Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 15

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1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Polarizzazione nel decadimento del mesone π Decadimento del leptone τ: τ π ν τ Proprietà isotopiche della corrente adronica Fattori di forma anno accademico

2 Polarizzazione del leptone Come nel caso del decadimento β del neutrone è facile calcolare la polarizzazione del leptone carico nel decadimento del pione Otteniamo pertanto Si verifica facilmente che Il vettore di polarizzazione longitudinale del leptone è Dalla cinematica si ottiene facilmente Ricordiamo In definitiva Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 446

3 Polarizzazione del leptone Il risultato precedente mostra che nel sistema di riposo del pione il leptone è polarizzato al 100% nella sua direzione di moto Questo risultato era prevedibile per i seguenti motivi Il pione ha spin 0 π L antineutrino è right-handed Per la conservazione del momento angolare anche il leptone carico è right-handed Questo spiega qualitativamente perchè il decadimento in elettrone è molto più raro nonostante dovrebbe essere favorito per lo spazio delle fasi La conservazione del momento angolare obbliga il leptone a essere emesso con la polarizzazione sbagliata (rispetto a quella imposta dalla corrente V-A) Per l elettrone (che è molto più leggero e che ha un β 1) ciò è molto più difficile (probabilità 1 β) Se il leptone avesse massa nulla il decadimento avrebbe larghezza nulla Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 447

4 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ Mostriamo come il formalismo fin qui sviluppato può essere utilizzato anche per il calcolo della frazione di decadimento del leptone τ Osserviamo prima di tutto che per il calcolo della vita media o della larghezza totale occorrerebbe calcolare tutte le larghezze parziali Troppo lavoro. Calcoliamo solo la larghezza del decadimento in π ν τ e confrontiamola con la larghezza totale La larghezza totale può essere derivata dalla vita media Dal risultato sperimentale τ = s ricaviamo Calcoliamo adesso la larghezza del decadimento π ν τ Il calcolo è identico a quello fatto per il decadimento del pione Si utilizza l Hamiltoniana Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 448

5 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ La corrente leptonica J μ adesso contiene anche un termine per il leptone τ Lo stato iniziale e lo stato finale sono rispettivamente Notiamo in particolare che per quel che riguarda gli adroni si passa dallo stato vuoto allo stato con un pione La situazione opposta a quella del decadimento del pione Scriviamo pertanto l ampiezza di decadimento L elemento di matrice della parte adronica è il complesso coniugato di quello che avevamo nel decadimento del pione Dato che era reale sono uguali Il 4-vettore q μ è il momento del pione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 449

6 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ L elemento di matrice della parte leptonica è Per finire l ampiezza è Sostituendo Con la solita tecnica troviamo Dalla cinematica otteniamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 450

7 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ Mettendo insieme i vari pezzi otteniamo media sulle polarizzazioni iniziali Notiamo il fattore ½ introdotto prima dell elemento di matrice Questa volta il leptone è nello stato iniziale Bisogna mediare statisticamente fra le due polarizzazioni possibili Introduciamo i valori delle costanti e delle masse Otteniamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 451

8 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ Ricordando la larghezza totale ottenuta dalla vita media Otteniamo la frazione di decadimento Da confrontare con il valore sperimentale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 452

9 Polarizzazione del leptone τ Calcoliamo adesso la larghezza di decadimento nel caso in cui il leptone τ sia polarizzato. L ampiezza mediata Diventa Adesso mettiamoci nel sistema di riposo del leptone Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 453

10 Polarizzazione del leptone τ Si ottiene infine la distribuzione angolare dei pioni nel sistema di riposo del leptone τ Nel rapporto i termini costanti dello spazio delle fasi si elidono e pertanto possiamo semplicemente fare il rapporto fra i quadrati delle ampiezze Osserviamo infine che il segno di fronte al prodotto ξ k ν dipende dal segno della massa nell espressione La massa compare con questo segno perchè nell ampiezza era presente lo spinore u del τ (particella) Se invece ci fosse stato un τ + (antiparticella) allora ci sarebbe stato uno spinore v e quindi una massa con il segno opposto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 454

11 La misura della polarizzazione del τ A LEP coppie di leptoni τ sono prodotti nelle collisioni e + e all energia del centro di massa pari a M Z I due leptoni hanno momento opposto (uguale in modulo) e energia E = M Z /2 I leptoni sono prodotti con una polarizzazione che dipende dagli accoppiamenti della Z 0 ai leptoni (lo vedremo) Dalla misura della polarizzazione si possono misurare gli accoppiamenti Nel sistema di riposo del leptone τ, il π e il neutrino sono prodotti ad un angolo θ rispetto alla direzione di volo del τ π θ β τ ν τ Il momento e l energia del pione sono Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 455

