BREVE TRATTATO SULLA LINEA ELETTRICA DI TRASMISSIONE

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1 BREVE TRATTATO SULLA LINEA ELETTRICA DI TRASMISSIONE Di Vincenzo Iorio Introdzione La corrente elettrica contina, circola nei corpi condttori in base alle modalità che conosciamo dallo stdio dell'elettrologia. Sappiamo che na corrente elettrica contina circolante in n condttore pò generare n campo magnetico, viceversa possiamo attribire nei pnti del condttore dove si accmla n certo potenziale anche n campo elettrico. Nel caso appnto della corrente contina, l'ampiezza dei campi che si generano attorno al condttore hanno n andamento decrescente in fnzione della distanza da essi e non generano fenomeni evidenti a distanze molto elevate dal condttore stesso. Se consideriamo na corrente variabile, per esempio di tipo alternato le modalità degli effetti misrabili a distanze elevate dal condttore possono assmere n diverso significato. In qest'ltimo caso la fisica riconosce n effetto di propagazione che permette n certo trasferimento di energia dal condttore in esame all'ambiente circostante. Qesto fenomeno è maggiormente evidente se la freqenza dell'oscillazione elettrica è pittosto elevata. Le modalità in ci avvengono qeste propagazioni fanno parte di na discssione da approfondire che rigarda il concetto di antenna, in qesta sede analizziamo invece i fenomeni che intervengono qando siamo i condttori per trasferire energia elettrica alternata di na certa freqenza lngo la loro direzione. LA LINEA ELETTRICA DI TRASMISSIONE Per evitare che na linea elettrica possa costitire n'antenna trasmittente, i condttori devono essere geometricamente realizzati in modo da rendere minimo qesto effetto. Si conoscono de principali configrazioni: la prima è la linea bifilare tramite la qale l'altro condttore riesce in qalche modo a compensare l'effetto di campo prodotto dall'altro, la seconda prevede na disposizione geometrica concentrica dei de condttori chiamata linea coassiale, anch'essa dotata di proprietà similari alla precedente per qanto rigarda la compensazione. Un'oscillazione elettrica ad alta freqenza mandata l'ngo la linea di trasmissione è molto simile ad n onda elettromagnetica che si propaga nel voto. Nel caso del voto e in prima approssimazione anche nell'aria la propagazione elettromagnetica acqista na velocità costante di ,458 Km/sec (3. Km/sec). La natra del mezzo interposto inflenza la velocità di propagazione tramite la formla 1.1 qi esposta.

2 1 µ ε (1.1) La formla mostra i termini di permeabilità magnetica e permettività elettrica, del mezzo interposto, nel caso del voto tali termini sono rispettivamente H/m e F/m, e danno ragione circa il valore della velocità dell'onda elettromagnetica che ci aspettavamo. In na linea di trasmissione la velocità di propagazione è sicramente più bassa della velocità assnta dall'onda elettromagnetica nel voto. Qesto fatto dipende dal diverso valore di permettività elettrica dei dielettrici sati per i cavi di trasmissione. La permeabilità magnetica dei materiali tilizzati per le linee, pò essere normalmente assnta gale a no. Qindi nel caso di na linea la formla precedente pò diventare: 1/ µ ε ε dove r εr è la permettività relativa del dielettrico tilizzato. Una formla derivabile dall'eqazione 1.1 è rappresentata dall'eqazione 1.11 qi di segito riportata. In qesto caso la velocità di propagazione dipende direttamente dai termini di indttanza e capacità del mezzo interposto. 1 L C (1.11) La conoscenza di qesta velocità pò costitire n importante dato di stdio per la linea che stiamo considerando. Definita la velocità dell'onda e la sa freqenza di oscillazione possiamo determinare la lnghezza d'onda tramite la formla 1.2. λ f (1.2) Una linea, sia essa bifilare o coassiale, è costitita da fili condttori opportnamente distanziati e montati in n contenitore isolante. I condttori sono investiti dal campo magnetico prodotto dalla corrente che vi circola, e dal potenziale applicato ad essi. Qeste ragioni geometriche indissolbili comportano la presenza di n indttanza e di na capacità che appaiono residenti nella linea stessa. I parametri reattivi presenti nella linea, si comportano come costanti distribite se la linea ha na geometria omogenea. In più sarà senza dbbio presente anche na perdita ohmmica dovta ai cavi condttori e anche ad altri fattori. Lo stdio matematico applicato a na linea di qesto tipo immaginata infinitamente lnga, viene effettato applicando n eqazione differenziale che risolta ci fornisce alcni semplici risltati.

