: E eff. (128) f I α. L 2 M E. I J I E. I J I E. II J II

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1 math.67 - FRECCIA DIFFERITA di UNA TRAVE INFESSA ( 0; N 0) Richiami. Per calcolare la freccia differita nel tempo o freccia a tempo infinito (f oo ) di una trave inflessa si deve tener conto che alla freccia elastica (f e ) vanno sommati i c.d. "effetti lenti" dovuti pro-quota al ritiro (sh=shrinkage) e alla viscosità [Circolare 0 febbraio 009 n.617:.c4.1...]. Nel tempo, infatti, si manifestano nel cls sia una deformazione che si sviluppa indipendentemente dal carico e dovuta al "ritiro" (f sh ), sia una deformazione che si sviluppa per l'azione prolungata del carico e dovuta alla "viscosità" (f p ): f = f e + f p + f sh = f ep + f sh in cui: - f oo = freccia differita a tempo infinito; f e = freccia elastica; f p = freccia plastica; f sh = freccia da ritiro - f ep = f e + f p = freccia elasto.plastica (freccia elastica amplificata per effetto della viscosità) Ovviamente, la freccia da ritiro si può manifestare solo nelle travi libere di deformarsi almeno in 1 estremità. Freccia elasto.plastica "f ep " [metodo E] Per calcolare la freccia elasto.plastica si opera con il c.d. "metodo E" (Effective odulus), potendosi ritenere ancora valida, per stati tensionali del cls non superiori al 45% della resistenza caratteristica f ck, la teoria lineare, per cui la deformazione viscosa può essere assunta proporzionale, secondo un coefficiente di viscosità φ, alla deformazione elastica, il che equivale a tradurre il modulo elastico del cls da E a E eff : E eff E In tal modo, il problema si risolve usando le stesse formule già viste per la freccia elastica [math.66] con l'unica variante costituita dal nuovo valore del modulo elastico del cls: f ep = f I + f II (18) f I α.. I 48 µ. cr E. I J I 84. E. I J I (1) f II α.. II 48 µ. cr E. II J II 84. in cui: E. II J II - α = (48-µ)/84; µ = 8 (vincoli simmetrici di appoggio), 4 (vincoli simmetrici di incastro) - I = cr = momento di fessurazione (cr = cracking) = momento di 1 stadio - II = - cr = momento di stadio; = momento esterno agente sulla sezione di trave considerata - E I J I =.eff J I = rigidezza flessionale di 1 stadio; E II J II =.eff J II = rigidezza flessionale di stadio Ovviamente, se <= cr, la freccia elasto-plastica è solo quella di 1 stadio. Si può procedere cumulativamente anche con l'unica formula (15): 48 µ (15) f ep f I f. cr II 84. cr E. I J I E. II J II ission Calcolare la freccia differita f oo della sezione di trave inflessa di fig.01, semplicemente appoggiata (fig.0). Dati - destinazione d'uso: Cat.A = ambienti ad uso residenziale [NTC.008: ta.5.i] - combinazione di carico: quasi permanente; freccia limite = /50 (assenza di tramezzi in muratura) - limiti della freccia differita = /50 a salvaguardia della funzionalità, = /500 a salvaguardia di pareti divisorie o tamponamenti in muratura portati [Circolare 0 febbraio 009 n.617:.c4.1...] - G 1, G = kg/m = carico permanente strutturale, non strutturale agente sulla trave - Q 1 = kg/m = carico variabile principale (carico di esercizio) agente sulla trave - b, H, h = cm = base, altezza, altezza utile della sezione; = m = lunghezza della trave; φ c, φ t = cm - A st, A sc = cmq = armatura tesa, compressa; c = cm = copriferro di cantiere (identico per le armature) [140] - vincolistica simmetrica di appoggio: µ = 8 --> (48-µ)/84 = 40/84 - R ck, f ck, f cm, f ctm, f ctm.fl [=f fl per mathcad], f yd, E s,, E ctm, n, n' [per il significato dei simboli ---> math.9] 1

