FISICA MATEMATICA SUPERIORE. EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI DELLA FISICA MATEMATICA Prof. F. Visentin

Transcript

1 1 FISICA MATEMATICA SUPERIORE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI DELLA FISICA MATEMATICA Prof. F. Visentin CAPITOLO I QUESTIONI GENERALI 1. Introduzione Le equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali sono da tempo uno strumento per rappresentare e formulare leggi e concetti della Fisica. Ad esempio le equazioni di Maxwell descrivono fenomeni elettromagnetici, le equazioni di Newton descrivono fenomeni meccanici, l equazione di Schrödinger descrive aspetti della Meccanica Quantistica, e così via. In tempi più recenti questo tipo di rappresentazione è stato esteso a quasi tutte le aree della scienza e della tecnologia dando luogo a tutto un campo della Matematica Applicata: la Modellistica, che si occupa appunto dello studio di modelli matematici. In generale si può dire che un modello matematico è una descrizione semplificata di fenomeni reali espressi in termini matematici. La costruzione di un modello matematico involge: l osservazione del fenomeno stesso, la selezione dei parametri rilevanti, la formulazione delle equazioni, l analisi delle equazioni stesse sia qualitativa che computazionale e in termini di simulazioni, il confronto con i dati sperimentali. In quest ultimo passo i dati teorici determinati tramite l analisi qualitativa vengono confrontati con la realtà per verificare se il modello dia una buona rappresentazione del fenomeno, oppure se occorrano delle modifiche o dei raffinamenti. Nel seguito ci occuperemo di modelli governati da equazioni a derivate parziali. Osserviamo che nel caso di modelli descritti da equazioni differenziali ordinarie la variabile di stato è funzione di un unica variabile indipendente (spesso il tempo), per cui basta assegnare i dati iniziali in un punto per ottenere le soluzioni. Ben diversa è la

2 situazione nel caso di equazioni a derivate parziali dove la variabile di stato è funzione di più variabili indipendenti e quindi i dati iniziali e/o di frontiera vanno assegnati su varietà, quali curve, superfici, etc. In generale, un equazione a derivate parziali è un equazione della forma (a) F(x,y,z,,u,u x,,u xx, ) = 0, nelle variabili indipendenti x, y, z definite in un insieme Ω. Allora un equazione a derivate parziali è un equazione che involge una funzione u=u(x,y,z, ) e alcune delle sue derivate parziali. Si dice ordine dell equazione differenziale l ordine di derivazione più alto che vi compare. All equazione devono essere associate condizioni iniziali e/o alla frontiera che specificano lo stato iniziale o alla frontiera della funzione da determinare. Per soluzione generale di (a) si intende una funzione u=u(x,y,z, ) definita in Ω, che soddisfi identicamente l equazione nel dominio stesso. E implicito nella definizione che u ammetta derivate continue nel dominio fino all ordine di derivazione massima che compare nell equazione. A differenza della soluzione generale di un equazione differenziale ordinaria, che involge costanti arbitrarie, la soluzione di un equazione a derivate parziali involge funzioni arbitrarie. E bene precisare però che in molti casi di interesse applicativo non è necessario determinare la soluzione generale dell equazione, ma si può risolvere direttamente il problema ai dati iniziali e/o alla frontiera. Sono proprio questi i casi che prenderemo in esame. Di grande interesse nella risoluzione di problemi applicativi sono le equazioni differenziali lineari. L equazione (a) si dice lineare se F è lineare rispetto ad u e a tutte le sue derivate (che compaiono nell equazione). Negli altri casi l equazione si dice non lineare. Ad esempio le equazioni u t - xu xx = 0, u xx + u yy = 0 sono lineari, mentre le equazioni u t - uu xx = 0, u t - u x + senu = 0 sono non lineari. Le soluzioni di un equazione lineare sono dotate di una struttura algebrica che può semplificare la ricerca e la costruzione delle soluzioni stesse. Ad esempio le soluzioni di un equazione lineare omogenea costituiscono uno spazio vettoriale (di dimensione infinita): infatti combinazioni lineari di soluzioni sono ancora soluzioni. Altrettanto importante nella classificazione delle equazioni a derivate parziali è la natura specifica del fenomeno che descrivono, in base a ciò esse possono essere classificate come tipo-onda, tipo-diffusione o statiche, a seconda che rappresentino fenomeni di propagazione ondosa, di diffusione o stazionari. Come vedremo questo

