CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO (precompressione parziale) Determinare lo stato tensionale della trave di figura nel rispetto del DM

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1 CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO (precompressione parziale) Determinare lo stato tensionale della trave di figura nel rispetto del DM Dati trave Altezza sezione h := 150 cm base sezione b := 40 cm Armatura di precompressione Ap := 5 cm (Armatura in trefoli) lunghezza trave L := 30 m Freccia del cavo f := 1 m Distanza minima del cavo dal lembo inferiore dp := 8 cm eccentricità del cavo in mezzeria h ec := dp ec = 67 cm Tiro e tensione iniziale del cavo N 0 N 0 := 3500 kn tiro a 15 gg σspi := σspi = MPa Ap Carichi esterni Sovraccarichi caratteristici permamenti: pk := 4.5 kn m Sovraccarichi caratteristici accidentali qk := 10 kn cond. carico quasi permanente m Fasi di costruzione Fase I: condizioni a vuoto (carico id precompressione + P.Proprio Trave) Fase II: condizioni di esercizio (carico di precomp.+p.p.trave+ Sovraccarichi perm. e acc.)

2 SOLUZIONE Calcolo Caratteristiche Meccaniche dei Materiali Calcestruzzo Resistenza a compressione cubica a 8gg Rck := 40 MPa Resistenza Cilindrica a 8gg fck := 0.83 Rck fck = 33. MPa Resistenza cilindrica media fcm := fck + 8 MPa fcm = 41. MPa 3 3 Resistenza a trazione media del cls fctm := 0.3 MPa Rck fctm = MPa 1 Resistenza a compressione del cls al tiro (Model Code 90) Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in condizioni iniziali Tensione massima di trazione ammissibile nel cls in condizioni iniziali Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in condizioni di esercizio fckj := fck e fckj = MPa σcci := 0.7 fckj σcci = 1.07 MPa fctm σcti := σcti =.94 MPa 1. σcce := 0.45 fck σcce = MPa Tensione massima di trazione ammissibile nel cls in condizioni di esercizio fctm σcte := σcte =.94 MPa fcm Modulo elastico cls Ec := 000MPa Ec = MPa 10 Acciaio Modulo elastico acciaio da Precompressione Ep := Tensioni caratteristicche di rottura e snervamento dell'armatura di precompressione (in trefoli) Tensione massima ammissibile nell'armatura al tiro MPa fptk := 1900 MPa fp1k := 1700MPa σpi := min( 0.75fptk, 0.85fp1k) σpi = MPa Tensione massima ammissibile nell'armatura in esercizio σpe := 0.8fp1k σpe = MPa

3 Coefficiente di omegenizzazione al tiro n := Ep Ec = Calcolo caratteristice geometriche della sezione nelle varie fasi si valutano le caratteristiche geometriche della sezione nelle due fasi previste nella fase di costruzione e di esercizio della trave Fase I (Condizioni a Vuoto: precompressione + peso proprio della trave) In questa fase i cavi non sono solidali col calcestruzzo per cui occorre depurare la sezione di calcestruzzo dell'area dei cavi di precompressione. Area AidI := b h Ap AidI = cm Momento Statico h SidI := b h Ap ( h dp) SidI = cm 3 Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave SidI ygi := ygi = 74.7 cm AidI Momento d'inerzia b h 3 h JidI := + b h ygi Ap ( h dp ygi) JidI = cm 4 1 Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore WidsI := JidI ygi WidsI = cm 3 WidiI := JidI h ygi WidiI = cm 3 Nel caso specifico l'area dei cavi d'acciaio risulta essere piccola per cui l'area ideale della sezione si potrebbe approssimare con l'area della sezione immaginata di solo calcestruzzo senza eccessivo errore. Infatti l'area e il momento d'inerzia approssimati risulterebbero AI := b h AI = cm b h 3 JI := JI = cm 4 1 JI WsI := WsI cm 3 JI = WiI := WiI = cm 3 ygi h ygi

4 Fase II (Condizioni di esercizio ( precompressione + peso proprio della trave+ sovraccarichi permanenti e accidentali) In questa fase i cavi di precompressione sono sigillati nelle guaine con la malta e pertanto risultano solidali col calcestruzzo. Le grandezze geometriche ideali sono quindi le seguenti: Area AidII := b h Ap + n Ap AidII = cm Momento Statico h SidII := b h Ap ( h dp) + n Ap ( h dp) SidII = cm 3 Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave SidII ygii := ygii = cm AidII Momento d'inerzia b h 3 h JidII := + b h ygii Ap ( h dp ygii) + n Ap ( h dp ygii) 1 JidI = cm 4 Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore JidII WidsII := WidsII = cm 3 yi := ygii JidII WidiII := WidiII = cm 3 ys := h ygii WidsII AidII WidiII AidII = 0.5 m = 0.6 m Calcolo Sollecitazioni Peso proprio trave kn pp := b h 5 pp = 15 kn m 3 m Momento massimo in mezzeria al tiro 1 Mmax1 := 8 pp L Mmax1 = kn m Momenti massimi in mezzeria in esercizio Mmax := 1 pp pk 8 L (Permanenti) Mmax = kn m Mmax3 := 1 8 qk) L (Variabili cond. rara) Mmax3 = kn m

