I diagrammi dello sforzo normale (N), taglio (T) e momento flettente (M) di strutture isostatiche. Prof. Roma Carmelo

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1 I diagrammi dello sforzo normale (), taglio () e momento flettente () di strutture isostatiche. Prof. Roma Carmelo

2 SCOPO DELL UIÀ DIDIC L argomento specifico dell unità didattica è la determinazione delle sollecitazioni interne delle strutture isostatiche ed il tracciamento dei diagrammi convenzionali delle sollecitazioni di sforzo ormale (), aglio () e omento flettente (). Il disegno dei diagrammi ha lo scopo di rappresentare graficamente tutte le informazioni che si possono dedurre dal calcolo delle azioni interne che si ritengono utili al fine di corretta progettazione. Lo scopo fondamentale di detti diagrammi è rendere intuitivo, visivo tramite la rappresentazione grafica lo stato tensionale delle strutture.

3 ESPOSIZIOE DELL'RGOEO Caratteristiche della sollecitazione Le forze e i momenti interni (spesso chiamate caratteristiche della sollecitazione) si sviluppano all interno di una struttura a causa dell azione del sistema di forze esterne rendendo internamente euilibrata la struttura. L insieme delle forze esterne, forze direttamente applicate alla struttura e le conseguenti reazioni vincolari, possono generare stati di sollecitazione di: sforzo normale ; sforzo tagliante ; momento flettente, nelle varie sezioni rette della struttura stessa corrispondono stati tensionali interni alle sezioni, ai uali si dovrà opporre la resistenza del materiale. L abilità nel determinare l intensità e le distribuzioni delle sollecitazioni interne è fondamentale per analizzare e per poter progettare le strutture. Fissate le condizioni al contorno (geometria della struttura, distribuzione ed entità dei carichi esterni applicati, entità delle reazioni vincolari) è possibile ricavare mediante relazioni di euilibrio di parti della struttura la distribuzione lungo l asse dell elemento le sollecitazioni interne. ella presente esposizione, si ipotizza che gli elementi strutturali siano rigidi, non deformabili, inoltre la torsione in uesta unità didattica non sarà trattata.

4 Sforzo ormale Lo sforzo normale in una determinata sezione è dato dalla somma algebrica di tutte le forze o componenti di forze normali al piano della sezione a applicate a sinistra o a destra della sezione. L'azione assiale si considera positiva e si definisce razione uando tende ad allungare le fibre della trave e uindi tende ad allontanare ogni sezione da uelle adiacenti; viene assunto con segno positivo (). L'azione assiale si considera negativa e si definisce Compressione uando tende ad accorciare le fibre della trave per cui tende ad avvicinare ogni sezione a uelle adiacenti: viene assunto con segno positivo ().

5 Sforzo di taglio Lo sforzo di taglio in una determinata sezione è dato dalla somma algebrica di tutte le forze o componenti di forze parallele al piano della sezione e applicate a sinistra o a destra della sezione. Convenzione dei segni: si indica che uno sforzo di taglio è positivo () se è diretto verso l alto a sinistra della sezione e verso il basso a destra della sezione ; al contrario lo sforzo di taglio è negativo ( ) uando è diretto verso il basso a sinistra della sezione e verso l alto a destra della sezione. Per definire il concetto di sinistra e di destra in tutti i casi in cui l'asse non è orizzontale; di solito ciò viene precisato tratteggiando il lembo che si considera "inferiore" S S S 3 S 4 S 5 S 6 B V VB d =0 B d V VB elle figure soprariportate sono rappresentate graficamente le convenzioni comunemente adottate per l'azione di taglio. el caso in figura lo sforzo di taglio è di segno positivo () se la faccia di sinistra del concio elementare scorre verso l alto e la faccia di destra verso il basso, viceversa è di segno negativo ( ), se le facce non scorrono il taglio è nullo. Occorre precisate che sezioni, inizialmente ortogonali all asse per effetto dello sforzo di taglio, si ingobbano. uttavia, lo scorrimento è uguale per ogni fibra assiale, per cui non si instaurano sollecitazioni e deformazioni assiali

6 elle figure sono rappresentate graficamente le convenzioni comunemente adottate per l'azione di taglio. d Occorre precisate che sezioni, inizialmente ortogonali all asse per effetto dello sforzo di taglio, si ingobbano. uttavia, lo scorrimento è uguale per ogni fibra assiale, per cui non si instaurano sollecitazioni e deformazioni assiali ( taglio puro senza flessione) med d d

