3D CLT2 3D.4 CLT CLT2 EM4.2 EMZ3 EMZ3D EM4 γ σ x.8.6 CLT 3D CLT2 3D CLT CLT2 LD4 LD4 γ LM4 LM4 γ Figra 5.8. Piastra isotropa mltistrato. Andamento della σ x in fnione dello spessore. = 4. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. a h σ x a/h= 35 σ x a/h= σ x CLT CLT2 FSDT FSDT2 CLT 3D CLT2 3D FSDT 3D σ x CLT 3D CLT2 3D CLT CLT2 ED4 EDZ3 ED4D ED4 γ -5 FSDT2 3D σ x a/h= 3 σ x a/h= σ x CLT 3D CLT2 3D CLT CLT2 EM4 EMZ3 EMZ3D EM4 γ σ x CLT 3D CLT2 3D CLT CLT2 LD4 LD4 γ LM4 LM4 γ Figra 5.9. Piastra isotropa mltistrato. Andamento della σ x in fnione dello spessore. =. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. a h 4

110 5 Risltati per piastre mono e mlti strato 5.3 Analisi dinamica PVD ed RMVT In qesto paragrafo stdieremo le varie piastre citate attraverso l applicaione della formlaione agli spostamenti (PVD) e la formlaione mista (RMVT) sando le principali teorie e correioni analiate nei precedenti capitoli e con i modelli eqivalent single layer (ESL) ed layer wise (LW). Confronteremo le principali teorie per piastre note in letteratra ed implementate nella nified formlation ed inoltre analieremo il problema del thickness locking attraverso lo stdio delle freqene fondamentali opportnamente adimensionaliate al variare del nmero di semi-onde ed i relativi plottaggi dei modi di vibrare. Per non appesantire qesto lavoro di tesi l analisi dinamica completa verrà fatta solo per na piastra isotropa monostrato Piastra isotropa monostrato In qesta seione prenderemo in consideraione na piastra isotropa monostrato in lega di allminio 224-T6. Le proprietà elastiche e geometriche di tale materiale sono riportate in tabella 5.. Come prima cosa si calcoleranno le freqene fondamentali (ossia le minime) al variare delle dimensioni in pianta della piastra, il ttto replicato per diversi valori dello spessore (cioè per diversi valori del rapporto a/h). Qindi tali calcoli saranno riproposti per diversi valori di m ed n (nmero di semi-onde); inoltre nel caso della teoria FSDT si è considerato pre n fattore correttivo del taglio χ = 5/6, il qale mi permette di effettare n integraione molto più precisa. Riporteremo nelle varie tabelle i valori delle freqene fondamentali per le diverse teorie di tipo P V D, RMV T, sia per l eqivalent single layer che il mlti layer in fnione di determinati valori di m ed n e al variare dello spessore e del rapporto fra i de lati della piastra. Il fattore di adimensionaliaione della plsaione ω, fissate le proprietà fisiche del materiale e lo spessore della piastra, varia con la dimensione del lato a. Dai risltati ottenti si evidenia il problema del thickness locking anche per la dinamica e n novo fenomeno, del ttto inatteso, dell accoppiamento delle freqene fondamentali tra le teorie CLT tiliate con le diverse eqaioni costittive all amentare del rapporto a/b (sopratttto qando si hanno valori elevati), ma anche all amentare del nmero di semi-onde m ed n; tttavia qesti risltati relativi all accoppiamento delle freqene fondamentali dovranno essere lteriormenente stdiati nel dettaglio in modo tale da determinare le case reali di qesto fenomeno, cosa che non compete a qesto lavoro di tesi. Ogni tabella è relativa ad n certo valore di m ed n, in qanto tali valori sono il nmero di semionde che impongo nelle de direioni del piano, fissando così il modo di vibrare nel piano e, dato n certo modo di vibrare nel piano, ho ttta na serie di modi di vibrare lngo lo spessore. Fisicamente i modi di vibrare lngo lo spessore sarebbero infiniti, ma nel nostro caso il 5

111 5 Risltati per piastre mono e mlti strato loro nmero è pari al nmero di gradi di libertà della teoria matematica che si tilia per descrivere le grandee lngo lo spessore. In qesta prima parte ci limitiamo a riportare solo la freqena fondamentale per ciascna teoria, con la fidcia che esse corrispondino sempre allo stesso modo di vibrare, al variare del modello matematico tiliato. Ma per avere tale certea sarà necessario il plottaggio di ttti i modi di vibrare corrispondenti a ciascna teoria; ciò verrà fatto nel paragrafo sccessivo, a ci rimandiamo per maggiori dettagli sll argomento (Cfr.[6]). Ricordiamo che nelle ED ed EM C abbiamo sato le eqaioni costittive classiche evideniando così il TL; tttavia, se avessimo applicato le costittive di Kirchhoff alle teorie citate poc ani avremmo avto dei valori più vicini a qelli ottenti con le solioni 3D. 6

112 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Assessment delle freqene fondamentali a/b = a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = 2 CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = )

113 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = 5 a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) Tabella 5.8. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. χ = 5/6. Freqena ω = ω 8 a 4 ρ (E T )h 2.

114 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = 2 CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = )

115 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = 5 a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) Tabella 5.9. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,2. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. χ = 5/6. Freqena ω = ω a 4 ρ (E T )h 2.

116 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = 2 CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = )

117 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = 5 a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) Tabella 5.2. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 2,. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. χ = 5/6. Freqena ω = ω 2 a 4 ρ (E T )h 2.

118 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = 2 CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = )

119 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = 5 a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) Tabella 5.2. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 2,2. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. χ = 5/6. Freqena ω = ω 4 a 4 ρ (E T )h 2.

120 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = 2 CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = )

121 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = 5 a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) Tabella Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,5. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. χ = 5/6. Freqena ω = ω 6 a 4 ρ (E T )h 2.

122 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = 2 CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = )

123 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = 5 a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) Tabella Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. χ = 5/6. Freqena ω = ω 8 a 4 ρ (E T )h 2.

124 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = 2 CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = )

125 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = 5 a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) Tabella Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,5. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. χ = 5/6. Freqena ω = ω 2 a 4 ρ (E T )h 2.

126 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = 2 CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = )

127 5 Risltati per piastre mono e mlti strato a/b = 5 a/h CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) a/b = CLT CLT F SDT F SDT F SDT χ ED ED ED ED EMC EMC EMC EMC ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) Tabella Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. χ = 5/6. Freqena ω = ω 22 a 4 ρ (E T )h 2.

