Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 17. Correnti di SU(3) Interazioni di neutrini Difficoltà dell'interazione di Fermi

Transcript

1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Correnti di SU(3) Interazioni di neutrini Difficoltà dell'interazione di Fermi anno accademico

2 The Eightfold Way La proliferazione di particelle elementari stimolò l elaborazione di teorie per classificare gli stati osservati La teoria di maggiore successo fu la Eightfold Way di Gell-Mann Le ipotesi di Gell-Mann erano: Gli 8 Barioni noti formano un super-multipletto che generalizza i multipletti di isospin La simmetria alla base di questa associazione è una generalizzazione della simmetria unitaria dell isospin Tutti i membri di un supermultipletto dovrebbero avere la stessa massa La simmetria è rotta I barioni sono classificati secondo una rappresentazione 8-dimensionale del gruppo SU(3) Anche i mesoni pseudoscalari vengono inseriti in un ottetto con la predizione di un ulteriore singoletto di isospin Per arrivare a questa classificazione studiamo il gruppo SU(3) Preliminarmente alcune definizioni sui gruppi unitari Murray Gell-Man The Eightfold Way: A Theory Of Strong Interaction Simmetry - Report non pubblicato Caltech CTSL-20, 1961 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 499

3 Gruppi SU(N) Per definizione il gruppo U(N) è il gruppo delle matrici unitarie N N ( = n n) Una generica matrice n n del gruppo U(N) soddisfa pertanto la relazione L equazione precedente implica n n relazioni fra gli n n elementi di matrice Inoltre una matrice complessa n n ha 2 n n parametri reali Pertanto dei 2 n n parametri reali solo 2 n n n n = n n sono indipendenti Il gruppo SU(N) è il sottogruppo di U(N) delle matrici con determinante = 1 La richiesta poi che il determinante sia 1 riduce di un altra unità il numero dei parametri indipendenti Pertanto i parametri indipendenti dei due gruppi più importanti per la fisica delle particelle sono SU(2) 3 parametri reali SU(3) 8 parametri reali Veniamo alle rappresentazioni: Una rappresentazione è un omomorfismo di un gruppo con un gruppo di matrici definite su uno spazio vettoriale di dimensione n I fisici spesso chiamano rappresentazione i vettori dello spazio vettoriale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 500

4 Gruppi SU(N) Tutti i gruppi hanno una rappresentazione banale di dimensione uno che corrisponde all elemento 1 La dimensione della rappresentazione di dimensione più piccola successiva dipende dal gruppo Si introduce inoltre la rappresentazione coniugata Se M è una matrice della rappresentazione allora M* appartiene alla rappresentazione coniugata Ricordiamo che l operazione di coniugazione complessa, in teoria di campi quantistici, fa passare dalle particelle alle antiparticelle Le rappresentazioni non banali di dimensione più piccola per i gruppi SU(2) e SU(3) sono SU(2): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione 2 La rappresentazione coniugata delle matrici M* coincide la rappresentazione normale Esiste una trasformazione unitaria che trasforma le matrici M in M* Una sola rappresentazione: 2 SU(3): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione 3 La rappresentazione coniugata delle matrici M* non coincide con la rappresentazione normale Due rappresentazioni: 3 e 3 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 501

5 The Eightfold Way Ritorniamo al modello a quark di Gell-Mann Gell-Mann ipotizzò che i tre quark (u, d, s) fossero una base della rappresentazione 3 del gruppo SU(3) Si tratta di un gruppo di operatori unitari Utilizzando i generatori λ n una generica matrice di questo gruppo può essere rappresentata come Abbiamo visto che il gruppo dipende da 8 parametri reali: 8 generatori Le matrici λ n soddisfano le seguenti regole di commutazione Le grandezze f ijk sono le costanti di struttura del gruppo f ijk è totalmente antisimmetrico Gli elementi diversi da zero sono Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 502

6 La rappresentazione 3 di SU(3) Le 8 matrici della rappresentazione 3 (matrici di Gell-Mann) sono Evidentemente gli operatori λ 3 e λ 8 commutano fra di loro (sono diagonali) Per motivi che saranno evidenti fra poco si definiscono gli operatori Gli operatori T 3 e Y sono già in forma diagonale Analizziamo il loro comportamento sulla base standard Y T 3 Rappresentiamo sul piano Y T 3 i 3 stati Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 503