3 3 corrisponderà ad una classificazione in termini di proprietà matematiche come equazioni rispettivamente di tipo iperbolico, parabolico, ellittico.. Problema di Cauchy. Caratteristiche. Consideriamo un equazione a derivate parziali del secondo ordine lineare nelle variabili x, y: (.1) a 11 u xx + a 1 u xy + a u yy + b 1 u x + b u y + cu = d, con a 11, a 1, a, b 1, b, c, d C (R,R). Supponiamo inoltre che sia a ij i, j = 1 > 0 (a 1 = a 1 ). Problema di Cauchy Dato nel piano un arco di curva Γ (su cui indicheremo con s l ascissa curvilinea e supporremo fissato il verso della normale n) (.) Γ : x=x 0 (s), y=y 0 (s), 0< s < 1, x 0 + y 0 >0, e assegnate due funzioni su Γ: ϕ(s) C, ψ(s) C 1, determinare un intorno I di Γ e una funzione u C (I) che soddisfi la (.1) e le condizioni (.3) u(x 0 (s), y 0 (s)) = ϕ(s), n u(x (s), y 0 0 (s)) = ψ(s). Supponiamo di aver assegnato il problema (.1), (.3) sulla curva (.). Osserviamo che assegnare in (.3) la funzione u e la sua derivata normale lungo ka curva Γ equivale ad assegnare la funzione u e una delle sue derivate parziali rispetto ad x o rispetto ad y lungo la curva Γ. Siano infatti n=(α,β), r=(-β,α) i versori rispettivamente della normale e della tangente a Γ. Essendo il versore r parallelo (e quindi proporzionale) a (x 0,y 0 ) e α + β = 1 si ha α = y 0 x 0 + y 0, β = - x 0 x 0 + y 0.

4 4 Allora du ds = grad u, r = - u β + u x yα = ϕ (s), du dn = grad u, n = u α + u x yβ = ψ (s). Si ottiene quindi un sistema lineare nelle incognite u x, u y con determinante dei coefficienti dato da -(α + β )=-1 0. Possiamo allora dire che assegnate ϕ, ψ le u x, u y sono determinabili. Viceversa assegnate ϕ e, ad esempio u y =q, da -u x β+qα=ϕ ricaviamo u x =p, e di conseguenza determiniamo du/dn=pα+qβ. L asserto è quindi completamente dimostrato. Premesso ciò, supponiamo ancora di aver assegnato il problema (.1), (.3) su (.). Di conseguenza otteniamo (.4) u x (x 0 (s),y 0 (s)) = p 0 (s), u y (x 0 (s),y 0 (s)) = q 0 (s), come funzioni note. Sia u una soluzione di (.1), (.3). In questo caso la (.1) su Γ si riduce a (.5) (a 11 u xx + a 1 u xy + a u yy ) /γ = π 0 (s), dove π 0 (s) è una funzione nota di s. Derivando le (.4) 1 e (.4) su Γ si ha inoltre (.6) du x ds = grad u x,r = - u xx β + u xy α = p 0 (s), (.7) du y ds = grad u y,r = - u xy β + u yy α = q 0 (s). Ricordiamo che data una funzione f si ha grad f=(f x,f y ). Il sistema costituito da (.5), (.6), (.7) ammette una e una sola soluzione se e solo se il determinante dei coefficienti (.8) a 11 a 1 a -β α 0 0 -β α = a 11 α + a 1 αβ + a β

5 5 è non nullo. Su curve per cui (.8)=0, il problema di Cauchy viene meno. Ciò suggerisce la seguente definizione.1 Definizione. Si dicono caratteristiche dell equazione (.1) le curve che verificano l equazione (.9) a 11 α + a 1 αβ + a β = 0. Classificazione delle equazioni del secondo ordine lineari in base alle caratteristiche. Il discriminante (.10) δ = a 1 - a 11 a di (.9) ha un ruolo importante in questa classificazione. - In ogni regione di R in cui risulta δ < 0, la (.9) non ha soluzioni reali e quindi non esistono curve caratteristiche reali. In tali regioni l equazione (.1) si dice ellittica. - In ogni regione di R in cui risulta δ > 0, la (.9) ha due soluzioni reali e distinte che portano a due famiglie di curve caratteristiche reali indipendenti. In tali regioni l equazione (.1) si dice iperbolica. - In ogni regione di R in cui risulta δ = 0, la (.9) ha due soluzioni reali e coincidenti che portano ad una sola famiglia di curve caratteristiche. In tali regioni l equazione (.1) si dice parabolica. Osserviamo che, tenendo presente che (-β,α)//(x 0,y 0 ), la (.9) può essere anche scritta nella forma: (.9) a 11 y 0 - a1 x 0 y 0 + a x 0 = 0. Invece se l equazione della curva è data in forma cartesiana X(x,y) = cost, (α,β)//(x x,x y ), e quindi la (.9) si può scrivere nella forma: si ha (.9) a 11 X x - a 1 X x X y + a X y = 0. (a) Vediamo come si procede per determinare nei casi δ 0 la forma cartesiana X(x,y) = cost delle famiglie di curve caratteristiche. Sia δ > 0 in una regione di R. In tale regione la (.9)" si può fattorizzare nella forma

