Il nuovo Eurocodice 8 - EN1998

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1 ORDINE DEGLI INGEGNERI DELLA PROVINCIA DI BERGAMO Corso di aggiornamento professionale Dott. Ing. Gilio Pandini IX Corso Università degli Stdi di Bergamo - Facoltà di Ingegneria Dalmine 8 Novembre 003 Il novo Erocodice 8 - EN1998 Prof. Ing. Alberto Castellani

2 Erocodice 8. Capitolo 5: costrzioni in calcestrzzo armato Dttilità di na sezione e prescrizioni di dettaglio strttrale Alberto Castellani- Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria strttrale F x F o 0 x o x Fig. 1: diagramma elasto-plastico della strttra. Consideriamo n sistema ad n grado di libertà, figra 1, sottoposto ad na forza esterna F. Il diagramma F-x sia ad esempio di tipo elasto-perfettamente plastico, con limite del campo elastico nel pnto di coordinate F o x o. Sia x lo spostamento al raggingimento del qale si ha na degrado riconoscibile della strttra. Il rapporto: µ = x / x o è definito dttilità della strttra. La dttilità rappresenta qindi la capacità di resistenza della strttra oltre i limiti elastici. Se la strttra non ha n comportamento ricondcibile allo schema elasto-perfettamente plastico, e se la forza F è na forza di natra alternata, variabile nel tempo, il comportamento pò essere più complesso. Tttavia ancora si potrà individare n valore dello spostamento x oltre il qale si ha n degrado limite, ed ancora si definisce dttilità il rapporto tra x e lo spostamento al limite elastico x o. M M pl Fig. : diagramma momentocrvatra, per na trave inflessa, debolmente armata. M ρ o ρ crvatra L Erocodice stabilisce na gerarchia di schemi strttrali, premiando gli schemi che meglio riescono a sfrttare la dttilità dei singoli elementi costrttivi, e prescrive il rispetto di alcni dettagli costrttivi volti ad assicrare n comportamento dttile per il singolo elemento. E possibile definire la dttilità in termini di crvatre. Con riferimento alla figra, ci proponiamo appnto di calcolare la dttilità come rapporto ρ /ρ o. Per le strttre in calcestrzzo armato, ttte le prescrizioni di dettaglio possono essere fatte risalire al comportamento di na trave soggetta a crvatre crescenti. Richiamiamo che la crvatra ltima è prossima alla crvatra alla qale corrisponde M, ma non coincide con essa. E legata al raggingimento delle deformazioni limiti del calcestrzzo e dell acciaio che ci accingiamo a richiamare. Consideriamo na prova di compressione di n cilindro standard, (n cilindro con altezza pari a de volte il diametro), formato da calcestrzzo non armato, e sprovvisto di armatra trasversale, ovvero non confinato. La prova di carico sia a controllo di spostamento, in modo da consentire la rilevazione del ramo discendente del diagramma 1