128 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Plottaggio dei modi Fissato n certo valore per m ed n, in altre parole impongo n certo modo di vibrare della piastra nel piano, a tale modo di vibrare nel piano corrispondono ttta na serie di modi di vibrare lngo lo spessore. I modi di vibrare lngo lo spessore sono pari al nmero di gradi di libertà del modello matematico che viene tiliato per descrivere il comportamento della piastra lngo lo spessore. Si sono così elaborate ttta na serie di tabelle, (dato n certo spessore della piastra, le dimensioni in pianta, ed il nmero di semionde lngo x e lngo y), in ci per le varie teorie si riportano ttte le freqene proprie corrispondenti ai vari gradi di libertà che il modello in oggetto impone. Data la complessità e la laboriosità del segente lavoro, le varie tabelle sono state fatte facendo variare m, n, a/b e lo spessore, ovvero il rapporto a/h. Ttti i modi relativi ai gradi di libertà di na data teoria sono stati plottati, qesto ci permette di capire i modi corrispondenti fra le varie teorie; infatti non basta ad esempio confrontare la prima plsaione di n dato modello matematico, con la prima plsaione di n altro modello matematico, ma bisogna pre accertarsi che tali freqene corrispondano allo stesso modo di vibrare. Ciò è stato fatto plottando per ogni teoria l andamento degli spostamenti x, y, lngo lo spessore. Le teorie prese in consideraione, sono le CLT, le FSDT con le diverse eqaioni costittive, e la ED (ma solo per il caso m,n =, a/b = e a/h = ) le qali prevedono n nmero di gradi di libertà pari a 6, e qindi 6 freqene (cioè 6 differenti modi di vibrare). Sono state tiliate le ED4, le ED4 D e le ED4 γ, che hanno rispettivamente 5 gradi di libertà. Nel plottare i modi lngo lo spessore, sono bastati solo le tre componenti dello spostamento, poichè i modelli matematici tiliati sono ttti con formlaione di tipo PVD, ossia hanno come nica variabile libera lo spostamento. Nel caso di piastra isotropa monostrato, osservando i grafici, si pò notare come ci sia na corrispondena più o meno rigorosa fra i diversi modi di vibrare ottenti con le varie teorie. Ad esempio il primo modo è sempre lo stesso per le varie teorie tiliate, ciò rislta pittosto chiaro dall osservaione degli andamenti degli spostamenti lngo lo spessore per la prima freqena. 23

129 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Freqene CLT CLT 2 F SDT F SDT 2 ED4 ED4 ED4 (N p = 4, N w = ) (γ = ) ω ω ω 3 6.4E2 6.4E2 6.4E2 6.4E ω ω ω ω ω ω E ω ω ω ω E ω E ω E a Tabella Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 4. Sono riportate ttte le freqene proprie adimensionaliate per ω = ω a 4 ρ (E T )h. Apice : costittive classiche; 2 apice 2: costittive di Kirchhoff. Nella figra sottostante riportiamo la legenda tiliata nei plottaggi dei modi per na comprensione migliore dei grafici. x y Figra 5.2. Legenda degli spostamenti. 24

130 5 Risltati per piastre mono e mlti strato CLT, m=, n=, ω =.856 CLT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT, m=, n=, ω 3 =6.4E2 CLT, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT, m=, n=, ω 5 =243 CLT, m=, n=, ω 6 = x y x y a Figra 5.2. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 4. CLT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. CLT2, m=, n=, ω =.856 CLT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT2, m=, n=, ω 3 =6.4E2 CLT2, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT2, m=, n=, ω 5 =243 CLT2, m=, n=, ω 6 = x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 4. CLT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 25

131 5 Risltati per piastre mono e mlti strato FSDT, m=, n=, ω =.856 FSDT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT, m=, n=, ω 3 =6.4E2 FSDT, m=, n=, ω 4 = x y x y FSDT, m=, n=, ω 5 =4.35 FSDT, m=, n=, ω 6 = x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 4. F SDT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. FSDT2, m=, n=, ω =.856 FSDT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT2, m=, n=, ω 3 =6.4E2 FSDT2, m=, n=, ω 4 = x y x y FSDT2, m=, n=, ω 5 =243 FSDT2, m=, n=, ω 6 = x y.5.5 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 4. F SDT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 26

132 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4, m=, n=, ω =.856 ED4, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y ED4, m=, n=, ω 3 =8.64 ED4, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4, m=, n=, ω 5 =7.575 ED4, m=, n=, ω 6 = x y.5.5 x y ED4, m=, n=, ω 7 = ED4, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4, m=, n=, ω 9 =9.85 ED4, m=, n=, ω = x y x y ED4, m=, n=, ω =9.89 ED4, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4, m=, n=, ω 3 = ED4, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4, m=, n=, ω 5 = x y a a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. h = 4. ED4. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 27

133 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4D, m=, n=, ω =.856 ED4D, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y ED4D, m=, n=, ω 3 =5.634 ED4D, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 5 = ED4D, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 7 =9.89 ED4D, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 9 =2.4E9 ED4D, m=, n=, ω = x y x y ED4D, m=, n=, ω =29.45 ED4D, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 3 =6.3E9 ED4D, m=, n=, ω 4 =2.5E6.5.5 x y x y ED4D, m=, n=, ω 5 =3.9E23.5 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 4. ED4 D. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 28

134 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4 γ, m=, n=, ω =.856 ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =22.48 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 = ED4 γ, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 7 = ED4 γ, m=, n=, ω 8 = x y -2 x y ED4 γ, m=, n=, ω 9 =62.58 ED4 γ, m=, n=, ω = x y -.5 x y ED4 γ, m=, n=, ω =9.89 ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =32.6 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 4. ED4 γ. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 29

135 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Freqene CLT CLT 2 F SDT F SDT 2 ED ED4 ED4 ED4 (N p = 4, N w = ) (γ = ) ω ω ω 3 4.E5 4.E5 4.E5 4.E ω ω 5 6.7E6 6.7E ω 6 6.7E6 6.7E E ω E5 925 ω 8.6E ω ω 2.4E5 2.5E2.2E5 ω.2e E5 ω E5 ω 3.2E5 3.9E ω E ω E Tabella Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. a b =. a h =. Sono riportate ttte le freqene proprie adimensionaliate per ω = ω a 4 ρ (E T )h. Apice : costittive classiche; 2 apice 2: costittive di Kirchhoff. 3

136 5 Risltati per piastre mono e mlti strato CLT, m=, n=, ω =27.39 CLT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT, m=, n=, ω 3 =4.E5 CLT, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT, m=, n=, ω 5 =6.7E6 CLT, m=, n=, ω 6 =6.7E x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h =. CLT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. CLT2, m=, n=, ω = CLT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT2, m=, n=, ω 3 =4.E5 CLT2, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT2, m=, n=, ω 5 =6.7E6 CLT2, m=, n=, ω 6 =6.7E x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h =. CLT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 3