12 La misura della polarizzazione del τ La massa del τ è m τ = MeV e per i nostri scopi è possibile approssimare a zero la massa del pione Nel laboratorio, l energia di un pione emesso ad un angolo θ nel c.m. è γ e β sono i fattori relativistici del leptone τ L energia del pione è pertanto Al variare di cos θ l energia del pione varia fra Il valore massimo M Z /2 che si raggiunge per cos θ = 1 il valore minimo 0 che si raggiunge per cos θ = 1 Se non si trascura la massa del leptone l'intervallo è ridotto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 456

13 La misura della polarizzazione del τ Abbiamo visto che nel sistema di riposo del τ l angolo di emissione del pione ha una distribuzione Nel sistema di laboratorio avremo pertanto Dai calcoli cinematici precedenti e inoltre Mettendo insieme i vari pezzi Introduciamo la variabile Si ottiene La misura fatta a LEP Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 457

14 Decadimenti deboli Abbiamo visto che l interazione di Fermi (interazione corrente-corrente) può essere utilizzata con successo per descrivere i decadimenti deboli Assumendo l universalità l Hamiltoniana può essere scritta come La corrente J α (x) è fatta da due pezzi: J α (x) = l α (x) + h α (x) La corrente leptonica l α (x) contiene i campi delle tre famiglie di leptoni I leptoni sono soggetti solo all interazione elettrodebole e la loro descrizione mediante campi liberi di Dirac è adeguata Notiamo che la presenza nell Hamiltoniana sia della corrente J che della corrente J permette di descrivere processi coniugati Ad esempio richiede i campi richiede i campi Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 458

15 La corrente adronica La corrente adronica h α (x) è più complicata Non può essere scritta in termini di campi liberi Deve descrivere fenomeni per un gran numero di decadimenti di adroni Decadimenti di bosoni ad esempio decadimento dei mesoni π o K Decadimenti di fermioni, ad esempio del neutrone n o della Λ Nel seguito dedurremo alcune proprietà e parametrizzazioni della corrente adronica utilizzando le sue simmetrie dedotte dai dati sperimentali Innanzitutto ricordiamo che l interazione debole viola la parità La corrente è la somma di due termini: h α (x) = V α (x) A α (x) Una componente vettoriale-polare V α (x) Una componente vettoriale-assiale A α (x) Inoltre i decadimenti deboli adronici sono classificabili in due grandi famiglie Decadimenti adronici senza violazione di stranezza per i quali ΔS = 0 Ad esempio i decadimenti Decadimenti adronici con violazione di stranezza per i quali ΔS 0 Ad esempio i decadimenti Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 459

16 La corrente adronica La corrente adronica contiene pertanto Un termine che conserva la stranezza Un termine che viola la conservazione della stranezza Studiamo dapprima le proprietà della corrente, la parte ΔS = 0 I processi deboli studiati fino ad ora hanno tutti la proprietà che la carica elettrica dello stato adronico (o leptonico) cambia di una unità: ΔQ = ±1 Questa proprietà fissa delle regole di commutazione fra le correnti e l operatore carica elettrica Q Infatti dati due stati i> e f> Verifichiamo che la regola di commutazione implica che ΔQ = ±1 Pertanto, se l elemento di matrice è diverso da zero Analogamente per la corrente J α abbiamo Pertanto le interazioni deboli (correnti cariche) hanno la regola di selezione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 460

17 Proprietà isotopiche della corrente adronica Sappiamo che l isospin è una simmetria delle interazioni forti Ad esempio per nucleoni e pioni se si trascurano le differenze di massa Anche se l interazione debole viola la conservazione dell isospin tuttavia lo utilizziamo per descrivere gli stati adronici iniziali e finali Introduciamo pertanto il formalismo dell isospin per i campi del protone e del neutrone Se utilizziamo il formalismo dell isospin il protone e il neutrone sono un unica particella di Isospin T = ½ con due stati caratterizzati da T 3 = ±½ Il campo Ψ del nucleone è un isospinore Il campo Ψ è una quantità a due componenti Ciascuna delle due componenti è a sua volta uno spinore di Dirac a 4 componenti La Lagrangiana del nucleone si riscrive tramite il campo Ψ Espandendo la notazione compatta Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 461

18 Proprietà isotopiche della corrente adronica La simmetria dell isospin si introduce richiedendo l invarianza della Lagrangiana rispetto al gruppo SU(2) nello spazio isospinoriale Una trasformazione è funzione di 4 parametri (α, Λ 1, Λ 2, Λ 3 ); si può scrivere τ i matrici di Pauli La trasformazione che si ottiene per Λ = 0 è l invarianza per trasformazioni globali di fase già vista L applicazione del teorema di Noether porta alla corrente conservata La carica conservata associata è La conservazione di questa carica esprime la conservazione del numero barionico Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 462