3 L'ampiezza della tensione di segnale (portante) presente lngo la linea, sbirà n andamento decrescente di tipo esponenziale dovto alle perdite presenti. Il segnale di tensione presente all'ingresso della linea, diventerà praticamente zero, qando viene misrato a distanza infinita dal morsetto di ingresso. La solzione opportnamente semplificata che esprime qesto risltato è la segente: V γ Χ V o e (1.3) dove X è la distanza dall'origine della linea, e γ è definito come la costante di propagazione della linea. Qest'ltima costante pò essere espressa come: γ ( R + jω L) ( G + jω C ) (1.4) dove R, rappresenta la resistenza ohmica della linea, G la condttanza per nità di lnghezza, e le costanti L e C, rappresenterebbero l'indttanza e la capacità distribita della linea già considerate precedentemente. Scomponendo la 1.4 nella sa parte reale e immaginaria avremo: γ α + j β (1.5) dove α, è definita come la costante di attenazione e β, e la costante di fase. La costante α ha il significato di attenazione per nità di lnghezza e si pò misrare in Neper/metro (1Neper db). Attraverso semplici passaggi matematici applicati alla solzione dell'eqazione differenziale di partenza che non abbiamo in qesta sede rappresentato, possiamo definire l'espressione dell'impedenza caratteristica qi riportata: R j L ( + ω ) ( G + jω C) (1.6) considerando na linea con perdite molto contente, o praticamente zero, possiamo trascrare i termini R e G scrivendo: L C (1.7)

4 poichè le costanti L e C si intendono distribite lngo la lnghezza della linea, qeste assmono no specifico valore costante e caratteristico per n dato tipo di cavo. Per qesta ragione l'impedenza o la resistenza caratteristica di na linea non dipende dalla lnghezza della linea. Qesto risltato è dimostrabile direttamente dall'eqazione differenziale caratteristica della linea. Anche il voto possiede n'impedenza caratteristica, essa e definita come: costante di propagazione dell'aria libera o del voto ed è determinata invece da: ς µ 377Ω (1.71) ε Utilizzando l'eqazione 1.5 possiamo con semplici passaggi dimostrare che il termine β definito come la costante di fase, pò essere considerato gale a: β 2 π f L C (1.7) e si misra in rad/m, Il termine α, invece viene definito dall'espressione: R α C / L + G L / C (1.8) 2 2 che viene misrata in Neper/m. I termini G, e R hanno lo stesso significato visto in precedenza. Trascrando il termine G, e sostitendo per il valore di qello riportato dall'eqazione 1.7 otteniamo na semplice formla in fnzione della sola resistenza specifica R: α R 2 (1.9) Utilizzando la formla 1.7 possiamo con semplici passaggi matematici esprimere la costante di fase anche in n'altro modo. Infatti, possiamo sostitire al termine f, l'eqazione ricavabile dalla 1.2 in termini di velocità di propagazione. Sccessivamente possiamo sostitire il termine con l'eqazione 1.11 e praticando le opportne semplificazioni possiamo avere: 2 π β (1.1) λ In qest'ltima espressione compare il termine λ, che rappresenta la lnghezza d'onda della linea. Qesto valore è già stato definito

5 dall'eqazione 1.2, esso intende definire qella distanza minima esistente fra de pnti le ci tensioni (o correnti) sono in fase fra loro. Oppre che è la stessa cosa, la lnghezza d'onda è qella lnghezza fisicamente misrabile che esprime la distanza tra de ventri o picchi di tensione, misra pari al periodo di n'oscillazione di n segnale elettrico o applicabile identicamente ad n onda elettromagnetica. Linea reale di lnghezza finita Immaginiamo na linea di trasmissione di lnghezza finita chisa s di n impedenza gale all'impedenza caratteristica della linea. In qesto caso la linea si comporterà come na linea di trasmissione infinitamente lnga. In poche parole, il generatore applicato all'estremità di ingresso della linea provvederà a incanalare na certa energia che si propagherà sottoforma di onde elettromagnetiche. Qesta energia sarà assorbita dall'impedenza e qindi completamente smaltita sottoforma di calore. All'interno della linea si instarerà n regime di onde progressive viaggianti che si propagherà con na velocità che dipenderà dalle costanti della linea stessa. In qesto caso si dice che la linea è perfettamente adattata. La lnghezza fisica della linea potrà essere considerata ininflente. G O Fig 1.1 Normalmente la resistenza interna del generatore che applichiamo all'ingresso della linea di trasmissione deve essere dello stesso valore dell'impedenza caratteristica del cavo tilizzato. In qesto modo il generatore vede tramite la linea adattata n impedenza gale a qella esistente al so interno. Come sappiamo qesta configrazione permette il trasferimento della massima potenza fra generatore e tilizzatore. Qest'ltima considerazione deve essere esaminata attentamente dal lettore, poiché è n pnto molto importante che emerge continamente in campo elettronico. Per qesto caso consigliamo al lettore di leggere la teoria dei qadripoli, nonché le tecniche di interfacciamento in bassa freqenza. E' molto interessante stdiare il caso di circiti non perfettamente adattati, cioè collegamenti che prevedono na certa differenza fra le

