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1 ezione n. 6 e strutture in acciaio Verifica di elementi strutturali in acciaio Il problema della stabilità dell equilibrio Uno degli aspetti principali da tenere ben presente nella progettazione delle strutture in acciaio è quello legato ai problemi di stabilità dell equilibrio. elevata resistenza dell acciaio, rispetto ad altri materiali quali il calcestruzzo o la muratura, consente infatti, a parità di sollecitazioni, di adottare per gli elementi strutturali sezioni molto ridotte con notevole risparmio di materiale. Gli elementi strutturali in acciaio sono pertanto molto snelli, cosicché nelle membrature compresse o pressoinflesse occorre prestare attenzione ai fenomeni di instabilità (*). Esempio Per avere un idea di quanto un elemento in acciaio sia più snello di uno realizzato con un altro materiale, a parità di sforzo normale, si consideri il seguente esempio, in cui un pilastro di altezza l3 m, a sezione quadrata, è sottoposto all azione di un carico assiale di intensità pari a P630 kn. Ricordando che il raggio di inerzia di una sezione quadrata di lato a vale J ρ A si ottiene: 4 a /1 a a a tensione ammissibile [MPa] A min P/σ adm [mm ] a min [mm] ρ [mm] λl/ρ [-] λ acc /λ [-] Fe ,00 egno (larice a ) ,00 Calcestruzzo ,78 Muratura, ,16 N.B. Nell esempio si prescinde dall analisi di stabilità dell equilibrio e si è determinata, per ciascun materiale, la sezione minima necessaria perché sia soddisfatta la verifica di resistenza a snellezza λ dell elemento di acciaio (prescindendo dalla verifica di stabilità) è circa otto volte quella dello stesso elemento in muratura (come si può desumere anche per via diretta dal rapporto tra le resistenze dei due materiali)! (*) In realtà fenomeni di instabilità si possono manifestare anche in elementi semplicemente inflessi (es. instabilità flesso-torsionale) o in alcune parti di elementi strutturali (es. anima di sezioni a T in corrispondenza di carichi concentrati); si rimanda ai testi specialistici per approfondimenti sull argomento. Revisione 19/01/0

2 ezione n. 6 pag. XXVI. Richiami sul carico critico euleriano Rimandando a testi specifici sull argomento per una descrizione esaustiva del fenomeno, nel seguito si richiamano le linee generali del problema del carico di punta in aste semplicemente compresse. Un asta semplicemente compressa, a sezione costante e sufficientemente snella, vincolata alle sue estremità, per qualunque valore del carico, si trova in una configurazione di equilibrio che corrisponde ad una configurazione rettilinea. a configurazione, a meno dell accorciamento elastico P EA corrisponde alla sua configurazione iniziale, indicata con C 0, ossia alla situazione in assenza di carico. Al crescere del carico, prima di raggiungere la resistenza a compressione del materiale, può darsi che la trave improvvisamente si disponga in una configurazione diversa da quella iniziale, in cui la linea d asse si è incurvata, e che corrisponde ancora ad una configurazione di equilibrio per la struttura (configurazione che si indica con C 1 ). Supponendo che gli spostamenti siano sufficientemente piccoli (e quindi che lo spostamento trasversale y(x) non sia troppo elevato), si può ricostruire la forma della configurazione deformata imponendo la condizione di equilibrio. A differenza di quello che si fa classicamente nell approccio lineare (in cui si pensa che la configurazione che assume un qualunque corpo a seguito di una deformazione causata da carichi esterni sia talmente vicina a quella iniziale da ritenere le due configurazioni praticamente coincidenti), occorre avvicinarsi al problema secondo un procedimento non lineare o, come spesso si dice, del second ordine ; si rimuove quindi l ipotesi di linearità tra carico applicato e deformazione e si studia l equilibrio tenendo conto dell influenza dello stato di spostamento sullo stesso equilibrio. Con riferimento alla situazione in figura, nella configurazione C 1 il carico assiale induce, a causa dello spostamento trasversale, un momento sollecitante (che chiameremo esterno ), che nella generica sezione a distanza x è pari a M est P y ( x) equilibrio impone che il materiale (supposto ancora elastico lineare) tenda ad opporsi a tale sollecitazione deformandosi, reagendo quindi con un momento interno che, secondo le consuete equazioni delle travi inflesse, vale M int EJ y x ( ) SOGGETTA A REVISIONE