19 Proprietà isotopiche della corrente adronica L invarianza rispetto ad una trasformazione con Λ 0 porta alla corrente (di Isospin) conservata La corrente definita è un oggetto complicato È un operatore vettoriale (nel senso di Lorentz) rispetto all indice μ È un operatore vettoriale (nello spazio dell isospin) rispetto all indice i degli operatori di Pauli τ i J μ è conservata: per ogni componente i si definiscono le cariche isotopiche Gli operatori T i appena definiti Sono operatori come gli operatori di campo Ψ Agiscono sugli stati dello spazio di Fock (in particolare sul vuoto) Gli stati hanno adesso anche il grado di libertà isospin T i possono essere espressi tramite operatori di creazione e distruzione Si possono verificare le seguenti regole di commutazione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 463

20 Proprietà isotopiche della corrente adronica Consideriamo adesso la corrente di isospin Dall ultima relazione della diapositiva precedente si può ricavare In analogia a quanto si fa nella teoria del momento angolare (o dello spin isotopico) si possono definire gli operatori Utilizzando le regole di commutazione precedenti si ottiene Notiamo che le ultime relazioni trovate sono formalmente identiche a quelle della diapositiva La differenza è la sostituzione dell operatore carica elettrica Q con l operatore T 3 Questa circostanza suggerisce una relazione fra la corrente debole carica J e la corrente di isospin J + Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 464

21 Proprietà isotopiche della corrente adronica Gli operatori dello spazio isotopico sono classificati secondo le loro proprietà di trasformazione sotto l azione di un operatore U di SU(2) Operatori isoscalari: ad esempio il numero barionico Infatti Operatori isospinoriali: ad esempio il campo Ψ Si può dimostrare che Ψ si trasforma come un isospinore Operatori isovettoriali: ad esempio la corrente La verifica che sia un isovettore è più complicata Si può verificare che per Λ infinitesimo Bernstein, Elementary Particles and their currents,w.h. Freeman & Company (1968) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 465

22 Proprietà isotopiche della corrente adronica Discutiamo adesso l importante relazione Consideriamo l operatore B Consideriamo adesso l operatore T 3 In definitiva Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 466

23 Proprietà isotopiche della corrente adronica Per finire possiamo definire la carica elettrica del sistema (in unità di e) come il numero di protoni Abbiamo utilizzato le seguenti matrici 2 2 Ovviamente si ha Utilizzando la relazione precedente si trova Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 467

24 Proprietà isotopiche della corrente adronica Ritorniamo adesso alle considerazioni fatte nella diapositiva Avevamo visto le regole di commutazione Abbiamo appena visto che Dato che la corrente conserva il numero barionico, B commuta con la corrente e quindi possiamo sostituire Q a T 3 nelle regole di commutazione Confrontare con diapositiva 464 Tutto ciò ci permette di dire che la corrente adronica carica J α ha evidenti somiglianze con un operatore nello spazio di isospin con le proprietà di un operatore di innalzamento o di abbassamento La corrente che induce, ad esempio, transizioni n p La corrente che induce, ad esempio, transizioni p n Assumiamo pertanto che gli stati iniziale e finale siano elementi di un spazio isotopico Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 468

25 La corrente adronica Studiamo ora il comportamento generale della corrente adronica in relazione alle sue proprietà di trasformazione per il gruppo di Lorentz Consideriamo un elemento di matrice della corrente fra uno stato iniziale e uno stato finale i> ed f> Ad esempio nel decadimento β del neutrone i = n f = p Oppure nel decadimento β del pione i = π f = π 0 Innanzitutto la teoria deve essere invariante per traslazioni L invarianza per traslazioni (P μ generatori delle traslazioni) implica che si possa scrivere Consideriamo adesso l elemento di matrice Abbiamo già notato che ha una componente polare e una assiale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 469

26 La corrente adronica: Fattori di Forma Nella trattazione del decadimento β abbiamo utilizzato il risultato (diap ) Questo risultato vale solo per particelle puntiformi (senza struttura) Non è adeguato per calcoli precisi con adroni Nel caso degli adroni occorre ricorrere a parametrizzazioni che superino la nostra incapacità di calcolare esattamente gli elementi di matrice in presenza dell interazione forte Sulla base di considerazioni di invarianza relativistica si può scrivere la forma più generale che devono avere gli elementi di matrice n p Nel caso di fermioni (ad esempio neutrone protone) p i p f Le quantità g X, f X, h X sono funzioni scalari dell unica quantità cinematica scalare non banale: q 2 = ( p f p i ) 2 Notiamo che per particelle senza struttura f X = h X = 0 e g X = 1 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 470