2 Sezione e armatura della trave Fig.01 6 b 100 H c φ c 1.4 φ t 1.6 A sc 0 A st 8.14 h' c h H c φ t h = 8. φ c h' =.7 Fig.0 - ati della trave esposti all'evaporazione diretta in aria. Carichi agenti sulla trave G G 100 Q Parametri del Fe E s f yd 91 Parametri del cls Fig.0 R ck 41 f ck 0.8. R ck f ck = 00.0 f cm f ck 80 f cm = 80.0 f ck f ctm. f ctm =.11 f ctm.fl 1.. f ctm f ctm.fl = f cm = 9969 n 100 f ctm.fl ε' cu E ctm.fl E ctm.fl = n' ε' cu A. Freccia elasto.plastica - Soluzione canonica ("f ep.1 ") A.1. Carico "q" agente sulla trave Poichè la combinazione "quasi permanente" dei carichi prevede che il carico variabile principale venga considerato al 0%=0. [NTC.008:..5., ta.5.i], il carico unitario q (kg/m) vale: A.. omento esterno agente sulla trave Trattandosi di trave vincolata alle estremità in semplice appoggio, il momento esercitato dal carico in mezzeria vale: E s n = 6.91 E ctm.fl n' = 0.51 q G 1 G 0.. Q 1 q = 600 q. 8 = A.. Coefficiente di viscosità a trave (fig.01), di sezione A c =b*h=100*=.00cmq, regge solai (fig.0), per cui i lati esposti all'aria assommano cumulativamente a u=b=00cm. Supponendo che la trave venga messa in carico a t 0 =6 giorni dal getto in ambiente a umidità relativa di circa il 55%, si ricava, per interpolazione dalla ta11..vi [NTC.008] ed in funzione del raggio di esposizione all'atmosfera h 0 =A c /u=*.00/00=cm=0mm, il valore del coefficiente di viscosità a tempo infinito φ(oo,t 0 ) [per il calcolo di φ --> math.6]: φ.40 A.4. Freccia elasto.plastica di 1 Stadio A.4.a. oduli elastici efficaci Convertendo in.eff (n in n eff ) ed E ctm.fl in E ctm.fl.eff (n' in n' eff ): [141]

3 .eff E s.eff = 8816 n eff n eff =.49.eff E ctm.fl.eff E ctm.fl E ctm.fl.eff E ctm.fl.eff = n' eff n' eff = 0.51.eff A.4. Asse neutro e momento d'inerzia 'asse neutro in 1 Stadio si determina annullando l'equazione: y x I n'. eff ( H y) n. eff A. sc ( y h' ) n. eff A. st ( h y) 0 solve, y x I x I1 x I = Da cui il momento d'inerzia: x I J I n'. eff H x I A.4.c. omento di fessurazione (o di cracking) cr Il momento di fessurazione (kgm) vale (math.1): n. eff A. sc x I h' n. eff A. st h x I J I = 0005 cr f ctm. 1. J I 100. n'. eff H x I A.4.d. Freccia elasto.plastica di 1 Stadio 40 Per il seguente valore di f I (mm): f. cr I if E. cr cm.eff J I A.5. Freccia elasto.plastica di Stadio A.5.a. Asse neutro e momento d'inerzia Asse neutro: otherwise E. cm.eff J I cr = 7148 f I = A st A sc A. x II n. eff 1 1. st h A. sc h'. x b II = 1.8 n. eff A st A sc Da cui il momento d'inerzia: x II J II n. eff A. sc x II h' n. eff A. st h x II J II = 4664 A.5. Freccia elasto-plastica di Stadio 40 Per il seguente valore di f II (mm): f. cr II if E. cr f II = 8.6 A.6. Freccia elasto.plastica f ep.1 Infine, sommando (f ep.1 =mm): 0 otherwise f ep.1 f I f II f ep.1 = B. Freccia elasto.plastica - Soluzione la Circolare n.617 ("f ep. ") Stessa procedura già illustrata al math.66. B.1. Parametri deformativi di 1 e Stadio (mm) 5 q. I. 4. f q. I 84 E. f = 16.4 II. 4. f 10 7 II cm.eff J I 84 E. f =.16 B.. Freccia elasto.plastica f ep. Applicando la (C4.1.11) esplicitata (f ep. =mm) e dovendosi adottare per carichi di lunga durata: γ 0.5 f ep. I. f γ cr. II. cr f 1 γ. f ep. = 1.09 B.. Osservazione dell'autore Stessa osservazione di cui al math.66, cui si rinvia. [14]