6 impedenze della linea e dell'tilizzatore. In qesti casi la lnghezza della linea pò generare interessanti fenomeni e inoltre parte dell'energia a radiofreqenza rimbalza potremo dire fra l'tilizzatore e il generatore. Se all'interno della linea si verificano de propagazioni, chiamate propagazione diretta e riflessa, avremo la generazione di n regime stazionario normalmente dannoso per qanto rigarda il rendimento del sistema, e inficiante l'incolmità del generatore stesso. Possiamo farci na ragione di qesto fatto, considerando che nel caso dei circiti a corrente contina o comnqe fnzionanti a bassa freqenza, l'energia in gioco dipende dal valore delle resistenze del circito. Se il generatore fornisce na determinata qantità di energia, sarà solo perché qesta energia è necessaria per permettere la circolazione di na determinata corrente richiesta a sa volta da n valore ohmico presente nel circito. Nel caso della linea, grazie all'ordine più elevato di freqenza per ci viene tilizzata entrano in gioco i parametri reattivi della linea. L'energia prenderà a viaggiare immediatamente nei pressi del generatore, e il valore sarà dipendente dall'impedenza della linea. Ecco perché na linea pò essere rappresentata come na gida d'onda che convoglia la propagazione elettromagnetica lngo di essa. L'energia che lascia il generatore non è a conoscenza del valore dell'impedenza che troverà alla fine della linea. Ricordando che le condizioni di massimo trasferimento di energia si verificano solo qando l'impedenza di scita è gale al valore di, potremo senza altro affermare che per valori diversi dell'impedenza da sarà necessaria minore energia di qella che è partita dal generatore, per qesta ragione parte dell'energia tornerà indietro propagandosi verso il generatore che l'ha prodotta. In qesto caso potremo rappresentare matematicamente il coefficiente di riflessione della linea in base al valore dell'impedenza di carico rispetto all'impedenza caratteristica della linea qindi: Γ + (1.11) na volta definito il coefficiente di riflessione possiamo definire anche il ROS della linea (Voltage Standing Wave Ratio) definito come il rapporto tra il massimo di tensione e il minimo di tensione dello stato stazionario presente slla linea cioè: V max 1 + Γ ROS (1.12) V min 1 Γ qindi Γ pò anche essere definito come:

7 Γ ROS ROS (1.13) Un'altra formlazione molto comoda che tiene conto anche della distanza dal carico x slla qale viene misrato il ROS è la segente: ROS 1 + Γ e 1 Γ e 2α x 2α x dove α è il coefficiente di attenazione in neper e x la distanza in metri. Abbiamo detto che nel caso di linea non perfettamente adattata la lnghezza di essa inflisce in modo apprezzabile s alcne caratteristiche. Si dimostra matematicamente che na linea lnga mezza lnghezza d'onda per qalsiasi valore di impedenza caratteristica presenta sempre nei confronti del generatore n valore di impedenza pari a. Qesto fatto spiega la ragione del perché in alcni collegamenti in alta freqenza è preferibile sare na linea lnga esattamente n mltiplo di mezza lnghezza d'onda. Un caso interessante e la linea lnga n qarto d'onda. Infatti la teoria mostra che la linea lnga n qarto d'onda presenta caratteristiche tali da farla ritenere n circito risonante. Per qeste ragioni si dimostra che l'impedenza di scita o di carico pò essere vista all'ingresso del generatore come: g 2 (1.14) abbiamo espresso e come l'impedenza vista dal generatore e l'impedenza caratteristica della linea a n qarto d'onda, esprime invece come abbiamo già fatto in precedenza l'impedenza del carico posto all'estremità di scita della linea. Qesto fatto ci permette di tilizzare i tronchetti di linea a n qarto d'onda come adattatori di impedenza. vedi fig. 1.2 In qesto caso per adattare n particolare generatore con impedenza e ad n carico, occorrerà na linea lnga n qarto d'onda con impedenza caratteristica: (1.15) e

