Luogo delle radici Real

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1 Controlli Automatici B 7 Giugno 6 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: Nr. a) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K G (s) (s+) s(αs+)(s ) y(t) Posto α =, tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K >. Determinare la posizione degli asintoti, le intersezioni ω con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Determinare la posizione dei punti di diramazione solo in modo qualitativo. Soluzione. Posto α =, l equazione caratteristica del sistema retroazionato è: (s+) +K G (s) = +K s(s+)(s ) = L andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G (s) al variare di K > è mostrato in Fig.. Il luogo delle radici è caratterizzato da un solo asintoto coincidente con il semiasse Luogo delle radici Figura : Luogo delle radici del sistema G (s) al variare di K >. reale negativo. Le intersezioni con l asse immaginario si determinano utilizzando il criterio di Routh. Equazione caratteristica: (s+) +K s(s+)(s ) = s3 +Ks +(8K )s+6k = La tabella di Routh ha la seguente struttura: Dalla tabella si ricavano i seguenti vincoli: 3 (8K ) K 6K K(8K ) 6K 6K (8K )K >, K >

2 dai quali si ottiene che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: K > 5 =.5 = K. La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: ω = =. a.) Posto K = 8 nel sistema retroazionato sopra definito, tracciare qualitativamente il contorno delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro α >. Nella graficazione del contorno delle radici si tenga conto che nei punti p 5.8 e p 7.7 sono presenti due punti di diramazione del contorno delle radici. Il calcolo di α non è necessario. Determinare la posizione degli altri punti di diramazione solo in modo qualitativo. Sol. Posto K = 8, l equazione caratteristica del sistema retroazionato è la seguente: + 8(s+) s(αs+)(s ) = s(αs+)(s )+8(s+) = da cui si ricava l equazione caratteristica +αg (s) = : s(s )+8(s+) +αs (s ) = + Mettendo in evidenza i poli della funzione G (s) si ottiene: +αg s () = + αs (s ) (s +6s+.8) = αs (s ) [(s+3) +.99 ] = Il contorno delle radici al variare del parametro α > è mostrato in Fig.. 8 Luogo delle radici Figura : Contorno delle radici del sistema G (s) al variare del parametro α >. Il contorno delle radici ha un solo asintoto coincidente con il semiasse reale negativo e percorso dall infinito al finito. a.3) Sia data la seguente funzione di trasferimento G 3 (s) che descrive il legame tra la tensione in ingresso V(s) e la velocità angolare in uscita ω(s) di un motore elettrico in corrente continua: G 3 (s) = ω(s) V(s) = K e (R+Ls)(b+J s)+k e

3 3 Posto J =, L =, K e = e R =, mostrare graficamente come si muovono sul piano complesso i poli della funzione G 3 (s) al variare del parametro b >. Calcolare il valore b a cui corrisponde il minimo tempo di assestamento del sistema G 3 (s) alla risposta al gradino. Soluzione. I poli della funzione di trasferimento G 3 (s) coincidono con le radici del polinomio a denominatore: (R+Ls)(b+J s)+k e = Posto J =, L =, K e =, e R = si ottiene la seguente equazione: (+s)(b+s)+6 = che, in modo equivalente, può essere riscritta nel seguente modo: s +s+6+b(s+) = +b Mettendo in evidenza i poli della funzione G (s) si ottiene: +b (s+) s +s+6 = +bg (s) = (s+) (s+) +3.6 = Il contorno delle radici al variare del parametro b > è mostrato in Fig. 3. In questo caso il 6 Luogo delle radici Figura 3: Contorno delle radici del sistema G (s) al variare del parametro b >. contorno delle radici si muove lungo una circonferenza centrata in z =. Il raggio R della circonferenza è: R = +3.6 = 6 = I punto di diramazione σ del contorno delle radici è: σ = = 8. I punto di diramazione σ poteva essere calcolato anche nel seguente modo: dg (s) ds = (s+)(s+) (s +s+6) = s +8s = σ = 8, σ =. La condizione di minimo tempo di assestamento del sistema G (s) alla risposta al gradino si ha in corrispondenza del punto di diramazione σ = 8 e quindi in corrispondenza del seguente valore del parametro b : b = G (s) = s +s+6 s=σ s+ =. s= 8

4 b) Siano date le seguenti due funzioni di risposta armonica dei sistemi G a (s) e G b (s): Sistema G a (s): diagramma di Nyquist 3 Sistema G b (s): diagramma di Nichols Mag [db] Phase [degrees] b.) Per il sistema G a (s), progettare una rete correttrice C(s) in grado di garantire al sistema compensato un margine di ampiezza M a = 5. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene più opportuno; Sol. La specifica sul margine di ampiezza M a = 5 definisce completamente la posizione del punto B = M B e jϕ B : M B = M a =., La regione ammissibile è mostrata in grigio in Fig.. ϕ B = 8 Sistema G a (s): diagramma di Nyquist A.5. B Figura : Diagrammi di Nyquist delle funzioni G a (s) e C (s)g a (s). Il punto A = G b (jω A ) scelto per la sintesi della rete correttrice è quello corrispondente alla pulsazione ω A =.: M A = G(jω A ) =.3, ϕ A = arg[g(jω A )] = 67. Sostituendo i valori di M, ϕ e ω = ω A all interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ = 3.38 e τ =.6 della rete correttrice C (s): M = M B M A =.539, ϕ = ϕ B ϕ A = 3 C (s) = (+3.38s) (+.6s).