137 5 Risltati per piastre mono e mlti strato FSDT, m=, n=, ω =27.39 FSDT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT, m=, n=, ω 3 =4.E5 FSDT, m=, n=, ω 4 = x y x y FSDT, m=, n=, ω 5 =262 FSDT, m=, n=, ω 6 = x y x y a Figra 5.3. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h =. F SDT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. FSDT2, m=, n=, ω = FSDT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT2, m=, n=, ω 3 =4.E5 FSDT2, m=, n=, ω 4 = x y x y FSDT2, m=, n=, ω 5 =267 FSDT2, m=, n=, ω 6 = x y x y a Figra 5.3. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h =. F SDT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 32

138 5 Risltati per piastre mono e mlti strato.5 ED, m=, n=, ω = ED, m=, n=, ω 2 = x y.5 x y ED, m=, n=, ω 3 = ED, m=, n=, ω 4 = x y.5 x y ED, m=, n=, ω 5 =262.5 ED, m=, n=, ω 6 =269 x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h =. ED. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 33

139 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4, m=, n=, ω =27.39 ED4, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y ED4, m=, n=, ω 3 =6.57 ED4, m=, n=, ω 4 = x y.5.5 x y ED4, m=, n=, ω 5 =922 ED4, m=, n=, ω 6 = x y.5 x y ED4, m=, n=, ω 7 =998 ED4, m=, n=, ω 8 =.6E x y - x y ED4, m=, n=, ω 9 =3852 ED4, m=, n=, ω =2.4E x y -3-2 x y ED4, m=, n=, ω =.2E5 ED4, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4, m=, n=, ω 3 =.2E5 ED4, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h =. ED4. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 34

140 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4D, m=, n=, ω =27.39 ED4D, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 3 =7.66 ED4D, m=, n=, ω 4 = x y.5.5 x y ED4D, m=, n=, ω 5 =3852 ED4D, m=, n=, ω 6 =.E5.5.5 x y x y ED4D, m=, n=, ω 7 =.2E5.5 ED4D, m=, n=, ω 8 =925.5 x y x y ED4D, m=, n=, ω 9 =997 ED4D, m=, n=, ω =2.5E x y x y ED4D, m=, n=, ω =79676 ED4D, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 3 =3.9E22 ED4D, m=, n=, ω 4 =.6E9.5 x y x y ED4D, m=, n=, ω 5 =2.4E26 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h =. ED4 D. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 35

141 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4 γ, m=, n=, ω =27.39 ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =7.659 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 =997 ED4 γ, m=, n=, ω 6 = x y.5 x y ED4 γ, m=, n=, ω 7 =925 ED4 γ, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 9 =3852 ED4 γ, m=, n=, ω =.2E x y -.5 x y ED4 γ, m=, n=, ω =2.4E5 ED4 γ, m=, n=, ω 2 =.2E x -2 y -3 x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =78224 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h =. ED4 γ. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 36

142 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Freqene CLT CLT 2 F SDT F SDT 2 ED4 ED4 ED4 (N p = 4, N w = ) (γ = ) ω ω ω 3.6E4.6E4.6E4.6E ω ω 5 2.7E5 2.7E ω 6 3.E5 3.E ω ω E ω ω ω ω ω E ω E ω E Tabella Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,. a b =. a h = 2. Sono riportate ttte le freqene proprie adimensionaliate per ω = ω a 4 ρ (E T )h. Apice : costittive classiche; 2 apice 2: costittive di Kirchhoff. 37

143 5 Risltati per piastre mono e mlti strato CLT, m=, n=, ω =429. CLT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT, m=, n=, ω 3 =.6E4 CLT, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT, m=, n=, ω 5 =2.7E5 CLT, m=, n=, ω 6 =3.E x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,. b =. a h = 2. CLT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. CLT2, m=, n=, ω =429. CLT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT2, m=, n=, ω 3 =.6E4 CLT2, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT2, m=, n=, ω 5 =2.7E5 CLT2, m=, n=, ω 6 =3.E x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,. b =. a h = 2. CLT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 38

144 5 Risltati per piastre mono e mlti strato FSDT, m=, n=, ω =429. FSDT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT, m=, n=, ω 3 =.6E4 FSDT, m=, n=, ω 4 = x y x y FSDT, m=, n=, ω 5 = FSDT, m=, n=, ω 6 = x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,. b =. a h = 2. F SDT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. FSDT2, m=, n=, ω =429. FSDT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT2, m=, n=, ω 3 =.6E4 FSDT2, m=, n=, ω 4 = x y x y FSDT2, m=, n=, ω 5 = FSDT2, m=, n=, ω 6 = x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,. b =. a h = 2. F SDT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 39

145 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4, m=, n=, ω =429. ED4, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y ED4, m=, n=, ω 3 = ED4, m=, n=, ω 4 =44..5 x y x y ED4, m=, n=, ω 5 =99.8 ED4, m=, n=, ω 6 = x y.5 x y ED4, m=, n=, ω 7 =78.5 ED4, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4, m=, n=, ω 9 =65.2 ED4, m=, n=, ω = x y x y ED4, m=, n=, ω = ED4, m=, n=, ω 2 = x y -2 x y ED4, m=, n=, ω 3 = ED4, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4, m=, n=, ω 5 = x y a Figra 5.4. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,. b =. a h = 2. ED4. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 4

146 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4D, m=, n=, ω =429. ED4D, m=, n=, ω 2 = x y.5.5 x y ED4D, m=, n=, ω 3 = ED4D, m=, n=, ω 4 = x y.5.5 x y ED4D, m=, n=, ω 5 =77.2 ED4D, m=, n=, ω 6 = x y.5.5 x y ED4D, m=, n=, ω 7 = ED4D, m=, n=, ω 8 =.5E.5 x y x y ED4D, m=, n=, ω 9 =879.6 ED4D, m=, n=, ω = x y.5.5 x y ED4D, m=, n=, ω =338.9 ED4D, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 3 =.6E2 ED4D, m=, n=, ω 4 =6.3E x y x y ED4D, m=, n=, ω 5 =9.8E x y a Figra 5.4. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,. b =. a h = 2. ED4 D. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 4

147 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4 γ, m=, n=, ω =429. ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y.5 x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =87.5 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 =865.4 ED4 γ, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 7 =89.6 ED4 γ, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 9 = ED4 γ, m=, n=, ω = x y - x y ED4 γ, m=, n=, ω = ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =328.2 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n = 5,. b =. a h = 2. ED4 γ. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 42

