Lezione 22: Sistemi a più gradi di libertà: sistemi continui (2)

Transcript

1 Lezione : Sistemi a più gradi di libertà: sistemi continui () Federico Cluni 19 maggio 015 Esempi Si determinano le costanti di integrazione A, B, C e D per alcune condizioni di vincolo tipiche. Trave appoggiata Si consideri lo schema seguente: Figura 1: Schema trave appoggiata. Nel caso di trave appoggiata le condizioni di vincolo sono le seguenti: u(0) = 0 B + D = 0 u II (0) = 0 a B + a D = 0 u(l) = 0 A sin al + B cos al + C sinh al + D cosh al = 0 u II (L) = 0 a A sin al a B cos al + a C sinh al + a D cosh al = 0 (1a) (1b) (1c) (1d) Poiché a è diverso da zero le precedenti si riducono a: u(0) = 0 B + D = 0 u II (0) = 0 B + D = 0 u(l) = 0 A sin al + B cos al + C sinh al + D cosh al = 0 u II (L) = 0 A sin al B cos al + C sinh al + D cosh al = 0 (a) (b) (c) (d) Le precedenti costituiscono un sistema lineare omogeneo di quattro equazioni nelle quattro incognite A, B, C e D che ammette soluzione diversa dalla banale solo se la matrice dei coefficienti ha determinante nullo, che fornisce: sin al sinh al = 0 (3) 1

2 La precedente fornisce i valori di a che permettono il rispetto delle condizioni ai vincoli: a k = k π L (4) ricordando che: si ottiene: per cui: a 4 k = ω k µ E I ω k = k4 E I µ ω k = k π E I L µ T k = L µ π k E I (5) π 4 L 4 (6) (7) (8) Dalle () è possibile, per assegnati valori di a k, determinare i valori di A, B, C e D: Le autofunzioni risultanti sono: A k 0 (9) B k = 0 (10) C k = 0 (11) D k = 0 (1) u k (x) = A k sin a k x (13) La costante A k si può fissare sfruttando la normalizzazione: L (A k sin a k x) dx = 1 A k = L e quindi si ha: 0 u k (x) = il cui andamento è riportato nella figura seguente: (14) L sin k π L x (15)

3 1.00 u 1 u u u 4 u [m] x [m] Trave a mensola Si consideri lo schema seguente: Figura : Forme modali per k = 1,, 3, 4. Figura 3: Schema trave a mensola. Nel caso di trave incastrata ad una estremità e libera all altra le condizioni di vincolo sono le seguenti: u(0) = 0 B + D = 0 u I (0) = 0 a A + a C = 0 u II (L) = 0 a A sin al a B cos al + a C sinh al + a D cosh al = 0 u III (L) = 0 a 3 A cos al + a 3 B sin al + a 3 C cosh al + a 3 D sinh al = 0 (16a) (16b) (16c) (16d) 3

4 Poiché a è diverso da zero le precedenti si riducono a: u(0) = 0 B + D = 0 u I (0) = 0 A + C = 0 u II (L) = 0 A sin al B cos al + C sinh al + D cosh al = 0 u III (L) = 0 A cos al + B sin al + C cosh al + D sinh al = 0 (17a) (17b) (17c) (17d) Le precedenti costituiscono un sistema lineare omogeneo di quattro equazioni nelle quattro incognite A, B, C e D la cui matrice dei coefficienti è la seguente: M = sin al cos al sinh al cosh al cos al sin al cosh al sinh al (18) Il sistema ammette soluzione diversa dalla banale solo se la matrice dei coefficienti ha determinante nullo, det(m) = 0: det(m) = che fornisce: sin al sinh al cosh al cos al cosh al sinh al sin al cos al sinh al cos al sin al cosh al = 0 (19) cos al cosh al + 1 = 0 (0) L andamento in funzione di al è riportato nella figura seguente: cos akl cosh akl e e e e e e e e e al Figura 4: Andamento di cos al cosh al + 1 in funzione di al. 4