6 6 (.9) (a ) (µ 1 X x + ν 1 X y )(µ X x + ν X y ) = 0, dove, a meno di un fattore di proporzionalità, è µ 1 µ = a 11, µ 1 ν +ν 1 µ = a 1, ν 1 ν =a. Da (.9)" (a) segue µ 1 X x + ν 1 X y = 0, µ X x + ν X y = 0. Allora il vettore (µ i, ν i ), i = 1,, è ortogonale al vettore (X x,x y ), e di conseguenza è parallelo al vettore (x 0,y 0 ). Allora (µ i, ν i ), i = 1,, è soluzione di (.9) e dà luogo a due direzioni (non parallele in quanto δ > 0), le cui direzioni ortogonali danno le equazioni differenziali che permettono di determinare le due famiglie distinte di curve caratteristiche X 1 (x,y) = c 1, X (x,y) = c. (b) Sia δ > 0 in una regione di R. In questo caso la fattorizzazione di (.9)" è del tipo (.9) (b) (µx x + νx y ) = 0. Procedendo come nel caso (a), si ottiene un unica famiglia di curve caratteristiche di equazione X(x,y) = c che soddisfa la (.9)" (b). (c) Sia δ < 0 in una regione di R. In questo caso non esistono famiglie di caratteristiche nel campo reale. Esempi classici di equazioni dei tre tipi descritti sono le equazioni (.11) u xx u yy = 0, (.1) u xy = 0, (.13) u xx = 0 oppure u yy = 0, (.14) u xx + u yy = 0. Le equazioni (.11) e (.1) sono iperboliche e hanno come coppia di famiglie di caratteristiche rispettivamente le rette x - y = c 1, x + y = c e x = c 1, y = c. Le equazioni in (.13) sono paraboliche e hanno come unica famiglia di caratteristiche rispettivamente le rette y = c, x = c. L equazione in (.14) è ellittica e non ha famiglie di caratteristiche reali.

