Confronto fra diverse Teorie per l Analisi Termoelastica di Piastre Multistrato

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1 POLITECNICO DI TORINO Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaiale Tesi di Laurea Confronto fra diverse Teorie per l Analisi Termoelastica di Piastre Multistrato Relatore: Prof. Erasmo Carrera Candidato: Angelo Ciuffreda Luglio 23

2 Ringraiamenti Ringraio in particolar modo il Prof. Carrera che mi ha seguito in questi mesi permettendomi con le sue indicaioni di risolvere i problemi via via incontrati e di portare a termine un lavoro impegnativo ma gratificante. Voglio ringraiare i miei genitori che hanno sempre sostenuto le mie scelte standomi vicino ed incoraggiandomi nei momenti più duri, non facendomi mai mancare il loro appoggio. A loro prima di tutti devo il raggiungimento di questo obiettivo. Da ultimo, desidero ringraiare in modo speciale Flavia, che ha condiviso con me le gioie e le fatiche del mio cammino universitario. Aiutandomi e consigliandomi ha rappresentato per me una fonte di fora e di coraggio. A lei dedico questa tesi. I

3 Indice Ringraiamenti I 1 Generalità sulle strutture multistrato Introduione Requisiti C Sintesi e contenuto dei vari capitoli Modelli bidimensionali per strutture multistrato Introduione Piastra Sistemi di riferimento Legge di Hooke Relaioni deformaioni spostamenti Principio dei lavori virtuali (PLV) Equaione variaionale mista di Reissner Piastra in presena di gradiente termico Relaioni tensioni deformaioni Principio dei lavori virtuali (PLV) Equaione variaionale mista di Reissner Modelli per strutture multistrato Modelli ESL Modelli layerwise Il Problema Termoelastico Introduione Equaioni Fondamentali della Termoelasticitá Equaioni di Governo Termomeccaniche Introduione Formulaione classica agli spostamenti basata sul PVD Formulaione Mista basata su RMVT Requisiti C, Equaioni Multistrato e Soluione in Forma Chiusa Profilo di Temperatura lungo lo spessore T ( ) II

4 INDICE 5 Risultati Piastra Soluione Meccanica Introduione Analisi Statica Carico Sinusoidale-Flessione Cilindrica Carico Bisinusoidale Carico Uniforme Effetto Localiaione Carico Triangolare Carico Bitriangolare Carico Concentrato Analisi Dinamica Risultati Piastra Soluione Termica Introduione Analisi Statica Temperatura Bisinusoidale Temperatura Uniforme Temperatura Triangolare Temperatura Bitriangolare Temperatura Localiata A Analisi di FOURIER delle funioni che definiscono i carichi esterni 138 A.1 Introduione A.2 Approssimaione di funioni A.3 Calcolo dei coefficienti A m n A.4 Particolari distribuioni di carico A.4.1 Carico costante A.4.2 Carico localiato A.4.3 Carico bitriangolare A.4.4 Carico Concentrato III

5 Capitolo 1 Generalità sulle strutture multistrato 1.1 Introduione Le strutture multistrato sono costituite da più strati sovrapposti con in generale proprietà meccaniche diverse da strato a strato. Gli strati sono collegati tra loro mediante un collante di spessore trascurabile rispetto agli spessori dei componenti della struttura multistrato. Le applicaioni in ambito aeronautico (e non solo) sono numerose. Si pensi ad esempio ai pannelli Sandwich nei quali vi sono almeno tre strati distinti: le facce esterne unite da un cuore leggero. Un altra applicaione è nelle strutture di navicelle spaiali: il problema di assicurare una adeguata proteione termica e una buona resistena strutturale può essere risolto mediante l impiego di strutture multistrato, devolvendo i compiti strutturali ad uno o più strati e i compiti di proteione termica ad altri. Un altro uso è rappresentato da strutture in composito: ogni strato ha in genere le fibre orientate diversamente rispetto agli altri per soddisfare particolari requisiti strutturali. 1.2 Requisiti C Le teorie che possono essere considerate per la riduione del problema tridimensionale a bidimensionale si basano su due possibili approcci: asintotico e assiomatico. Nel primo si risolve il problema studiandolo mediante l introduione di un parametro indicativo dello spessore. Facendolo tendere a ero si riesce a capire il grado di approssimaione della teoria bidimensionale corrispondente. Nel secondo ( in questa tesi si considera solo quest ultimo) si cerca di capire come alcune grandee devono variare lungo lo spessore per soddisfare particolari requisiti (ad esempio una condiione di equilibrio fra tensioni di due strati adiacenti). In questo modo si può costruire un modello matematico che presenta gli andamenti previsti di tali grandee e che permette il calcolo delle quantità incognite (ad esempio gli spostamenti) partendo dai dati assegnati (ad esempio i carichi gravanti sulla struttura). Seguendo questo modo di ragionare, si comprende subito che (se si suppone l assena di delaminaioni, le quali provocherebbero delle discontinuità nelle variabili strutturali) gli spostamenti secondo una direione qualsiasi devono essere uguali all interfaccia fra uno strato e quello immediatamente adiacente. Si parla allora 1

6 1 Generalità sulle strutture multistrato di continuità lungo lo spessore (cioè lungo la direione che di solito viene indicata con ) degli spostamenti. Figura 1 : Condiioni di equilibrio all interfaccia fra due strati adiacenti. È importante sottolineare come le derivate lungo di tali spostamenti devono in generale essere discontinuee. Per comprenderne la motivaione si consideri la Figura 1 nella quale si mostra come le tensioni trasversali σ x,σ y,σ devono essere uguali (per l equilibrio) all interfaccia fra due strati adiacenti. Le tensioni in uno strato sono legate tramite dei coefficienti (dipendenti dalle proprietà meccaniche del materiale) alle derivate degli spostamenti (si vedano la legge di Hooke e le relaioni deformaioni spostamenti riportate nel secondo capitolo). Siccome le proprietà meccaniche sono in generale diverse fra due strati si deduce che le tensioni trasversali sono uguali solo se le derivate degli spostamenti sono diverse. Naturalmente tutte le tensioni diverse da quelle trasversali non necessariamente devono essere uguali. L uguagliana delle tensioni σ x,σ y,σ può essere vista in maniera più precisa immaginando (si veda la Figura 2 ) di prendere due cubetti (di lati dx, dy, d ognuno) all interfaccia fra due strati adiacenti. Si considerino ora le tensioni trasversali di entrambi i cubetti. È chiaro che immaginando di saldare i cubetti fra loro (come in realtà lo sono essendo fisicamente un tutt uno per l ipotesi di assena di delaminaioni) tali tensioni sono da considerarsi interne e dunque devono essere uguali per l equilibrio. Così non è per le tensioni nel piano che dunque possono essere diverse ( in Figura 2 si è riportata la sola tensione σ xx e non le altre tensioni nel piano per chiarea di rappresentaione). Dunque, ricapitolando, sia le tensioni trasversali che quelle nel piano 2

