M, R. δu A δu G G. k α

Transcript

1 Esercizi sulla statica di corpi rigidi. Risoluzione mediante PLV. Esercizio n.17 Un sistema è composto da un disco di peso p e raggio R e da una massa puntiforme di peso q collegati da un filo inestensibile, liscio e di massa trascurabile. Il disco poggia su un piano inclinato scabro; il coefficiente d attrito statico è µ s. 1 B A M, R G µ s q Lungo il tratto AB il filo è parallelo al piano inclinato. Determinare il peso q che garantisce l equilibrio del sistema e indicare per quali valori dell angolo l equilibrio può sussistere. Il sistema è caratterizzato da un grado di libertà. L atto di moto del disco è descritto da una variazione virtuale δ mentre la variazione di posizione del peso q è δx: si sceglie, ad esempio, la posizione x come coordinata libera. n A δu A δ δu G G q δx t L atto di moto del disco è rappresentato da una rotazione δ attorno al punto, centro di istantanea rotazione, e gli spostamenti virtuali dei punti A e G si possono esprimere come: δ u A = δ ³ A δ u G = δ ³ G

2 2 La relazione tra δ e δx si ottiene osservando che, essendo il filo inestensibile, si ha: δ u A t = δx δ ³ A t = δx ovvero: δ = δx 2R Per imporre l equilibrio del sistema si utilizza il PLV: n A G p δ δx t q δl e = p δ u G + qδx=0 δx in cui i vari termini possono essere rappresentati nel modo seguente: p =(psin ) t (p cos ) n δ u G = δ ³ G = δ R n = δ R t δl e =(p sin ) R µ δx + qδx=0 δx 2R Dopo alcune semplificazioni il lavoro è dato dall espressione: δl e = µ 12 p sin + q δx =0 δx da cui si ricava il valore di q che garantisce l equilibrio: q = 1 2 p sin Occorre però verificare che il disco soddisfi l ipotesi di puro rotolamento, ovvero che la relazione di oulomb valga come disuguaglianza. A tal fine si mettono in

3 3 evidenza le reazioni vincolari agenti sul disco. T A t n φ T A p φ q j i L equilibrio del disco si scrive: R disco = p + φ + ³ T A =0 ³ ³ M = A ³ T A in cui si assume: disco + p = p j φ = φ t t + φ n n ³ T A = T t A =2R n ³ G = R n ³ G p =0 Le equazioni scalari sono le seguenti: R disco t = p t + φ t + ³ T A t =0 R disco n = p n + φ n + ³ T A n =0 ³ M ³ = A ³ T A ³ + G p =0 disco p sin + φ t T =0 p cos a + φ n =0 2 TR+ Rp sin =0 φ t = 1 2 p sin φ n = p cos a T = 1 2 p sin L equilibrio è mantenuto dalla forza q = 1 p sin se vale la disuguaglianza di 2 oulomb: φ t <µ s φ n 1 2 p sin <µ s p cos a ovvero per i seguenti valori di : 0 <arctan (2µ s ) Se invece quest ultima relazione è violata, il disco si muove slittando rispetto al piano e l equilibrio non può sussistere (per nessun valore di q).

4 4 Esercizio n.18 Per il problema discusso nell esercizio n.14, ricavare il valore della forza F che garantisce l equilibrio del sistema per un assegnata configurazione ( π 2 < π 2 ). B M, 4R F D G p A R Siccome i vincoli in A e D sono lisci, le reazioni vincolari φ A e φ D non compiono lavoro. Per imporre l equilibrio è sufficiente considerare il lavoro delle forze p e F. Il sistema è ad un grado di libertà e come coordinata libera si sceglie la rotazione dell asta. L atto di moto a partire dalla generica configurazione è rappresentabile come una rotazione attorno al centro di istantanea rotazione dell asta che, per il teorema di hasles, è situato in. y, j B δu B M, 4R F D G p δu G δ δ R x, i