148 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Freqene CLT CLT 2 F SDT F SDT 2 ED4 ED4 ED4 (N p = 4, N w = ) (γ = ) ω ω ω 3.6E4.6E4.6E4.6E ω ω 5 3.E5 3.E ω 6 2.7E5 2.7E ω ω ω E ω ω ω ω E ω E ω E Tabella Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,5. a b =. a h = 2. Sono riportate ttte le freqene proprie adimensionaliate per ω = ω a 4 ρ (E T )h. Apice : costittive classiche; 2 apice 2: costittive di Kirchhoff. 43

149 5 Risltati per piastre mono e mlti strato CLT, m=, n=, ω =87.52 CLT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT, m=, n=, ω 3 =.6E4 CLT, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT, m=, n=, ω 5 =3.E5 CLT, m=, n=, ω 6 =2.7E5.5.5 x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,5. b =. a h = 2. CLT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. CLT2, m=, n=, ω = CLT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT2, m=, n=, ω 3 =.6E4 CLT2, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT2, m=, n=, ω 5 =3.E5 CLT2, m=, n=, ω 6 =2.7E x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,5. b =. a h = 2. CLT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 44

150 5 Risltati per piastre mono e mlti strato FSDT, m=, n=, ω =87.52 FSDT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT, m=, n=, ω 3 =.6E4 FSDT, m=, n=, ω 4 = x y x y FSDT, m=, n=, ω 5 =253.4 FSDT, m=, n=, ω 6 = x y.5.5 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,5. b =. a h = 2. F SDT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. FSDT2, m=, n=, ω = FSDT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT2, m=, n=, ω 3 =.6E4 FSDT2, m=, n=, ω 4 = x y x y FSDT2, m=, n=, ω 5 =76.6 FSDT2, m=, n=, ω 6 = x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,5. b =. a h = 2. F SDT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 45

151 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4, m=, n=, ω =429. ED4, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y ED4, m=, n=, ω 3 = ED4, m=, n=, ω 4 =44..5 x y x y ED4, m=, n=, ω 5 =99.8 ED4, m=, n=, ω 6 = x y.5 x y ED4, m=, n=, ω 7 =78.5 ED4, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4, m=, n=, ω 9 =65.2 ED4, m=, n=, ω = x y x y ED4, m=, n=, ω = ED4, m=, n=, ω 2 = x y -2 x y ED4, m=, n=, ω 3 = ED4, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,5. b =. a h = 2. ED4. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 46

152 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4D, m=, n=, ω =429. ED4D, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 3 =87.52 ED4D, m=, n=, ω 4 = x y.5.5 x y ED4D, m=, n=, ω 5 =77.2 ED4D, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 7 = ED4D, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 9 =8.8E ED4D, m=, n=, ω = x y x y ED4D, m=, n=, ω =338.9 ED4D, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 3 =.6E2 ED4D, m=, n=, ω 4 =6.3E7.5.5 x y x y ED4D, m=, n=, ω 5 =9.8E24.5 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,5. b =. a h = 2. ED4 D. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 47

153 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4 γ, m=, n=, ω =429. ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =87.5 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 =865.4 ED4 γ, m=, n=, ω 6 = x y.5 x y ED4 γ, m=, n=, ω 7 =879.6 ED4 γ, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 9 = ED4 γ, m=, n=, ω = x y - x y ED4 γ, m=, n=, ω = ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =328.2 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,5. b =. a h = 2. ED4 γ. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 48

154 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Freqene CLT CLT 2 F SDT F SDT 2 ED4 ED4 ED4 (N p = 4, N w = ) (γ = ) ω ω ω 3.6E4.6E4.6E4.6E ω ω 5 2.7E5 2.7E ω 6 3.2E5 3.2E ω ω ω E ω ω ω ω E ω E ω E a Tabella 5.3. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. Sono riportate ttte le freqene proprie adimensionaliate per ω = ω a 4 ρ (E T )h. Apice : costittive 2 classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. 49

155 5 Risltati per piastre mono e mlti strato CLT, m=, n=, ω = CLT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT, m=, n=, ω 3 =.6E4 CLT, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT, m=, n=, ω 5 =2.7E5 CLT, m=, n=, ω 6 =3.2E x y x y Figra 5.5. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. a b =. a h = 2. CLT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. CLT2, m=, n=, ω = CLT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y CLT2, m=, n=, ω 3 =.6E4 CLT2, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT2, m=, n=, ω 5 =2.7E5 CLT2, m=, n=, ω 6 =3.2E x y -.5 x y Figra 5.5. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. a b =. a h = 2. CLT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 5

156 5 Risltati per piastre mono e mlti strato FSDT, m=, n=, ω = FSDT, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT, m=, n=, ω 3 =.6E4 FSDT, m=, n=, ω 4 = x y x y FSDT, m=, n=, ω 5 =5.4 FSDT, m=, n=, ω 6 = x y.5.5 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. F SDT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. FSDT2, m=, n=, ω = FSDT2, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y FSDT2, m=, n=, ω 3 =.6E4 FSDT2, m=, n=, ω 4 = x y.5.5 x y FSDT2, m=, n=, ω 5 =324.3 FSDT2, m=, n=, ω 6 = x y.5 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. F SDT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 5

157 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4, m=, n=, ω = ED4, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y ED4, m=, n=, ω 3 =87.62 ED4, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4, m=, n=, ω 5 =243.9 ED4, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4, m=, n=, ω 7 =2.7 ED4, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4, m=, n=, ω 9 = ED4, m=, n=, ω = x -2 y -3 x y ED4, m=, n=, ω = ED4, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4, m=, n=, ω 3 = ED4, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. ED4. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 52

158 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4D, m=, n=, ω = ED4D, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 3 = ED4D, m=, n=, ω 4 = x y.5.5 x y ED4D, m=, n=, ω 5 =894.5 ED4D, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 7 = ED4D, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 9 =7.2E ED4D, m=, n=, ω = x y -.5 x y ED4D, m=, n=, ω = ED4D, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 3 =.6E2 ED4D, m=, n=, ω 4 =6.3E7.5.5 x y x y ED4D, m=, n=, ω 5 =9.8E24.5 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. ED4 D. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 53

159 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4 γ, m=, n=, ω = ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y.5 x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =2.3 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 =992.2 ED4 γ, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 7 = ED4 γ, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 9 =372.7 ED4 γ, m=, n=, ω = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω = ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 = ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. ED4 γ. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 54