7 1 Generalità sulle strutture multistrato devono soddisfare la legge di Hooke e le equaioni indefinite di equilibrio qui riporate per chiarea espositiva (supponendo l assena di fore di volume): σ xx x σ xy x σ x x + σ yx y + σ yy y + σ y y + σ x = + σ y = + σ = (1.1) Tuttavia le prime devono essere uguali in quanto è la fisica del problema ad imporre ciò e dunque le discontinuità delle proprietà meccaniche del materiale e delle derivate degli spostamenti (fra uno strato ed il suo adiacente) sono tali da permettere tale uguagliana. L insieme delle condiioni cui gli spostamenti e tensioni (e loro derivate) devono soddisfare viene definito requisiti C. C indica dunque la continuità delle tensioni trasversali e degli spostamenti (ma non delle loro derivate) lungo la coordinata. Figura 2 : Condiioni di equilibrio fra le tensioni all interfaccia fra due strati. 1.3 Sintesi e contenuto dei vari capitoli Viene qui presentato un quadro generale del modo in cui verranno introdotti ed affrontati i vari argomenti della tesi. Capitolo 2: Modelli bidimensionali per piastre multistrato In questo capitolo vengono introdotte l equaione dei lavori virtuali e l equaione variaionale mista di Reissner ed inoltre le notaioni usate poi nei capitoli successivi. 3

8 1 Generalità sulle strutture multistrato Si elaborano anche le leggi costitutive del materiale (legge di Hooke) nel caso isotropo ed ortotropo in diverse formulaioni. Si compie pure una breve rassegna dei modelli usati per il calcolo di piastre multistrato mettendone in evidena pregi e difetti (soprattutto in relaione ai requisiti C visti in questo capitolo). Nell ultima parte, infine, si riportano le formulaione agli spostamenti e formulaione mista che sono i modelli usati in questa tesi. Capitolo 3: Il Problema Termoelastico Vengono ricavate le equaioni che sono alla base del problema termoelastico accoppiato, inoltre vengono esposte le ipotesi che consentono di disaccoppiare il problema. Si ricava anche la legge di Fourier per la conduione del calore. Capitolo 4: Equaioni di governo Termomeccaniche Viene riporato il sistema di equaioni differeniali di governo sia per la formulaione agli spostamenti basata sul PVD, sia per la formulaione mista basata sul RMVT, indicando anche come soddisfare i requisiti C, a livello di multistrato. Infine si risolve l equaione di conduione del calore per calcolare il profilo di temperatura T c. Capitolo 5: Risultati Piastra Soluione Meccanica Vengono presentati i risultati ottenuti col codice usato, confrontandoli quando possibile con quelli presenti in letteratura. Particolare importana é stata data da un lato all aione del carico costante su i diversi tipi di piastre,dall altro all effetto localiaione dovuto ai carichi localiato e concentrato su piastra sandwich. Capitolo 6: Risultati Piastra Soluione Termica Vengono presentati i risultati relativi a vari tipi di piastra, concentrando l attenione sull effetto del profilo di temperatura sulla risposta, confrontando le diverse teorie, tra loro e con i risultati presenti in letteratura, ed evideniandone i limiti e i pregi. Sono presi in esame due profili: costante e variabile lungo lo spessore, e per ognuno si é trattato il caso assegnato e calcolato. Appendice A: Analisi di FOURIER delle funioni che definiscono i carichi esterni Viene descritto come determinare i coefficienti dello sviluppo in serie doppia di Fourier di una generica funione, introducendo opportune funioni peso e sfruttandone la proprietá di ortogonalitá, si ricava una relaione in grado di fornire tali coefficienti per qualunque tipo di funione. 4

9 Capitolo 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato 2.1 Introduione Le strutture multistrato (piastre e gusci) sono da considerarsi corpi tridimensionali (specialmente in presena di spessori notevoli). Tuttavia se risultano verificate particolari condiioni (principalmente spessori sottili) è possibile usare modelli bidimensionali. Alcuni di questi modelli sono di seguito illustrati. 2.2 Piastra Sistemi di riferimento Il sistema di riferimento usato per le piastre presenta gli assi x,y complanari al piano di meeria Ω e l asse uscente da esso. Tale sistema è evideniato in Figura 1. In essa si mostra anche la definiione della coordinata adimensionaliata ζ k. Si noti che al top del generico strato k si ha che ζ k = 1, mentre al bottom ζ k = Legge di Hooke Caso Isotropo Nel caso isotropo il materiale presenta infiniti piani di simmetria ( non ci sono direioni privilegiate). In tal caso il numero di coefficienti indipendenti usati per esprimere la legge di Hooke è pari a due soltanto. In particolare si ha per il generico strato k: 5

10 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato σxx k σyy k σxy k σx k σy k σ k = C11 k C12 k C13 k C12 k C22 k C23 k C66 k C55 k C44 k C13 k C23 k C33 k ε k xx ε k yy γxy k γx k γy k ε k (2.1) Con: C k 11 = C k 22 = C k 33 = λ k + 2 µ k C k 12 = C k 13 = C k 23 = λ k C k 44 = C k 55 = C k 66 = µ k (2.2) e dove: µ k G k = Ek 2 (1+υ k ) λ k = υ k E k (1+υ k )(1 2υ k ) (2.3) µ k e λ k sono i coefficienti di Lamè, E k indica il modulo di Young, G k il modulo di elasticit à trasversale, υ k il coefficiente di Poisson, relativi al generico strato k. Figura 1 : Definiione dei sistemi di riferimento a livello di piastra e di strato. 6

11 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato Caso Ortotropo Nel caso ortotropo il materiale presenta tre piani di simmetria. Indicando con 1,2,3 gli assi attraverso i quali si individuano le coordinate materiale (nel riferimento 1,2,3 la legge di Hooke diviene particolarmente semplice) si ha: con: σ k 11 C11 k C12 k C k 13 ε k 11 σ k 22 C 12 k C22 k C k 23 ε k 22 σ12 k C k 66 γ k 12 σ13 k = C55 k γ k 13 σ 23 k C 44 k γ k 23 σ33 k C13 k C23 k C33 k ε k 33 C k 11 = E k 1 C k 22 = E k 2 1 υ23 k υk 32 ; C k 12 = E1 k υ21 k +υk 31 υk 23 = E k υ k 12 k +υk 32 υk 13 2 k 1 υ13 k υk 31 ; C k k 13 = E1 k υ31 k +υk 21 υk 32 = E k υ k 13 k +υk 12 υk 23 3 k (2.4) C k 33 = E k 3 1 υ12 k υk 21 ; C k k 23 = E2 k υ32 k +υk 12 υk 31 = E k υ k 23 k +υk 21 υk 13 3 k (2.5) C k 44 = G k 23; C k 55 = G k 13; C k 66 = G k 12 k = 1 υ k 12υ k 21 υ k 23υ k 32 υ k 31υ k 13 2υ k 12υ k 32υ k 13 E k 1,E k 2,E k 3 sono i moduli di Young nelle direioni 1,2,3 rispettivamente; υ k ij rappresentano i coefficienti di Poisson; G k 23,G k 13,G k 12 sono i moduli di elasticità trasversali. Valgono inoltre le relaioni: υij k Ei k = υk ji (i,j = 1,2,3) (2.6) Ej k 7