5 Gli attraversamenti dell asse delle ascisse, ovvero i valori di a che permettono il rispetto delle condizioni ai vincoli, avvengono nei seguenti punti: k j j+1 a k L a j L a j L + π Ricordando che: si ottiene: a 4 k = ω k µ E I ω k = E I a4 k µ = (a kl) 4 L 4 ω k = (a k L) 1 E I L µ T k = π µ (a k L) L E I E I µ (1) () (3) Dalle (17) è possibile, per assegnati valori di a k, determinare i valori di A, B, C e D: A k = Ψ cos al sinh al cosh al = Ψ (cos a kl + cosh a k L) (4) B k = Ψ sin al sinh al cosh al = Ψ ( sin a kl sinh a k L) (5) C k = Ψ sin al cos al cosh al = Ψ ( cos a kl cosh a k L) (6) D k = Ψ sin al cos al sinh al = Ψ (sin a kl + sinh a k L) (7) Le autofunzioni risultanti sono: u k (x) = Ψ [(cos a k L + cosh a k L) sin a k x (sin a k L + sinh a k L) cos a k x+ (cos a k L + cosh a k L) sinh a k x (sin a k L + sinh a k L) cosh a k x] (8) La costante Ψ si può fissare sfruttando la normalizzazione: L L andamento dei primi tre modi è riportato nella figura seguente: 0 (u k (x)) dx (9) 5

6 1.00 u 1 u u u 4 u [m] x [m] Figura 5: Forme modali per k = 1,, 3, 4. Ad esempio, assumendo una sezione rettangolare di dimensioni 30x40 cm e una densità per unità di volume ρ = 5.0 t/m 3 : per i primi tre modi si ha: E = kn/m, I = m 4, µ = 0.30 t/m, H = 9.0 m ω 1 = rad/s, ω = rad/s, ω 3 = rad/s, Oscillazioni della corda tesa Si consideri l equazione di moto della trave in cui si trascura la rigidezza flessionale E I: µ v t N v q(x, t) = 0 (30) x Si ha in tal caso l equazione di moto della corda tesa. In oscillazioni libere: µ v t N v x = 0 (31) che dà le oscillazioni libere di una corda tesa da una trazione pari ad N. Adottando la consueta separazione delle variabili: v(x, t) = u(x) sin ωt (3) si ottiene: µ ω u + N u II = 0 (33) 6

7 Cercando soluzioni del tipo u(x) = exp(αx) nel caso in cui N e µ siano costanti si perviene alla seguente equazione algebrica: N α + µ ω = 0 (34) le cui radici sono: Si pone: L integrale generale è quindi: α = ± µ ω µ ω N = ±i N γ = µ ω che attraverso le (??) si può anche scrivere come: N (35) α = ±iγ (36) u(x) = A exp(i γx) + B exp( i γx) (37) u(x) = A sin(γx) + B cos(γx) (38) Con le condizioni al contorno u(0) = 0 e u(l) = 0 si ha: { B = 0 A sin(γl) = 0 (39) e perché la soluzione sia diversa dalla banale: Quindi deve essere: γl = k π γ = k π L ω k = k π N L µ (40) (41) Le forme modali sono (normalizzando secondo L 0 u kdx = 1): u k (x) = L sin k π L x (4) La (41) fornisce le pulsazioni della corda tesa di massa per unità di lunghezza µ tesa su una luce L da una trazione pari ad N. Le frequenze e periodi valgono: f k = k π N (43a) π L µ T k = π L µ (43b) k π N La soluzione è ovviamente: v(x, t) = k=1 L sin k π L x (E k sin ω k t + F k cos ω k t) (44) dove E k e F k vengono fissate con le condizioni al contorno v 0 (x) e v 0 (x). E k = L µ L k π N 0 L sin k π L x v 0(x)dx L F k = L sin k π L x v 0(x)dx 0 7 (45)

8 Si noti che la (31) rappresenta la classica equazione delle onde, che si può riscrivere come: v t = c v x con c = N µ (46) La soluzione può essere ottenuta, oltre che con la (44), anche con la formula di D Alembert: v(x, t) = 1 [v 0(x + ct) + v 0 (x ct)] + 1 x+ct v 0 (ξ)dξ (47) c x ct che può essere riarrangiata in: v(x, t) = 1 [ v 0 (x + ct) + 1 x+ct ] v 0 (ξ)dξ + 1 [ v 0 (x ct) + 1 x ct ] v 0 (ξ)dξ c 0 c 0 ovvero la soluzione può essere vista come sovrapposizione di un onda progressiva: F (x ct) = 1 [ v 0 (x ct) + 1 x ct ] v 0 (ξ)dξ c 0 (48) (49) e di un onda regressiva: G(x + ct) = 1 [ v 0 (x + ct) + 1 x+ct ] v 0 (ξ)dξ c 0 (50) che trasportano nel tempo il profilo iniziale verso ascisse crescenti (la F ) e decrescenti (la G) con velocità c. 8