160 5 Risltati per piastre mono e mlti strato Freqene CLT CLT 2 F SDT F SDT 2 ED4 ED4 ED4 (N p = 4, N w = ) (γ = ) ω ω ω 3.6E4.6E4.6E4.6E ω ω 5 2.7E5 2.7E ω 6 2.9E5 2.9E ω ω ω E ω ω ω ω E ω E ω E Tabella 5.3. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. a b =. a h = 2. Sono riportate ttte le freqene proprie adimensionaliate per ω = ω a 4 ρ (E T )h. Apice : costittive classiche; 2 apice 2: costittive di Kirchhoff. 55

161 5 Risltati per piastre mono e mlti strato CLT, m=, n=, ω = CLT, m=, n=, ω 2 = x y x y CLT, m=, n=, ω 3 =.6E4 CLT, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT, m=, n=, ω 5 =2.7E5 CLT, m=, n=, ω 6 =2.9E x y x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. CLT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. CLT2, m=, n=, ω = CLT2, m=, n=, ω 2 = x y x y CLT2, m=, n=, ω 3 =.6E4 CLT2, m=, n=, ω 4 = x y x y CLT2, m=, n=, ω 5 =2.7E5 CLT2, m=, n=, ω 6 =2.9E x y -.5 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. CLT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 56

162 5 Risltati per piastre mono e mlti strato FSDT, m=, n=, ω = FSDT, m=, n=, ω 2 = x y x y FSDT, m=, n=, ω 3 =.6E4 FSDT, m=, n=, ω 4 = x y.5.5 x y FSDT, m=, n=, ω 5 =254.8 FSDT, m=, n=, ω 6 = x y -.5 x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. F SDT. Apice : costittive classiche. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. FSDT2, m=, n=, ω = FSDT2, m=, n=, ω 2 = x y x y FSDT2, m=, n=, ω 3 =.6E4 FSDT2, m=, n=, ω 4 = x y.5.5 x y FSDT2, m=, n=, ω 5 =23.46 FSDT2, m=, n=, ω 6 = x y -.5 x y a Figra 5.6. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. F SDT 2. Apice 2: costittive di Kirchhoff. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 57

163 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4, m=, n=, ω = ED4, m=, n=, ω 2 = x y -.5 x y ED4, m=, n=, ω 3 = ED4, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4, m=, n=, ω 5 =875. ED4, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4, m=, n=, ω 7 =3.3 ED4, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4, m=, n=, ω 9 = ED4, m=, n=, ω = x y - x y ED4, m=, n=, ω =478. ED4, m=, n=, ω 2 = x y -2 x y ED4, m=, n=, ω 3 =294.7 ED4, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4, m=, n=, ω 5 = x y a Figra 5.6. Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. ED4. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 58

164 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4D, m=, n=, ω = ED4D, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 3 = ED4D, m=, n=, ω 4 = x y.5.5 x y ED4D, m=, n=, ω 5 =82.4 ED4D, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 7 = ED4D, m=, n=, ω 8 = x y x y ED4D, m=, n=, ω 9 = ED4D, m=, n=, ω = x y x y ED4D, m=, n=, ω =478. ED4D, m=, n=, ω 2 = x y.5 x y ED4D, m=, n=, ω 3 =334.8 ED4D, m=, n=, ω 4 = x y -.5 x y ED4D, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. ED4 D. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 59

165 5 Risltati per piastre mono e mlti strato ED4 γ, m=, n=, ω = ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 = ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 =82.4 ED4 γ, m=, n=, ω 6 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 7 = ED4 γ, m=, n=, ω 8 = x y -2 x y ED4 γ, m=, n=, ω 9 = ED4 γ, m=, n=, ω = x y -3 x y ED4 γ, m=, n=, ω = ED4 γ, m=, n=, ω 2 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 3 =334.8 ED4 γ, m=, n=, ω 4 = x y x y ED4 γ, m=, n=, ω 5 = x y a Figra Piastra in lega di allminio 224-T6. m,n =,. b =. a h = 2. ED4 γ. Andamento degli spostamenti x, y e lngo lo spessore per i vari modi di vibrare. 6

166 Capitolo 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply 6. Introdione Qesto capitolo sarà dedicato ai risltati ottenti attraverso lo stdio di n analisi statica e di na dinamica s pannelli sandwich con varie rigidee del core e differenti pelli. Inoltre analieremo solamente attraverso n analisi statica piastre cross ply con differente disposiione delle fibre. Utilieremo le informaioni ottente nel capitolo 4 nel qale si evideniò che solamente alcne correioni prodcevano risltati soddisfacenti. I risltati ottenti si riferiscono al confronto tra le principali teorie per piastre ed alla ricerca del meccanismo del thickness locking sllo spostamento w, slla freqena ω, opportnamente adimensionaliati, slla σ xx, slla σ x relative ad n determinato rapporto a/h ed infine saranno riportati gli andamenti delle tensioni citate poc ani inerenti alle principali teorie. Il carico bi-sinsoidale applicato al top della sperficie vale p (x,y) = p sin( mx a ) sin(ny b ) (6.) dove p =, a,b sono le dimensioni della piastra e m,n sono le semionde imposte. 6.2 Analisi statica PVD ed RMVT In qesto paragrafo stdieremo i vari pannelli e piastre citati attraverso l applicaione della formlaione agli spostamenti (PVD) e la formlaione mista (RMVT) sando le principali teorie e correioni analiate nei precedenti capitoli e con i modelli eqivalent single layer (ESL) ed layer wise (LW). 6

167 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply 6.2. Pannello sandwich I pannelli sandwich hanno il pregio di essere leggeri e di possedere adegate doti di rigidea e robstea. Essi sono composti generalmente da de laminati (pelli), distanti fra loro qalche centimetro, con interposto e collegato n materiale di riempimento a bassa densità (core). Qest ltimo è generalmente costitito da balsa, da resine espanse (PVC) a celle chise con caratteristiche di stabilità nel tempo, favi a strttra a nido d ape incollate con collanti epossidici alle pelli ed infine carta impregnata di resina fenolica che fnge da collante, o, per laminati in composito, con la resina sata per il materiale delle facce. Il pannello sandwich tiliato è costitito da 3 strati con n core in honeycomb e la pelle in lega di allminio 224 T 6. Il nido d ape del pannello sandwich viene costrito in fogli di fibra aramidica, con nome commerciale Nomex. Le proprietà elastiche e meccaniche dei materiali tiliati sono riportate nella tabella 6. mentre le caratteristiche geometriche del pannello sono riportate nella figra 6.. Anche sl pannello sandwich faremo n analisi statica calcolando lo spostamento w attraverso l asilio delle teorie P V D e RMV T sia in eqivalent single layer che in mlti layer osservando come qest ltimi prodcono risltati migliori anche se, a casa dell anisotropia del materiale, i valori ricavati con na teoria LM 4, ad esempio, siano leggermente differenti rispetto alla teoria CLT 2 mentre nel caso della piastra isotropa mltistrato avevamo visto come tali risltati coincidevano; infatti, per qesto tipo di materiali le CLT 2 e F SDT 2 non sono molto efficaci (na discssione più approfondita s qest ltimo argomento sarà fatta nel paragrafo sccessivo attraverso la variaione della rigidea del core del pannello). I valori ottenti nelle tabelle 6.2 e 6.3 sono adimensionaliati con E T della pelle e valtati in meeria. Infine riporteremo nella tabella 6. i valori della σ xx, riferiti al top ed i valori della σ x riferiti in meeria. Ricordiamo che nelle ED, EDZ ed EM C abbiamo sato le eqaioni costittive classiche evideniando così il TL; tttavia, se avessimo applicato le costittive di Kirchhoff alle teorie citate poc ani avremmo avto dei valori più vicini a qelli ottenti con le solioni 3D. 62