12 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato Figura 2 : Coordinate problema e coorinate materiale. Si noti che la 2.4 vale in coordinate materiale.è molto utile nella pratica riferire la relaione 2.4 ad un sistema di coordinate problema x,y,. Ciò risulta chiaro analiando la Figura 2 Ponendo: σ k m = [ σ k 11 σ k 22 σ k 12 σ k 13 σ k 23 σ k 33 ] T (2.7) ε k m = [ ε k 11 ε k 22 γ k 12 γ k 13 γ k 23 ε k 33 ] T (2.8) σ k = [ σ k xx σ k yy σ k xy σ k x σ k y σ k ] T (2.9) ε k = [ ] T ε k xx ε k yy γxy k γx k γy k ε k (2.1) le relaioni che legano le grandee espresse nei due riferimenti risultano essere: σ k = T k σ k m (2.11) Dove si è posto: ε k m = T kt ε k (2.12) 8

13 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato T k = cos 2 θ sin 2 θ sin 2θ sin 2 θ cos 2 θ sin 2θ sin θ cos θ sin θ cos θ cos 2 θ sin 2 θ cos θ sin θ sin θ cos θ 1 k (2.13) Riscrivendo in modo compatto la 2.4: Sostituendo la 2.12 in 2.14 e utiliando la 2.11 si ha: σ k m = C k ε k m (2.14) Ponendo: C k = T k C k T kt = σ k = T k C k T kt ε k (2.15) C 11 k C 12 k C 16 k Ck 13 C 12 k C 22 k C 26 k Ck 23 C 16 k C 26 k C 66 k Ck 36 Ck 55 Ck 45 Ck 45 Ck 44 C 13 k C 23 k C 36 k Ck 33 (2.16) la legge di Hooke diviene: σ k = C k ε k (2.17) Forma mista della legge di Hooke per materiale ortotropo Risulta conveniente riscrivere la 2.17 in altri modi che saranno utiliati successivamente quando si applicheranno il principio dei lavori virtuali e l equaione mista di Reissner. Definiamo pertanto: σ k p = [ σ k xx σ k yy σ k xy ] T ; σ k n = [ σ k x σ k y σ k ] T (2.18) ε k p = [ ε k xx ε k yy γ k xy ] T ; ε k n = [ γ k x γ k y ε k ] T (2.19) 9

14 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato C k pp = C k 11 C k 12 C k 16 C k 12 C k 22 C k 26 C k 16 C k 26 C k 66 ; C k pn = Ck 13 Ck 23 Ck 36 (2.2) C k np = C 13 k C 23 k C 36 k ; C k nn = C 55 k C 45 k C 45 k C 44 k Ck 33 (2.21) la 2.17 diviene: σ k p σ k n = C k pp C k np C k pn C k nn ε k p ε k n (2.22) La 2.22 equivale alle due equaioni: σ k p = C k ppε k p + C k pnε k n (2.23) σ k n = C k npε k p + C k nnε k n (2.24) I pedici p ed n indicano, rispettivamente, le componenti nel piano e quelle fuori dal piano ( normali ).Un altro modo di riscrivere la legge di Hooke è quello di elaborare ulteriormente le 2.23 e Dalla 2.24 si può ricavare ε n : sostituendo la 2.25 in 2.23: σ k p = Le 2.25 e 2.26 divengono pertanto: ε k n = ( Ck nn ) 1 σ k n ( Ck nn ) 1 Ck np ε k p (2.25) [ Ck pp C ( ) ] k 1 pn Ck nn Ck np ε k p + C ( ) k 1 pn Ck nn σ k n (2.26) σ k p = C k ppε k p + C k pnσ k n (2.27) con: ε k n = C k npε k p + C k nnσ k n (2.28) C k pp = C k pp C k pn ( Ck nn ) 1 Ck np C k pn = C ( ) 1 k pn Ck nn C k np = ( ) 1 Ck nn Ck np C k nn = ( ) 1 Ck nn (2.29) 1

15 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato cioè in forma esplicita: C 11 k ( C 13) k 2 C 33 k C k pp = C 12 k C 13 k C C k 23 k 33 C 16 k C 13 k C C k 33 k 36 C 12 k C 13 k C C k 33 k 23 C k 22 ( C k 23) 2 C k 33 C 26 k C 23 k C C k 33 k 36 C 16 k C 13 k C C k 33 k 36 C 26 k C 23 k C C k 33 k 36 C k 66 ( C k 36) 2 C k 33 C k pn = C 13 k C 33 k C 23 k C 33 k C 36 k C 33 k C k np = C k 13 C k 33 C k 23 C k 33 C k 36 C k 33 C k nn = C k 44 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 C k 45 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 C k 45 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 Ck 55 C k 55 C k 44 ( C k 45) 2 1 C k Relaioni deformaioni spostamenti Si riportano qui di seguito le relaioni che legano le deformaioni agli spostamenti: ε k p = D p u k (2.3) ε k n = D n u k = (D nω + D n ) u k (2.31) dove u k indica il vettore spostamenti: u k = e dove si è posto: u k x u k y u k (2.32) 11

16 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato D p = x y y x ; D n = x D nω = y ; D n = x y (2.33) (2.34) Principio dei lavori virtuali (PLV) Si riporta qui di seguito l equaione dei lavori virtuali usata nei capitoli seguenti: δl int = N l k=1 Ω k A k ( δε k p T G σk p Hd + δε k T ng σk nh d ) dω k d = δl e (2.35) dove δl int e δl est rappresentano il lavoro virtuale interno ed esterno; N l indica il numero di strati della piastra; Ω k e A k sono i domini di integraione, rispettivamente sulla superficie media e lungo lo spessore dello strato k. Le grandee contrassegnate dal pedice H sono date dalla legge di Hooke; le deformaioni contraddistinte dal pedice G sono date dalla geometria (mediante le 2.3 e 2.31) Equaione variaionale mista di Reissner Si riporta qui l equaione di Reissner usata nei capitoli seguenti: δl R int = N l k=1 Ω k A k ( δε k p T G σk p H + δε k T ng σk nm + (2.36) δσ k T nm ( εk ng εk nh ) )dωk d = δl e dove δl int e δl est rappresentano il lavoro virtuale interno ed esterno; N l indica il numero di strati della piastra; Ω k e A k sono i domini di integraione, rispettivamente sulla superficie media e lungo lo spessore dello strato k. Le grandee contrassegnate dal pedice H sono date dalla legge di Hooke; le deformaioni contraddistinte dal pedice G sono date dalla geometria (mediante le 2.3 e 2.31). Le tensioni con pedice M sono modelliate. Tale equaione presenta il grosso pregio di contenere le tensioni trasversali modelliate (cosa molto utile in visione di un modello che soddisfi appieno i requisiti C ). 2.3 Piastra in presena di gradiente termico Relaioni tensioni deformaioni Le tensioni dovute a forti variaioni di temperatura rappresentano un contributo importante ai fini della valutaione del comportamento di una struttura; pertanto é necessario 12