3 ezione n. 6 pag. XXVI.3 a condizione di equilibrio richiede che Mest Mint EJ y x P y x ( ) ( ) equazione differenziale che si ottiene è quindi del tipo P y ( x) + y( x) 0 EJ che si può riscrivere nella forma y ( x) + α y( x) 0 dopo aver posto α P EJ equazione ammette soluzione generale del tipo y ( x) A sin( αx) + B cos( αx) dove le costanti A e B possono essere esplicitate imponendo le condizioni al contorno offerte dai vincoli. Nel caso in esame (estremità incernierate), le condizioni al contorno impongono che ( 0) 0 B 0 B 0 ( ) 0 A sin( α) + B cos( α) 0 A sin( α) y y 0 Il sistema ammette due soluzioni: la prima (banale) corrisponde a A0, B0, ossia alla configurazione indeformata (la configurazione iniziale, C 0, che si è visto essere di equilibrio per qualunque valore del carico); la seconda (supponendo A 0) si ottiene annullando l argomento della funzione seno, ossia P π EJ α π π P EJ Il valore del carico così ottenuto si chiama carico critico (euleriano) della trave, e rappresenta il più piccolo valore del carico assiale per il quale la trave caricata di punta può assumere una configurazione di equilibrio diversa dalla configurazione indeformata C 0. Qualunque siano le condizioni vincolari di estremità, si può dimostrare che il carico critico assume sempre la forma π EJ Pcr 0 in cui si indica con 0 la lunghezza libera di inflessione, definita come la distanza tra due flessi consecutivi nella deformata critica della trave, ossia la deformata che la trave assume nella configurazione deformata C 1. Il valore della lunghezza libera di inflessione dipende esclusivamente dal tipo di vincolamento offerto alla trave, e viene spesso espresso in funzione della luce della trave, attraverso l introduzione di un coefficiente di vincolo, β, i cui valori sono riportati nella figura seguente 0 β Il carico critico viene spesso espresso nella forma π EJ π E Aρ ρ π EA Pcr π EA 0 0, λ 0 0 λ ρ dove si è introdotta la snellezza λ. SOGGETTA A REVISIONE

4 ezione n. 6 pag. XXVI.4 valori teorici valori di Normativa β,0 β,0 β1,0 β0,7 β0,5 β1,0 β0,8 β0,7 mensola 0 0 trave doppiamente appoggiata trave incastroappoggio 0 0,7 trave incastrobipendolo 0 0,5 I valori di Normativa delle lunghezze libere di inflessione tendono ad essere maggiori di quelli teorici, perché tengono conto del fatto che nella realtà i vincoli non sono perfetti. Per un assegnato elemento strutturale non è detto che 0 sia uguale in tutti i piani (questo avviene solo se le condizioni di vincolo sono le stesse in tutte le direzioni dello spazio). Pertanto occorre calcolare la snellezza nei diversi piani, adottando di volta in volta la corrispondente lunghezza libera di inflessione ed il relativo raggio di inerzia. Il carico critico è quello corrispondente alla snellezza massima. PIANO XY Vincolo: incastro-bipendolo ( 0,Y 0,5 ) 3 3 b a b a 1 JZ A a b ρ Z 1 1 a b Snellezza 0,Y 0,5 λ Z 1,73 JZ a / 1 a PIANO XZ Vincolo: mensola ( 0,Z,0 ) 3 3 a b a b 1 JY A a b ρ Y 1 1 a b Snellezza 0,Z,0 λ Y 6,98 JY b / 1 b SNEEZZA MASSIMA λ max max( λy, λz ) CARICO CRITICO π E( a b) Pcr λ max a 1 b 1 SOGGETTA A REVISIONE

5 ezione n. 6 pag. XXVI.5 Il metodo omega Il carico critico può essere espresso anche in termini tensionali, introducendo la tensione critica euleriana Pcr π E σ cr A λ a sicurezza della struttura richiederà quindi che la tensione effettiva nella trave sia inferiore al valore della σ cr, in modo da assicurarsi una sufficiente distanza dal carico critico P cr. a condizione di superamento del carico critico può infatti condurre a situazioni deformative inaccettabili, per cui, di fatto, la struttura si troverebbe ad operare in condizioni non sicure. a verifica di sicurezza per un asta semplicemente compressa può quindi essere scritta nella forma P σcr π E σ A ν cr λ νcr dove ν cr è un opportuno coefficiente di sicurezza (di solito ν cr 1,5). Inoltre, la tensione effettivamente agente non può evidentemente superare il limite della massima tensione ammissibile per il materiale P σ σadm A e due verifiche vengono spesso contemplate in un unica verifica che prende il nome di metodo ω (si legge metodo omega ). a verifica, che diviene quindi contemporaneamente una verifica di resistenza (nell ottica del metodo delle tensioni ammissibili) e di sicurezza nei confronti del problema di instabilità, viene espressa, per le aste semplicemente compresse, nella forma ω P σ σ adm A dove ω è un coefficiente maggiore dell unità, che tende al valore 1 per strutture poco snelle (tozze) per le quali la verifica di resistenza è preponderante rispetto alla verifica di stabilità, mentre tende al valore σ f adm σadm νcr λ y ω λ σ / cr νcr π E π E per snellezze elevate. In sostanza, il coefficiente ω dipende: dalle caratteristiche del materiale impiegato (attraverso E e σ adm ); dalla snellezza dell elemento considerato (attraverso λ), e quindi dalla geometria della sezione trasversale, dalla lunghezza della trave e dai vincoli di estremità; ed assume valori crescenti in funzione della snellezza λ. In Normativa sono riportate le tabelle dei valori di ω per i vari tipi di acciaio di carpenteria, in funzione, oltre che della snellezza λ dell elemento, del tipo di profilo e dello spessore. SOGGETTA A REVISIONE

