Esercizio 1. Soluzione. Associando una variabile alla quantità (in kg) prodotta di ogni solvente, si hanno tre variabili

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROM TRE orso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Secondo recpero Settembre 007 Nome: ognome: arrare la casella corrispondente: Larea Ing Informatica ltro Esercizio Una società chimica prodce tre solventi:,,, i ci prezzi di vendita sono, rispettivamente, 40, 60 e 0 ero/kg Il profitto sl solvente è pari al 40% del prezzo di vendita, mentre il profitto s e è pari al 5% del prezzo di vendita La società desidera ottenere n fattrato mensile non inferiore a 0 milioni di ero Il processo prodttivo di, e richiede il consmo di na risorsa D altamente deperibile, in misra pari a 5 grammi di D per kg di prodotto, 8 grammi di D per kg di prodotto e 6 grammi di D per kg di prodotto La risorsa D è prodotta in n impianto della capacità massima di tonnellate/mese e va consmata nello stesso mese di prodzione Si consideri che l'intera prodzione mensile, comnqe ripartita tra i tre prodotti, possa sempre essere vendta sl mercato, e che tttavia si debba garantire la prodzione di almeno 50 tonnellate/mese complessive tra solventi e Si formli come problema di PL il problema determinare i livelli mensili di prodzione di,, tali da massimizzare il profitto complessivo Determinare la solzione ottima del problema con l'algoritmo del simplesso (fase e fase ) Impostare il problema dale e determinarne la solzione ottima a partire dalla solzione trovata al pnto precedente ssociando na variabile alla qantità (in kg) prodotta di ogni solvente, si hanno tre variabili,, e tre vincoli: no sl fattrato minimo, no slla qantità disponibile di risorsa D e no slla prodzione minima di e ma Per risolvere il problema occorre portarlo in forma standard introdcendo variabili di scarto s, s e poi passare al problema artificiale introdcendo variabili artificiali y, y min y + y s + y s s + y = 50000, s, y

2 lla prima iterazione entra ed esce y, FSE : la base iniziale contiene le variabili [ y, y ] y Fine della Fase, la base finale è [ s, ] lla seconda iterazione entra ed esce FSE : lla prima iterazione entra ed esce lla seconda iterazione entra s ed esce s, s, = Fine della Fase, la solzione finale è [ ] [ ] DULE ma min , 0; La solzione ottima dale si ottiene dalla riga 0 della matrice carry finale, ovvero dalle condizioni di ortogonalità, che richiedono: s = 6 + = 8 = / 5 / 7 Esercizio Nelle tabelle sono riportate le caratteristiche dei 5 archi di n grafo con 6 nodi pplicando n opportno algoritmo si individi il taglio di capacità minima tra i nodi e 6 del grafo e specificando la capacità del taglio e gli archi che lo compongono pplicando n opportno algoritmo si calcoli l albero dei cammini minimi a partire dal nodo e verso ttti gli altri nodi Si tilizzi il valore di capacità specificato in tabella come costo rchi (,) (,) (,5) (,6) (,) (,5) (,6) (,) (,4) (,5) (,6) (4,5) (4,6) (5,4) (5,6) apacità \osto FORD-FULKERSON Il taglio di capacità minima si pò calcolare stabilendo il massimo flsso circolante nel grafo pplicando l algoritmo di Ford-Flkerson n possibile ordine in ci vengono individati i cammini amentanti è: -6 δ ϕ --6 δ = ϕ = --6 δ = 5 ϕ = δ =4 ϕ =

3 --4-6 δ = ϕ = δ = 5 ϕ = δ = 4 ϕ = δ = ϕ = δ = ϕ = 45 Il taglio di capacità minima è S = [], T = [,,4,5,6], gli archi che lo compongono sono (,5), (,6), (,), (,), (,6) La capacità del taglio è pari a 45 DIJKSTR L algoritmo di Dijkstra procede inserendo nel taglio i segenti nodi:, 5,, 6, 4, oppre, 5,, 4, 6, L albero delle distanze minime è composto dai segenti archi (,), (,5), (,), (,6), (5,4) La distanza minima a partire dal nodo verso gli altri nodi è 4 (nodo 5), 5 (nodo ), 7 (nodi 4 e 6), (nodo )