7 La rappresentazione 3 di SU(3) Analogamente studiamo la rappresentazione coniugata in cui generatori sono Riportiamo per brevità solo gli operatori λ 3 e λ 8 Definiamo nuovamente Studiamo infine l effetto dei generatori diagonali sulla base standard Y T 3 Rappresentiamo sul piano Y T 3 i 3 stati Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 504

8 Interpretazione: Carica elettrica Questi stati rappresentano i tre quark o i tre anti-quark Y Y T 3 T 3 Analizziamo i numeri quantici dei vettori base delle due rappresentazioni Innanzitutto la carica elettrica con la relazione di Gell-Mann e Nishijima Per i tre stati della rappresentazione 3 E analogamente per la rappresentazione 3 Gli stati hanno pertanto carica frazionaria Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 505

9 Interpretazione: Numero Barionico Inoltre ricordiamo la definizione della Ipercarica Y Y Attribuiamo la stranezza e il numero barionico ai vari stati Per la rappresentazione 3 Per lo stato Y=1/3 B = 1/3, S = 0 Per lo stato Y=1/3 B = 1/3, S = 0 Per lo stato Y= 2/3 B = 1/3, S = 1 Per la rappresentazione 3 Per lo stato Y= 1/3 B = 1/3, S = 0 Per lo stato Y= 1/3 B = 1/3, S = 0 Per lo stato Y=2/3 B = 1/3, S = +1 T 3 T 3 I famosi Quark e Anti-Quark con carica frazionaria di Gell-Mann Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 506

10 Le correnti di SU(3) Abbiamo già detto che interazioni deboli che abbiamo studiato possono essere interpretate a livello dei quark costituenti Queste transizioni possono descritte in modo unitario nell ambito del modello a quark Nel caso di SU(2) abbiamo introdotto correnti di isospin Possiamo generalizzare quel formalismo a SU(3) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 507

11 Le correnti di SU(3) In modo completamente analogo a quanto visto per SU(2) si può definire l isospinore Si può definire la Lagrangiana libera dei quark come Notiamo che questo implica che le masse dei tre quark sono uguali Richiedere l invarianza di questa lagrangiana rispetto alle trasformazioni di SU(3) porta a 8 correnti conservate Inoltre è conservata la corrente barionica A queste correnti corrispondono 8 cariche conservate Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 508

12 Le correnti di SU(3) Le cariche soddisfano le regole di commutazione di SU(3) Le regole di commutazione dei campi sono Come abbiamo visto sono molto importanti le due seguenti cariche La terza componente dell isospin L ipercarica Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 509

13 Le correnti di SU(3) Una combinazione importante, che porta alla corrente elettromagnetica Ricordiamo la definizione fatta per le correnti Per capire la definizione di calcoliamo la somma delle due matrici che definiscono le correnti V 3 e V 8 Utilizzando questo risultato troviamo la corrente elettromagnetica espressa in funzione dei tre quark ( e delle loro cariche elettriche!) Per quel che riguarda le correnti deboli si hanno le seguenti identificazioni Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 510

14 Le correnti di SU(3) È facile verificare le seguenti regole di commutazione La corrente J + cambia la carica elettrica di una unità La corrente S + cambia la carica elettrica di una unità Pertanto la corrente adronica carica h = J + cosθ c + S + sinθ c ha la regola di selezione ΔQ = 1 La corrente J + conserva l ipercarica (quindi la stranezza) La corrente S + cambia l ipercarica di una unità ΔS = 1 Inoltre questa regola insieme alla prima implica che ΔQ = ΔS Per finire le regole dell isospin La corrente J + cambia l isospin (T 3 ) di una unità La corrente S + cambia l isospin di 1/2 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 511

15 Le correnti di SU(3) Per finire scriviamo le correnti esplicitando il contenuto dei quark Per la corrente J + Pertanto la corrente J + trasforma un quark d in un quark u Per la corrente S + otteniamo Pertanto la corrente S + trasforma un quark s in un quark u Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 512