7 omento flettente Il momento flettente di una sezione è dato dalla somma algebrica dei momenti flettenti di tutte le forze esterne agenti a sinistra o destra della sezione. P s P P P B B s a d fibre tese fibre compresse B fibre tese b fibre compresse fibre neutre fibre neutre fibre compresse e fibre neutre fibre tese fibre tese d c fibre neutre fibre compresse d e Il omento flettente induce alle facce di una sezione una rotazione. Se si immagina simile effetto esteso a tutte le sezioni di una trave, soggette a momento, ueste ruotano reciprocamente e la trave necessariamente si deforma, curvandosi o, come si dice più correttamente, inflettendosi. Per esempio, nel caso della figura a, b, c, dove le coppie a sinistra e a destra, che generano il momento flettente nelle sezioni del campo centrale, la trave si deforma inflettendosi con la convessità verso il basso. e consegue che le fibre inferiori della trave sono tese, uelle superiori si comprimono. Quando l'inflessione è di uesto tipo, il momento flettente che l'ha provocata è per convenzione di segno positivo ( ). Invece, nel caso della figura d, e, f, dove le coppie flettenti generano un momento flettente, l'inflessione della trave è tale da rivolgere la convessità verso l'alto. Le fibre superiori sono tese, uelle inferiori sono compresse. Quando l inflessione è di uesto tipo, è negativa ed il momento flettente che l'ha provocata è di segno negativo ().

8 Sollecitazioni interne Consideriamo una trave isostatica vincolata con un carrello ed cerniera esterna (a terra) sottoposta ad un carico uniformemente ripartito ed ad un carico. Calcolo delle reazioni vincolari convenzione dei segni F B F V l B V B H B Le reazioni risultano:

9 Separiamo i due tronchi di trave idealmente "tagliati " dalla sezione. ffinché la trave sia in euilibrio applichiamo ad esse le azioni che si scambiavano uando erano unite. Qualsiasi siano le azioni, possono essere ricondotte ad una forza parallela alla sezione, che viene detta aglio e indicata con, ad una forza perpendicolare alla sezione, che viene detto sforzo ormale ed indicato con e ad un omento flettente che viene indicato con. F V B V B H B Per calcolare tali azioni scriviamo le tre euazioni di euilibrio rispetto agli assi locali della trave F V V B B H B Gli sforzi che il tratto di destra esercita sul tratto di trave di sinistra sono uguali e contrari agli sforzi che il tratto di sinistra esercita su uello di destra (azioni e reazioni)..

10 Possiamo affermare che : Il taglio in una sezione generica è pari alla somma di tutte le forze parallele alla sezione considerata e poste a sinistra o a destra della sezione stessa; Il momento in una sezione generica è pari alla somma dei momenti di tutte le forze poste a destra o a sinistra della sezione stessa; Lo sforzo normale in una sezione è pari alla somma di tutte le forze normali poste a destra o a sinistra della sezione considerata. Osservazioni Dalle euazioni viste in precedenza si desume, che nel caso di trave sottoposta ad un carico uniformemente distribuito, il taglio varia con una legge di primo grado, cioè è una retta, mentre il momento varia con una legge di secondo grado, cioè una parabola. Le caratteristiche di sollecitazione sono le funzioni che descrivono l andamento dello sforzo normale, del taglio e del momento flettente e sono ottenute nel seguente modo: ) Sezioni che separano in due tronchi il sistema euilibrato, operate nei seguenti punti: a) sui carichi distribuiti; b) prima e dopo ogni forza; c) prima e dopo ogni nodo del telaio; ) Ripristino dell euilibrio tramite i valori (), (), () assunti dal vincolo di continuità (incastro continuo).

11 Convenzione dei segni per il tracciamento dei diagrammi,, Per il tracciamento dei diagrammi si assumono come riferimenti positivi o negativi uelli rappresentati nelle seguenti figure. Le tre euazioni necessarie alla determinazione di (), (), () sono espresse in assi locali asta così come rappresentato in figura. Per uanto riguarda i segni, consideriamo positive le forze se sono dirette secondo la convenzione, detta di De Saint Venant, riportata in alto a destra, facendo attenzione nel confrontare le forze di destra, con la parte destra dello schema, viceversa per la parte sinistra dello schema.

12 Esempio di tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione di una pensilina per ricovero autovetture Esempio pensilina per ricovero autovetture

13 Può essere schematizzato come una trave a mensola con montante verticale solidale a un traverso superiore orizzontale. Lo schema statico deve essere sufficientemente rappresentativo della realtà ai fini del calcolo delle razioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione.,00 m 3,00 m = 6,00 k/m 3 =,00 k/m h=5,00 m Schematizzazione statica La prima operazione da fare è schematizzare la struttura, disponendo i vincoli e gli eventuali carichi gravanti sulla stessa. Quantifichiamo i carichi ripartiti rispettivamente in =,00 k/m e = 6,00 k/m.

14 Seconda operazione da compiere, è la sostituzione della simbologia dei vincoli con le reazioni vincolari prodotte ed adottare la convenzione dei segni. Convenzione dei segni,00 m 3,00 m = 6,00 k/m Per calcolare le componenti delle reazioni vincolari, scriviamo le Euazioni Cardinali della Statica. 3 =,00 k/m h=5,00 m H V

15 . Le euazioni cardinali della statica sono sufficienti per risolvere completamente e univocamente sistemi isostatici (GdV = GdL), non labili. Calcolo delle componenti di reazione vincolare 49, , ,5 6,5 5 4,00 3) ( 6 0 m k k V k H,5 3 0,5,5 6 ) ( 0,5 0,5,5 6) ( 0 ) ( b a V h H b a V h H F F y Se il risultato fosse stato di segno negativo, avremmo dovuto invertire il verso della reazione. Per tutte le travi, ma particolarmente per uelle ad asse obliuo e nei telai, è necessario indicare da uale parte si è posto l osservatore per guardare gli elementi strutturali. Questo, evidenzia la posizione dell osservatore che è indicata tracciando una linea tratteggiata, generalmente all intradosso dell elemento strutturale, per indicare le fibre inferiori.