5 5 Gli spostamenti virtuali in G e B sono esprimibili nel seguente modo: δ u G = δ ³ G δ u B = δ ³ B Utilizzando il sistema di riferimento indicato in figura, le coordinate dei punti, G e B sono: GD = GA AD =2R 2Rcos =2R (1 cos ) x G = GD sin =2R (1 cos ) sin y G = R + GD cos = R +2R (1 cos ) cos x B = BD sin =2R (2 cos ) sin y B = R + BD cos = R +2R (2 cos ) cos x = R sin 2 y = R cos 2 Per l equilibrio deve essere soddisfatta l equazione del lavoro virtuale: δl e = p δ u G + F δ u B =0 δ con: p = p j F = F j ³ G =(x G x ) i +(y G y ) j =2R (sin sin 2) i +2R (cos cos 2) j ³ B =(x B x ) i +(y B y ) j =2R (2 sin sin 2) i +2R (2 cos cos 2) j δ u G = δ ³ h i G = δ 2R (sin sin 2) j 2R (cos cos 2) i δ u B = δ ³ h i B = δ 2R (2 sin sin 2) j 2R (2 cos cos 2) i Inserendo queste relazioni nell equazione dei lavori virtuali si ricava: δl e =[p 2R (sin sin 2)+F 2R (2 sin sin 2)] δ =0 δ ovvero, utilizzando l identità trigonometrica sin(2) = 2 sin cos : sin [p (1 2cos)+2F (1 cos )] = 0 equazione che è soddisfatta dai seguenti valori di F che mantengono l asta in equilibrio: ½ 6= 0 F = 1 p 2cos cos =0 F

6 6 Ad esempio, per = π/4 si ha: F = p = p 2 mentre, per = π/3 si ha: F = 1 2 p =0 2 Esercizio n.19 Un sistema è composto da un disco di peso p e raggio R e da una massa puntiforme di peso q collegati da un filo inestensibile, liscio e di massa trascurabile. Il disco poggia su un piano inclinato e può solamente rotolare senza strisciare; il filo scorre su una guida liscia. s A p, R G B q Determinare l entità del peso q che garantisce l equilibrio del sistema nella configurazione rappresentata. In assenza di slittamento del disco il suo centro di istantanea rotazione è il punto di appoggio del disco. Il sistema è caratterizzato da un grado di libertà: come ccordinata libera si utilizza la rotazione del disco. s t n δ G A p B q x δx

7 7 L equilibrio è imposto mediante il PLV: δl e = qδx+ p δ u G =0 δ Nella relazione gli spostamenti virtuali δx e δ s devono essere espressi in funzione di δ. s t n r δ δu G δu A G A β β B x δx Atalfine si osserva che, detto r il versore avente direzione AB, valgono le seguenti relazioni: δx = δ u A r δ u A = δ ³ A δ u G = δ ³ G tan β = R s Alcune considerazioni trigonometriche permettono di ricavare che: ³ A A =2ssin β ³ G = R n = A sin β t + A cos β n =2s sin β sin β t +cosβ n r =cos(2β) t +sin(2β) n p =sin t cos n relazioni che sostituite nelle precedenti forniscono i termini da utilizzare nell equazione del PLV: δx = 2 s sin βδ[cos (2β)cosβ +sin(2β)sinβ] = s sin (2β) δ δ u G = Rδ t

8 8 δl e = q [ s sin (2β) δ]+ sin t cos n Rδ t =0 δl e =[ q ssin (2β)+pR sin ] δ =0 δ δ da cui si ricava il valore di q che mantiene l equilibrio pr sin q = s sin (2β) = 1 2 p sin 1 (cos β) 2 = 1 µ1+ 2 p sin R2 s 2 Esercizio n.20 Il sistema articolato rappresentato in figura è composto da aste incernierate di lunghezza b. Due di queste aste sono collegate ad una vite con passo p mediante un manicotto. Trascurando l attrito tra i vari elementi del sistema e assumendo che il punto B si può spostare solo verticalmente, determinare la coppia M che mantiene in equilibrio il sistema nella generica configurazione. q M b B b A b D b