5 5 Il diagramma di Myquist delle funzioni G a (s) e C (s)g a (s) sono mostrati in Fig.. Sintesi della rete correttrice C (s) con altri valori della pulsazione ω A : ω A =[.8.] M A =[ ] ϕ A =[ ] M =[ ] ϕ =[ ] τ =[ ] τ =[..37.6] b.) Per il sistema G b (s) progettare una rete anticipatrice in grado di garantire al sistema compensato un margine di fase M ϕ = 5. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene più opportuno; Sol. La posizione del punto B = M B e jϕb è completamente determinata dalla specifica di progetto: M B = db e ϕ B = 3. La regione di ammissibilitá è mostrata in grigio in Fig. 5. Il punto A = G a (jω A ) scelto per il progetto è quello corrispondente alla pulsazione 3 Sistema G b (s): diagramma di Nichols Mag [db] B A Phase [degrees] ω A =.7: Figura 5: Diagrammi di Nichols delle funzioni G b (s) e C (s)g b (s). M A = G(jω A ) =.37, ϕ A = arg[g(jω A )] = 9.7. Sostituendo i valori di M, ϕ e ω all interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ =.85 e τ =.895 della rete correttrice C (s): M = M B M A = 8.8, ϕ = ϕ B ϕ A = 6.7 C (s) = (+.85s) (+.895s). Il diagramma di Nyquist delle funzioni G b (s) C (s)g b (s) sono mostrati in Fig. 5.

6 6 Sintesi della rete correttrice C (s) per alcuni valori della pulsazione ω A : ω A =[ ] M A =[ ] ϕ A =[ ] M =[ ] ϕ =[ ] τ =[ ] τ =[ ] b.3) Sempre per il sistema G b (s) progettare una rete ritardatrice in grado di garantire al sistema compensato un margine di ampiezza M a =. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene più opportuno; Soluzione. La specifica sul margine di ampiezza M a = definisce completamente la posizione del punto B = M B e jϕ B : M B =. e ϕ B = 8. La regione ammissibile è mostrata in grigio in Fig. 6. Il punto A = G(jω A ) che deve essere portato in B è quello assegnato corrispondente alla pulsazione ω A =.: M A = G(jω A ) =.77, ϕ A = arg[g(jω A )] = 7.9. Sostituendo i valori di M, ϕ e ω all interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ =.85 e τ =.895 della rete correttrice C 3 (s): M = M B M A =.9, ϕ = ϕ B ϕ A = 7.8 C 3 (s) = (+3.83s) (+.88s). I diagrammi di Nichols delle funzioni G b (s), KG b (s) e KC 3 (s)g b (s) sono mostrati in Fig Sistema G b (s): diagramma di Nichols Mag [db] A B Phase [degrees] Figura 6: Diagrammi di Nichols delle funzioni G b (s), KG b (s) e KC 3 (s)g b (s). Sintesi della rete correttrice C 3 (s) per alcuni valori della pulsazione ω A : ω A =[ ] M A =[ ] ϕ A =[ ] M =[ ] ϕ =[ ] τ =[ ] τ =[ ]

7 7 c) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato: y G (s) r K e x (s+) y 3 N.L x 5 c.) Posto K =, determinare per quale valore r del riferimento r il punto di lavoro del sistema retroazionato coincide con il punto (x,y ) = ( 8, 5). Sol. La retta di carico della parte lineare del sistema retroazionato è la seguente: x = K (r K K 3 y) dove K =, K =, K 3 =. Il valore r si ottiene ponendo K = K = K 3 = e (x,y) = ( 8, 5) nella retta di carico: 8 = r +5 r = 3. c.) Posto K =, r = r ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato è stabile nell intorno del punto di lavoro (x,y ) = ( 8, 5). Sol. Per r = r il punto di lavoro coincide con il punto (x,y ) = ( 8, 5). Le pendenze dellerettechepassanonelpuntodilavoroecheracchiudonoasettoretuttalanonlinearità sono: α =, β = 7 8. Per K =, il guadagno d anello del sistema è: G(s) = (s+) 3 Il margine di ampiezza K e la pulsazione ω della funzione G(s) si determinano utilizzando il criterio di Routh. Equazione caratteristica: Tabella di Routh: +K (s+) 3 = s3 +3s +3s++K = K + 8 K K + Dalla tabella si ricava che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: < K < 8 = K. La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: ω = 3 =.73. In questo caso il diagramma di Nyquist della funzione G(s) non interseca il cerchio critico per cui in base al criterio del cerchio si può affermare che il punto (x,y ) = ( 8, 5) è un punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile. In Fig. 7 è mostrato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) sovrapposto al cerchio critico.