3 sforzi-deformazioni. Al raggingimento dello sforzo massimo, f c, il cilindro ha n danneggiamento contento. Si pò ritenere che, dopo lo scarico, n sccessivo ciclo di carico ritrovi il cilindro pressoché nelle stesse condizioni iniziali. Viceversa, se si spera la condizione di carico caratterizzata dallo sforzo massimo, e si incrementano lteriormente le deformazioni, poco oltre ε c si ragginge la frantmazione del calcestrzzo. La deformazione ε c, corrispondente al valore di sforzo 0.85 f c, è convenzionalmente considerata la deformazione alla qale corrisponde n danneggiamento irreversibile. Passando dal cilindro standard ad n elemento strttrale, ancora convenzionalmente si ritiene che sia ragginta la resistenza ltima dell elemento qalora la deformazione speri il valore ε c. Se il calcestrzzo è confinato, ovvero impedito di deformarsi lateralmente, (per effetto Poisson), il diagramma sforzi-deformazioni ha l andamento qalitativamente indicato nella figra 3, del qale si discterà più oltre. Ancora, convenzionalmente, la resistenza ltima dell elemento è definita dal raggingimento della deformazione ε cc corrispondente allo sforzo 0.85 f c, ove f c è la resistenza a compressione del calcestrzzo non confinato. Qindi, per qanto rigarda il calcestrzzo ρ è definito dal raggingimento di ε c o ε cc. σ f cc f c.85 f c Calcestrzzo confinato e schema EC8 Fig. 3: Diagramma sforzi deformazioni per calcestrzzo confinato e non confinato. f cc = f c ( α ω w ) per ω w < 0.1/α f c ( α ω w ) per ω w 0.1/α ε cc = ε c α ω w Calcestrzzo non confinato f s ε c ε c ε cc ε cc Fig. 4: tipico diagramma sforzideformazione di na barra di armatra, in na prova a trazione. f ε ε h ε s deformazione media slla lnghezza del campione Per qanto rigarda l acciaio di armatra, la figra 4 ricorda il tipico risltato di na prova a trazione con carico crescente monotonamente. Per n acciaio Fe 440 le deformazioni individate valgono ε 0. %; ε h 10 ε ; ε s 100 ε. Il valore ε s dipende dalla lnghezza del campione in prova. Attorno alla sezione di rottra il provino presenta deformazioni longitdinali e trasversali molto marcate per n tratto di provino delle dimensioni di qalche diametro, che delimitano la tipica zona di strizione. Se il carico è di natra ciclica alternata, come pò verificarsi in condizioni sismiche, pochi cicli oltre il limite ε h prodcono na rottra che non manifesta strizione. A parità di lnghezza del campione in prova, la deformazione media alla rottra è << ε s. Pertanto, per qanto rigarda la armatra, si ritiene che il limite del comportamento dttile debba essere fissato come ε s < ε h. Con qeste premesse si calcolerà la dttilità flessionale della trave, facendo riferimento alle sali ipotesi di calcolo di na trave in calcestrzzo armato. Consideriamo na sezione di forma rettangolare. I risltati sono validi anche per sezioni a T se l'asse netro cade nella soletta, poiché trascriamo come di conseto il contribto della resistenza a trazione del calcestrzzo. Per altri casi il calcolo pò essere esegito in modo analogo. Indichiamo con ρ la crvatra ltima e con ε s la deformazione dell'acciaio qando ρ = ρ. Ci interesserà effettare il calcolo entro i vincoli alla percentale di armatra che consentono di mantenere la deformazione ε s entro dati limiti: ε < ε s < ε h (1) Il limite inferiore assicra che al raggingimento della resistenza ltima della sezione l acciaio sia già snervato. (E la condizione che assicra ρ >> ρ o ). Il limite speriore assicra che non sia ancora cominciato il fenomeno di

4 incrdimento. In tali condizioni la crvatra è al so limite ρ perché il calcestrzzo ha ragginto la deformazione massima ammissibile ε c. Come di conseto, spponiamo che le deformazioni abbiano na distribzione lineare lngo l'altezza della sezione e sia f s =f la sollecitazione nell'acciaio, f c la sollecitazione media nel blocco di calcestrzzo compresso. Dalla fig. 5 si ha: K = ε c / (ε s + ε c ) (13) f c b K d = As f (14) As f f K = = p b d f f (15) c c avendo indicato con p = A s /b d la percentale di armatra. Dalle (13), (14) e (15) si ottiene: ε c / (ε h + ε c ) < p f < f c ε c / (ε + ε c ) (16) La (16) è in sostanza na limitazione slla percentale di armatra p. Essa discende dall'ipotesi (1): se ε s < ε (sezioni fortemente armate), non si sfrtta la dttilità dell'acciaio e qindi si ottiene na minore dttilità globale della sezione, amentando intilmente il costo. Se, d'altra parte, ε s > ε h (sezioni debolmente armate), pochi cicli di carico prodcono na rottra dell acciaio fragile, ovvero senza strizione della sezione. Per na sezione che rispetta i limiti della (16) il legame tra il momento flettente M e la crvatra ρ ha l'andamento indicato qalitativamente nella fig.. La condizione (16) definisce pertanto i limiti più opportni per la percentale di armatra p. Essa costitisce la base teorica per le limitazioni all armatra riportate nell Erocodice 8, o nella Circolare Ministeriale. Secondo EC8 p max = p f cd /(µ φ ε d f d ) es. con f c = 80 kg/cm ; f c = 00 kg/cm ; ε c = 0.003; ε = 0.00; f =4400 kg/cm ; rislta p max = p p min = 0.5 f ctm / f k = K d d h 1/ K d b f c Distribzione delle sollecitazioni per ρ =ρ o b f ε c K d K d b f c Distribzione delle sollecitazioni per ρ =ρ ε s f Fig. 5: distribzione di sforzi nelle de condizioni ρ = ρ o e ρ= ρ. La figra 5 rappresenta le de distribzioni di sforzo nelle condizioni ρ = ρ o e ρ= ρ. La crvatra ρ o viene ragginta qando lo sforzo dell'acciaio è pari a f, mentre il calcestrzzo è ancora lontano dal so limite ε c. Si pò dnqe calcolare ρ o, applicando la teoria lineare e ponendo f s = f. Con riferimento alla fig. 5, si ottiene: 3

