Cenni ad aspetti non classici per problemi di instabilità dell equilibrio. equilibrio

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1 Laurea Magistrale Ingegneria Meccanica A.A. 011 / 01 Cenni ad aspetti non classici per problemi di instabilità dell equilibrio equilibrio G. Vairo - Complementi di Scienza delle Costruzioni (Ing. Meccanica)

2 Instabilità Euleriana dei pannelli 1 Il caso di pannelli semplicemente appoggiati sul contorno l a F F [N/m] 1 1 F cr = Dπ l + l a per l < a D F cr 4π a per l a h D = 3 Eh 1(1 ν )

3 Problemi di instabilità Euleriana La linearità di comportamento in fase precritica implica che la configurazione fondamentale si possa valutare in ipotesi di piccoli spostamenti/deformazioni Biforcazione dei percorsi di equilibrio Le condizioni critiche di instabilità intese in senso sia dinamico che statico coincidono

4 Problemi di instabilità Euleriana 3 Instabilità per diramazione stabile

5 Problemi di instabilità Euleriana 4 Instabilità per diramazione instabile! Maggiore sensibilità alle imperfezioni (P/P*<1)

6 Problemi di instabilità Euleriana 5 Instabilità per diramazione instabile! Maggiore sensibilità alle imperfezioni (P/P*<1)

7 6 Pur se comprende molte situazioni di notevole rilevanza ingegneristica, la categoria dei problemi Euleriani non esaurisce tutti i casi di interesse Problemi non Euleriani comportamento non elastico del materiale forze non conservative non linearità di comportamento anche per bassi carichi Non si hanno biforcazioni nei percorsi di equilibrio Instabilità in senso dinamico e statico possono non coincidere

8 7 Non-linearit linearità anche per bassi carichi F l 1 α EI k k

9 10 Non-linearit linearità anche per bassi carichi α F F kl = 1 tan θ (sin θ sin α) 1 θ δ k N 1 N F k δ k θ N N 1 = N = F cosθ N N1 δ = sin θ = sin θ = k k δ = l(sin θ sin α) F k tan θ

10 11 Non-linearit linearità anche per bassi carichi α F 1 θ k N 1 = N = F cosθ k F kl = 1 tan θ (sin θ sin α) β = π EI 3 kl F E π EI FE = cosθ = βcosθ l kl

11 1 F E kl ( β = 0.3) Snap-through (instabilità a scatto) B F kl B F E kl ( β = 0.15) A A α π F π EI FE = cosθ = βcosθ l kl π EI β = kl E 3 F kl = 1 (sin θ sin α) tan θ

12 13 Non-linearit linearità anche per bassi carichi Snap-through (instabilità a scatto) Tipica di archi e volte Non esistono biforcazioni nei percorsi di equilibrio

13 14 Instabilità dinamica in presenza di forze non conservative

14 15 sistema conservativo sistema non conservativo P P forza follower gradi di libertà

15 16 sistema conservativo Equilibrio a rotazione linearizzato a precedere e seguire rispetto alla cerniera interna

16 17 sistema conservativo Equilibrio dinamico

17 18 sistema conservativo Equilibrio statico ricerca soluzione non banale p 1 e p corrispondono a condizioni di biforcazione nei percorsi di equilibrio

18 19 sistema conservativo Equilibrio dinamico problema lineare agli autovalori (ω )

19 0 sistema conservativo det =0

20 1 sistema conservativo ω, ω > 0 ω1, 1 ω reali

21 sistema conservativo DIVERGENZA

22 3 sistema conservativo ω1, ω < 0 frequenze complesse a parte reale nulla DIVERGENZA

23 4 sistema non conservativo Non esistono punti di biforcazione

24 5 sistema non conservativo Analisi statica (no inerzie) Non esistono punti di biforcazione secondo un analisi statica il sistema non dovrebbe soffrire instabilità per ogni valore del carico

25 6 sistema non conservativo Analisi dinamica problema lineare agli autovalori (ω )

26 7 sistema non conservativo det = 0 p p ω, ω > 0 ω1, 1 ω reali STABILITA

27 8 sistema non conservativo p 4 ω, ω < 0 ω1, 1 ω complessi a parte reale nulla DIVERGENZA

28 9 sistema non conservativo < p < 4 autovalori complessi coniugati

29 30 sistema non conservativo < p <

30 31 sistema non conservativo

31 3 Flutter Tacoma Narrows Bridge (1940)

32 schematizzazione del ponte investito dal vento 33 Le forze del vento si accoppiano con la risposta della struttura

33 34 k = k 1

34 35 Flutter 1 dof dof flessionale

35 36 Flutter 1 dof dof torsionale

36 37 Flutter dof

37 38 Generazione della parturbazione

38 39 Interazione fluido-struttura

39 40 Interazione fluido-struttura

40 41 Interazione fluido-struttura