4 C. Freccia da ritiro "f sh " C.1. Richiami. All'entità della freccia contribuisce anche il ritiro del cls allorchè l'armatura della trave, come avviene nella maggioranza dei casi, non è simmetrica (generalmente: A sc <A st ) fino al caso limite della trave semplicemente armata di fig.04.a). Infatti: - se l'armatura è simmetrica (A sc =A st ), l'acciaio contrasta la deformazione omogeneamente sull'intera sezione e la trave si accorcia longitudinalmente (contrazione assiale: contributo nullo del ritiro alla freccia); - se l'armatura è semplice [A sc =0 (fig.04.a)], il contrasto al ritiro viene esercitato dal Fe solo al lembo inferiore, mentre il lembo superiore può contrarsi liberamente: poichè la contrazione al lembo superiore è maggiore di quella al lembo inferiore (lembo superiore più corto del lembo inferiore), la trave resta obbligata a incurvarsi verso il basso; - se l'armatura non è simmetrica (A sc <A st ), come nel caso di cui alla fig.04.b [A sc =φ16; A st =8φ16], la trave, ai fini degli effetti deformativi del ritiro, può essere considerata come armata della differenza fra le armature al solo lembo teso [nel caso di fig.04.b, l'armatura della trave è equivalente a quella di fig.04.c, armata al solo lembo inferiore di 8-=6φ16]. C.. Procedura di calcolo a freccia da ritiro si calcola, assoggettando la trave al momento costante sh generato dal ritiro, come segue (fig.05): - ε sh = deformazione unitaria da ritiro - F st = σ s *A st = ε sh *E s *A st = kg = forza di compressione indotta nell'armatura inferiore A st dal ritiro - F sc = σ' s *A sc = ε sh *E s *A sc = kg = forza di compressione indotta nell'armatura superiore A sc dal ritiro H φ - sh F. t H φ st c F. c sc c = kg*cm = momento delle forze F e F rispetto al st sc baricentro della sezione di cls - J = momento d'inerzia relativo allo stadio in cui ricade il momento agente: 1 Stadio se <= cr --> J=J I Stadio se > cr --> J=J II = 0.065* sh * /EJ per travi appoggiate; f sh = 0.5* sh * /EJ per mensole = 0.07* sh * /EJ per travi incastrate a un'estremità e appoggiate all'altra x10 5 per la restituzione della freccia in mm C.. Calcolo della freccia da ritiro f sh Calcolati allora (per il calcolo di ε sh --> math.5): ε sh F st F sc ε. sh E. s A st F st = 1456 ε. sh E. s A sc F sc = 0 Fig.04 Fig.05 [14] 4

5 Il momento di shrinkage vale (kgcm): sh H φ F. t H φ st c F. c sc c sh = e la relativa freccia (mm): f sh sh if > E. cr sh otherwise E. cm.eff J I f sh = 4.04 D. Freccia differita "f " e sua verifica D.1. Freccia differita "f " secondo il metodo canonico E finalmente: f oo f ep.1 f sh f oo =.7 D.. Verifica Essendo (mm): 50 = 4 a_verifica "è soddisfatta" if f oo 50 "NON è soddisfatta" otherwise a_verifica = "è soddisfatta" D.. Freccia differita "f " secondo la Circolare 617/09 E finalmente: f oo f ep. f sh f oo = 5.1 Verifica Essendo (mm): 50 = 4 a_verifica "è soddisfatta" if f oo 50 "NON è soddisfatta" otherwise a_verifica = "NON è soddisfatta" [144] 5