Stato tensionale litostatico

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1 Stato tensionale litostatico Per stato tensionale litostatico (o geostatico) si intende quello un indefinito a piano limite oriontale (semispaio) soggetto al solo peso proprio (fora di massa W = peso unità di volume γ). Ipotesi: geometria e peso eventualmente variabili con, ma indipendenti da x,y. Sottosuolo omogeneo Sottosuolo stratificato x y γ γ i Condiioni di simmetria indefinita (piana e radiale) lo stato tensionale non varia in direione oriontale [σ ij f(x,y), σ ij = f()] ogni verticale è asse di simmetria e quindi direione principale per σ e ε (τ x =τ y =γ x =γ y =0) ogni oriontale è direione principale

2 Stato tensionale litostatico: tensioni totali verticali III equaione indefinita di equilibrio: σ γ = 0 σ( ) = σ(0) + γ d 0 [σ (0) è la tensione verticale imposta sul piano limite (condiione al contorno)] Ponendo σ =σ v e assumendo per semplicità il piano limite scarico [σ v (0)=0]: Sottosuolo omogeneo (γ = costante) Sottosuolo stratificato (γ = costante a tratti) σv ( ) = γ σ v n n σ ( ) = γ h + γ ( h) v i i n i σ v γ γ γ γ γ n γn

3 3 Tensioni litostatiche efficaci verticali Se è presente una falda in quiete da profondità = w (pelo libero): per < w le tensioni verticali efficaci (σ v ) coincidono con quelle totali (σ v =γ) per > w u() = tensioni idrostatiche, σ v () = tensioni totali calcolate con γ = γ sat p. c. p. l. f. w γ w σ v, u, σ v γ u( ) σ v ( ) σ v ( ) In ipotesi di omogeneo, per definiione di tensione efficace: [ ] σ ' ( ) = σ ( ) u( ) = γ + γ ( ) γ ( ) γ + γ '( ) v v w sat w w w w w Il peso dell unità di volume immerso in acqua rappresenta quindi l incremento di tensione efficace verticale per unità di profondità

4 4 Tensioni litostatiche efficaci oriontali σ ' ( ) = σ ( ) u v NB: le equaioni di equilibrio sono insufficienti per ottenere le tensioni oriontali! ν ε h = σ h ν ( σ h σ v) 0 σ h( ν ) νσ v σ h σ v E + = = = ν Inconvenienti: difficoltà di misura di ν, ambiguità tensioni totali/efficaci v Apparentemente Raionale (ipotesi di meo elastico) dalle relaioni di Hooke + condiioni di simmetria indefinita (ε h = ε x = ε Y =0): Empirico (dall evidena sperimentale) si esprime la tensione oriontale efficace σ h () in funione di σ v () mediante un parametro empirico, il coefficiente di spinta a riposo k 0 (misurabile in sito o in laboratorio, o esprimibile mediante correlaioni) σ v ( ) = Procedura: n γ i h i + γ n ( n h i ) Approcci possibili: σ, v, σh, u, σ v σ h σ ' h, i ( ) = k 0 σ' ( ) σ h ( ) = σ' h ( ) + u v σ h u( ) ( ) σ v σ h ( ) ( ) σ v ( )

5 5 Stato tensionale in un pendio indefinito Schema: piano limite scarico e inclinato di un angolo i sull oriontale γ h A = γ h seni cosi i γ h cosi I e III equaioni indefinite dell equilibrio: γ h h τ x σ A A h i = h cosi σ x τ x x x σ τ + σ + x τ x i σ x + γ sen i = 0 γ cosi = 0 x Considerando che nè σ x nè τ x dipendono da x e che = h cos i: τ x + γ sen i = 0 τx = γ sen i γ h sen i cosi σ γ cosi = 0 σ = γ cosi γ h cos i (ottenibili anche direttamente dall equilibrio del prisma di terreno)

6 6 Stato tensionale in un pendio indefinito Per ricavare la tensione normale σ x (parallela al piano limite), occorre al solito imporre la condiione di simmetria indefinita (ε x = 0) e introdurre il legame costitutivo (meo elastico ideale): ν ν σ = = γ γ ν ν x... cos i h cos i Esprimendo il legame tra componenti oriontali e verticali in termini di tensioni efficaci, ν ν il rapporto viene sostituito dal coefficiente di spinta a riposo k 0 Ponendo il p.l.f. in corrispondena del p.c. (moto di filtraione parallelo al pendio) si ha: σ ' = γ ' hcos i σ ' = k γ ' hcos i τ = γ ' h sen i cosi x 0 x