8 8 8 Funzione non lineare y(x) Diagramma di Nyquist 6 β.5 y(x) r.c. α.5.5 cerchio critico x Figura 7: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) e cerchio critico. Funzione descrittiva.5 Diagramma di Nyquist e). F(X) m.5 m c) b) a) m X Figura 8: Andamento della funzione descrittiva F(X).

9 9 c.3) Disegnare in modo qualitativo l andamento della funzione descrittiva F(X) della non linearità N.L. assegnata, prendendo l origine come punto di lavoro. Utilizzare dei parametri ausiliari (per esempio: m, m,...) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi della funzione F(X). Soluzione. L andamento qualitativo della funzione descrittiva F(X) è mostrato in Fig. 8 dove: a) m = è il valore iniziale della funzione F(X) per X = + ; b) m.65 è il valore minimo della funzione F(X) per X ; c) m =.8 è il valore massimo della funzione F(X) per X 5. d) m 3 = =.5 è il valore minimo della funzione F(X) per X. Nel primo tratto X [, ], la funzione descrittiva F(X) coincide con quella di un relè ideale: F(X) = 8 πx Il valore del parametri m può quindi essere determinato con esattezza: m = F(X) X= = 8 πx = X= π = c.) Discutere qualitativamente (in funzione anche dei parametri m, m,...) l esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K >. Sol. Per K =, il margine di ampiezza K del sistema G(s) è K = 8. Al variare di K si hanno queste possibili soluzioni: ) m < K K : il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca la funzione F(X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile. ) m < K K < m : il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca la funzione in 3 punti a cui corrispondono cicli limite stabili (quelli uscenti) e un ciclo limite F(X) stabile (quello entrante). 3) m 3 < K K < m : il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca la funzione F(X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile. ) K K < : la funzione è tutta interna al diagramma di Nyquist completo della F(X) m 3 funzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e l origine è un punto di lavoro instabile per il sistema retroazionato. d) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato: 3 r = e x y C(s) 3 G(s) e 3s s d.) PostoC(s) =,determinarel ampiezzax elapulsazioneω dell oscillazioneautosostenuta presente all interno nel sistema retroazionato. Soluzione. La funzione descrittiva del relè ideale è: F(X) = πx Il margine di ampiezza K e la pulsazione ω della funzione G(s) hanno il seguente valore: K = ω = π 6 =.536

10 L ampiezza X dell oscillazione autosostenuta si determina nel seguente modo: F(X ) = K πx = π 6 X = 7 π = 7.95 d.) Posto C(s) = K, determinare il valore di K in modo da garantire che l oscillazione autosostenuta presente all interno del sistema retroazionato abbia un ampiezza X =. Soluzione. Posto C(s) = K, Il margine di ampiezza K della funzione KG(s) è: K = K K = π 6K Il valore di K si determina nel seguente modo: F(X ) X = = K 3 π = π 6K K = π 8 =.583 d.3) Progettare una rete correttrice C(s) = +τ s +τ in modo che l oscillazione autosostenuta presente all interno del sistema sia caratterizzata da un ampiezza X = e da una pulsazione s ω =.3. Soluzione. Per avere un oscillazione autosostenuta con ampiezza X =, il margine di ampiezza K del sistema compensato dovrà avere il seguente valore: K = F(X ) X = = 6 π =.9 B = K =.536 Modulo e fase del punto B: M B =.536, ϕ B = 8 o. Il punto A è quello che si ottiene dalla funzione G(s) quando s = jω = j.3: A = G(s) s=j.3 = e.9j j.3 M A = 3.333, ϕ A = π.9 =.56o I parametri M, ϕ e ω da inserire nelle formule di inversioni hanno il seguente valore: M = M B M A = =.57 ϕ = 38.3o ω =.3. La rete correttrice che si ottiene utilizzando le formule di inversione è la seguente: τ = M cosϕ ω sinϕ = 3.358, τ = cosϕ M ω sinϕ La regione ammissibile è mostrata in grigio in Fig. 9. = 9.93 C(s) = s +9.93s e) Partendo dalla condizione iniziale y() = 5, calcolare la risposta y(n) del seguente sistema dinamico discreto: y(n+) =.5y(n)+3x(n) quando in ingresso è presente il segnale discreto x(n) = n. Sol. Applicando la Z-trasformata alla precedente equazione alle differenze si ottiene: zy(z) y()z =.5Y(z)+3X(z) Esprimendo Y(z) in funzione di X(z) e y() si ottiene: Y(z) = y()z z z X(z) = z.5 z.5 + 3z (z.5)(z ) Scomponendo in fratti semplici si ottiene: Y(z) = 5z z.5 +z Antitrasformando si ottiene: [ z z.5 ] y(n) = 3(.5) n +() n. = 5z [ z z.5 + z z ] z.5

