Il collasso per instabilità

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1 Il collasso per instabilità 1 o studio delle travi si è sviluppato facendo l ipotesi l di piccoli spostamenti: cosϑ 1 (1) linearizzazione delle relazioni cinematiche (ad es. per piccoli ) ϑ () equilibrio con riferimento alla configurazione indeformata Tale ipotesi, senz altro accettabile per le travi soggette a carichi trasversali, non è più veritiera e deve essere rilasciata nel caso di carichi agenti lungo l l asse della trave, soprattutto se di compressione

2 Il collasso per instabilità M e M i Mi Kϑ Piccoli spostamenti (1) Me F F K ϑ q. nella conf.. deformata () M Fcosϑ e F K ϑ cosϑ

3 Il collasso per instabilità 3 M e M i Mi Kϑ F Kϑ F K ϑ Piccoli spostamenti () Me F q. nella conf.. deformata(3) F K ϑ Me Fcosϑ + 5Fsin ϑ F ϑ K cosϑ + 5sinϑ Cinematica linearizzata () F K ϑ 1 + 5ϑ

4 Comportamento di travi presso-inflesse Ai fini dell analisi del collasso per instabilità è quindi lecito linearizzare le relazioni cinematiche, ma occorre tenere conto dell influenza che hanno gli spostamenti sull equilibrio quindi lecito considerare gli spostamenti piccoli, ma solo dal punto di vista geometrico e non ai fini dell equilibrio equilibrio χ w Per travi presso-inflesse il legame è ancora valido e tenendo conto quindi delle deformazioni elastiche flessionali vale la seguente relazione M w M Il momento flettente deve però essere calcolato tenendo conto della effettiva configurazione deformata della trave

5 Comportamento di travi presso-inflesse 5 quazione della linea elastica Condizioni al contorno p M x x P f wx () ( ) [ ()] p w ( x) + Pw( x) Pf + ( x) w() w () w( ) f

6 Comportamento di travi presso-inflesse 6 quazione della linea elastica Integrale generale p w ( x) + α w( x) α f + ( x) P α p 1 p 1 w( x) Acosαx + Bsin αx + f + ( x) ( α) ( α) w ( x ) w ( ) p x p 1 w ( x) Aα sinαx + Bα cos α x ( x) ( α ) Tenendo conto delle c.c.:.: p 1 w() A+ f + ( α) ( α) 3 p 1 w () Bα ( α ) p 1 w( ) Acosα + Bsinα + f f ( α )

7 Comportamento di travi presso-inflesse 7 Risolvendo si ottiene: A p 1 1 α sinα ( α) cosα B p 1 ( α ) 3 f p α α α α ( α) cosα 1 [ ( ) ]cos (1 sin ) espressione della freccia di estremità è: f f1 ψ ( α ) f 1 p 8 ψ ( α ) [ ( α ) ]cosα (1 α sin α ) ( α) cosα P α parametro parametro adimensionale

8 Comportamento di travi presso-inflesse 8 Condizioni ai limiti: lim ψ ( α ) 1 α lim ψ ( α ) π α a condizione critica si ha quando: α π P π Forza di compressione corrispondente alla situazione critica: P π Carico critico euleriano

9 Aste compresse 9 Il carico critico euleriano non dipende dai carichi trasversali agenti e può essere calcolato per travi solo soggette a compressione Una configurazione di equilibrio è quella rettilinea che può calcolarsi nella ipotesi di piccoli spostamenti (equilibrio nella configurazione indeformata) Rimuovendo tale ipotesi si constata che sono possibili altre configurazioni di equilibrio, corrispondenti ad una inflessione della trave, che si manifestano sotto particolari valori del carico

10 Calcolo del carico critico 1 Trave appoggiata quazione della linea elastica: w ( x) + Pw( x) Condizioni al contorno: P w ( x) + α w( x) α w() w( ) Integrale generale: w( x) Acosα x + Bsinα x

11 Calcolo del carico critico 11 Imponendo le c.c. si ottiene: w() A w( ) Acosα + Bsin α 1 A cosα sinα B Il precedente costituisce un sistema lineare omogeneo che per ammettere mettere soluzione diversa dall identica deve avere il determinante nullo, quando cioè il carico P assume valori tali che 1 det sinα cosα sinα Per tali valori sarà cosα ± 1 e il sistema diventa: α nπ ( n 1,,3, ) 1 A ± 1 B A B qualunque

12 Calcolo del carico critico 1 Si ottengono le configurazioni di equilibrio deformate: nπ nπ w( x) Bsinα x α, P In particolare, per n 1,, 3 si ha: π n 1 α π x P1 π, w( x) Bsin π n α π x P π, w( x) Bsin π n 3 α 3 3π x P3 9 π, w( x) Bsin

13 Calcolo del carico critico 13 P n In corrispondenza dei carichi si hanno dei punti di biforcazione nei percorsi di equilibrio: accanto alla configurazione banale (rettilinea) compaiono configurazioni di equilibrio deformate, inflesse secondo sinusoidi con n semionde, la cui ampiezza è arbitraria B Il carico critico euleriano corrisponde al più piccolo dei P n è la deformata corrispondente è la deformata critica P P1 π π x w ( x) w1 ( x) Bsin I percorsi di equilibrio di una trave reale (con imperfezioni) si discostano da quelli di una trave ideale (a tratteggio se si rimuove completamente l ipotesi l di piccoli spostamenti) linearizzazione della cinematica