168 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply Proprietà Strato 3 Al 224 E [GP a] 73 ν.34 G [GP a] ρ [Kg/m 3 ] 28 h = h 3 [cm]. Strato 2 Nomex E L = E T [MP a]. E [MP a] ν. G [MP a] 22.5 ρ [Kg/m 3 ] 32 h 2 [cm].8 Tabella 6.. Proprietà elastiche e geometriche del pannello sandwich con core in Nomex. Figra 6.. Geometria del pannello sandwich. 63

169 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h CLT CLT F SDT F SDT PVD ED ED ED ED EDZ EDZ EDZ ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) RMVT EMC EMC EMC EMC EMZC EMZC EMZC EMZC3(N p = 4, N w = ) EMC4(γ = ) Tabella 6.2. Pannello sandwich con core in Nomex. Analisi statica. a b w = U (E T ) pelle h 3 p a 4 =. Spostamento. ESL. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. 64

170 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h CLT CLT F SDT F SDT PVD LD LD LD LD LD4(γ = ) RMVT LM LM LM LM LM4(γ = ) Tabella 6.3. Pannello sandwich con core in Nomex. Analisi statica. a b w = U (E T ) pelle h 3 p a 4 =. Spostamento. LW. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff. 65

171 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h = 4 a/h = a/h = 4 a/h = CLT CLT F SDT F SDT CLT 3D CLT 2 3D F SDT 3D F SDT 2 3D ED EDZ ED4(N p = 4, N w = ) ED4(γ = ) EMC EMZC EMZC3(N p = 4, N w = ) EMC4(γ = ) LD LD4(γ = ) LM LM4(γ = ) σ xx σ x Tabella 6.4. Pannello sandwich con core in Nomex. Valori della σ xx e della σ x. Apice : costittive classiche; apice 2: costittive di Kirchhoff Grafici Di segito plotteremo gli andamenti delle tensioni σ xx e della σ x in fnione dello spessore tenendo in consideraione l andamento errato della σ x rispetto all andamento corretto sempre della σ x, ma ricavata dal file 3D. Dai plottaggi segenti possiamo osservare come il meccanismo del thickness locking sia molto più ridotto nell andamento della σ x rispetto alla σ xx, come non ci sia na grande differena tra le teorie CLT e CLT 2 riportate negli andamenti di σ x e come i plottaggi basati slla teoria LMN siano più efficaci rispetto a qelli basati slla teoria EDN; in particolar modo per qesto tipo di materiali si pò osservare come sia molto più preciso e affidabile sare modelli LMN rispetto ai modelli EDN. 66

172 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply 5 σ xx a/h=4 CLT CLT2 FSDT FSDT2 5 CLT CLT2 ED4 EDZ3 ED4D ED4 γ LD4 σ xx a/h=4 σ xx σ xx σ xx a/h=4 σ xx a/h=4 5 CLT CLT2 EM4 EMZ3 EMZ3D EM4 γ 5 CLT CLT2 LD4 LD4 γ LM4 LM4 γ σ xx σ xx Figra 6.2. Pannello sandwich con core in Nomex. Andamento della σ xx in fnione dello a spessore. h = 4. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. σ xx a/h= σ xx a/h= σ xx 4 2 CLT CLT2 FSDT FSDT2 σ xx 4 2 CLT CLT2 ED4 EDZ3 ED4D ED4 γ LD σ xx a/h= σ xx a/h= 4 2 CLT CLT2 EM4 EMZ3 EMZ3D EM4 γ 4 2 CLT CLT2 LD4 LD4 γ LM4 LM4 γ σ xx σ xx Figra 6.3. Pannello sandwich con core in Nomex. Andamento della σ xx in fnione dello a spessore. h =. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 67

173 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply 3.5 σ x a/h=4 3 σ x a/h=4 σ x CLT CLT2 FSDT FSDT2 CLT 3D CLT2 3D FSDT 3D FSDT2 3D σ x 2 CLT 3D CLT2 3D ED4 EDZ3 ED4D ED4 γ σ x a/h=4 3.5 σ x a/h=4 σ x 2 σ x CLT 3D CLT2 3D CLT CLT2 LD4 LD4 γ LM4 LM4 γ CLT 3D CLT2 3D EM4 EMZ3 EMZ3D EM4 γ Figra 6.4. Pannello sandwich con core in Nomex. Andamento della σ x in fnione dello a spessore. h = 4. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. σ x σ x a/h= CLT CLT2 FSDT FSDT2 CLT 3D CLT2 3D FSDT 3D FSDT2 3D σ x σ x a/h= CLT 3D CLT2 3D CLT CLT2 ED4 EDZ3 ED4D ED4 γ σ x a/h= σ x a/h= σ x CLT 4 3D CLT2 3D CLT CLT2 2 EM4 EMZ3 EMZ3D EM4 γ σ x 8 6 CLT 3D CLT2 3D CLT CLT2 LD4 LD4 γ LM4 LM4 γ Figra 6.5. Pannello sandwich con core in Nomex. Andamento della σ x in fnione dello a spessore. h =. : eqaioni costittive classiche; 2: eqaioni costittive di Kirchhoff. 68