7 7 Verifichiamo nei casi delle equazioni (.11), (.1), (.13) che le famiglie di caratteristiche sono quelle indicate, usando il procedimento indicato in (a) e (b). Nel caso (.11) la (.9)" fattorizzata nella (.9)" (a) è data da: X x - X y = (X x - X y )(X x + X y ) = 0, da cui (µ 1,ν 1 ) = (1,-1), (µ,ν ) = (1,1). Relativamente a (µ 1,ν 1 ) = (1,-1), si ha (X x,x y ) (1,-1) e quindi (X x,x y ) // (1,1). In particolare è X y 0 in ogni punto. Applicando il teorema delle funzioni implicite, esiste un intorno di ogni prefissato punto in cui y=y(x) e y (x) = - (X x /X y ) = 1. Integrando si ottiene y=x+c 1. Relativamente a (µ, ν ) = (1,1), si ha (X x,x y ) (1,1) e quindi (X x,x y ) // (-1,1). In particolare è ancora X y 0 in ogni punto. Applicando il teorema delle funzioni implicite, esiste un intorno di ogni prefissato punto in cui y=y(x) e y (x) = - (X x /X y ) = -1. Integrando si ottiene y=-x+c. Si ottengono in definitiva le due famiglie di curve caratteristiche x-y = c 1 e x+y = c. Nel caso (.1) la (.9)" fattorizzata nella (.9)" (a) è data da: X x X y =0, da cui (µ 1, ν 1 ) = (1,0), (µ,ν ) = (0,1). Relativamente a (µ 1,ν 1 ) = (1,0), si ha (X x,x y ) (1,0) e quindi (X x,x y ) // (0,-1). In particolare è X y 0 in ogni punto. Applicando il teorema delle funzioni implicite, esiste un intorno di ogni prefissato punto in cui y=y(x) e y (x) = - (X x /X y ) = 0. Integrando si ottiene y = c 1. Relativamente a (µ, ν ) = (0,1), si ha (X x,x y ) (0,1) e quindi (X x,x y ) // (-1,0). In particolare è questa volta X x 0 in ogni punto. Applicando il teorema delle funzioni implicite, esiste un intorno di ogni prefissato punto in cui x=x(y) e x (y) = - (X y /X x ) = 0. Integrando si ottiene x=c. Si ottengono in definitiva le due famiglie di curve caratteristiche x = c 1 e y = c. Nel caso (.13) 1 la (.9)" fattorizzata nella (.9)" (b) è data da: (X x ) = 0, da cui (µ,ν) = (1,0). Allora (X x,x y ) (1,0) e quindi (X x,x y ) // (0,-1). Di conseguenza è in particolare X y 0 in ogni punto. Applicando il teorema delle funzioni implicite, esiste un intorno di ogni prefissato punto in cui y=y(x) e y (x) = - (X x /X y ) = 0. Si ottiene quindi la famiglia di curve caratteristiche y = c. Procedendo in modo analogo per (.13), si ottiene in questo caso X x 0 in ogni punto, da cui applicando ancora il teorema delle funzioni implicite, si ha la famiglia di curve caratteristiche x = c.. Definizione. Equazioni le cui parti del secondo ordine sono proporzionali rispettivamente a quelle in (.11) (.14) si dicono in forma canonica.

8 8 Notiamo che in sistemi di coordinate in corrispondenza biunivoca il tipo di un equazione è invariante, cioè non cambia al variare delle coordinate. Oltre che con il determinante δ, la classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine può essere effettuata tramite le proprietà della matrice (.15) a = (a ij ), dei coefficienti della parte del secondo ordine di (.1). Consideriamo infatti la forma quadratica (.16) a ij ξ i ξ j, i,j=1 se tale forma è definita in segno l equazione è ellittica, se è semidefinita in segno, ma non definita, l equazione è parabolica, negli altri casi è iperbolica. Ricordiamo senza dimostrazione due condizioni necessarie e sufficienti affinché una forma quadratica sia definita in segno: (I) Condizione necessaria e sufficiente affinché una forma quadratica sia definita in segno è che tutti gli autovalori della matrice associata siano non nulli e dello stesso segno. (II) Condizione necessaria e sufficiente affinché una forma quadratica sia definita in segno è che tutti i minori principali (della matrice associata) di grado pari siano positivi e che tutti i minori principali di grado dispari siano non nulli e dello stesso segno (se tale segno è positivo, la forma quadratica è definita positiva, se è negativo, la forma quadratica è definita negativa). Osserviamo anche che una forma quadratica definita in segno è anche non degenere e, di conseguenza, una forma quadratica semidefinita in segno che sia non degenere è anche definita in segno. Verifichiamo, utilizzando la (I) che le due condizioni per la classificazione portano ovviamene allo stesso tipo di equazione. Siano λ 1, λ gli autovalori della matrice a, allora dalla (I) segue che l equazione è ellittica se λ 1 λ > 0, l equazione è iperbolica se λ 1 λ < 0,

9 9 l equazione è parabolica se λ 1 λ = 0. Osserviamo che gli autovalori di a sono sempre reali, infatti l equazione per la determinazine degli autovalori è data da a 11 - λ a 1 a 1 a - λ = λ - (a 11 + a )λ + a 11 a - a 1 = 0. Il discriminante di questa equazione è dato da Δ = (a 11 + a ) 4 a 11 a + 4 a 1 = (a 11 - a ) + 4 a 1 0. Inoltre per le proprietà delle radici delle equazioni di secondo grado risulta λ 1 λ = (a 11 a - a 1 ) = - δ. Si ritrovano quindi con i due metodi gli stessi risultati. Osserviamo infine che il metodo di classificazione basato sulle proprietà della matrice a è più generale e può essere usato facilmente anche nel caso di n variabili, con n>. Le considerazioni svolte si estendono facilmente al caso n-dimensionale, al caso cioè di una equazione del tipo n (.17) a ij u xi x j + b i u xi + cu = d, i,j=1 n i =1 con a ij, b i, c, d C (R n,r). Supponiamo inoltre che sia n i,j=1 a ij > 0 (a ij = a ji ), i,j=1,,,n. Indicata ancora con a la matrice (a ij ) e considerata la forma quadratica (.18) a ij ξ i ξ j, n i,j=1