6 ezione n. 6 pag. XXVI.6 Verifiche di elementi strutturali in acciaio e verifiche si possono raggruppare in tre diverse categorie 1) Verifiche di resistenza ) Verifiche di stabilità 3) Verifiche di deformabilità Nel seguito si riportano le principali indicazioni di Normativa, relativamente sia alle verifiche con il metodo degli Stati imite (S.. nel seguito) che secondo il metodo delle Tensioni Ammissibili. 1) Verifiche di resistenza 1a) Aste tese N f σ d N A σadm eff dove f d f y /γ m con f y tensione caratteristica di snervamento e γ m coefficiente del metodo degli S.. area effettiva della sezione, cioè quella depurata dall eventuale area dei fori A eff 1b) Aste inflesse - Flessione semplice (flessione retta) M fd σm ψ W σadm ψ 1 è un coefficiente di adattamento plastico (di solito si assume ψ 1) - Flessione composta (flessione deviata) 1 M M σ x y fd M + ψ Wx Wy σadm M x, M y valori del momento flettente nei due piani principali di inerzia W x, W y corrispondenti valori dei moduli di resistenza 1c) Taglio (es. sezione di appoggio di una trave semplicemente appoggiata) T f τ χ d / 3 max A σadm / 3 1d) Taglio e Flessione (es. appoggio centrale di una trave su tre appoggi) f σ σ + 3τ d id σadm - in generale, per stati di sforzo piani: σ id 1e) Aste tenso-inflesse σ σn + σm σ x + σ y σ x σ y + 3τ xy N A + ψ M W fd σadm f d σadm SOGGETTA A REVISIONE

7 ezione n. 6 pag. XXVI.7 ) Verifiche di stabilità e verifiche di stabilità sono obbligatorie per tutti gli elementi compressi, presso-inflessi e inflessi in genere. È opportuno sottolineare che, innanzitutto, la Normativa impone dei limiti alla snellezza massima negli elementi in cui possa essere presente uno sforzo normale di compressione. Tali limiti assumono il valore λ max 00 per le membrature principali λ max 50 per le membrature secondarie e tali limiti vengono abbassati rispettivamente a 150 e 00 in presenza di azioni dinamiche rilevanti. a) Aste compresse a verifica si esegue con il metodo ω ω N fd σ A σadm con ω dipendente da λ (e quindi dai vincoli), dal tipo di acciaio, dal tipo di profilo e dallo spessore. b) Aste pressoinflesse - Aste soggette a momento flettente M costante ω N M fd σ + A N σadm ψw 1 υ Ncr dove υ1,0 S.. 1,5 I cond. di carico υ T.A 1,5/1,15 II cond. di carico Il valore di N cr (che rappresenta il carico critico euleriano della stessa asta soggetta a carico di punta) si ricava dall espressione π E Ncr σcr A A λ in cui σ cr rappresenta la tensione critica euleriana rispetto al piano di inflessione. - Aste soggette a momento flettente M variabile lungo l asta ω N Meq fd σ + A N σadm ψw 1 υ Ncr nell espressione di σ si adotta un valore M eq fornito dalla Normativa M eq 1,3 M medio per travi appoggiate o continue, con 0,75 M max M eq M max M eq M medio per travi a sbalzo, con 0,5 M max M eq M max Nel caso vada preso in considerazione anche lo svergolamento (si veda dopo), M eq viene amplificato di ω 1 - Aste soggette a momento flettente M in entrambi i piani SOGGETTA A REVISIONE