174 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply Pannello sandwich con rigidea variabile L obiettivo di qesto sottoparagrafo è qello di stdiare come la rigidea del core del pannello infleni le varie teorie. Ttto ciò sarà fatto analiando lo spostamento w e le tensioni σ xx e σ x al variare della rigidea del core e della pelle del pannello ed applicando le teorie principali già viste nei capitoli precedenti. Tali risltati saranno confrontati con il pannello sandwich con core in Nomex descritto nel paragrafo antecedente. Per far ciò sarà preso in consideraione n pannello sandwich con 3 e 5 strati. La pelle del pannello a 3 strati è costitita dall allminio 224 T 6 mentre il core è sempre in Nomex, ma con n modlo di rigidea ridotto. La pelle del pannello a 5 strati, invece, è costitita da n materiale composito con disposiione simmetriche delle fibre a /9 e a 9/ gradi, mentre il core è in Nomex. Per le proprietà elastiche e meccaniche dei materiali tiliati fare riferimento alle tabelle 6.5, 6.6 e 6.7. I valori della σ xx sono riferiti al top mentre i valori della σ x sono riferiti in meeria. Gli spostamenti ottenti sono adimensionaliati con E T della pelle del pannello. Infine, riporteremo in modo completo i valori nmerici dei nclei della matrice di rigidea per le teorie ED2 ed LD2, ma con rigidee del core del pannello differenti, in maniera tale da evideniarne le profonde differene. Proprietà Strato 3 (Al 224) E [GP a] 73 ν.34 G [GP a] ρ [Kg/m 3 ] 28 h = h 3 [cm]. Strato 2 (Nomex: modlo diviso ) E L = E T [MP a]. E [MP a].7585 ν. G [MP a].225 ρ [Kg/m 3 ].32 h 2 [cm].8 Tabella 6.5. Proprietà elastiche e geometriche del pannello sandwich con rigidea del core ridotta. 69

175 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply Proprietà Strato 3 (Al 224) E [GP a] 73 ν.34 G [GP a] ρ [Kg/m 3 ] 28 h = h 3 [cm]. Strato 2 (Nomex: modlo diviso 2 ) E L = E T [µpa]. E [µpa] ν. G [µpa] 22.5 ρ [Kg/m 3 ] 3.2E h 2 [cm].8 Tabella 6.6. Proprietà elastiche e geometriche del pannello sandwich con elevata ridione della rigidea del core. Proprietà Strato 2 (Composito) E L [GP a] 5 E T = E [GP a] ν.25 G [GP a] 5 ρ [Kg/m 3 ] 6 h = h 2 [cm].5 ϑ : orientamento [deg] /9 Strato 3 (Nomex) E L = E T [MP a]. E [MP a] ν. G [MP a] 22.5 ρ [Kg/m 3 ] 32 h 3 [cm].8 Strato 4 5 (Composito) E L [GP a] 5 E T = E [GP a] ν.25 G [GP a] 5 ρ [Kg/m 3 ] 6 h 4 = h 5 [cm].5 ϑ : orientamento [deg] 9/ Tabella 6.7. Proprietà elastiche e geometriche del pannello sandwich con pelle in composito. 7

176 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply Nelle tabelle segenti la CLT e la F SDT sarannno sate solamente attraverso l applicaione delle eqaioni costittive di Kirchhoff. a/h 4 Err. Err. Err. Err. 3D % 49.7 % 7.88 % % CLT (99.) (96.3) (22.4) (.32) FSDT (98.3) (95.8) (22.3) 5.58 (.32) Tabella 6.8. (E Pannello sandwich con core in Nomex. w = U T ) pelle h 3 p a 4 calcolato in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie Classiche. a/h 4 Err. Err. Err. Err. 3D 37.6 % 26.3 % 49.5 % 7.9 % CLT (99.6) (99.6) (96.3) (22.4) FSDT (99.3) (99.5) (96.3) (22.4) (E Tabella 6.9. Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. w = U T ) pelle h 3 p a calcolato 4 in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie Classiche. a/h 4 Err. Err. Err. Err. 3D % % % % CLT (97.6) (88.) (6.99) (.7) FSDT (95.) (86.) (6.83) (.8) (E Tabella 6.. Pannello sandwich con pelle in composito. w = U T ) pelle h 3 p a calcolato in 4 meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie Classiche. 7

177 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h 4 Err. Err. σ xx 3D % % CLT (9.2) 472. (2.7) F SDT (9.2) 472. (2.7) σ x from 3D eqations 3D.453 % % CLT.746 (73.8) 7.65 (.2) F SDT.746 (73.8) 7.65 (.2) σ x from Costittive eqations 3D.453 % % CLT F SDT.26 (99.3).655 (99.6) Tabella 6.. Pannello sandwich con core in Nomex. Analisi statica. σ xx calcolata al top. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie Classiche. a/h 4 Err. Err. σ xx 3D 48.6 % 4535 % CLT (98.4) (7.3) F SDT (98.4) (7.3) σ x from 3D eqations 3D 9.4E-3 % % CLT.7446 (> ) 7.6 (.9) F SDT.7446 (> ) 7.6 (.9) σ x from Costittive eqations 3D 9.4E-3 % % CLT F SDT 2.6E-5 (99.7) 6.6E-4 () Tabella 6.2. Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. Analisi statica. σ xx calcolata al top. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie Classiche. 72

178 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h 4 Err. Err. Err. Err. 3D % 49.7 % 7.88 % % ED (98.3) (95.8) (22.3) 5.58 (.32) ED2.67 (98.3) (95.8) (22.2) (.28) ED3.85 (82.9) (85.3) (2.) (.25) ED4.72 (82.8) (85.2) (2.) (.25) Tabella 6.3. (E Pannello sandwich con core in Nomex. w = U T ) pelle h 3 p a 4 calcolato in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie EDN. a/h 4 Err. Err. 3D % 7.88 % ED ED ED(N p = 4, N w = ) ED4(N p = 4, N w = ) (E Tabella 6.4. Pannello sandwich con core in Nomex. w = U T ) pelle h 3 p a calcolato in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie EDN. 4 Effetto della σ. a/h 4 Err. Err. Err. Err. 3D 37.6 % 26.3 % 49.5 % 7.9 % ED (99.3) (99.5) (96.3) (22.4) ED2.8 (99.3) (99.5) (96.3) (22.4) ED3.42 (9.9) (98.) (96.) (22.3) ED (9.8) (98.) (96.) (22.3) (E Tabella 6.5. Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. w = U T ) pelle h 3 p a calcolato 4 in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie EDN. 73