9 Il sistema è caratterizzato da un grado di libertà: si sceglie l angolo come coordinata libera (0 << π 2 ). q 9 ϕ M b B b h A b D b a Indicata con a la distanza A, essa può essere espressa in funzione di : a =2b cos Analogamente, indicata con h la distanza BD, si può scrivere: h =2b sin A seguito di una rotazione ϕ della vite nel verso della coppia, il manicotto si sposta verso destra di una distanza pari a ϕ p. Per una variazione virtuale della 2π coordinata si ha: δa = 2b sin δ δh =2bcos δ δa = p 2π δϕ L equilibrio può essere imposto mediante l equazione del lavoro virtuale: δl e = Mδϕ qδh=0 δ Sostituendo le espressioni precedenti nell ultima equazione si ricava: 2πp δl e = M ( 2b sin δ) q (2b cos δ)=0 δ

10 10 ovvero δl e = bp M 4π sin 2 qbcos δ =0 δ relazione che, per l arbitrarietà della variazione δ, impone l annullarsi dell espressione tra parentesi quadre M 4π b sin 2 qbcos =0 p e che fornisce la configurazione () di equilibrio, oppure il valore della coppia M che mantiene in equilibrio il sistema nella generica configurazione: tan = qp 2π M M = q p 1 2π tan (1) Metodo alternativo di soluzione Il sistema è conservativo poiché si sono assunti lisci tutti i vincoli. Per un assegnato valore di M, la configurazione di equilibrio è quella che rende stazionario il potenziale delle azioni applicate: U = U () =Mϕ qh in cui: ϕ = ϕ () = a () 2π p = 4π b p cos h = h () =2b sin Nella configurazione di equilibrio si ha: du d dϕ =0 M d q dh d =0 M 4π b sin q 2b cos =0 p da cui si ricava la configurazione di equilibrio: relazione che coincide con la (1). tan = qp 2π M

11 11 Esercizio n.21 Un sistema di tre corpi rigidi pesanti è posto in un piano verticale ed è mantenuto in equilibrio da una forza orizzontale F. G 2 p 2 G 3 p 3 p 1 G 1 F Gli elementi di forma triangolare scorrono su appoggi lisci mentre il contatto col disco, di raggio R, è di puro rotolamento. Determinare l intensità di F che mantiene l equilibrio del sistema. Il sistema è caratterizzato da un grado di libertà; come coordinata libera si assume la rotazione del disco. Definito un sistema di riferimento cartesiano come in

12 12 figura, y, j G 2 p 2 H G 3 p 3 K p 1 G 1 F x, i si indicano con y G1, y G2 e y G3 le ordinate dei baricentri dei tre corpi rigidi e con x G1 l ascissa del baricentro del corpo rigido su cui è applicata la forza F. L equilibrio può essere imposto mediante il PLV: δl e = F δx G1 p 1 δy G1 p 2 δy G2 p 3 δy G3 =0 δ i vari termini di variazione devono essere espressi in funzione di δ mediante l analisi dell atto di moto rigido. Il disco rotola senza strisciare: ne consegue che gli spostamentivirtualineipuntidicontattoh e K del disco sono gli stessi dei corpi triangolari δ u H = δy G2 j δ u K = δx G1 i

13 13 y, j G 2 H δu H G 3 K δu K G 1 F x, i Il centro di istantanea rotazione del disco si determina mediante il teorema di hasles. H δ δu H R G 3 R δ K δu K Mediante considerazioni trigonometriche si ricava: H =2R sin K =2R cos

14 14 δ u H = δ ³ H = δ 2R sin j δ u K = δ ³ K = δ 2R cos i δ u G3 = δ ³ h i G 3 = Rδ cos i sin j Dunque si ottiene: δy G2 = 2R sin δ δx G1 =2Rcos δ δy G1 =0 p 3 δ u G3 = p 3 δy G3 = p 3 R sin δ L equazione dei lavori virtuali diviene δl e = F (2R cos δ) p 2 ( 2R sin δ)+p 3 R sin δ=0 δ ( F 2R cos + p 2 2R sin + p 3 R sin ) δ =0 δ dacuisiricavailvalorediequilibrio: F = µ p p 3 tan Risoluzione mediante equazioni cardinali della statica Un metodo alternativo di determinare la forza F di equilibrio, sebbene più laborioso, è quello delle equazioni cardinali della statica. Si isola il disco mettendo in