4 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROM TRE orso di Stdi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Secondo recpero Settembre 007 Nome: ognome: arrare la casella corrispondente: Larea Ing Informatica ltro Esercizio La società rillacasa prodce tre varietà di prodotti per la casa: rillavetro, rillaccina e rillapavimenti, i ci prezzi di vendita sono, rispettivamente, 0, 0 e 0 ero/kg Il profitto sl rillavetro è pari al 0% del prezzo di vendita, mentre il profitto s rillaccina e rillapavimenti è pari al 0% del prezzo di vendita La società desidera ottenere n fattrato mensile da qesti prodotti non inferiore a 8 milioni di ero I tre prodotti si ottengono mescolando no stesso principio attivo brevettato rilla con degli additivi acqistati sl mercato Per prodrre kg di rillavetro servono 5 gr di rilla, per kg di rillaccina o rillapavimenti servono rispettivamente 8 e 0 gr di rilla Il rilla viene prodotto in n impianto rillacasa della capacità massima di 4 tonnellate/mese Si consideri che l'intera prodzione mensile, comnqe ripartita tra i tre prodotti, possa sempre essere vendta sl mercato e che tttavia si debba garantire la prodzione di almeno 00 tonnellate/mese complessive tra rillaccina e rillapavimenti Si formli come problema di PL il problema determinare i livelli mensili di prodzione di rillavetro, rillaccina e rillapavimenti tali da massimizzare il profitto complessivo della rillacasa Determinare la solzione ottima del problema con l'algoritmo del simplesso (fase e fase ) Impostare il problema dale e determinarne la solzione ottima a partire dalla solzione trovata al pnto precedente ssociando na variabile alla qantità (in kg) prodotta di ogni prodotto, si hanno tre variabili V,, P e tre vincoli: no sl fattrato minimo, no slla qantità disponibile di rilla e no slla prodzione minima di rillaccina e rillapavimenti ma V V P V P P P Per risolvere il problema occorre portarlo in forma standard introdcendo variabili di scarto s, s e poi passare al problema artificiale introdcendo variabili artificiali y, y ma y + y 0 V P s + y = V P + s = P s + y 0000, s, y

5 FSE : la base iniziale contiene le variabili [ y, y ] lla prima iterazione entra V ed esce y lla seconda iterazione entra ed esce y Fine della Fase, la base finale è [ V s, ] FSE : la solzione finale è [ s, s ] [ ], =, DULE ma V V P V P P P min V P , 0 ; Dalle condizioni di ortogonalità si ha: = 6 = / 4 Esercizio Nelle tabelle sono riportate le caratteristiche dei 5 archi di n grafo con 6 nodi pplicando n opportno algoritmo si individi il taglio di capacità minima tra i nodi e 6 del grafo e specificando la capacità del taglio e gli archi che lo compongono pplicando n opportno algoritmo si calcoli l albero dei cammini minimi a partire dal nodo e verso ttti gli altri nodi Si tilizzi il valore di capacità specificato in tabella come costo rchi (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,6) (,) (,4) (,6) (4,) (4,5) (4,6) (5,4) (5,6) apacità \osto FORD-FULKERSON Il taglio di capacità minima si pò calcolare stabilendo il massimo flsso circolante nel grafo pplicando l algoritmo di Ford-Flkerson n possibile ordine in ci vengono individati i cammini amentanti è: -6 δ ϕ --6 δ = 4 ϕ = δ = ϕ = δ = 5 ϕ = -5-6 δ = 5 ϕ = δ = 4 ϕ = δ = ϕ = δ = ϕ = 4

6 Il taglio di capacità minima è S = [,4,5], T = [,,6], gli archi che lo compongono sono (,), (,), (,6), (,4), (4,), (4,6) e (5,6) La capacità del taglio è pari a 4 DIJKSTR L algoritmo di Dijkstra procede inserendo nel taglio i segenti nodi:, 4, 5,,, 6 oppre, 4, 5,,, 6 L albero delle distanze minime è composto dai segenti archi (,), (,4), (,6), (4,), (4,5) La distanza minima a partire dal nodo verso gli altri nodi è 6 (nodo 4), 7 (nodo 5), 8 (nodi e ), 0 (nodo 6)