10 10 se tale forma quadratica è definita in segno, l equazione è ellittica (in particolare autovalori di a tutti dello stesso segno), se la forma quadratica è semidefinita, ma non definita, in segno, l equazione è parabolica (in particolare almeno un autovalore di a è nullo), negli altri casi l equazione è iperbolica (in particolare nessun autovalore di a nullo, ma non sono tutti dello stesso segno). Anche il problema di Cauchy si enuncia in modo analogo. A titolo di esempio impostiamo tale problema nel caso n=3, indicando le variabili indipendenti con x, y, z. Problema di Cauchy: data una superficie regolare σ di equazioni parametriche (.19) σ : x=x 0 (s), y=y 0 (s), z=z 0 (s), 0< s < 1, e assegnate due funzioni su σ: ϕ(s) C, ψ(s) C 1, determinare una funzione u C in un intorno I di σ che soddisfi la (.1) e le condizioni (.0) u(x 0 (s), y 0 (s), z 0 (s)) = ϕ(s), n u(x (s), y (s), z (s)) = ψ(s), dove n è il versore della normale orientata rispetto a σ. Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati Vale il seguente teorema che enunciamo nel caso n=..3 Teorema. (Cauchy Kowalevskij) Se la curva Γ (considerata per il problema di Cauchy) è analitica e se i dati ϕ, ψ e i coefficienti di (.1) sono analitici in un intorno di Γ, allora il problema di Cauchy ammette una e una sola soluzione u(x,y) analitica in un intorno di Γ, purché Γ non sia tangente a nessuna delle caratteristiche. Le condizioni di regolarità richieste da questo teorema sono molto forti, mentre in molti problemi concreti è necessario determinare soluzioni di regolarità non superiore a C. In questi casi si imposta di volta in volta il problema di esistenza e unicità e si cerca di risolverlo direttamente. Anche la regolarità C in certi casi è troppo forte, in tal caso si sopperisce definendo le cosiddette soluzioni generalizzate.

11 11 Come nel caso delle equazioni ordinarie, piccoli errori nei dati possono comportare forti deviazioni per la soluzione. E necessario quindi porsi il problema della dipendenza continua dei dati. Nel caso di equazioni in spazi di dimensione finita, tutte le norme sono equivalenti, quindi il concetto di vicinanza non dipende dalla norma considerata. Invece nel caso delle equazioni a derivate parziali, le soluzioni e i dati sono elementi di spazi ad infinite dimensioni. In questo caso le norme non sono più tutte equivalenti. E possibile allora che si abbia continuità in una norma e non in un altra; inoltre è possibile scegliere per le soluzioni e i dati due norme diverse nel confronto. Se il problema in esame è di tipo concreto, bisogna ricercare la continuità in norme ragionevoli per il problema stesso. Diamo due possibili indicazioni delle classi Φ, U in cui richiedere che varino i dati e le soluzioni e delle metriche ρ Φ, ρ U tramite cui strutturare Φ, U come spazi metrici. (1) Φ classe delle funzioni continue con le loro derivate parziali fino ad un certo ordine k, ρ Φ metrica indotta dalla norma standard del sup, U classe delle funzioni continue con le loro derivate parziali fino ad un certo ordine p, ρ U metrica indotta dalla norma standard del sup. In questo caso si parla di dipendenza continua all ordine (k,p). (II) Φ classe delle funzioni a quadrato sommabile insieme alle loro derivate parziali fino ad un certo ordine k, U classe delle funzioni a quadrato sommabile insieme alle loro derivate parziali fino ad un certo ordine p, ρ Φ, ρ U metriche indotte dalla norma definita come la radice quadrata della somma degli integrali dei quadrati delle differenze tra le funzioni e le loro derivate fino agli ordini rispettivamente k e p. In questo caso si parla di dipendenza continua in media all ordine (k,p). Ogni volta che per un dato problema risolubile con un equazione a derivate parziali si ha esistenza, unicità delle soluzioni e dipendenza continua dai dati, si dice che il problema è ben posto nel senso di Hadamard.