17 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato tener conto non solo dei carichi meccanici che gravano su di essa, ma anche delle condiioni termiche a cui sottoposta. Le tensioni termiche (pedice T) nel generico strato k sono legate alle deformaioni termiche dalle seguenti relaioni: σ k pt d = C k ppε k pt + C k pnε k nt (2.37) σ k nt d = C k npε k pt + C k nnε k nt (2.38) dove C k pp; C k pn; C k np; C k nn sono definiti dalle 2.2 e 2.21, mentre le deformaioni sono legate al gradiente termico T k (x,y,) attraverso i coefficienti di espansione termica α ij come segue: ε k pt = [ α k xx,α k yy,α k xy] T k (x,y,) = α k pt k (x,y,) (2.39) ε k nt = [ α k x,α k y,α k ] T k (x,y,) = α k nt k (x,y,) (2.4) Il gradiente di temperatura é definito come: T k = T k T e (2.41) dove T k é la temperatura effettiva nella piastra, mentre T e é una temperatura di riferimento. Vediamo ora come la presena del gradiente termico fa variare il principio dei lavori virtuali e l equaione di Reissner Principio dei lavori virtuali (PLV) Si riporta qui di seguito l equaione dei lavori virtuali in cui compare il contributo termico: δl int = N l k=1 Ω k ( δε k T p ( A G σk p Hd σ k p T ) + δε k T ng ( σk nh d σ k nt ) ) dωk d = δl(2.42) e k Il significato dei vari termini é giá stato definito Equaione variaionale mista di Reissner Si riporta qui l equaione di Reissner usata nei capitoli seguenti: δl R int = N l k=1 Ω k δσ k T n T ( δε k p ( A G σk p H σ k p T ) + δε k ng σk nm + (2.43) k M ( εk ng ( εk nh εk nt ) ) )dωk d = δl e T Anche in questo caso i termini sono stati definiti. 13

18 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato 2.4 Modelli per strutture multistrato Modelli ESL I modelli ESL (equivalent single layer) riducono il problema tridimensionale ad un problema bidimensionale mediante l assunione di un campo di spostamenti (o tensioni) come combinaione di funioni incognite e della coordinata lungo lo spessore: ϕ i (x,y,) = N j= ( ) j ϕ i ( x,y) (2.44) dove ϕ i indica la i esima componente di spostamenti o tensioni. Vengono qui di seguito esaminati i modelli: CLPT (classical laminated plate theory) FSDT (first order shear deformation theory) HSDT (higher order shear deformation theory) ZigZag theory Modello CLPT Tale modello si basa sull assunione del seguente campo di spostamenti: u x (x,y,) = u x (x,y) u (x,y) x u y (x,y,) = u y (x,y) u (x,y) y u (x,y,) = u (x,y) (2.45) dove u x,u y,u indicano gli spostamenti valutati nel piano di meeria Ω. Dalla 2.45 si deduce: γ x = γ y = ε = Il modello dato dalla 2.45 si basa fondamentalmente su due ipotesi: (2.46) 1. linee perpendicolari al piano Ω prima della deformaione rimangono tali dopo la deformaione; 2. le normali al piano Ω non subiscono allungamenti od accorciamenti. Tali ipotesi risultano fortemente semplificative e perdono la loro validità quando lo spessore è notevole e la piastra è costituita da strati con proprietà meccaniche differenti. Si osservi che la 2.45 (oltre ad essere scritta con assunioni piuttosto rilevanti) non soddisfa appieno i requisiti C. Infatti la 2.45 assicura l uguagliana degli spostamenti 14

19 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato ma non delle tensioni trasversali σ x,σ y,σ fra due strati adiacenti. Tuttavia, vista la notevole semplicità, può risultare vantaggioso utiliare questo modello, invece di altri più sofisticati, se le ipotesi su cui è basato sono soddisfatte con buona approssimaione. Modello FSDT Si basa sull assunione del seguente campo di spostamenti: u x (x,y,) = u x (x,y) + φ x (x,y) Dalla 2.47 si deduce: u y (x,y,) = u y (x,y) + φ y (x,y) u (x,y,) = u (x,y) (2.47) γ x = φ x (x,y) + u (x,y) x γ y = φ y (x,y) + u (x,y) y ε = = γ x (x,y) = γ y (x,y) (2.48) Ne consegue, allora, che il modello dato dalla 2.47 presenta sostanialmente gli stessi difetti del modello CLPT. Unica differena è che ora γ x e γ y sono costanti rispetto a (e non nulli come accadeva con la teoria CLPT). Modelli HSDT Questi modelli sono molto simili ai precedenti. l unica differena sta nell ordine (rispetto a ) con cui si sviluppano le incognite. Ad esempio per il secondo ordine si ha: u x (x,y,) = u x (x,y) + φ x (x,y) + 2 ψ x (x,y) u y (x,y,) = u y (x,y) + φ y (x,y) + 2 ψ y (x,y) u (x,y,) = u (x,y) (2.49) I modelli HSDT hanno quindi il pregio di non limitarsi ad assumere γ x e γ y costanti con, ma presentano i difetti menionati in precedena a proposito dei modelli CLPT e FSDT. Zigag theory Il vettore di spostamenti del generico strato k si assume nella forma: u k = u + ( 1) k ζ k u + m u m m = 1,2,3,...,N igag (2.5) dove: u indica il vettore spostamenti in meeria, ( 1) k ζ k u è il termine igag. Si noti che la 2.5 oltre a soddisfare al requisito di continuità degli spostamenti lungo lo spessore, permette di avere la discontinuità delle derivate degli spostamenti avvicinandosi così al soddisfacimento dei requisiti C. Usando allora un opportuno ordine per lo sviluppo visto in 2.5, si ottengono in genere risultati migliori rispetto alle altre teorie ESL prima 15

20 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato viste. In Figura 3 si riportano alcuni andamenti degli spostamenti valutati secondo questo modello. Caso Lineare Caso non lineare Funione Zig-ag x,y Interfacce Spostamenti sena funione Zig-ag Figura 3 : Tipico andamento degli spostamenti nel caso di modello Zig-ag Modelli layerwise Come visto in precedena, le teorie ESL sono del tutto insoddisfacenti in quanto non soddisfano i requisiti C. Bisogna dunque usare teorie più appropriate che analiino il generico strato ed impongano le condiioni C. Di seguito vengono analiate le formulaioni agli spostamenti e mista. Formulaione agli spostamenti Il vettore di spostamenti del generico strato k si assume nella forma: F t u k xt + F r u k xr + F b u k xb u k = F t u k yt + F r u k yr + F b u k yb F t u k t + F r u k r + F b u k b r = 2,3,...,N (2.51) Nella 2.51 la dipendena dalla variabile è tenuta in conto mediante le funioni F t,f r,f b che possono essere scelte a piacere. Una possibile scelta (coinvolgente i polinomi di Legendre) potrebbe essere la seguente: F t = P + P 1 2 ; F b = P P 1 ; F r = P r P r 2 r = 2,3,...,N (2.52) 2 16

