3.1 Esempio 1. Queste note (attualmente, e probabilmente per un bel po ) sono altamente provvisorie e (molto probabilmente) non prive di errori.

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1 ½ º¼ º¾¼½ Queste note (attualmente e probabilmente per un bel po sono altamente provvisorie e (molto probabilmente non prive di errori 31 Esempio 1 Consideriamo il sistema ẋ = 1 3 (x y(1 x y = f 1(xy ẏ = x(2 y = f 2 (xy 311 Calcolo dei punti stazionari I punti stazionari ie i punti per i quali vale f 1 (xy = f 2 (xy = 0 sono P 1 = (00 P 2 = (01 P 3 = (22 e P 4 = ( 12

2 2 Esercitazione Dinamica locale attorno ai punti di equilibrio Anzitutto calcoliamo la matrice Jacobiana ( 1 Df(xy = 3 (1 2x 1 3 ( 1+2y 2 y x (i P 1 = (00 (ẋ = Df(00 ẏ ( ( x 1 = y 2 0 ( x y λ 1 = e λ 1 = abbiamo quindi un fuoco instabile (Re(λ > 0 (ii P 2 = (01 Anzitutto effettuiamo la traslazione X = x 0 Y = y 1 (ẊẎ ( 1 ( 1 = 3 3 X 1 0 Y λ 1 = e λ2 = abbiamo quindi un punto di sella e gli autovettori corrispondenti sono ( ( 2 v 1 = 2+ 2 e v 13 2 = 2 13 (iii P 3 = (22 Anzitutto effettuiamo la traslazione X = x 2 Y = y 2 (ẊẎ = ( ( 1 1 X 0 2 Y λ 1 = 1 e λ 2 = 2 abbiamo quindi un nodo stabile e gli autovettori corrispondenti sono ( ( 1 1 v 1 = e v 0 2 = 1 Osserviamo che λ 1 < λ 2 quindi le orbite sono tangenti all autovettore v 1

3 (iv P 3 = ( 12 Anzitutto effettuiamo la traslazione X = x+1 Y = y 2 (ẊẎ = ( ( 1 1 X 0 1 Y λ 1 = 1 e λ 2 = 1 abbiamo quindi un autovalore doppio e di conseguenza un nodo degenere instabile; l autovettore corrispondente è ( 1 v 1 = Dinamica globale L analisi del comportamento locale nell intorno dei punti di equilibrio è il punto di partenza per poter comprendere (qualitativamente la dinamica globale del sistema non-lineare Una trattazione completa di questo argomento esula dai contenuti di questo corso e a maggior ragione di queste esercitazioni 1 Tuttavia per sistemi semplici uno studio qualitativo della dinamica globale pu o essere effettuato utilizzando il metodo delle isocline L osservazione banale è che l insieme dei punti {xy R 2 : ẋ = 0} divide il piano in due regioni (non necessariamente connesse quella in cui ẋ > 0 e quella in cui ẋ < 0 Lo stesso vale ovviamente per l insieme dei punti {xy R 2 : ẏ = 0} Osserviamo che naturalmente i punti di intersezione corrispondono ai punti di equilibrio In questo modo abbiamo ottenuto un informazione circa il segno del campo vettoriale e di conseguenza la direzione delle orbite nelle varie regioni del piano deve soddisfare tali condizioni Questo unito al comportamento locale analizzato nel dettaglio in precedenza ci permette di ottenere una descrizione qualitativa globale Riportiamo nel grafico seguente alcune soluzioni del sistema 1 Per i sistemi piani la teoria di PoincaréBendixson descrive in modo completo tutte le possibili situazioni Tale teoria viene approfondita nel corso di Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni

4 4 Esercitazione 3 Esercizio 31: Studiare il sistema {ẋ = y +x(x 2 +y 2 1 ẏ = x+y(x 2 +y 2 1 In particolare studiare le soluzioni stazionarie periodiche e la loro natura Inoltre stabilire se le soluzioni sono prolungabili e i comportamenti asintotici Suggerimenti: utilizzare le coordinate polari 32 Il sistema Lotka-Volterra Il cosiddetto modello preda-predatore è rappresentato dal sistema {ẋ = αx βxy = f1 (xy ẏ = γy +δxy = f 2 (xy con α β γ e δ parametri positivi 321 Calcolo dei punti stazionari I punti stazionari ie i punti per i quali vale f 1 (xy = f 2 (xy = 0 sono P 1 = (00 (morte totale e P 2 = (γ/δα/β (vita all equilibrio 322 Dinamica locale attorno ai punti di equilibrio Anzitutto calcoliamo la matrice Jacobiana ( α βy βx Df(xy = δy γ +δy Segue immediatamente che nell approssimazione lineare P 1 = (00 è un punto di sella mentre P 2 = (γ/δα/β è un centro (mostrare che è un centro anche per il sistema non-lineare

5 323 Costanti del moto Eliminando il tempo otteniamo che si integra immediatamente Segue che la quantità α βy y dy = γ δx dx x Φ(xy = αlogy βy +γlogx δx è una costante del moto (integrale primo Le curve di livello sono riportate nel grafico sottostante dove le frecce sono state ottenute direttamente dalla direzione del campo vettoriale in un punto Abbiamo quindi ottenuto una descrizione qualitativa della dinamica grazie alle curve di livello della funzione Φ(x y Per ottenere informazioni quantitative che giustificano anche il nome di integrale primo dobbiamo utilizzare il teorema della funziona implicita ed invertire rispetto al valore C che assume Φ(x y sulla curva di livello (vedi note del Prof Giorgilli capitolo Esponenziale di matrici Esercizio 32: Data la matrice A = ( λ 1 0 λ verificare che ( exp(ta = e λt 1 t 0 1

6 6 Esercitazione 3 Suggerimento: mostrare che ( A k λ k kλ = k 1 0 λ k Esercizio 33: Data la matrice A = ( osserviamo che A 2 = 0 dunque il calcolo dell esponenziale è banale ( 1 0 exp(ta = 1+At = t 1 Segue immediatamente che {ẋ = 0 ẏ = x x(t = x 0 y(t = y 0 +x 0 t Esercizio 34: Data la matrice A = ( osserviamo che A 2 = 1 da cui segue immediatamente che A 2n = 1 e A 2n+1 = A La soluzione x(t è quindi x(t = ( A 2n t 2n + A2n+1 t 2n+1 x 0 (2n! (2n+1! n 0 ( ( t 2n t 2n+1 = 1x 0 + Ax 0 (2n! (2n+1! n n (( ( cosht 0 0 sinht = + x 0cosht sinh t 0 0 Esercizio 35: Data la matrice A = osserviamo che A 2 =

7 mentre A 3 = 0 La soluzione x(t è quindi x(t = (1+At+ 12 A2 t t = t 1 0 x 0 t 2 2 t x 0