5 Calcolo Perdite e Cadute di Tensione Perdite per attrito In travi in c.a.p. a cavi post-tesi, nella fase di tesatura del cavo, nascono inevitabilmente tensioni tangenziali sulla superficie del cavo dovute all attrito tra cavo e guaina. La variazione di tensione (trazione) nel cavo si può valutare con la nota relazione : σ attr dove = σ orizzontale spi f α N c 0 fcα ( 1 e ) = ( 1 e ) Ai f c = 0.3 1/rad nel caso si utilizzino guaine metalliche α = angolo che la tangente al cavo nel punto iniziale forma con l asse Per la valutazione di α si può determinare l equazione della parabola che descrive la forma del cavo con origine nel punto B e poi valutare il valore della derivata prima nel punto A: y := ax + bx + c con le seguenti condizioni al contorno y(0)=0 dy/dx(0)=0 y(15)=0 porte ai seguenti coefficienti b=c=0 a := = L m y( x) := x (Equazione del cavo) Calcolando a questo punto la derivata di y(x) in testa alla trave si può valutare l'angolo che la tangente al cavo forma con l'asse della trave x := 15 d D := dx y( x) = tanα := D Poichè l'arco tangente è circa pari alla tangente si assume che α := rad A questo punto è possibile valutare la perdita di tensione nel cavo dovuta all'attrito fc := 0.3 N 0 σatt := Ap 1 e fc ( α) σatt = MPa (Perdita di tensione per attrito) La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza Natt := Ap σatt Natt = kn (Perdita di sforzo nel cavo per attrito)

6 Tiro nel cavo a perdite di attrito avvenute Nel cavo dopo il tiro dello stesso lo sforzo normale in esso vale Ni := N 0 Natt Ni = kn N 0 Ni con una perdita percentuale pari 100 = N 0 Caduta di tensione dovute alla viscosità del cls Il D.M al punto precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo infinito (in esercizio) dovute alla viscosità è da calcolarsi come segue: σ v = Φ ( t0, ) Epεc,el = Φ( t0, ) nσc, el ( ) Φ, t 0 dove è la funzione di viscosità a tempo infinito funzione del tempo di carico t 0 La tensione σ c,el è la tensione nel cls all'altezza del cavo dovuta ai sovraccarichi permanenti e accidentali, quest'ultimi solo se di natura quasi permanente: Ni Ni ec Mmax σ cel := + ec ec σ AidII JidII JidII cel = MPa La funzione Φ può essere desunta dalla tabella 11..VII delle NTC08 valida per un dato valore d'umidità relativa. Nel caso specifico l'umidità prescelta è pari al 75% Il coefficiente h 0 si calcola come rapporto tra il doppio dell'area della sezione e il perimetro della sezione stessa ( ) h0 := h0 = ( ) Ipotizzando un tempo di carico iniziale to=15gg, interpolando tra i valori relativi ad ho=300 ed ho=600 indicati nella tabella, il valore della funzione di viscosità vale: Φ :=. La caduta di tensione nel cavo dovuta al fenomeno della viscoità risulta di conseguenza σv := Φ n σ cel σv = MPa La variazione di tiro nel cavo vale infine Nv := σv Ap Nv = kn con una perdita percentuale pari Nv 100 = N 0

7 Caduta di tensione dovute al ritiro del cls Il D.M al punto precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo infinito (in esercizio) dovute alla ritiro è da calcolarsi come segue: Nel caso specifico ε c0 e k h non coincidendo con nessuno dei valori tabellati devono essere ricavati per interpolazione lineare. Scegliendo un valore dell'umidità più vicino a quello prescelto (in questo caso il 75%) e ricordando che fck=33. Mpa, la deformazione εc0 espressa il / si calcola come segue: ε c0 := ( 33. 0) 0.49 ε 40 0 c0 = / UR = 60% ε c0 := ( 33. 0) 0.30 ε 40 0 c0 = 0.6 / UR = 80% εc0 := ( 75 60) = 0.99 valore interpolato tra UR=60% e UR=80% k h := 0.75 ( h0 300) k h = εcd := εc0 k h εcd = 0.3 /