21 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato Adottando la 2.52 e ricordando le espressioni dei polinomi di Legendre si può osservare come per ζ k = 1 (cioè al top dello strato k) solo F t dà contributo (in particolare F t = 1 in tale condiione); analogamente per ζ k = 1 (cioè al bottom dello strato k) solo F b dà contributo (in particolare F b = 1 in tale condiione). La 2.51 si può scrivere in modo compatto: Dove si è posto: u k = F t u k t + F r u k r + F b u k b = F τ u k τ τ = t,r,b; r = 2,3,...,N (2.53) u k t = u k xt u k yt u k t ; u k r = u k xr u k yr u k r ; u k b = u k xb u k yb u k b (2.54) Col modello 2.51 si può imporre facilmente la continuità degli spostamenti alle interfacce dei vari strati. Tuttavia, poichè le tensioni non sono modelliate (ma si possono ricavare con la legge di Hooke) non è assicurato l equilibrio delle tensioni trasversali fra uno strato ed il suo adiacente. Tuttavia il modello 2.51 pone γ x,γ y,ε variabili con e dunque è molto più accurato dei modelli ESL prima esaminati. Si introduce ora la notaione LDN (che verrà ripresa nel seguito) relativa allo sviluppo del vettore spostamenti in uno strato: essa indica che lo sviluppo nella 2.51 è fatto con r = 2,3,...,N. Ad esempio, se N = 3, si indica sinteticamente LD3 (per convenione LD1 indica il caso in cui sono presenti i soli termini relativi al top ed al bottom). È importante ora sottolineare che se nella 2.51 si fa cadere l apice k e se si pone: u k xt = u x u k yt = u y u k t = u ; u k xr = ϕ xr 1 u k yr = ϕ yr 1 ; u k r = ϕ r 1 F t = 1 u k xb = ϕ xn u k yb = ϕ yn u k b = ϕ N (2.55) F r = r 1 F b = N (2.56) si ottiene una formulaione ESL. In particolare si parla di EDN. Ad esempio indica che la 2.51 è stata trasformata in un modello ESL e che si è posto: u x + ϕ x1 + 2 ϕ x2 + 3 ϕ x3 + 4 ϕ x4 u = u y + ϕ y1 + 2 ϕ y2 + 3 ϕ y3 + 4 ϕ x4 u + ϕ ϕ ϕ ϕ x4 Per convenione la scrittura indica la assunione: (2.57) 17

22 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato u = u x + ϕ x1 u y + ϕ y1 (2.58) u + ϕ 1 È interessante osservare che la notaione introdotta in 2.53 permette di ottenere anche la ZigZag theory. Basta porre: u k t = u u k b = u u k r = u m m = r 1 (2.59) F t = 1 F b = ( 1) k ζ k F r = m N igag = N 1 Ad esempio nel caso di N = 3 si ha: (2.6) u k t = u u k b = u u k 2 = u 1 (2.61) u k 3 = u 2 F t = 1 F b = ( 1) k ζ k F 2 = (2.62) F 3 = 2 e la 2.53 diviene: u k = u + ( 1) k ζ k u + u u 2 = u + ( 1) k ζ k u + m u m m = 1,N 1 (2.63) Anche ora si introduce una notaione sintetica: EDZN. Il caso esaminato in questo esempio è dunque rappresentato dalla sigla EDZ3. Per convenione EDZ1 indica che il vettore spostamento nella ZigZag theory è sviluppato nel modo seguente: u k = u + ( 1) k ζ k u (2.64) Dalle consideraioni svolte in questo paragrafo, emerge il notevole vantaggio nell usare la notaione vista in 2.53: essa permette di non vincolarsi al caso di sviluppo lungo 18

23 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato limitato ai polinomi di Legendre (basta scegliere F t,f b,f r in modo diverso, ad esempio polinomi di Taylor) e, soprattutto, permette di includere diverse teorie mediante semplice cambio formale (si vedano ad esempio le 2.57, 2.63 ottenute con semplici posiioni dalla 2.53). Formulaione mista Il vettore spostamenti del generico strato k ha la forma vista nella Ora, però, si modelliano anche le tensioni trasversali in modo simile: σ k nm= F t σ k xt + F r σ k xr + F b σ k xb F t σ k yt + F r σ k yr + F b σ k yb F t σ k t + F r σ k r + F b σ k b che può scriversi in modo compatto: r = 2,3,...,N (2.65) σ k nm = F t σ k nt + F r σ k nr + F b σ k nb = F τ σ k nτ τ = t,r,b; r = 2,3,...,N (2.66) Dove si è posto: σ k nt = σ k xt σ k yt σ k t ; σ k nr = σ k xr σ k yr σ k r ; σ k nb = σ k xb σ k yb σ k b (2.67) Secondo questo modo di ragionare è possibile imporre l equilibrio fra uno strato e l altro delle sopracitate tensioni soddisfacendo così tutti i requisiti C. Siccome il modello che si sta analiando è di tipo assiomatico e siccome questo soddisfa tutti i requisiti richiesti, è sen altro il migliore (almeno da un punto di vista teorico). Anche ora si può introdurre una notaione analoga a quella vista in precedena: ora si parla di LM N in luogo di LDN (ma nulla di nuovo è da aggiungere in proposito). Sena entrare troppo nei dettagli (in quanto questa analisi verrà svolta nei capitoli successivi), se si eliminano le incognite di tensione ci si riconduce ad una formulaione agli spostamenti che può essere ricondotta ad una trattaione ESL. Per distinguerla dal caso precedente viene introdotta la notaione EMCN in luogo di EDN. L aggiunta della lettera C sta ad indicare che si soddisfa alla continuità interlaminare delle tensioni trasversali. Similmente a quanto visto in precedena a proposito della ZigZag theory si usa ora la notaione EMZCN in luogo di EDZN. Formulaione per la temperatura In maniera del tutto analoga il gradiente di temperatura definito dalla 2.41 può essere espresso nella forma: T k = F t T k t + F r T k r + F b T k b = F τ T k τ τ = t,r,b; r = 2,3,...,N (2.68) 19

24 2 Modelli bidimensionali per strutture multistrato dove le funioni: F t,f r,f b sono le stesse usate per gli spostamenti e le tensioni. Figura 4: Acronimi usati per definire le diverse teorie. 2

25 Capitolo 3 Il Problema Termoelastico 3.1 Introduione In questo capitolo viene presentata la formulaione matematica che descrive il comportamento di un meo solido sottoposto all aione combinata di carichi esterni e del calore. Alla base di tale formulaione vi sono fondamenti di meccanica e di termodinamica [5]. 3.2 Equaioni Fondamentali della Termoelasticitá La Termoelasticitá si occupa degli effetti del calore sulle deformaioni e tensioni di un corpo elastico. I processi termoelastici non sono totalmente reversibili: infatti mentre la componente elastica puó essere annullata, essendo le deformaioni causate dal calore recuperabili attraverso raffreddamento, la componente termica no. Ció é dovuto alla dissipaione di energia che si ha durante il trasferimento di calore. Bisogna, inoltre tener presente che, da parte sua la deformaione di un corpo provoca una variaione della sua temperatura; essa agisce come una sorgente di calore. Si evince da quanto detto che il problema termico e quello meccanico sono accoppiati e non separabili. In realtá tale accoppiamento complica notevolmente la risoluione del problema. Nella pratica si opera trascurando l accoppiamento e determinando separatamente il campo di temperatura e di deformaione. Riportiamo di seguito le due equaioni che regolano il problema termoelastico, successivamente verrá dimostrato (in sintesi) come ad esse si perviene: θ, i i 1 k θ t + ρ k h E α T e i i (1 2ν) k t = (3.1) u i, j j ν u j, j i + ρ µ b 2(1 + ν) i 1 2ν θ, i = ρ µ + 2 u i (3.2) t 2 dove: e i i = u i, i 21

