Costruzione di Macchine

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1 Costruzione di Macchine A.A. 017/018 Prof. Luca Esposito Lecture 3: Concentrazioni delle tensioni Verifiche di resistenza e dimensionamento per carichi statici Travi curve soggette a flessione Instabilità da carico di punta di travi in compressione

2 Fattore teorico di concentrazione delle tensioni Nei componenti reali le tensioni possono discostarsi localmente dai valori uniformi nominali Concentrazioni delle tensioni sono dovute a disomogeneità del materiale, carichi concentrati, presenza di intagli quali gole, fori, raccordi, ecc dove la sezione del componente varia in modo brusco In regime elastico si definisce fattore teorico di concentrazione delle tensioni: K t max n Dipende dalla configurazione geometrica (tipo di intaglio) e dal tipo di sollecitazione I valori di K t per le principali configurazioni si trovano in letteratura sotto forma di grafici

3 Fattore teorico di concentrazione delle tensioni Si noti che i grafici sono tracciati in funzione di rapporti adimensionali, quindi è importante la forma e non le dimensioni Per altre configurazione geometriche e sollecitazioni si rimanda a testi specifici «Peterson's Stress Concentration Factors»

4 Fattore teorico di concentrazione delle tensioni K t è detto «teorico» perché si assume il materiale sempre in regime elastico Quando il materiale entra in regime plastico la tensione è limitata al valore dello snervamento che può crescere solo se il materiale è incrudente (le deformazione sono amplificate più delle tensioni) K t 1 Criterio di Neuber per la determinazione delle deformazioni effettive al fondo intaglio L intaglio oltre ad incrementare la tensione principale fa sì che una o entrambe le altre tensioni crescano (effetto biassialità o triassialità)

5 Effetto di un foro in una lastra (soluzione di Kirsch) a Lo stato di sforzo nell intorno del foro può essere dato introducendo un sistema di riferimento polare centrato nel foro a Per fori piccoli rispetto alle dimensioni del pannello la soluzione può essere utilizzata anche per serbatoi, cisterne etc..

6 Soluzione di Kirsch

7 Verifiche di resistenza e dimensionamento per carichi statici Nelle verifiche di resistenza generalmente la geometria del componente, le condizioni al contorno (vincoli e tipo di sollecitazioni esterne) e le caratteristiche del materiale sono note. Assegnata una condizione limite le incognite sono il fattore di sicurezza n oppure le forze ammissibili P oppure gli sforzi massimi, etc Sforzo applicato Sforzo ammissibile Per le problematiche di dimensionamento sono assegnate le sollecitazioni massime che deve sopportare il componente/struttura e devono essere determinate le dimensioni atte a scongiurare il superamento di condizioni limite con opportuno coefficiente di sicurezza n.

8 Travi inizialmente curve La relazione lineare tra sforzi da flessione e distanza y dall asse neutro è valida nell ipotesi che la trave sia inizialmente ad asse rettilineo Se l asse è inizialmente curvo le tensioni assumono un andamento iperbolico: le condizioni di equilibrio richiedono che l asse neutro trasli verso l interno

9 Travi inizialmente curve Consideriamo una fibra tesa ad una distanza y dall asse neutro l yd E y d E l r y n rn y

10 Travi inizialmente curve Equilibrio delle forze e dei momenti nella sezione: d y da E da F 0; df da rn y da 0 r n y y da 0 M 0; dm df y d y d y y da E da E yda rn da M rn y rn y d M E yda yda ea E M ea d E y d M y r y ear y n n

11 i M ci M c ea r c ear n i i i Ho bisogno di conoscere l eccentricità e y rn r da da da rn da r y r r n 0 0 M c M c ea r c ear n r n A da r e r r r c n c A da r

12 Raggio neutro e raggio baricentrico di sezioni comuni per ganci Approssimazione per il calcolo di e: e I r A c

13 Raggio neutro e raggio baricentrico di sezioni comuni per ganci

14 Instabilità da carico di punta di travi in compressione Tra i vari modi di cedimento di una struttura l instabilità è molto insidiosa perché dipende dalla geometria oltre che dalle caratteristiche meccaniche del materiale L instabilità elastica è stata trattata per la prima volta in modo sistematico nel 1744 da Eulero, il quale ha definito il concetto di carico critico (P cr ) come quel carico limite oltre il quale se si verifica un anche minimo movimento dell asta, o dei supporti o del carico, la struttura collassa P<P cr ; se si fa sbandare l estremità libera della trave questa ritorna in configurazione indeformata P P cr ; se si fa sbandare l estremità libera della trave questa si allontana (collasso)

15 Instabilità da carico di punta di travi in compressione Formula di Eulero E: Modulo di Young I: minimo momento d inerzia della sezione Le: lunghezza equivalente dell asta, dipende dalle condizioni di vincolo coincide con L solo se le estremità sono incernierate

16 Instabilità da carico di punta di travi in compressione Formula di Eulero (sullo shigley) P cr C E I L

17 Instabilità da carico di punta di travi in compressione Espressione alternativa della formula di Eulero I Ak con k: raggio d'inerzia P cr C E A k Pcr C E L A Lk Tensione critica unitaria S cr Pcr C E A Lk Lk rapporto di snellezza Le curve sono limitate superiormente allo snervamento

18 Instabilità da carico di punta di travi in compressione E stato accertato sperimentalmente che si possono verificare collassi (a causa di eccentricità del carico e deformazioni localizzate) anche sotto la curva di Eulero in prossimità del punto di intersezione con la retta di snervamento Per tenere conto delle evidenze sperimentali (collassi in aste di media lunghezza in zone teoricamente sicure) sono state proposte alcune modifiche empiriche alla relazione di Eulero Approssimazione parabolica Parabola tangente alla curva di Eulero P L A k cr Scr a b

19 Instabilità da carico di punta di travi in compressione Per L/k=0 si ha S cr =S y da cui a=s y S y S y C E ( L/ k) l L Sy b k l C E ( L/ k) l S y S y b 1 CE 1 S cr P S cr y L 1 Sy A k CE Parabola di Johnson