5 Af = 1 fbkd s c (17) ε ε c K = 1 (18) K Detti ora E s ed E c i modli elastici dell'acciaio e del calcestrzzo si ha: f = E ε f = E ε ; (19) s c c c Posto infine E s /E c = n per le (18) e (19) la (17) diventa: da ci: 1 n p ( 1 K) = K, (0) K ( pn) + pn pn = Si ha inoltre: ρ o = ε d( 1 K) (1) mentre dalla fig. 5 si ricava: ρ εc Kd = () Dalle (0), (1) e () si ottiene: ρ ρ o εc 1 K = ε K ed in virtù della (15): ρ εc f c 1 K µ = = ρ ε f p o (3) La eqazione così trovata mostra che la dttilità flessionale cresce con il crescere di de parametri del calcestrzzo, ε c ed f c, indice qesto al migliorare della qalità del calcestrzzo, cresce la dttilità. Viceversa la dttilità è inversamente proporzionale a tre parametri riferiti all acciaio: ε e f (i qali sono peraltro definiti dai prodotti in commercio), e p, percentale di armatra. Ad esempio, per calcestrzzi normali si pò assmere ε c = e f c = 0.7 f ' c. Qanto al momento massimo M, se si sppone che la risltante delle compressioni si trovi alla distanza 0.4 K d del lembo compresso, si ottiene: M = A s f d (1-0.4 K ) (4) ove K è fornita dalla (16). Esempio: 4

6 Φ 4 30 p = 1%; f c = 80 kg/cm ; f c = 00 kg/cm ; ε c = 0.003; ε = 0.00; f =4400 kg/cm ; K= ρ /ρ o = 4 Fig.6 30 Qalora esista na staffa chisa, pari a n Φ 10 ogni 10 cm, in grado di fornire qindi na percentale meccanica di armatra pari a ω = E s / E c = 0.09, si pò assmere ε cc = ; f cc = f c. La dttilità flessionale della sezione diviene pari a 11. Ove esista anche na armatra a compressione, con percentale p e distanza d dalla fibra più compressa, si ottiene : ove: µ ε c = ε ' 07, f ( ) c 1 K f p p ( ) ' (5) ' ( p + p ) + n( p + p d / d ) n( p p' ) K n + = (6) Nell esempio precedente, assmendo d = 5 cm; d = 5 cm; p = 0.005, si ottiene K=0.3 e consegentemente µ = ρ / ρ o = 8.4. Le eqazioni precedenti costitiscono la base teorica per le prescrizioni che l Erocodice elenca per assicrare dttilità alle sezioni in c.a.. L eqazione mostra che µ cresce con il crescere di ε c, spiegando il motivo delle prescrizioni slla percentale minima di staffe. L eqazione mostra che µ cresce con il crescere di f c, spiegando il motivo delle prescrizioni slle resistenze minime richieste per il calcestrzzo. L eqazione mostra che µ cresce con il diminire di p, spiegando il motivo delle prescrizioni sl qantitativo massimo di armatra. L eqazione mostra che µ cresce con il diminire di p-p, ovvero con l amentare di p. L Erocodice prescrive che il valore minimo di p sia pari a ½ p. Effetto della azione assiale Consideriamo il caso nel qale esiste solo la armatra tesa Calcolo di ρ o. Il procedimento prevede di definire la distribzione delle deformazioni, a partire dalla deformazione ε dell acciaio teso, scegliendo na crvatra arbitraria, e qindi n K arbitrario. Rislterà: ρ o = ε / (1-K) d. L eqilibrio alla traslazione condce alla eqazione: -p f b d + f c K bd/ = P. La eqazione di eqilibrio ad M consente di calcolare K. 5