7 7 Stato tensionale indotto da carico superficiale indefinito Schema: semispaio sottoposto a sovraccarico uniforme (σ (0) = q) q σ h ( ) σ v ( ) γ σ h ( ) y x Caso generale (III equaione indefinita di equilibrio + condiione ε x = ε y = 0) σ ( ) = q+ σ ( ) = q+ γ d = σ ( ) + σ v v0 v0 v 0 ν ν σh( ) = [ q + σv0( ) ] = q + γ d = σh0( ) + σh ν ν 0 Caso di omogeneo (peso unità di volume γ = costante) σ ( ) = q+ γ v ν σh( ) = ( q+ γ) ν ν In termini di incrementi di stato tensionale efficace, si sostituisce γ a γ e k 0 a ν

8 8 Deformaioni indotte da carico superficiale indefinito q x ε σ h ( ) σ v ( ) γ σ h ( ) y Incrementi di deformaione prodotti dal sovraccarico (solo ε sono 0) ν σ v ν ν σv ε = σ ν( σx σ y) [ σv ν σh] σv ν σv E + = = E E = ν E = ν E ed avendo posto Eed ν = E ν ν (altrimenti detto M v = modulo di compressione edometrica = modulo di compressione unidimensionale) NB: nel meo elastico ideale E ed > E, risultando: ν 0 E ed E ν 0.5 E ed

9 9 Stato tensionale indotto da sovraccarico concentrato Schema: semispaio caricato da fora concentrata F, assena di peso (γ = 0) Soluione di Boussinesq problema assialsimmetrico coordinate cilindriche sistema (r,,θ) σ r, σ θ = f(r,,ν) σ, τ r = f(r,) F 3 r ( ν ) R σ r = 3 π R + R R + F( ν ) R σθ = π R R R+ 3 3F σ = 5 π R 3F r τ r = 5 π R y τ r σ r F R coordinate cartesiane r = x + y σ σ θ R= r + = x + y + θ = arctan( y/ x) θ r σ y σ y x σ x sistema (x,y,) σ x, σ y, τ xy = f(x,y,,ν) σ, τ x, τ y = f(x,y,) 3F x ν ( R+ x ) σ x = π R R( R ) R ( R ) R + + 3F y ν ( R+ y ) σ y = π R 3 R( R ) R ( R ) R F σ = 5 π R 3F x τ x = 5 π R 3F y τ y = 5 π R 3F xy ν ( R + ) xy τ xy = 5 3 π R 3 R ( R+ )

10 0 Semispaio soggetto a sovraccarico lineare Problema a simmetria piana (ε y =0) coordinate cartesiane sovraccarico lineare p = [F/L] dy p La soluione è ottenuta per sovrapposiione ed integraioni della soluione per carico concentrato: R = x + γ = 0 σp, = dσf, ( pdy, P) P E, ν + px σ x = 4 π R σ y = νσ ( x + σ) = 3 p σ = 4 π R p x τ x = 4 π R pν π R Anche in questo caso risulta: σ y = f (p,x,,ν) σ x, σ, τ x = f (p,x,) cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto

11 Profili oriontali di tensioni indotte da carico lineare Caso ν = x [m] In prossimità della superficie, tutte le componenti: tensione [kn] p = 00 kn/m = 0. m σx σy σ τx diventano infinitamente elevate in prossimità del punto d applicaione del carico tendono ad annullarsi rapidamente con la distana tensione [kn] x [m] p = 00 kn/m = m σx σy σ τx All aumentare della profondità: le componenti lungo x (σ x e τ x ) si annullano in asse, poi aumentano e diminuiscono con la distana le componenti σ e σ y sono massime in asse, poi diminuiscono con la distana

12 Profili oriontali di tensioni indotte da carico lineare 0 tensione [kn] Caso ν = tensione [kn] [m].5 3 σx σy σ τx [m].5 3 σx σy σ τx p = 00 kn/m x = 0 m p = 00 kn/m x = m 5 5 In asse al carico: le componenti lungo x (σ x e τ x ) si annullano le componenti σ e σ y sono infinite in superficie, poi diminuiscono con la profondità A distana dal carico, tutte le componenti: si annullano in superficie aumentano e poi diminuiscono con la profondità