179 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h 4 Err. Err. 3D.453 % % ED.746 (73.8) 7.65 (.2) ED2.746 (73.8) 7.65 (.2) ED (57.7) 7.62 (.) ED (6.8) 7.6 (.) Tabella 6.6. Pannello sandwich con core in Nomex. Analisi statica. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie EDN. a/h 4 Err. Err. 3D 9.4E-3 % % ED.7446 (> ) 7.6 (.9) ED (> ) 7.6 (.9) ED (> ) 7.68 (.8) ED4.658 (> ) 7.69 (.8) Tabella 6.7. Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. Analisi statica. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie EDN. a/h 4 Err. Err. Err. Err. 3D % 49.7 % 7.88 % % EDZ (.) (.) (.) (.3) EDZ (4.) 44.2 (3.67) (.2) (.) EDZ (4.) 44.2 (3.67) (.2) (.) Tabella 6.8. (E Pannello sandwich con core in Nomex. w = U T ) pelle h 3 p a 4 calcolato in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie EDZN. 74

180 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h 4 Err. Err. Err. Err. 3D 37.6 % 26.3 % 49.5 % 7.9 % EDZ 348. (.65) 257. (.25) 49.5 (.) (.) EDZ (27.3) (25.) 44.9 (3.56) 7.89 (.) EDZ (27.3) (25.) 44.9 (3.56) 7.89 (.) (E Tabella 6.9. Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. w = U T ) pelle h 3 p a calcolato 4 in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie EDZN. a/h 4 Err. Err. 3D.453 % % EDZ.434 (.47) (.) EDZ (3.7) (.4) EDZ3.349 (3.7) (.4) Tabella 6.2. Pannello sandwich con core in Nomex. Analisi statica. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie EDZN. a/h 4 Err. Err. 3D 9.4E-3 % % EDZ 9.3E-3 (.6) (.) EDZ2 6.9E-3 (26.6) 5.6 (3.7) EDZ3 6.9E-3 (26.6) 5.6 (3.7) Tabella 6.2. Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. Analisi statica. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie EDZN. 75

181 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h 4 Err. Err. Err. 3D % 49.7 % 7.88 % LD (4.3) (3.93) (.9) LD (.) 49.7 (.) 7.88 (.) LD (.) 49.7 (.) 7.88 (.) LD (.) 49.7 (.) 7.88 (.) Tabella (E Pannello sandwich con core in Nomex. w = U T ) pelle h 3 p a 4 calcolato in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie LDN. a/h 4 Err. Err. Err. 3D 37.6 % 26.3 % 49.5 % LD (27.4) 943. (25.2) 43.8 (3.82) LD2 37. (.4) 26.2 (.) 49.5 (.) LD (.) 26.3 (.) 49.5 (.) LD (.) 26.3 (.) 49.5 (.) (E Tabella Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. w = U T ) pelle h 3 p a calcolato 4 in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie LDN. a/h 4 Err. Err. 3D.453 % % LD.3496 (3.7) 7.56 (.9) LD2.452 (.2) (.) LD3.453 (.) (.) LD4.453 (.) (.) Tabella Pannello sandwich con core in Nomex. Analisi statica. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie LDN. 76

182 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h 4 Err. Err. 3D 9.4E-3 % % LD 6.9E-3 (26.6) 5.42 (3.82) LD2 9.4E-3 (.) (.) LD3 9.4E-3 (.) (.) LD4 9.4E-3 (.) (.) Tabella Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. Analisi statica. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie LDN. a/h 4 Err. Err. Err. 3D % 49.7 % 7.88 % LM (.) (.4) 7.88 (.) LM (.) 49.7 (.) 7.88 (.) LM (.) 49.7 (.) 7.88 (.) LM (.) 49.7 (.) 7.88 (.) Tabella (E Pannello sandwich con core in Nomex. w = U T ) pelle h 3 p a 4 calcolato in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie LDN. a/h 4 Err. Err. Err. 3D 37.6 % 26.3 % 49.5 % LM (.52) (.24) 49.5 (.) LM (.) 26.3 (.) 49.5 (.) LM (.) 26.3 (.) 49.5 (.) LM (.) 26.3 (.) 49.5 (.) (E Tabella Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. w = U T ) pelle h 3 p a calcolato 4 in meeria. Analisi statica: carico p al top. m,n =. Confronto tra le solioni 3D e le teorie LMN. 77

183 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply a/h 4 Err. Err. 3D.453 % % LM (58.7) 7.29 (.72) LM2.455 (.5) (.) LM3.449 (.) (.) LM4.453 (.) (.) Tabella Pannello sandwich con core in Nomex. Analisi statica. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie LMN. a/h 4 Err. Err. 3D 9.4E-3 % % LM 9.4E-3 (.) (.) LM2 9.3E-3 (.6) (.) LM3 9.9E-3 (5.32) (.) LM4 9.4E-3 (.) (.) Tabella Pannello sandwich con rigidea del core ridotta. Analisi statica. σ x calcolata in meeria. Confronto tra le solioni 3D e le teorie LMN. Dalle tabelle antecedenti si conferma l ipotesi fatta all iniio del paragrafo 6.2., vale a dire che la variaione della rigidea del core del pannello infleni pesantemente il comportamento delle teorie classiche. Infatti, ridcendo la rigidea del core osserviamo come l errore amenti in modo considerevole se confrontiamo le solioni 3D con la CLT e le EDN sia per lo spostamento che per le tensioni (l errore nella CLT amenta dallo.32% per il pannello con il Nomex al 22.4% per il pannello con la rigidea del core ridotta nel caso, ad esempio, dello spostamento) e qindi i modelli basati slle CLT e F SDT non sono affatto efficienti per qesto tipo di materiali. L so di teorie più raffinate rispetto a qelle citate poc ani ci porta a concldere come la variaione della rigidea del core del pannello non infleni più di tanto, infatti, l errore commesso è trascrabile se non addirittra nllo. Infine notiamo che se nel pannello sandwich con core in Nomex sostitiamo le pelli d allminio con del composito l errore si ridce graie alle differenti caratteristiche meccaniche di qesto tipo materiale; tttavia, anche per esso le ipotesi fatte poc ani si mantengono valide nonostante qesta ridione. 78

184 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply Figra 6.6. [K] del pannello sandwich con core in Nomex calcolate con le teorie ED2, riportata in alto, ed con la teoria LD2 riportata in basso. a/h =. 79

185 6 Risltati per pannelli sandwich e piastre cross ply Figra 6.7. [K] del pannello sandwich con elevata ridione della rigidea del core calcolate con le teorie ED2, riportata in alto, ed con la teoria LD2 riportata in basso. a/h = Grafici Nei grafici segenti si confermano ttte le ipotesi svolte nella seione precedente; infatti sia per la σ xx che per la σ x le teorie classiche (con le eqaioni costittive di Kirchhoff ) e qelle più raffinate coincidono con le solioni 3D per rapporti a/h = nel caso del pannello sandwich con core in Nomex, mentre nei pannelli con le rigidee del core ridotte le teorie classiche e qelle più raffinate non coicidono con le solioni 3D. 8