16 Le correnti di SU(3) Il formalismo sviluppato permette di trovare relazioni fra gli elementi di matrice di moltissimi processi Analogo all'ipotesi CVC L invarianza (globale) per SU(3) è una simmetria nello spazio del sapore (flavor) dei quark La sua origine è nella quasi uguaglianza delle masse dei quark più leggeri La simmetria è rotta per i quark più pesanti Non ci sono sviluppi sostanziali per gruppi più estesi di SU(3) Non ci sono sviluppi interessanti se si richiede una invarianza locale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 513

17 Interazioni neutrino-fermione L interazione di Fermi può essere utilizzata per calcolare le sezioni d urto di interazioni neutrino fermione mediate da corrente carica (CC) Può essere utilizzata anche per descrivere interazioni di antineutrini Può essere utilizzata per interazioni di neutrini di tutte le famiglie Nel processo di corrente carica il neutrino si trasforma nel leptone carico della famiglia k i ν l l k f Dall'altro lato possiamo trovare un fermione o un antifermione W + Per la conservazione della carica deve essere W + Si possono avere le seguenti transizioni p i p f Per le interazioni di antineutrini tutte le cariche sono invertite La particella scambiata è il bosone W Per finire osserviamo che le correnti conservano il relativo numero fermionico Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 514

18 Interazioni neutrino-fermione Troveremo la stessa formula per tutte le famiglie In realtà le famiglie differiscono per la massa Spesso approssimeremo le masse a zero Le formule per le particelle sono diverse da quelle per le antiparticelle Sia per i neutrini-antineutrini che per i fermioni-antifermioni Per fissare le idee studiamo La sezione d urto neutrino elettronico - elettrone La sezione d urto antineutrino elettronico elettrone Questi due processi sono mediati da correnti sia cariche che neutre k i p i ν e W + ν e k f p f k i p i Per il momento trascureremo la corrente neutra La reazione può essere k mediata solo tramite CC i Osserviamo che può essere mediata solo da corrente neutra ν e ν e p f ki ν k f e W Z 0 p k i νe p f f p i ν μ μ W + ν e k f p f k i p i k i p i ν e ν μ Z 0 ν e ν μ Z 0 p f k f p f k f Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 515

19 Lo scattering ν e ν e Iniziamo con il calcolo della sezione d'urto per lo scattering di un neutrino da parte di un elettrone Il diagramma di Feynman al primo ordine associato a questa reazione e la corrispondente ampiezza di Fermi sono k i ν e k f p i ν e p f Il quadrato dell elemento di matrice è I due tensori M μν e N μν sono facilmente derivabili dal digramma utilizzando le regole per i diagrammi (vedi diapositiva ) Nel primo tensore non è fatta la media sulle polarizzazioni iniziali (manca il fattore ½ ) perché il neutrino ha solo lo stato left-handed Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 516

20 Lo scattering ν e ν e Il calcolo delle tracce è lasciato come esercizio Il risultato per i due tensori è (m ν = 0) Il prodotto dei due tensori si calcola facilmente (un po lungo ) Occorre la proprietà del tensore di Levi Civita Il risultato è Calcoliamo i prodotti Dalla conservazione del 4-momento Trascuriamo m e Inserendo nell elemento di matrice si ottiene Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 517

21 La sezione d urto ν e ν e La sezione d'urto è Ricordiamo (diapositiva ) il fattore di flusso F e lo spazio delle fasi dφ 2 Inoltre Otteniamo pertanto Per l elemento di matrice il risultato del calcolo era Introducendo nella formula per la sezione d urto Pertanto, nel centro di massa, la sezione d urto è isotropa La sezione d urto totale è Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 518

22 Lo scattering ν e ν e Calcoliamo adesso il quadrato dell ampiezza della reazione Il diagramma di Feynman al primo ordine (solo CC) associato a questa reazione e la corrispondente ampiezza di Fermi sono k i ν e k f p i ν e p f Le correnti sono relative a particelle o tutte nello stato iniziale o tutte nello stato finale Nella reazione neutrino-elettrone le correnti univano particelle fra gli stati iniziali e finali Confrontiamo con la corrispondente ampiezza della reazione ν e ν e Gli spinori u kf e u pi compaiono allo stesso modo e quindi contribuiranno allo stesso modo Lo spinore u ki è diventato v pf -dato che m ν = 0 basta sostituire k i con p f Lo spinore u pf è diventato v ki Sostituendo -dato che m ν = 0 basta sostituire p f con k i Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 519