13 3 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme carico nastriforme q = [F/L ] q La soluione è ottenuta per sovrapposiione ed integraioni della soluione per carico lineare: q = p r dθ γ = 0 E, ν α δ P θ 0 θ r θ q σx = α α α + δ π q σ y = νσ ( x + σ) = αν π q σ = α + α α + δ π q τx = sinαsin( α + δ) π [ sin cos( )] [ sin cos( )] θ σq, = dσp, ( p rdθ, P) θ 0 Anche in questo caso risulta: σ y = f(p, ν) σ x, σ, τ x = f(p) cioè le tensioni nel piano dipendono solo da sovraccarico e coordinate del punto P

14 4 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Distribuione delle tensioni in asse Per x = 0 risulta α+δ = 0: q σx = [ α sinα] = σ3 π q σ y = νσ ( x + σ) = αν = σ π q σ = [ α + sinα] = σ π τ x = 0 e poiché è anche B α = arctan 0 3 σ/q σ x σ y σ gli incrementi di tensione sono esprimibili in forma adimensionale: σ/q = f(/b) si estinguono ad una distana proporionale a B (p.es. risulta σ < 0.q per 4B) la componente σ x si estingue più rapidamente della σ /B 4 5 ν = 0.5

15 5 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Consideraioni sull equilibrio alla traslaione verticale + σ dx = qb.la distribuione di σ su piani oriontali si appiattisce all aumentare della profondità.le aree dei diagrammi sono costanti

16 6 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Distribuioni con la profondità degli incrementi di tensione verticale al variare della distana dall asse All aumentare della distana: l incremento in superficie salta da q a 0.5q a 0 gli incrementi in profondità tendono ad uniformarsi e poi anche a crescere al di fuori della fondaione

17 7 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Isolinee (isobare) di incrementi di tensioni principali massime (σ ) e minime (σ 3 ) Entrambe le tensioni principali nel piano diminuiscono con la distana Le tensioni minime (σ 3 ) si attenuano più velocemente di quelle massime (σ )

18 8 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Direioni di tensioni tangeniali massime (τ max ) e principali (σ, σ 3 ) τmax σ,σ3 Si osserva una rotaione continua di 90 delle direioni principali e delle τ max Dall asse della fondaione verso la superficie, σ da verticale diventa oriontale

19 9 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme Isobare di tensioni tangeniali massime τ max σ σ 3 = e tensioni verticali σ Le tensioni tangeniali massime aumentano e poi diminuiscono con la distana Ciò dipende dalla variaione combinata delle tensioni principali massime (τ σ - σ 3 )

20 0 Semispaio soggetto a sovraccarico nastriforme: analisi FEM q q = 00 kpa B = m Codice Plaxis V.8 B/ Modello Elastico E = 5 MPa ν = 0.33

21 Isocontorni FEM di tensione verticale e oriontale σ σ 0 + σ σ x σ h0 + σ h

22 Isocontorni FEM di tensione media p e deviatorica q p p 0 + p q q 0 + q

23 3 Semispaio soggetto a sovraccarico circolare Problema a simmetria radiale coordinate polari La soluione è ottenuta per sovrapposiione ed integraioni della soluione per carico concentrato: q rdθ dr rdθ dr dθ R R π σ = dσ ( q rdθ dr, θ, r) q 0 0 F r P In asse (r=0), gli incrementi di tensione valgono: 3 q ( + ν ) σh = σx = σ y = ( ) + ν + 3 R + ( R + ) 3 σv = σ = q 3 ( R + ) τx = τy = τ y = 0 Anche in questo caso risulta: σ h = f(p, ν), σ v = f(p)

24 4 Semispaio soggetto a sovraccarico circolare Isobare degli incrementi di tensione verticale σ v : σ v q a parità di larghea (R = B/), gli incrementi di tensione si attenuano più rapidamente rispetto alla fondaione nastriforme

25 5 Semispaio soggetto a sovraccarico rettangolare - I Tensioni verticali lungo uno spigolo di un area rettangolare di carico Soluione di Steinbrenner (934): σ q BL BL = arctan + + π R R R R 3 3 dove: R = B + R = L + R3 = B + L +

26 6 Semispaio soggetto a sovraccarico rettangolare - II Applicando il principio di sovrapposiione degli effetti, lungo una verticale di bordo (sovrapposiione di aree rettangolari è possibile ottenere le tensioni verticali in un generico punto: σ (ABCD) = σ (AQPD) + σ (QBCP) P P P lungo una verticale interna (sovrapposiione di 4 aree rettangolari) σ (ABCD) = σ (AQPT) + σ (QBRP) + σ (PRCS) + σ (TPSD) P P P P P lungo una verticale esterna (sovrapposiione di 4 aree rettangolari) σ (ABCD) = σ (AQPT) σ (BQPS) σ (DRPT) + σ (CRPS) P P P P P