Equazioni differenziali

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1 Equazioni differenziali Versione da non divulgare. Scritta per comodità degli studenti. Può contenere errori. 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Dicembre 2013

2 Generalità Molti modelli matematici vengono formulati in termini di funzioni che descrivono l evoluzione temporale di certe quantità fisiche e che devono sottostare a certi vincoli, finiti o infinitesimi. Per esempio, le funzioni che descrivono la posizione di un oggetto rispetto ad un sistema di riferimento, oppure la funzione che descrive la quantità di materiale radioattivo presente ad ogni istante durante un esperimento, oppure le funzioni che descrivono il numero dei sani, degli infettivi e dei contagiati non più infettivi ad ogni istante di tempo durante la propagazione di un epidemia. Nota una di queste funzioni, possiamo determinare il suo tasso di variazione calcolandone la derivata. La formulazione di molti modelli matematici si ottengono spesso imponendo dei vincoli sui tassi di variazione delle funzioni del modello e sulle funzioni stesse. Si richiede di determinare un insieme di funzioni incognite che verifichino un sistema di equazioni che coinvolgono le funzioni e le loro derivate. Tali equazioni si chiamano equazioni differenziali. Diamo alcuni esempi di modelli specificati da una singola equazione differenziale che coinvolge una sola funzione incognita e le sue derivate f (x) = k f (x); f (x) + f (x) = 0; f (3) (x) 2(f (x)) 2 = e x sin x + (f (x)) 2

3 Modello banale per la diffusione di un epidemia Formulazione discreta I(n + 1) = KI(n) + I(n) Suddividendo l intervallo di tempo unitario in intervalli più piccoli I(t + h) = hki(t) + I(t) ovvero, ponendo I = I(t + h) I(t) e t = (t + h) t. I t = KI Formulazione differenziale Prendendo il limite per t che tende a zero della relazione precedente I = K I e quindi R t t 0 (log I) = R t t 0 K, ovvero log I(t)/I(t 0 ) = K (t t 0 ), e in definitiva I(t) = I(t 0 )e K (t t 0).

4 Modello classico semplice per la diffusione di un epidemia Formulazione discreta I(n + 1) = KI(n)(1 I(n)) + I(n) Suddividendo l intervallo di tempo unitario in intervalli più piccoli I(t + h) = hki(t)(1 I(t)) + I(t) ovvero, ponendo I = I(t + h) I(t) e t = (t + h) t. I = KI(1 I) t Formulazione differenziale Prendendo il limite per t che tende a zero della relazione precedente I = K I(1 I) e quindi R t t 0 I /I(1 I) = R t t 0 K. Ora, I /I(1 I) = I /I + I /(1 I), da cui e K (t t 0) I(t) = e t K (t t 0) 0

5 Modelli discreti e modelli differenziali Modelli discreti I modelli discreti sono intuitivi e sono facili e da implementare al calcolatore ma è difficile studiare la dipendenza dai parametri delle loro proprietà qualitative. Modelli differenziali I modelli differenziali descrivono vincoli sui tassi di variazione invece che sulle variazioni e sono più difficili da intrepretare. È però più facile studiare la dipendenza dai parametri delle loro proprietà qualitative.

6 Soluzioni di una equazione differenziale Una funzione è soluzione di un equazione differenziale quando verifica l equazione stessa. Per esempio e x è soluzione dell equazione f (x) = f (x) e sin x è soluzione dell equazione differenziale f (x) + f (x) = 0. L ordine di un equazione differenziale è l ordine della derivata di ordine massimo che appare nell equazione. f (x) = f (x) e (f (x)) 2 f (x) = x 2 sono entrambe equazioni del primo ordine. Esempio L equazione differenziale del primo ordine ammette la soluzione f (x) = e x 2. f (x) + 2xf (x) = 0

7 Equazioni differenziali lineari omogenee del primo ordine Consideriamo l equazione differenziale y + g(x) y = 0 (1) Dividendo per y, (che supponiamo positiva), otteniamo y /y = g(x), ovvero (log y) = g(x) e quindi, log y(x) = x g(x) + K. Otteniamo infine la soluzione y(x) = y 0 e R x g