14 Calcolo del carico critico 1 Trave a mensola quazione della linea elastica: w ( x) + Pw( x) Condizioni al contorno: Integrale generale: P w ( x) + α w( x) α w() w () w( ) f w( x) Acosα x + Bsinα x + f w ( x) Aα sinαx + Bα cosαx

15 Calcolo del carico critico 15 Imponendo le c.c. si ottiene: 1 1 A α B cosα sinα f Imponendo che il determinante sia nullo perché si abbia una soluzione diversa dalla banale, per si ottiene: α cosα α α n π cosα n 1, 3, 5, sinα ± 1 B n 1, 3, 5, In tal caso e il sistema omogeneo ammette la soluzione A f (qualunque) e. Si ha per dispari: n 1 P n P n π π nπ x wn ( x) f 1 cos π x w ( x) f 1 cos

16 Trave incastrata-appoggiata appoggiata Calcolo del carico critico M() x Pw() x R 1 x 16 quazione della linea elastica: Y w ( x) + α w( x) 1 x P α Y R Integrale generale: Condizioni al contorno: Y x w( x) Acosαx + Bsinαx + 1 ( α ) 1 Y w ( x) Aα sinαx + Bα cosα x ( α ) w() w () w( )

17 Calcolo del carico critico 17 Imponendo le c.c. si ottiene (anche in forma matriciale): Y A + ( α ) 1 Y ( ) B α ( α ) Acosα + Bsinα ( α ) 1 A 3 ( α ) 1 B cosα sinα Y Imponendo che il determinante sia nullo perché si abbia una soluzione diversa dalla banale, per si ottiene: α f ( z) z tan α α ( α ) π 1 tan z 1.3π π z Il carico critico e la deformata critica saranno: P.6π x 1 x x w ( x) A cos.93 sin

18 unghezza libera di inflessione 18 Gli esempi hanno mostrato che il carico critico può esprimersi: κ P κπ è un coefficiente adimensionale che riflette l influenza l dei vincoli; per i tre casi considerati, e. κ 1 κ.5 κ.6 Infatti, l equazione l differenziale della linea elastica assume la forma generale erale (con secondo membro legge lineare che dipende dalla legge del momento) mento) + + w ( x) α w( x) K1x K integrale generale è del tipo: w( x) A cosα x + A sinα x + A x + A 1 3 e configurazioni di equilibrio inflesse (deformate critiche) sono allora costituite da una porzione di sinusoide eventualmente traslata e/o e ruotata

19 unghezza libera di inflessione 19 e diverse condizioni di vincolo possono essere tutte ricondotte ad un unico caso (caso( (a)), la cosiddetta asta di ulero: : la sua deformata critica copre una semionda della sinusoide e la lunghezza dell asta corrisponde alla distanza tra due successivi punti di flesso (lunghezza( libera di inflessione) P π κ

20 Snellezza conveniente riferire il carico critico all unit unità di sezione trasversale, ponendo. Si scrive allora: σ P A P σ π π A A κ I ρ Raggio d inerzia d della sezione Si introduce la snellezza,, che raccoglie tutte le caratteristiche geometriche dell asta (sezione, lunghezza, condizioni di vincolo) a tensione critica di ulero risulta inversamente proporzionale a λ λ ρ I A I ρ κ A σ π λ o sbandamento avviene nel piano in cui l asta l oppone minore rigidezza all inflessione, per cui: ρ ρ min I A min

21 sempio 1 1 b R 3 I π Rb A π Rb 5m R 5mm b 5mm Raggio d inerzia d della sezione unghezza libera di inflessione 3 I π R b R ρ A π Rb m λ 19.8 ρ Snellezza Carico critico σ 6 (19.8) π 168.5MPa 31.8mm P Aσ 38kN

22 sempio A mm 3 I f mm 6 I d.1 1 mm 6 unghezze libera di inflessione e snellezze h 6m Raggi d inerziad ρ ρ f d I f A 1.8mm I d A.7mm 3 3 f h 1 1 mm d.699h.19 1 mm f d λ f 99.3 λd 93.8 ρ ρ λ > λ f d f d Il pilastro si instabilizza nel piano forte ( ) P.3MN > P d A P Aσ π.7mn λ f

23 Curve di stabilità 3 a trattazione sin qui svolta sull instabilit instabilità euleriana individua una soglia critica che dipende dalla rigidezza e dalle proprietà geometriche e di vincolo della trave, sottintendendo un comportamento elastico lineare del l materiale Tuttavia tutti i materiali hanno un limite di resistenza e il collasso per raggiungimento di tale limite deve essere tenuto in conto Accade che per alti valori di snellezza la condizione critica è dettata dalla instabilità euleriana,, mentre per bassi valori di snellezza il collasso avviene per raggiungimento della crisi del materiale σ σ

24 Curve di stabilità Il valore della snellezza che individua la transizione tra queste due modalità di collasso si determina imponendo σ σ λ σ π λ λ π σ Il carico critico teorico di un asta compressa corrisponde, per ogni snellezza dell asta, al minimo tra i valori e : σ σ cr σ σ cr ( λ) σ π, λ λ λ σ ( λ) σ, λ λ cr

25 Curve di stabilità 5 Alla curva teorica occorre sostituire una curva che tenga conto delle inevitabili imperfezioni che fanno insorgere il fenomeno di instabilit abilità per valori inferiori del carico Carico di collasso per aste compresse (norme CNR UNI)