8 ezione n. 6 pag. XXVI.8 ω N Mx,eq M y,eq fd σ + + A σ N ψ υ ψ N adm W υ x 1 Wy 1 Ncr,x Ncr,y c) Aste inflesse (sicurezza allo svergolamento) Questo tipo di instabilità si può manifestare nelle travi a doppia T o a sezione rettangolare allungata, inflesse nel piano di massima rigidezza (in generale il problema esiste per sezioni con J x >> J y e J t piccolo) M A P P P h A x V A P ala compressa b x t f + B trazioni compressioni ala inferiore compressa può sbandare fuori dal piano di inflessione, provocando una inflessione laterale e una rotazione. a verifica si esegue nel seguente modo: ω1m eq fd σ ψw σadm il valore del coefficiente ω 1 è fornito dalla Normativa in funzione del coefficiente adimensionale h1 btf in cui h altezza della trave 1 distanza tra due ritegni torsionali successivi (per la mensola si assume 1 ) b larghezza delle ali t f spessore delle ali e del tipo di acciaio. Il valore di ω 1 può essere calcolato attraverso la seguente espressione fy h ω1 0,585 E btf SOGGETTA A REVISIONE

9 ezione n. 6 pag. XXVI.9 3) Verifiche di deformabilità ultimo tipo di verifica che è necessario prevedere nelle strutture in acciaio, riguarda i limiti sulla deformabilità. Tali limitazioni, elencate nel seguito, si riferiscono alla freccia (f) degli elementi inflessi, ossia allo spostamento trasversale massimo. a grandezza (luce della trave) va assunta pari al doppio dello sbalzo per le zone a sbalzo. - arcarecci ed elementi inflessi dell orditura minuta della copertura: fperm+ accid 00 - travi di solai: f accid travi caricate da muri o da pilastri: fperm+ accid frecce orizzontali di edifici multipiano alti (Haltezza) dovute al vento: H f vento 500 Nelle formule precedenti si è indicata con f perm+accid la freccia calcolata sotto l azione contemporanea dei carichi permanenti ed accidentali, mentre f accid indica il contributo allo spostamento trasversale dovuto ai soli carichi accidentali. Tabelle e tabelle con i coefficienti da utilizzare nel metodo ω sono riportate nella CNR 10011/97, in funzione del tipo di acciaio utilizzato, della forma della sezione, della snellezza dell asta soggetta a verifica. Nel seguito sono riportati, relativamente all acciaio Fe360, le tabelle di tali coefficienti, per le stesse tipologie contemplate dalle istruzioni CNR. I valori sono tuttavia leggermente diversi, in quanto calcolati attraverso espressioni analitiche che forniscono stime errate (fino ad un massimo del 5.5%) rispetto ai valori tabellati. I valori di ω nelle tabelle sono stati calcolati attraverso le espressioni seguenti, in cui la sicurezza nei confronti dell instabilità è valutata come σ ν 1.50 I cond. di carico ν σc ν 1.50/1.15 II cond. di carico in cui σ c, tensione corrispondente al raggiungimento del carico critico, è esprimibile attraverso la relazione 1 per λ / λc 0. σc 1+ α λ λ 1 fy 1+ α λ λ 4 λ per 0. λ / λc 3.5 λ λ dove λ λ, λ c λ c π E fy curva a b c d α Il coefficiente α è differenziato in funzione della forma del profilo, cui corrispondono curve diverse. Il valore di ω riportato in tabella coincide con il valore di f y /σ c. SOGGETTA A REVISIONE

10 ezione n. 6 pag. XXVI.10 Prospetto 7-IIa - Coefficienti ω Aste semplici Profili cavi quadri, rettangoli o tondi, saldati o laminati Spessore t 40 mm Acciaio Fe360 λ λ SOGGETTA A REVISIONE

11 ezione n. 6 pag. XXVI.11 Prospetto 7-IIb - Coefficienti ω Aste semplici Profili a doppio T laminati (h/b 1., t 40 mm) Profili a doppio T laminati con aggiunta di piatti saldati (t 40 mm) Sezioni chiuse, a cassone, saldate (t 40 mm) Acciaio Fe360 λ λ SOGGETTA A REVISIONE

12 ezione n. 6 pag. XXVI.1 Prospetto 7-IIc - Coefficienti ω Aste semplici o composte Sezione generica Spessore t 40 mm Acciaio Fe360 λ λ SOGGETTA A REVISIONE

13 ezione n. 6 pag. XXVI.13 Prospetto 7-IId - Coefficienti ω Aste semplici o composte Sezione generica Spessore t > 40 mm Acciaio Fe360 λ λ SOGGETTA A REVISIONE

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