16 Per la determinazione dei diagrammi nel tratto 3, ridisegniamo la struttura per un tratto dall estremità ove viene ipoteticamente effettuato la sezione. raverso 3 Calcolo della sollecitazione di sforzo assiale,00 m 3,00 m 3 =,00 k/m S' = 6,00 k/m S' = 6,00 k/m 3 F s '', 0 0 Calcolo della sollecitazione di sforzo normale. Poiché sul traverso non gravano carichi paralleli al suo asse, lo sforzo normale è nullo. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio V H h=5,00 m Convenzione dei segni ota: L euazione del momento flettente ha una variazione parabolica. F s '' 0 ; 0 ; Per =0,00 = 0,00 k =,00 = 6,00 k =,00 =,00 k =3,00 = 4,00 k Calcolo della sollecitazione di momento flettente s '' 0 ; 0 ; 6 Per =0,00 = 0,00 k m =0,50 = 0,75 k m =,00 = 3,00 k m

17 Dopo aver trovato i valori, tracciamo i diagrammi per il tratto 3, raverso 3 = 4 k '' = 7 k m (nullo) (Sforzo normale) V (Sforzo di taglio ) (omento flettente)

18 Per la determinazione dei diagrammi nel tratto, ridisegniamo la struttura per un tratto dall estremità ove viene ipoteticamente effettuato la sezione.,00 m 3,00 m 3 S'' =,00 k/m H h=5,00 m = 6,00 k/m S'' Convenzione dei segni F s '', F s '', V 0 raverso Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione di sforzo assiale 0 Calcolo della sollecitazione di sforzo normale. Poiché sul traverso non gravano carichi paralleli al suo asse, lo sforzo normale è nullo. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio 0 ; V 0 ; V Per =0,00 = 0,00 k =0,50 = 3,00 k =,00 = 6,00 k ; V 6 V Calcolo della sollecitazione di momento flettente s '' 0 ; 0 ; 6 Per =0,00 = 0,00 k m =0,50 = 0,75 k m =,00 = 3,00 k m

19 Dopo aver trovato i valori, tracciamo i diagrammi per il tratto raverso '' = 7 k m (nullo) ' = 3 k m = 6 k (Sforzo normale) V (Sforzo di taglio ) (omento flettente)

20 Per la determinazione dei diagrammi nel tratto, ridisegniamo la struttura per un tratto dall estremità ove viene ipoteticamente effettuato il taglio. ontante,00 m 3,00 m 3 = 6,00 k/m F s ''', Calcolo della sollecitazione di sforzo assiale 0 ; V 0 ; V ; 4k Lo sforzo normale è costante lungo tutto il montante, essendo il valore negativo significa che l asta è compressa. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio F s' '', 0 ; H 0 ; 0 h=5,00 m =,00 k/m =,00 k/m s''' H R s''' Per =0 =0,00 k = = 7,00 k = = 6,00 k =3 = 4,00 k =4 =,00 k =5 = 0,00 k La variazione dello sforzo di taglio è lineare. Calcolo della sollecitazione di momento flettente V H Convenzione dei segni s' '' 0 ; H 0 ; 0 49 Per =0 = 49,00 k m = = 40,00 k m = = 33,00 k m =3 = 8,00 k m =4 = 5,00 k m =5 = 4,00 k m

21 Dopo aver trovato i valori, tracciamo i diagrammi per il montante. = 4,00 k '' = 7,00 k m (nullo) = 0,00 k ' = 3,00 k m ''' = 4,00 K m = 6,00 k = 0,00 k = 49 K m (Sforzo normale) V (Sforzo di taglio ) (omento flettente) Si completa il tracciamento dei diagrammi, ed per la struttura in oggetto.

22 I diagrammi delle caratteristiche delle sollecitazioni sono la rappresentazione grafica dell andamento delle caratteristiche della sollecitazione al variare della posizione della sezione lungo l asse della trave. cosa servono i diagrammi? Per dimensionare la struttura ottimizzando i materiali. = 4,00 k '' = 7,00 k m (nullo) = 0,00 k ' = 3,00 k m ''' = 4,00 K m = 6,00 k = 0,00 k = 49 K m (Sforzo normale) V (Sforzo di taglio ) (omento flettente)

23 Possiamo notare infine che, nel nodo, la somma dei tre momenti ' '' ''' 0, uindi c è euilibrio al nodo, uesto è un controllo, il uale ci dice che la struttura è stata calcolata correttamente. ' = 3 K m '' = 7 K m ''' = 4 K m ' '' ''' 0 Osservazione: il segno meno dei tre momenti nei diagrammi indica il lato della trave dove le fibre sono tese. Staticamente, i versi dei momenti hanno il senso rappresentato in figura.

24 Fine presentazione