26 3 Il Problema Termoelastico β = E α 1 2ν A, i A x A i, i = A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 Vediamo ora come si giunge alle equaioni 3.1 e 3.2. Consideriamo la prima legge della termodinamica nella forma: d d t V ρ ɛ d v + d d t V 1 2 ρ v i v i d v = V ρ b i v i d v + S t (n) i v i d S + V ρ h d v S q i n i d S (3.3) dove V é il volume, S la superficie del corpo, ρ la densitá di massa, b i la fora per unitá di massa, v i la velocitá della particella iesima del corpo, t (n) i le tensioni superficiali esterne, h il calore prodotto da una sorgente interna per unitá di tempo e di massa, q i il calore trasferito al corpo attraverso la sua superficie per unitá di tempo ed area ed infine n i la normale esterna alla superficie. L ultima equaione puó essere scritta anche in forma differeniale: ρ ɛ = τ i j v i, j q i, i + ρ h (3.4) infatti il primo integrale di volume della 3.3 puó anche scriversi come: d d t V ρ ɛ d v = V [ ρ d ɛ d t d v + ɛ d d t ρ v ] = V in virtú dell equaione di continuitá (conservaione della massa) secondo integrale di volume puó scriversi come: d d t applicando la relaione di Cauchy: V 1 2 ρ v i v i d v = V ρ v i a i d v ρ d ɛ d t d v d ( ρ v ) = ; il d t t (n) i = τ k i n k ed utiliando il teorema della divergena possiamo trasformare gli integrali di superficie in integrali di volume ottenendo la seguente equaione: V (ρ d ɛ d t t i j v i, j + q i, i ρ h ) d v = 22

27 3 Il Problema Termoelastico dovendo tale equaione valere per una porione arbitraria del corpo ritroviamo proprio la 3.4. L energia interna ɛ si scrive come: ɛ = ɛ ( ν,η X) essa cioé dipende da k parametri indipendenti ν i,i ; = 1, 2...k, dall entropia η e dal punto X i del corpo che si considera. Introducendo la temperatura T e chiamando con τ k le tensioni termodinamiche, per definiione: T ɛ η ; τ k ɛ ν k se ν i rappresenta il volume specifico allora τ i é una pressione, ed essendo ɛ una funione di stato, fisssato X si ha: L equaione 3.4 puó ancora scvriversi come: essendo: d ɛ = T d η + τ i d ν i (3.5) ρ ɛ = P E + Q E (3.6) P E = τ i j v i, j ; Q E = q i, i + ρ h la potena esterna ed il calore esterno fornito. Analogamente dividendo la 3.5 per d t possiamo scrivere: essendo: ρ ɛ = P I + Q I (3.7) P I = ρ τ i ν i ; Q I = ρ T η (3.8) la potena interna ed il calore interno fornito. Eliminando la ɛ dalle 3.6 e 3.7 ottengo: P E P I + Q E Q I = (3.9) Se T = cost allora il flusso q i dovuto alla conduione di calore é nullo, se in piú supponiamo che non ci siano fonti interne di calore (h = ) allora: P E P I Combinando la 3.8 e la 3.9 otteniamo un equaione relativa alla produione di entropia specifica: ρ T η = P E P I + Q E 23

28 3 Il Problema Termoelastico oppure ρ T η = P E P I T q i T, i T 2 + ρ h T (3.1) Ma per le ipotesi fatte P E P I ed i restanti termini sono nulli. Introducendo una nuova grandea scriviamo: T = P E P I q i T, i T se con V indichiamo il volume scriviamo la 3.1 in forma integrale: dove: Ḣ + S q i T d S i = Ḣ = V V (3.11) ( + ρ h T ) d V (3.12) ρ η d V mentre il secondo integrale deriva dalla formula della divergena di Gauss: u i, i d V = u i n i d S i infine scriviamo : V S Γ Ḣ + S q i T d S i V ρ h T d V o in forma differeniale: γ loc + γ con (3.13) dove: γ loc = η + 1 ρ T q i, i h T γ con = 1 ρ T 2 q i T i sono definite rispettivamente produione di entropia locale e attraverso la conduione di calore. La 3.13 rappresenta la diseguagliana di Clausius-Duhem: ρ T d η d t ρ h + q i, i q i T T, i (3.14) 24

29 3 Il Problema Termoelastico utiliando la 3.4 possiamo riscriverla come: ρ ( T d η d t d ɛ d t ) + τ i j v i, j Definiamo ora una nuova funione: q i T T, i (3.15) φ = ɛ T η (3.16) essa é detta energia libera o funione di Helmholt ed é ua combinaione di energia interna ed entropia, tenendo conto di ció la 3.15 diventa: ( φ + η T ) ρ + τ i j v i, j q i T T, i (3.17) A questo punto, bisogna tener presente che stiamo trattando un materiale elastico (deformaioni perfettamente reversibili), nell ipotesi di piccole deformaioni, pertanto le equaioni costitutive, che definiscono la risposta del materiale sotto l aione di fora e calore, sono lineari. Sulla base di tali ipotesi le funioni di stato vengono a dipendere dai seguenti parametri di stato: le componenti del tensore delle deformaioni e i j, la temperatura T, le componenti del gradiente di temperatura T, i. Scriviamo le equaioni di stato per un mateiale termoelastico nella seguente forma generale: τ i j = τ i j ( e i j, T, T, i ) (3.18) ɛ = ɛ ( e i j, T, T, i ) (3.19) η = η ( e i j, T, T, i ) (3.2) φ = φ ( e i j, T, T, i ) (3.21) q i = q i ( e i j, T, T, i ) (3.22) differeniando la 3.16: φ = φ ė i j + φ e i j T T + φ T, i T, i (3.23) utiliando la 3.4 e la 3.16 arriviamo a: ( ρ φ e i j τ i j ) + ρ ( φ T + η) T + ρ φ T, i T, i + + ρ T η ρ h + q i, i = (3.24) 25

30 3 Il Problema Termoelastico ( ρ φ e i j τ i j ) + ρ ( φ T + η) T + ρ φ T, i T, i + q i T T, i (3.25) Tali equaioni devono restare valide per tutti i possibili valori di ė i j, T, T, i. Dato che le espressioni tra parentesi non dipendono da tali valori,esse devono essere identicamente nulle, ció si verifica se: τ i j = ρ φ e i j (3.26) η = φ T (3.27) φ T, i = (3.28) q i T, i (3.29) dalla 3.28 si ricava che l energia libera non dipende dal gradiente di temperatura, di conseguena la 3.24 diventa: combinando la 3.27 e la 3.3 otteniamo: q i, i ρ T ( q i, i + ρ ( T η h ) = (3.3) 2 φ e i j T ė i j + 2 φ T 2 T ) ρ h = (3.31) questa equaione descrive i generale la conduione di calore all interno di un corpo. La presena del termine meccanico (deformaione) evidenia il legame tra temperatura e deformaione. A questo punto introduciamo l energia libera calcolata per unitá di volume: V = ρ φ (e i j, T ) (3.32) nota come poteniale termoelastico; definiamo inoltre la temperatura: θ = T T (3.33) come incremento della temperatura assoluta T rispetto a quella di riferimento T Sviluppiamo la funione V in serie di potene di e i j e T, trascurando i termini di ordine superiore al secondo: V ρ φ = V + c i j e i j c i j k l e i j c k l + β i j e i j θ + d θ 2 (3.34) dove V é l energia nello stato naturale di riposo che per convenione si assume pari a ero; i coefficienti c i j, β i j, c i j k l e d sono funioni della posiione se il corpo é termicamente ed elasticmente eterogeneo, e della temperatura se le proprietá termomeccaniche del materiale dipendono dalla temperatura. Riprendiamo l equaione 3.26 e scriviamo: τ i j = c i j + c i j k l e k l + β i j θ (3.35) 26

