Fisica Nucleare e Subnucleare

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1 Fisica Nucleare e Subnucleare Prova Scritta, 17 Febbraio 2015 Modulo I 1) Una trasformazione di Lorentz collega le coordinate dello spazio tempo di due sistemi di riferimento inerziali e può essere scritta nella forma x µ = Λ µ νx ν. i) Quali proprietà devono soddisfare le Λ µ ν (le componenti della matrice Λ) affinché la trasformazione appartenga al gruppo di Lorentz? ii) Come si trasformano le componenti del tensore del campo elettromagnetico F µν? iii) Come è definito F µν, il tensore del campo elettromagnetico con gli indici in basso? iv) Come si trasforma la quantità F µν F µν? Calcolarne il valore in termini di E e B. i) Dalla richiesta di invarianza di s 2 = η µν x µ x ν sotto la trasformazione x µ = Λ µ νx ν segue che η µν Λ µ αλ ν β = η αβ dove gli indici µ, ν, α, β assumono i valori 0, 1, 2, 3 (naturalmente due indici ripetuti sono da considerare sommati su tutti i loro possibili valori). Alternativamente, usando l algebra matriciale, possiamo indicare con x il vettore colonna contenente le componenti di x µ, con η la matrice della metrica di Minkowski e con Λ la matrice di una trasformazione di Lorentz. Dall invarianza di s 2 = x T ηx sotto la trasformazione x = Λx, segue che Λ T ηλ = η. ii) Il tensore F µν contiene le componenti dei campi elettrico e magnetico 0 E x E y E z F µν E = x 0 B z B y E y B z 0 B x. (1) E z B y B x 0 e per trasformazioni di Lorentz si trasforma nel modo seguente F µν = Λ µ αλ ν β F αβ. Alternativamente, indicando con F la matrice con componenti F µν si ha F = ΛF Λ T. iii) Gli indici sono abbassati usando la metrica di Minkowski η µν, le cui uniche componenti diverse da zero sono η 00 = 1, η 11 = η 22 = η 33 = 1. In particolare, per il quadrivettore posizione si ha x µ = η µν x ν e quindi x 0 = x 0, x 1 = x 1, x 2 = x 2, x 3 = x 3. Si noti che solo la componente temporale cambia segno. Per il tensore campo elettromagnetico si ha F µν = η µα η νβ F αβ

2 per cui F 0i = F 0i e F ij = F ij con i, j = 1, 2, 3. In forma matriciale iv) Un calcolo diretto produce 0 E x E y E z E F µν = x 0 B z B y E y B z 0 B x. (2) E z B y B x 0 F µν F µν = F 00 F 00 + F 01 F 01 + F 02 F = 0 (E x ) 2 (E y ) = 2( B 2 E 2 ) infatti si devono sommare i prodotti delle componenti che hanno la stessa posizione di riga e colonna in (1) e (2). 2) Dare la corretta definizione di energia ed impulso relativistico per una particella di massa m e velocità v, studiando e commentando il loro limite non-relativistico. Scrivere inoltre l azione per la particella relativistica libera e derivarne le definizioni di energia e impulso descritti precedentemente. La definizione relativistica di energia è Dallo sviluppo in serie di Taylor di E = m γ = valida per x 1, ed identificando x = v2 per v c E = mc2 (1 + x) α = 1 + αx α(α 1)x mc2 e α = 1, si può ottenere il limite non relativistico 2 = m mv mv da cui si riconosce l energia dovuta alla massa m (una sorpresa per la fisica pre-relativistica), l energia cinetica non-relativistica 1 2 mv2, e la prima correzione relativistica. Similmente, il momento relativistico è definito da p = mγ v = m v