23 Lo scattering ν e ν e Studiamo adesso la cinematica della reazione Consideriamo la conservazione del 4-momento k i ν e k f Possiamo ricavare una espressione utile per la variabile di Mandelstam t p i ν e p f Trascurando ancora una volta le masse delle particelle k f Consideriamo adesso il sistema del centro di massa k i θ p i Dato che lo scattering è elastico p f Calcoliamo t (sempre trascurando le masse) Inseriamo i risultati nell elemento di matrice Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 520

24 Lo scattering ν e ν e Lo spazio delle fasi e il flusso sono identici al caso precedente Inserendo nella formula per la sezione d urto otteniamo Per la sezione d'urto totale integriamo su tutto l angolo solido Riepiloghiamo i risultati ottenuti Si può comprendere la differenza fra i due risultati facendo riferimento alla conservazione del momento angolare e alla violazione della parità J z = 0 J z = 1 ν θ ν e θ ν isotropa ν e d 1 1 (1 cosθ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 521

25 Interazione neutrino quark (CC) k p W + k' p' ν μ u μ θ d J z = 0 Isotropa k p W + k' p' ν μ d μ θ u J z = 1 J z = 1 M d 1, 1 1+cosθ σ = 0 per θ = π k p W k' p' ν μ d θ μ + u J z = 1 J z = 1 M d 1, 1 1+cos θ σ = 0 per θ = π k p W k' p' ν μ u θ μ + d J z = 0 Isotropa Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 522

26 La reazione ν μ μ ν e Includiamo l'effetto della massa del leptone carico È importante per la reazione k i ν μ μ k f W + La struttura dell elemento di matrice è identica L unica differenza è la massa del muone Nei casi precedenti, il calcolo del quadrato dell'elemento di matrice era stato fatto senza approssimazioni fino al risultato p i ν e p f Calcoliamo adesso i due prodotti scalari Per il primo, relativo ai momenti nello stato iniziale, non ci sono modifiche (si può trascurare m e ) Per il secondo prodotto abbiamo Inserendo nell elemento di matrice Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 523

27 La reazione ν μ μ ν e Per spazio delle fasi e flusso si può usare il calcolo precedente ma con cura I precedenti risultati si applicano nel caso dello scattering elastico Le masse delle particelle nello stato iniziale sono uguali alle masse nello stato finale La quantità di moto (3d) nel centro di massa dello stato iniziale è uguale al quantità di moto nel centro di massa dello stato finale Nel caso della reazione Le masse delle particelle nello stato iniziale e finale sono diverse Di conseguenza anche le quantità di moto q i e q f sono differenti Le quantità di moto nel flusso e nello spazio delle fasi sono differenti Ricordiamo il risultato per il fattore di flusso Questo risultato è ancora valido perché la cinematica dello stato iniziale non è cambiata Ricordiamo il risultato per lo spazio delle fasi Occorre esprimere q f in termini di invarianti Occorre tenere conto dell effetto soglia Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 524

28 La quantità di moto nel centro di massa Cominciamo dalla variabile invariante s nel c.m. delle particelle 1 2 Sviluppando Semplificando per finire otteniamo nello stato iniziale 1 = e, 2 = ν μ nello stato finale 1 = μ, 2 = ν e Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 525

29 Soglia di produzione Nel caso della reazione di produzione occorre anche calcolare l'energia minima necessaria perchè la reazione sia possibile Il minimo valore di s necessario è quello che porta alla delle due particelle a riposo nello stato finale: q f = 0 La reazione è possibile per Ponendo m 1 = m μ, m 2 = 0 e introducendo il valore di s nel laboratorio Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 526

30 La reazione ν μ μ ν e Per finire specializziamo la formula dello spazio delle fasi al nostro caso Otteniamo Inseriamo questi risultati nella formula per la sezione d urto Otteniamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 527