31 3 Il Problema Termoelastico nello stato naturale anche c i j = quindi: τ i j = c i j k l e k l + β i j θ (3.36) Queste sono le equaioni costitutive della teoria lineare della termoelasticitá, note come equaioni di Duhamel-Neumann. I coefficienti c i j k l sono detti rigidee o moduli elastici, mentre β i j sono i moduli termici. L equaone 3.34 diventa: V ρ φ = 1 2 c i j k l e i j c k l + β i j e i j θ + d θ 2 (3.37). Pertanto possiamo riscrivere la 3.31 come: essendo ( k i j θ, j ), i + T ( β i j u i, j + 2 d θ ) + ρ h = (3.38) e i j = 1 2 ( u i, j u j, i ) infatti dalla 3.22 si ha: q i = k i j θ, j (3.39) mentre per la 3.29 deve essere q i = k i + k i j T, j + k i j l e j l q i = k i k i j T, j + k i j l e j l da queste due ultime equaioni si ricava proprio la Essa rappresenta la classica legge di Fourier per la conduione del calore. Tenendo conto della 3.16 e della 3.27: ma ɛ T d ɛ = ( ɛ T ) e i j d T + ( = φ T + η + T η T ɛ e i j ) T d e i j (3.4) = T η T = T 2 φ T 2 (3.41) introducendo il calore specifico a deformaione costante (incremento di energia interna per unitá di massa del corpo per un aumento di temperatura di un grado): c e = ( ɛ T ) e i j = 2 d ρ T (3.42) confondendo T con T la 3.38 diventa: ( k i j θ, j ), i c e ρ θ + ρ h + T β i j u i, j = (3.43) 27

32 3 Il Problema Termoelastico tale equaione si semplfica se il corpo é termicamente isotropo: ( k θ, j ), i c e ρ θ + ρ h + T β ė i i = (3.44) dove e i i é la dilataione del corpo. Se la conducibiltá cambia con la temperatura ma non con la posiione allora la 3.44 diventa: θ, i i 1 κ θ + ρ k h + T β k ė i i = (3.45) attraverso la trasformaione: θ = 1 k T k d T (3.46) con k costante e κ k ρ c e diffusivitá. Se inoltre consideriamo la conducibilitá indipendente anche dalla temperatura allora si ha un ulteriore semplificaione: θ, i i 1 κ θ + ρ k h + T β k ė i i = (3.47) e questa infine coincide con la 3.1. Per ottenere la 3.2 bisogna prima scrivere la prima legge del moto di Cauchy in una forma che metta in evidena la sua dipendena dalla temperatura e deformaione: τ j i, j + ρ b i = ρ a i (3.48) dove a i é il vettore acceleraione di un elemento del corpo. Combinando le equaioni di Duhamel-Neumann 3.36 con le relaioni lineari deformaioni-spostamenti e i j = 1 2 i, j u j, i ) otteniamo proprio la 3.2: u i, j j ν u j, j i + ρ µ b 2(1 + ν) i 1 2ν θ, i = ρ µ + 2 u i t 2 La presena nella 3.1 uno del termine ė i i sottolinea l esistena dell accoppiamento, confermata dal gradiente di temperatura θ, i, presente nella 3.2. Abbiamo pertanto due equaioni dipendenti tra loro la cui soluione deve procedere simultaneamente. Data la complessitá del problema risulta difficile se non impossibile determinare una soluione analitica. Ai fini pratici é utile per prima cosa valutare l influena che l accoppiamento ha sul problema in esame, ed in secondo tempo verificare se é possibile trascurare del tutto o almeno in parte tale effetto. Se ad esempio la deformaione é l unico fattore che disturba l equilibrio termico, il suo effetto puó essere trascurato. Ció si verifica quando il calore non viene fornito da una sorgente interna o esterna ed il processo risulta adiabatico, pertanto non vi é trasmissione di calore fuori dal corpo. In tal caso possiamo scrivere: E α θ = T T = (1 2ν) c e ρ e i i (3.49) 28

33 3 Il Problema Termoelastico Generalmente l accoppiamento si puó trascurare se le condiioni termiche variano molto lentamente, in tal caso i termini d ineria che compaiono nella 3.2 si possono eliminare, e derivandola rispetto ad x otteniamo: ( e k k α ( 1 + ν ) ( 1 ν ) introducendo quest ultima nalla 3.1 si ricava: dove: θ, i i θ ), i i (3.5) 1 κ ( 1 + ɛ ) θ t + ρ k h = (3.51) ɛ = E α 2 T ( 1 + ν ) ρ c e ( 1 ν ) ( 1 2 ν ) é chiamato coefficiente di accoppiamento; dalla 3.51 possiamo facilmente ricavare la temperatura in modo indipendente dalla deformaione. Altra situaione da considerare é quella in cui il processo di deformaione termoelastica procede adiabaticamente. In questo caso resta valida la 3.49 ed eliminando la temperatura dalla 3.2 otteniamo: dove: µ u i,j j + ( µ + λ adiab ) u j,j i + ρ b i = ρ 2 u i t 2 (3.52) λ adiab = λ + E 2 α 2 T ( 1 2 ν ) 2 ρ c e é definita costante adiabatica di Lamé. Anche in questo caso il problema risulta disaccoppiato: calcolo dalla 3.52 gli spostamenti, noti i quali posso risolvere il problema della conduione del calore dalla 3.1. In definitiva é possibile individuare sei possibili casi relativi al problema termoelastico: 1) Problema generale accoppiato: si usano le equaioni 3.1 e 3.2 2) Problema accoppiato in condiioni adiabatiche: si usano le equaioni 3.1 e ) Problema accoppiato quasi statico in cui le variaioni di temperatura procedono assai lentamente, 3.51, ed é possibile trascurare i termini di ineria 3.2 4) Problema dinamico disaccoppiato: si usano le equaioni 3.1 e 3.2 eliminando nella 3.1 i termini di origine meccanica 5) Problema disaccoppiato quasi statico: si eliminano i termini meccanici nella 3.1 e e quelli di ineria nella 3.2. Questo é l approccio piú comune, sebbene quello termoelastico sia un processo dinamico, lo si considera statico in virtú del fatto che si hanno variaioni lente di temperatura, quindi si puó vedere come una successione di stati di equilibrio. Quelli fino ad ora considerati sono problemi transitori o dipendenti dal tempo. In molte applicaioni pratiche deformaione e temperatura sono considerate indipendenti dal tempo: 29

34 3 Il Problema Termoelastico 6) Problema termoelastico staionario: si usano le equaioni 3.1 e 3.2, eliminando i termini in cui compaiono le derivate rispetto al tempo, cosí le equaioni risultano automaticamente disaccoppiate. 3

35 Capitolo 4 Equaioni di Governo Termomeccaniche 4.1 Introduione In questo capitolo vengono ricavate le equaioni differeniali e le condiioni al contorno che governano la risposta termomeccanica di piastre multistrato. Per rendere piú chiara la derivaione delle suddette equaioni riscrivamo alcune relaioni giá introdotte nei precedenti capitoli: Legge di Hooke: σ k ph = C k ppε k pg + C k pnε k ng (4.1) σ k nh = C k npε k pg + C k nnε k ng Relaioni Tensioni termiche-deformaioni termiche: σ k pt d = C k ppε k pt + C k pnε k nt (4.2) σ k nt d = C k npε k pt + C k nnε k nt Relaioni deformaioni termiche-temperatura: ε k pt = {α k xx,α k yy,α k xy} T k (x,y,) = α k p T k (x,y,) ε k nt = {α k x,α k y,α k } T k (x,y,) = α k n T k (x,y,) (4.3) Relaioni tensioni-deformaioni in forma mista: σ k ph = C k ppε k pg + C k pnσ k nm ε k nh = C k npε k pg + C k nnσ k nm (4.4) 31