3 che nel limite non-relativistico può essere sviluppato come p = m v = m v + m v 2 v c2 da si riconosce la definizione non relativistica di momento m v, e la prima correzione relativistica. L azione relativistica per una particella libera è proporzionale al tempo proprio (così da garantire l invarianza relativistica) dove v = x = d x dt S[ x] = dt L = m dt 1 e l energia (hamiltoniana) da v v, L = m v v 1 descrive la velocità della particella. Il momento coniugato è definito da p L v = m v E = p v L = mc2 definizioni che coincidono con quelle date precedentemente. 3) Nel decadimento di un pione π + a riposo in muone µ + e neutrino ν µ π + µ + + ν µ si osserva il muone con una energia cinetica di 4 MeV. La massa del muone è di 106 MeV/ mentre quella del neutrino è trascurabile. Calcolare la massa del pione. Usiamo unità di misura naturali (c = 1). Il decadimento è visto nel sistema a riposo del pione, per cui il suo quadrimpulso vale P µ π = (m π, 0, 0, 0). Decade in muone e neutrino, ed indichiamo i loro quadrimpulsi con P µ muone = (E µ, p µ ), P µ neutrino = (E ν, p ν ). Dalla conservazione del quadrimpulso totale abbiamo che m π = E µ + E ν p µ + p ν = 0 (3) L energia del muone vale E µ = m µ + K

4 dove m µ indica la massa del muone e K la sua energia cinetica. L energia del neutrino, considerando nulla la sua massa, è e dalla (3) si he che E ν = p ν per cui p ν = p µ = E 2 µ m 2 µ m π = E µ + E ν = m µ + K + (m µ + K) 2 m 2 µ = m µ + K + 2m µ K + K 2 = ( ) MeV 139.4MeV 4) Sia data la rappresentazione definente R(g) di un gruppo G, dove g G è un elemento arbitrario del gruppo. Per definizione questa agisce sui vettori di uno spazio vettoriale le cui componenti indicate con v a (indici in alto) si trasformano come v a v a = [R(g) v] a = [R(g)] a b v b. Cosa sono e come si trasformano i vettori con indici puntati e non puntati in alto ed in basso? Dimostare che il prodotto w a v a è uno scalare. In generale, il prodotto v a t a non lo è, in quali casi anche questo prodotto diventa uno scalare? Data la rappresentazione R(g), se ne possono immediatamente costruire altre tre: la rappresentazione complesso coniugata R(g), la rappresentazione inverso trasposta R(g) 1 T la rappresentazione inverso hermitiana R(g) 1. Infatti se R(g 1 ) R(g 2 ) = R(g 1 g 2 ) e R(e) = 1, prendendo il complesso coniugato di queste relazioni segue che R(g 1 ) R(g 2 ) = R(g 1 g 2 ), come anche R(e) = 1, per cui anche R(g) definisce una rappresentazione del gruppo. Similmente negli altri casi. Queste rappresentazioni matriciali trasformano vettori di opportuni spazi vettoriali, le cui componenti sono per convenzione indicate con indici puntati in alto, indici in basso ed indici puntati in basso, rispettivamente. In formule vȧ v a vȧ vȧ = [R(g) v]ȧ = [R(g) ]ȧḃ vḃ v a = [R(g) 1 T v] a = [R(g) 1 T ] a b v b vȧ = [R(g) 1 v]ȧ = [R(g) 1 ]ȧ ḃ vḃ L invarianza di w a v a segue dal calcolo diretto w a v a w av a = [R(g) 1 T ] a b w b [R(g)] a c v c (si noti uso indici c b)

5 = [R(g) 1 T ] b a [R(g)] a c w b v c (i numeri commutano tra loro) = [R(g) 1 ] b a[r(g)] a c w b v c (relazione tra matrice e sua trasposta) = [I] b c w b v c (prodotto di matrici da la matrice identita I) = δc b w b v c (inseriti i valori della matrice identita ) = w b v b (sommato su indice c) = w a v a (rinominato indice muto da b ad a) Dunque w av a = w a v a, e questo prodotto è invariante (uno scalare). Nei casi in cui R(g) = R(g) 1 T (matrici ortogonali) si ha invarianza di v a t a, in quanto v a = v a e v a t a è invariante (dal calcolo qui sopra!).