11 .5 Sistema G a (s): diagramma di Nyquist B A Figura 9: Diagrammi di Nyquist delle funzioni G(s) e C(s) G(s). f) Utilizzando il metodo delle differenze all indietro, discretizzare la seguente rete correttrice: D(s) = M(s) E(s) = (s+) (s+) giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T =.. Sol. Utilizzando il metodo delle differenze all indietro si ottiene: D(z) = D(s) s= z T = T(+T z ) (+T z ) =.(. z ) (. z ) = La corrispondente equazione alle differenze assume la seguente forma: m k =. (.m k m k +.e k.e k ) =.6667m k.69m k +.76e k.69e k..z..z +z

12 Controlli Automatici B 7 Giugno 6 - Domande Teoriche Nome: Nr. Mat. Firma: Nr. Rispondere alle domande e ai test che seguono. Per ciascuno dei test segnare con una crocetta le affermazioni che si ritengono giuste. La risposta al test è considerata corretta solo se tutte le affermazioni corrette sono state contrassegnate.. Sia dato il sistema discreto G(z) caratterizzato dal periodo di campionamento T. Fornire l espressione analitica della funzione di risposta armonica F(ω) della funzione discreta G(z): G(z) = z z.5. A fianco è riportato il luogo delle radici del sistema G(s) = (s ) al variare (s+)(s +) del parametro K >. Calcolare: ) L ascissa σ corrispondente alla condizione di allineamento dei tre poli: σ = 3 ) Il valore K corrispondente alla condizione di allineamento dei tre poli: K = =.777 G(s) s= 3 3) Il valore minimo K e il valore massimo K del parametro K per la stabilità asintotica del sistema retroazionato: < K < = G(s) s= F(ω) = 6 e jωt e jωt.5 Luogo delle radici Calcolare la Z-trasformata X(z) dei seguenti segnali tempo continui x(t) quando t = kt: x(t) = 3 X(z) = 3z (z ) x(t) = e 3t X(z) = z (z e 3T ). Calcolare il valore iniziale y = limy(k) e il valore finale y = lim y(k) del segnale y(k) k k corrispondente alla seguente funzione Y(z): Y(z) = z(+z) (z )(z.5) y =, y = 6 5. ScriverelafunzioneditrasferimentodiscretaG(z) = Y(z) corrispondenteallaseguenteequazione X(z) alle differenze: z +z 6y k +y k +5y k +3y k 3 = x k +x k G(z) = 6+z +5z +3z 3 6. Sia y (t) = 3 sin(t π ) la fondamentale del segnale periodico y(t) che si ha all uscita del blocco non lineare N.L. sollecitato in ingresso dal segnale periodico x(t) = 5 sin( t). Calcolare il valore della funzione descrittiva F(X) in corrispondenza del valore X = 5: N.L. ( x(t) = 5 sin(t) F(5)= 3 y(t) y (t) = 3 sin t π ) π 5 e j

13 3 7. Indicare quale dei seguenti sistemi discreti G(z) tende a zero più rapidamente : G(z) = z(z+.5) G(z) = z(z+) G(z) = z(z+) G(z) = z( z+) 8. Si consideri il sistema retroazionato riportato di fianco. Scrivere il legame che lega la variazione relativa del sistema G(s) alla variazione relativa del sistema retroazionato G (s) quando varia un parametro α interno alla funzione di trasferimento G(s): G (s) G (s) = +G(s)H(s) G(s) G(s) R(s) E(s) C(s) G(s) H(s) 9. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) di un regolatore standard PI e a fianco disegnare qualitativamente il corrispondente diagramma di Bode dei moduli: G(s) = K ( + ) T d s z ω. Indicare sul piano z dove sono collocati i punti della striscia primaria numerati da a 8: Striscia 3 jω primaria piano s j ωs j ωs σ Re j ωs j ωs Im 3 7 piano z. Date le seguenti caratteristiche non lineari simmetriche rispetto all origine, determinare qualitativamente gli andamenti delle corrispondenti funzioni descrittive F (X) ed F (X): y (x) 3 3 x y (x) 3 3 x. funzione descrittiva. funzione descrittiva