8 Equazioni differenziali lineari del primo ordine Cerchiamo una soluzione di y + g(x) y + h(x) = 0 (2) del tipo y(x) = u(x) e R x g, ottenuta sostituendo nella soluzione dell equazione omogenea la costante y 0 con una funzione u(x) da determinare imponendo la condizione (2) (metodo di Lagrange, di variazione delle costanti arbitrarie), ovvero u e R x g u g e R x g + u g e R x g + h = 0 R da cui u x g x x g = h e 0 e quindi u = x h e 0 + K e quindi la formula finale per le soluzioni dell equazione (2) ( x R ) x g x y(x) = h e 0 + y0 e R x g R x (3)

9 Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti Consideriamo l equazione differenziale y + a y + b y = 0 (4) dove a e b sono costanti. Cerchiamo soluzioni del tipo y(x) = e αx. Sostituendo dell equazione differenziale otteniamo e αx ( α 2 + a α + b ) = 0 Quindi perché y(x) = e αx sia soluzione di (4) è sufficiente che α sia soluzione dell equazione caratteristica Dobbiamo considerare tre casi α 2 + a α + b = 0 (5)

10 L equazione caratteristica ha due radici reali distinte Dette α e β le soluzioni reali e distinte dell equazione caratteristica, la soluzione generale dell equazione differenziale (4) è y(x) = C 1 e αx + C 2 e βx

11 L equazione caratteristica ha due radici complesse coniugate Siano α = r + iθ e β = r iθ le soluzioni complesse e coniugate dell equazione caratteristica. Le funzioni y(x) = C 1 e (r+iθ)x + C 2 e (r iθ)x sono funzioni complesse, che verificano formalmente l equazione (4). Usando la formula di Eulero e iθ = cos θ + i sin θ osserviamo che e (r+iθ)x + e (r iθ)x 2 = e rx cos θx e e (r+iθ)x e (r iθ)x 2i = e rx sin θx Queste funzioni sono reali. L integrale generale dell equazione (4) è o, equivalentemente C 1 e rx cos θx + C 2 e rx sin θx Ke rx sin(θx + φ) ove si ponga C 1 = K cos(φ) e C 2 = K sin(φ).

12 L equazione caratteristica ha una sola radice reale Supponiamo che la soluzione sia α. Allora le funzioni y(x) = Ce αx sono soluzioni di y 2αy + α 2 y ma non costituiscono l integrale generale. Per α β, l integrale generale di y (α + β)y + αβy = 0 è C 1 e αx + C 2 e βx. In particolare è quindi soluzione la funzione e αx e βx α β (6) quando β tende ad α la funzione (6) tende a de αx dα = xeαx. che, come si verifica direttamente, è soluzione di y 2αy + α 2 y = 0. L integrale generale è (C 1 + C 2 x)e αx

13 Esempi (I) Consideriamo il moto di un corpo puntiforme vincolato a muoversi su una retta. La funzione incognita y(x) nel nostro modello specifica ad ogni istante di tempo x la posizione del corpo sulla retta in un sistema di riferimento fissato. L interpretazione fisica di y (x) e di y (x) è quindi quella di velocità e accelerazione del corpo all istante x. Moto a velocità costante in assenza di forze (attriti, gravità etc.) Modello: y = k. Soluzione: y(x) = k x + Moto in un campo gravitazionale costante in assenza di forze (attriti, etc.) Modello: y = g. Soluzione: y(x) = 1 2 gx 2 + v 0 x +

14 Esempi II Moto in un campo gravitazionale costante in presenza di forza di attrito. Modello: y = g hy. Soluzione (dalla formula per le sol. delle equazioni lineari di primo ordine): y(x) = g h x + Ae hx + B Moto armonico. Forza di richiamo proporzionale alla distanza dall origine Modello Soluzione Oscillazioni forzate Modello y = ω 2 y C 1 cos ωt + C 2 sin ωt. y + 2αy + ω 2 y = 0 Soluzione: Se α 2 ω 2 < 0, abbiamo oscillazioni forzate.