7 ε c P M K d K d b f c ε s f Figra 7. Calcolo di ρ. Il procedimento prevede di definire la distribzione delle deformazioni, a partire dalla deformazione ε c del calcestrzzo compresso, scegliendo na crvatra arbitraria, e qindi n K arbitrario. Rislterà: ρ = ε c / (K d). Prefissato P, l eqilibrio alla traslazione consente di definire K. -p f b d + f c K bd = P. dalla qale: e qindi: K = ( P+ f pbd) / (f c bd) = f p / f c + P /P o, µ = ε c f c (1-K)/ [(P/bd + f p) ε ] µ = ε c (1-K)/ (f p/f c +P/P o ) ε Essa mostra che la dttilità flessionale decresce con P/P o. Ritenendo f p/f c 0.1, rislta che la dttilità dimezza qando P/P o = 0.1. A parità di altri parametri, la dipendenza della dttilità da P è del tipo in figra: P/P o =.3 P/P o =.15 Fig. 8: diagramma momentocrvatra, per na trave inflessa, debolmente armata, per diversi valori di P. M M pl P/P o =0 ρ o ρ crvatra 6

8 Mettendo in conto armatra a compressione ed azione assiale, la formla finale vale: µ = ε c f c (1-K)/ [P/bd + f (p- p )] ε Qesta formla mostra che na azione di compressione P fa diminire la dttilità. A parità di dimensioni, na trave soggetta a soli momenti flettenti, avrà n comportamento più dttile di na colonna soggetta a momenti e ad azione assiale. Ciò consente di comprendere il reqisito strong colmn weak beam, alla base della progettazione delle strttre in c.a. A titolo di esempio, sono poste a confronto tre sezioni, ttte realizzate con f c = 50 kg/cm, e f = 4400 kg/ cm. La sezione a sinistra è armata con na percentale di armatra prossima a qella limite consentita. Nell esempio si sppone che sia necessario amentare la resistenza della trave del 8 %. Non potendo amentare lteriormente la armatra a trazione, si prospettano de solzioni: 1) amentare sia p che p della stessa qantità, e ) amentare le dimensioni della trave. L esempio è svolto in modo che le de solzioni offrano lo stesso amento in termini di momento ltimo. Dal confronto rislta più interessante la seconda solzione, corrispondente alla trave di altezza incrementata. In zona sismica è infatti sempre opportno ricorrere a travi di altezza opportna. Le travi in spessore di solaio dovrebbero in coerenza essere convenientemente evitate. p = p= p= p = M o 30 tm 38.4 tm 38.4 tm µ A s 17.4 cm 6.45 cm 16.7 cm U 5.38 kg m 7.64 kg m 8.34 kg m Confronto in termini economici, assmendo, secondo il bollettino della Camera di commercio 00, di Milano: calcestrzzo 150 Ero/m 3, acciaio 0.5 Ero/kg; casseforme 5 Ero /m. Il confronto prescinde dal conteggio delle staffe. 5, , ,50 + 7, ,40 + 6,68 + 4,50 4,50 50, ,00 80,00 88,0 Il confronto mette in lce che la trave da 70 cm di altezza, oltre ad n ingombro maggiore, ha anche n costo maggiore. 7