31 Difficoltà dell Interazione di Fermi Le sezioni d'urto fin qui calcolate divergono al crescere dell'energia Osserviamo inoltre che i calcoli fin qui fatti sono approssimati al primo ordine della teoria perturbativa È possibile fare calcoli di ordine superiore? Ad esempio, è possibile calcolare diagrammi come il seguente? Diagrammi di questo tipo divergono Il tipo di divergenza è grave e non si riesce a reinterpretare come invece avviene per l elettrodinamica con la rinormalizzazione La teoria di Fermi non è rinormalizzabile Si è tentato di rendere la teoria più simile all elettrodinamica introducendo il bosone vettoriale intermedio (IVB) n p Le correnti dell'interazione di Fermi sono vettoriali e La particella scambiata deve essere un 4-vettore, spin 1 L'interazione debole è a corto range (di contatto) La particella scambiata deve avere una massa non nulla Dobbiamo trovare il propagatore di una particella vettoriale di massa non nulla Approfondiamo lo studio dei propagatori Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 528

32 Particelle con massa nulla e con spin 1 Una particella di spin 1 è descritta da un campo A μ La lagrangiana di un campo vettoriale senza massa accoppiato a una sorgente j μ è L è invariante per trasformazioni di gauge se la corrente è conservata Il tensore F μν è invariante per trasformazioni di gauge A' μ = A μ + μ Λ Esaminiamo come si trasforma il termine di interazione La 4-divergenza non contribuisce all'azione e può essere ignorata se μ j μ = 0 L è gauge-invariant se J μ è conservata Le equazioni di Eulero-Lagrange portano all'equazione per A μ Fissiamo il gauge con la condizione di Lorentz μ A μ = 0 e assumiamo j μ = 0 Si trova la soluzione di onda piana Il 4-vettore ε μ (k) descrive la polarizzazione della particella Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 529

33 Particelle con massa non nulla e con spin 1 Il passaggio a particelle con massa non nulla si fa introducendo un termine quadratico nella lagrangiana Osserviamo che L non è più gauge invariante a causa del nuovo termine Le equazioni di Eulero-Lagrange portano all'equazione di Proca Calcoliamo la 4-divergenza dell'equazione I primi due termini si elidono e pertanto Se la corrente è nulla oppure è conservata deve essere Pertanto nel caso di massa non nulla la condizione di Lorentz su Α μ è conseguenza dell'autoconsistenza della teoria Nel caso J μ = 0 l'equazione di Proca si semplifica in La soluzione di onde piane Il 4-vettore ε μ (k) descrive la polarizzazione della particella Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 530

34 Particelle con massa non nulla e con spin 1 Una particella di spin 1 dotata di massa ha, ovviamente, un sistema di riposo Per rappresentare la polarizzazione della particella si può utilizzare il formalismo generale introdotto nella diapositiva e seguenti Nel sistema di riposo K' la particella ha polarizzazione ξ Si definisce il 4-vettore s' è ortogonale al 4-vettore energia impulso Nel sistema K in cui la particella ha 4-momento k = (k 0, k) Consideriamo tre vettori polarizzazione ξ nel sistema K' Due polarizzazioni ξ 1 e ξ 2 perpendicolari a k Una polarizzazione longitudinale ξ 3 Ovviamente ξ i ξ j = 0 i,j=1,3 I 4-vettori corrispondenti nel sistema K sono Osserviamo che anche i prodotti 4-dimensionali sono nulli: ε i ε j = 0 i,j=1,3 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 531

35 Particelle con massa non nulla e con spin 1 Si può introdurre un quarto vettore ε 0, di tipo time-like, per avere un sistema di vettori base completo È possibile perché k 2 = m 2 0 Non si può fare per il fotone Serve per definire i segni Si verifica facilmente che ε λ ε λ' = g λλ' In seguito avremo bisogno delle "somme di polarizzazione" La somma in λ non è in forma covariante g λλ serve solo per definire i segni Si può verificare la relazione nel sistema di riposo della particella Se μ = 0 oppure ν = 0 tutti i contributi sono nulli escluso il caso μ = ν = 0 Per μ = i e ν = j con i,j = 1,2,3 Si tratta della normale relazione di completezza per una terna ortogonale in R 3 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 532

36 Particelle con massa non nulla e con spin 1 Abbiamo visto che la condizione di Lorentz implica un vincolo sulle componenti del campo A μ μ A μ = 0 implica che solo tre componenti di A μ sono indipendenti Analogamente, dei quattro vettori di polarizzazione solo tre hanno un senso fisico La completezza della somma di polarizzazione ha senso matematicamente Fisicamente siamo interessati alla somma estesa solamente ai tre stati fisici Analizziamo il contributo di ε 0 (k) alla somma Otteniamo pertanto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 533