15 15 evidenza le forze di reazione scambiate con i corpi triangolari: φ, φ, ψ e ψ y, j G 2 p 2 φ H H G 3 φ n t ψ p 3 K ψ K p 1 G 1 F x, i con φ = φt t + φ n n ψ = ψ t t + ψ n n p 1 = p 1 j p 2 = p 2 j p 3 = p 3 j F = F i Si impone poi l equilibrio di ciascun corpo rigido in base ai movimenti permessi dai vincoli rimasti. In particolare: per il disco devono essere soddisfatte tre equazioni di equilibrio (ovvero le tre equazioni scalari del moto con accelerazioni nulle); per ciascun triangolo è sufficiente imporre l equilibrio secondo la traslazione permessa dai piani di appoggio lisci, in modo da evitare di mettere in evidenza ulteriore reazioni vincolari (che richiederebbero equazioni di equilibrio aggiuntive rispetto a

16 16 quelle già utilizzate). M 3 a G3 =0= R 3 = φ + ψ + p ³ 3 Γ G3 =0= M G3 = H G 3 ³ φ + K G 3 ψ M 1 a G1 i =0= R ³ 1 i = ψ + p 1 + F i M 2 a G2 j =0= R 2 j = ³ φ + p 2 j Per comodità di soluzione del sistema, le prime due equazioni vengono proiettate secondo le direzioni dei versori n e t e : R 3 n = φ n + ψ n p 3 cos =0 R 3 t = φ t + ψ t p 3 sin =0 M G3 ³ = φ t R n t ³ Rψ t n t =0 = φ t R + Rψ t =0 R 1 i = ψ t cos + ψ n sin F =0 R 2 j = φ t sin φ n cos p 2 =0 Risolvendo il sistema si ottengono le reazioni vincolari e l intensità della forza F per cui si ha l equilibrio del sistema; si noti che quest ultimo valore coincide con quello ricavato mediante il PLV. ψ n = p 2 + p 3 1p 2 3 (sin ) 2 1 cos φ t = 1p 2 3 sin ψ t = 1p 2 3 sin φ n = 1 p2 + 1p cos 2 3 (sin ) 2 F = p 2 + 1p 2 3 tan Esercizio n.22 Il sistema rappresentato nella figura seguente giace in un piano verticale ed è composto da due aste pesanti di lunghezza L epesoq, vincolate tra loro da una cerniera, che si appoggiano su un disco di raggio R e peso p. Il disco è vincolato a traslare verticalmente ed è appeso ad un punto fisso mediante una molla di costante elastica

17 17. Determinare la configurazione di equilibrio assumendo lisci tutti i vincoli. L L G d G 1 G p 2 R q q

18 18 Il sistema è a due gradi di libertà: come coordinate libere si scelgono la rotazione delle aste (0 <<π/2), e l allungamento della molla y. y G1 = y G2 L L y G 1 R G d p R q q G2 Essendo i vincoli lisci e le forze conservative è possibile utilizzare il teorema della stazionarietà del potenziale per imporre l equilibrio. Il potenziale è il seguente: U = U (y, ) = 1 2 y2 + py+ qy G1 + qy G2 in cui y G1 = y G2 = L 2 cos R sin + y Imponendo la stazionarietà del potenziale si ottiene il sistema di due equazioni di equilibrio: ( U = y+ p +2q =0 y h i U =2q L sin + R cos =0 2 (sin ) 2 la cui soluzione fornisce la configurazione di equilibrio ½ y = 1 (p +2q) L sin 3 =2Rcos L angolo può essere ottenuto risolvendo numericamente l equazione implicita. Si noti che, nell intervallo (0,π/2) una soluzione esiste sempre, come si evince dal

19 19 grafico seguente. L L (sin) 3 2R 2R cos 0 π/2 Il valore numerico può essere determinato, ad esempio, calcolando iterativamente delle approssimazioni successive a partire da un valore iniziale 0 : " µ2r # 1/3 n+1 =arcsin L cos n Se si assumono L =10R e 0 = π/4 ecisiaccontentadi4 cifre significative, si ha: 1 =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos 5 5 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 = = = = = =0.5831

20 20 Per L =30R, semprepartendoda 0 = π/4 (a metà dell intervallo considerato) e con 4 cifre significative si ottiene: 1 =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos =arcsin ³ cos /3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 = = = = = = = = =0.8320