36 4 Equaioni di Governo Termomeccaniche Forma unificata per gli spostamenti: u = F t u t + F b u b + F r u r = F τ u τ, τ = t,b,r, r = 1,2,..,N (4.5) dove il pedice b indica il valore relativo alla superficie di riferimento della piastra Ω (u b = u ) mentre t si riferisce ai termini ig-ag (u t = u Z ). Le funioni F τ assumono la seguente forma: F b = 1, F t = ( 1) k ζ k, F r = r, r = 1,2,..,N (4.6) da notare che F t vale ±1 in corrispondena del bottom e del top del k-esimo strato. Il termine u t si considera costante nella 4.5. Forma unificata per le tensioni tensioni: σ k nm = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ, τ = t,b,r; r = 2,3,..,N; k = 1,2,..,N l (4.7) a differena di quanto detto per la 4.5, ora i pedici t e b indicano valori che si riferiscono al top e al bottom dello strato. Essi rappresentano la parte lineare dell espansione: Continuitá delle tensioni trasversali all interfaccia: σ k nt = σ (k+1) nb, k = 1,N l 1 (4.8) Modelli Layer-wise: forma unificata per spostamenti e tensioni u k = F t u k t + F b u k b + F r u k r = F τ u k τ τ = t,b,r r = 2,3,..,N σ k nm = F t σ k nt + F b σ k nb + F r σ k nr = F τ σ k nτ k = 1,2,..,N l oltre alla 4.8, la compatibilitá degli spostamenti richiede che u k t = u (k+1) b, k = 1,N l 1 (4.1) Forma unificata per la temperatura: T k (x,y,) = F t T k t + F b T k b + F 2 T k 2 = F τ T k τ. (4.11) dove T k sono i valori di temperatura riferiti ad una di riferimento T e T k τ = T k τ T e mentre T k τ sono le temperature effettive nella piastra. 32

37 4 Equaioni di Governo Termomeccaniche 4.2 Formulaione classica agli spostamenti basata sul PVD La formulaione agli spostamenti é espressa in termini di spostamento u k attraverso il principio deglispostamenti virtuali, che nel caso statico ed in presena di tensioni termiche assume la seguente forma: N l k=1 Ω k T T ( δε k p ( A G σk p Hd σ k p T ) + δε k ng ( σk nh d σ k nt ) ) dωk d = δl e (4.12) k dove δ é il simbolo variaionale mentre l apice T indica la trasposiione del vettore. A k and V sono il dominio ed il volume; Ω k é la superficie media, di contorno Γ k ( Γ k g,γ k m indicano le parti di Γ k su cui sono definite le condiioni al contorno geometriche e meccaniche ). La variaione del lavoro interno é stata divisa secondo le componenti nel piano e fuori dal piano, esprimendo le tensioni mediante la legge di Hooke e le deformaioni attraverso le relaioni geometriche ( giá introdotte nel precedente capitolo); δl e é la variaione virtuale del lavoro fatto dalle fore esterne p k = { p k x, p k y, p k }. Introduciamo nella 4.12 le relaioni deformaioni-spostamenti ε k pg = D p F τ u k τ, ε k ng = (D nω + D n ) u k = D nω F τ u k τ + F τ u k τ (4.13) il pedice indica la deerivata fatta rispetto a. definiamo le seguenti risultanti di tensione (R kτ ph d,r kτ nh d,r kτ nh d ) = (F τ σ k ph d,f τ σ k nh d,f τ σ k nh d ) d A k (4.14) (R kτ pt,r kτ nt,r kτ nt ) = infine introduciamo la formula di integraione per parti: A k (F τ σ k pt,f τ σ k nt,f τ σ k nt ) d (4.15) (D Ω φ) T ϕ dω k = φ T D T Ω k Ω k Ω ϕ dω k + φ T I T Γ k Ω ϕ dγ k (4.16) dove si intende che il contorno Γ k é parallelo alla direione x, y ; φ and ϕ sono due generiche colonne di spostamenti o tensioni; D Ω rappresenta un vettore che contiene operatori differeniali del primo ordine rispetto alle coordinate x,y. Il vettore I T Ω é costruito nel modo seguente: presenta elementi unitari in corrispondena degli elementi di D Ω che sono diversi da ero. Tenendo conto delle precedenti relaioni la 4.12 assume la seguente forma: 33

38 4 Equaioni di Governo Termomeccaniche N l ( k=1 + Ω k δu kt τ δu kt Γ k τ = N l k=1 ( D T p ( R kτ ph d R kτ pt ) + R kτ nh d + R kτ nt D T nω ( R kτ nh d R kτ nt ) )dω k ( I T p ( R kτ ph d R kτ pt ) + I T nω (R kτ nh d R kτ nt ) )dγ k ) Ω k δu kt τ p k τ dω k dove p k τ = {p k xτ,p k yτ,p k τ} sono le componenti del vettore dei carichi esterni. Imponendo la definiione di variaione virtuale per gli spostamenti incogniti, il sistema di equaioni differeniali di governo e relative condiioni al contorno sono espresse in termini di risultanti di tensione. Le equaioni di equilibrio Ω k, per il generico strato k, sono: δu k τ : D T p ( R kτ ph d R kτ pt ) + R kτ nh d + R kτ nt D T nω ( R kτ nh d R kτ nt ) = p k τ (4.17) mentre le condiioni al contorno su Γ k sono geometriche su Γ k g u k τ = ū k τ (4.18) o meccaniche su Γ k m I T p ( R kτ ph d R kτ pt ) + I T nω (R kτ nh d R kτ nt ) = I T p ( R kτ ph d kτ R pt ) + I T kτ nω ( R nh d R kτ nt ) (4.19) I termini contrassegnati dalla barra indicano i valori al contorno. Il set completo di equaioni per gli N l -strati si ottiene facendo variare i pedici e gli apici introdotti. Per esprimere le equaioni di governo in termini di spostamenti, introduciamo le 4.4, 4.5, 4.7 e 4.13 nella 4.14, in modo da scrivere le risultanti di tensione in funione degli spostamenti, cosí facendo otteniamo prima le risultanti meccaniche: R kτ ph d = Z kτs pp D p u k s + Z kτs pn D nω u k s + Z kτs pn D nω u k s, R kτ nh d = Z kτs np D p u k s + Z kτs nn D nω u k s + Z kτs nn u k s, (4.2) R kτ nh d = Z kτs np D p u k s + Z kτs nn D nω u k s + Z kτs nn u k s, dove i termini introdotti sono cosí definiti: s = t, b, 2 kτs kτs kτs kτs ( Z pp, Z pn, Z np, Z nn ) = ( C k pp, C k pn, C k np, C k nn) E τs ( kτs Z pn, kτs Z np, kτs Z nn, kτs kτs Z nn, Z nn ) = ( C k pn E τs, C k np E τ s, C k nn E τs, C k nn E τ s, C k nn E τ s ) 34