8 Il ritiro autogeno a tempo infinito vale εca :=.5 ( ) 10 6 εca = / La deformazione totale per ritiro vale dunque εcs := εcd + εca εcs = 0.3 / La conseguente perdita di tensione nel cavo vale quindi εcs σrit := 1000 Ep σrit = MPa Infine la variazione di tiro nel cavo vale Nrit := σrit Ap Nrit = kn con una perdita percentuale pari a Nrit 100 = 3.7 N 0 Caduta di tensione dovute al rilassamento dell'acciaio Il D.M al punto precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo infinito (in esercizio) dovute al rilassamento riferite ad una temperatura di 0 C Nel caso specifico adottando trefoli stabilizzati si ha: ρ1000 :=.5

9 σspi μ := = 0.84 σspi = MPa fp1k t := la perdita per rilassamentoa tempo infinito vale dunque σpr σspi 0.66 ρ1000 e 9.1 μ 0.75 ( 1 μ) t := 10 5 = MPa La perdita per rilassamento deve secondo quanto indicato dall'ec al punto 5.46 tener conto della interdipendenza con le cadute di tensione dovute alla viscosità e al ritiro. La perdita totale, comprensiva cioè di tutti i genomeni lenti può ricavarsi dalla segente relazione: σv + σrit σpr σtot := σtot = MPa Ep Ap AI Ec AI JI ec ( Φ) Ia conseguente variazione di tiro nel cavo varrà Ntot := σtot Ap Ntot = kn con una perdita percentuale totale pari a Ntot 100 = N 0 Tiro nel cavo a perdite e cadute avvenute In esercizio a perdite e cadute di tensione scontate il tiro nel cavo assume il seguente valore Nes := N 0 Natt Ntot Nes = kn La percentuale di perdita totale rispetto al tiro iniziale risulta quindi pari a: N 0 Nes 100 = N 0

10 Verifiche allo stato limite di esercizio: verifica alle tensioni normali Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni iniziali In condizioni iniziali le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle caratteristiche geometriche della fase a vuoto Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls a vuoto Ni Ni ec Mmax1 σciv := + ( h ygi) ( h ygi) σciv = 9.44 MPa AidI JidI JidI Tensione minima (al lembo superiore) nel csl a vuoto Ni Ni ec Mmax1 σcsv := ygi + ygi σcsv = MPa AidI JidI JidI Entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa e dunque la verifica a vuoto nel cls è soddisfatta Verifica delle Tensioni nell'acciaio in condizioni iniziali In condizioni iniziali le tensioni massima nell'acciaio si calcola come segue Ni σsv := σsv = MPa Ap Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell'acciaio in condizioni iniziali. La verifica è dunque soddisfatta Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni di esercizio In condizioni di esercizio le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle caratteristiche geometriche della fase di esercizio Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls in esercizio Nes Nes ec Mmax + Mmax3 σcie := + ( h ygii) ( h ygii) σcie = 3.50 MPa AidII JidII JidII SEZIONE FESSURATA Tensione minima (al lembo superiore) nel csl in esercizio Nes Ni ec Mmax + Mmax3 σcse := ygii + ygii σcse = MPa AidII JidII JidII La sezione risulta interamente compressa ed entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa. Dunque la verifica in esercizio nel cls è soddisfatta Verifica delle Tensioni nell'acciaio in condizioni di esercizio In condizioni di esercizio le tensioni massima nell'acciaio si calcola come segue Nes σsv := + n Mmax + Mmax3 ec σsv = MPa Ap JidII Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell'acciaio in condizioni di esercizio. La verifica è dunque soddisfatta

11 LA SEZIONE E' DUNQUE PARZIALIZZATA E VA CALCOLATA TENENDO ESCLUDENDO IL CALCESTRUZZO TESO NON REAGENTE Lo stato tensionale in fase di esercizio si calcola quindi considerando la sezione come soggetta a pressoflessione retta con cls teso non reagente a trazione. Il problema elastico corrispondente si basa sulla risoluzione di una equazione di 3 grado che fornisce la posizione dell'asse neutro. Successivamente è possibile calcolare lo stato tensionale con la ben nota formula monomia. L'equazione che fornisce l'asse neutro è la seguente yp 3 + p yp q := 0 dove 6n p := b Ap ( h dp) 3u 6n u q := b Ap ( h dp) u 3 ep := Mmax + Mmax3 Nes ec Nes = 0.45 m u := h ep h ep h if ep > h if ep = 0.98m 6n p := b Ap ( h dp) 3u = m q := 6n b Ap ( h dp) u 3 = m 3 f ( yp) := yp 3 + p yp q yp := 0.5 m (valore di primo tentativo) r := root( f( yp), yp) r = m yc := r u = m POSIZIONE ASSE NEUTRO A questo punto è possibile calcolare il momento statico rispetto all'asse neutro 1 Snid := b yc n Ap ( h dp yc) = cm 3 momento statico ideale

12 CALCOLO TENSIONI Per il calcolo delle tensioni si può adottare la formula monomia Nes σcie := ( h yc) = MPa Snid Nes σcse := ( yc) = Snid MPa Nes = N 75 σcse x := σ := Mmax + Mmax3 = kn m 75 σcie x σ

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