8 e λ / 4 G Fig. 1.2 Ritornando a considerare na linea generica, completiamo qesta nostra breve trattazione riassntiva indicando la formla generale che tiene conto della lnghezza "l" di na generica linea in modo da calcolare l'impedenza all'ingresso di essa nei vari casi di carico. cosh( γ l ) + sinh ( γ l ) e sinh( γ l) + cosh( γ l) (1.15) Qest'ltima formla tilizza le fnzioni iperboliche e considera il coefficiente di propagazione già trattato precedentemente. Considerando na linea priva di perdite possiamo scrivere: + j tan( β l ) e (1.16) + j tan( β l) in qesto caso è stato riportato il termine β, costante di fase già visto precedentemente. Il termine l, invece rappresenta come abbiamo già detto la lnghezza del tratto di linea che stiamo considerando. In termini di ammettenza la formla precedente pò essere scritta come: Y Y Y + jy tan( β l ) e Y + jy tan( β l) (1.17) Volendo generalizzare il concetto di impedenza di ingresso, definendo l'impedenza z di n generico pnto della linea possiamo scrivere: V 1 + Γ ( z) ( z) z (1.18) I 1 Γ ( z) ( z) se vogliamo calcolare l'impedenza a na distanza l caratteristica dal carico possiamo scrivere:

9 l l 1 + Γ ( ) ( ) e 1 Γ ( l) (1.19) Scrivendola in altra forma, esprimendo sottoforma di ammettenza del tratto di linea considerato l, avremo: Y ( l) Γ Γ e e j2β l j2β l 1 1 Γ (cos 2β l jsin2bl) 1 + Γ (cos 2β l jsin2β l) (1.2) L'impedenza di n pnto della linea nelle condizioni di massimo coefficiente di riflessione, e cioè nel caso di linea terminante in corto circito xc, oppre linea terminante aperta xa, è calcolabile con le formle: R j xa Tgβ x (1.21) xc + jr Tgβ x dove x è la distanza calcolata dal carico verso il generatore. Volendo determinare l'impedenza all'ingresso del tratto di linea aperto o in cortocircito avremo: R j ia Tgβ l (1.22) + jr Tgβ l ic dove l, è la lnghezza della linea, β è determinabile con la formla vista precedentemente che pò essere definita anche come, β 2πfx/, di ci x è la lnghezza del tratto di linea e la velocità di propagazione. E' facile calcolare la lnghezza di linea del tratto contraddistinto dal primo minimo di tensione (dmin) partendo dal carico come: d (min) arcos Γ 2β (1.23) Tttavia è sempre possibile calcolare l'impedenza caratteristica di na linea bifilare o coassiale applicando le formle segenti: ( bifilare ) ( coassiale 2D (276) log d D ) (138) log d (1.24)

10 Nel caso della linea bifilare D esprime la distanza tra i de fili, e d rappresenta il diametro dei condttori. Nel caso della linea coassiale D esprime il diametro del condttore esterno di schermo misrato internamente, e d il diametro del condttore interno. E' anche possibile determinare analiticamente i parametri specifici L, e C di na linea conoscendo la geometria del cavo. Abbiamo per ciascna disposizione dei condttori: µ r µ L D ( H m)( coassiale) 2 log / π d µ r µ L log D ( H / m) π d ( bifilare) 2 π ε ε r C (1.25) ( F / m) ( coassiale) log D d π ε ε r C ( F / m)( bifilare) log D d I valori D, e d, hanno lo stesso significato visto precedentemente. Ricordiamo al lettore interessato l'indispensabile asilio grafico della carta di Smith, tilizzata appnto per la solzione di problemi concernenti le linee di trasmissione. Molte delle solzioni calcolabili con le formle che abbiamo conoscito in qesta sede, sono già risolte per via grafica dalla carta di Smith. Per qesta ragione consigliamo al lettore di consltare testi più approfonditi sll'argomento in modo da conoscere ttti i problemi concernenti le linee di propagazione per alta freqenza. Riassnto tratto dagli appnti di elettronica tilizzati per la stesra del testo "Lettre di Fisica & elettrologia" di ENO IORIO.