27 La corrente adronica: Fattori di Forma I fattori di forma possono essere estratti da misure di decadimenti deboli in funzione del momento trasferito In particolare abbiamo già visto alcuni risultati per il decadimento β del n Data la piccola differenza di massa fra neutrone e protone il momento trasferito è limitato a valori molto piccoli: q 2 0 Nel limite di bassi momenti trasferiti sopravvivono solo i Fattori di Forma g X Confrontando con risultati ottenuti da transizioni di Fermi Utilizzando per G il valore ottenuto G μ dalla vita media del muone Supponendo G = G μ otteniamo Dagli studi di transizioni di Gamov Teller si ottiene Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 471

28 La corrente adronica vettoriale La cosa più interessante del risultato precedente è che g V (0) è praticamente 1 Significa che a basso momento trasferito la parte vettoriale della corrente adronica si comporta come la corrente vettoriale del muone L interazione forte non modifica il decadimento debole Questa affermazione merita dei commenti Per il decadimento del neutrone abbiamo calcolato Poichè esiste il decadimento n p n p p Dovremmo considerare anche contributi tipo π π 0 Il fatto che f V (0) = 1 significa che il secondo diagramma non modifica il primo che risulta uguale μ ν μ a quello del decadimento del leptone μ Questa circostanza è analoga a quanto succede alle proprietà elettromagnetiche del protone a basso momento trasferito L interazione elettromagnetica del protone è descritta dal diagramma È identica a quella dell elettrone (puntiforme) p p n p p Non è modificata da effetti del tipo indicato π + dal diagramma Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 472

29 Digressione: la corrente elettromagnetica Nel caso dello scattering elastico elettrone protone il processo è descritto dall interazione di due correnti tramite un fotone k i e e k f L elemento di matrice della corrente leptonica si può calcolare esattamente perché si possono usare i campi liberi p i p γ p p f Per l elemento di matrice della corrente adronica bisogna utilizzare una parametrizzazione simile a quanto fatto per l interazione debole Che l interazione elettromagnetica a basso momento trasferito non sia sensibile alle interazioni forti è espresso dal fatto che La cancellazione degli effetti dovuti ai diagrammi di ordine superiore nella ridefinizione della carica elettrica (escluso la polarizzazione del vuoto) è una conseguenza della conservazione della corrente elettromagnetica Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 473

30 Digressione: la corrente elettromagnetica La conservazione della corrente elettromagnetica implica che F 3 = 0 Imponendo questa condizione sulla parametrizzazione Osserviamo che Il primo termine diventa pertanto Il secondo termine è nullo per l antisimmetria di σ μν Otteniamo in definitiva L elemento di matrice della corrente elettromagnetica del protone è pertanto Gli esperimenti di scattering elastico e p e p permettono di misurare i fattori di forma F 1 e F 2 in funzione del momento trasferito q 2 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 474

31 Digressione: la corrente elettromagnetica Per una particella puntiforme che obbedisce all equazione di Dirac Il Fattore di Forma F 1 è costante (non dipende da q 2 ) ed è uguale a 1 Il Fattore di Forma F 2 è sempre nullo Occorre tenere presente che il fattore F 2 rappresenta una interazione di momento magnetico aggiuntiva La corrente vettoriale contiene già una interazione di tipo magnetico Lo abbiamo visto nel limite di bassa energia Lo si può vedere esplicitamente con la Scomposizione di Gordon della corrente vettoriale Dal momento che F 2 descrive una interazione di momento magnetico aggiuntiva viene detta Momento Magnetico Anomalo In particolare il suo valore a momento trasferito nullo κ = F 2 (0) In alcuni articoli o testi si fa la sostituzione F 2 κf 2 con F 2 (0) = 1 e κ è il momento magnetico anomalo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 475

32 Scomposizione di Gordon La scomposizione di Gordon mette in evidenza i due termini di interazione di una particella di Dirac L interazione di una particella senza spin L interazione dovuta al momento magnetico Per dimostrare la relazione sviluppiamo il secondo termine Dalle regole di commutazione delle matrici γ μ Utilizzando la relazione per i due termini otteniamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 476

33 Scomposizione di Gordon Applicando ancora una volta l equazione di Dirac otteniamo Ridisponendo i termini otteniamo la scomposizione di Gordon della corrente vettoriale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 477

34 I Fattori di Forma del protone Ritorniamo ai fattori di forma elettromagnetici Le figure riportano i due fattori di forma del protone F 1 (0) = 1 κ misure di NMR Borkowski et al Nucl. Phys. 93 (1975) p. 461 Thomas A., Weise W. The structure of the nucleon p John Wiley and Sons 2001 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 478

35 I Fattori di Forma del protone Una analisi analoga può essere fatta per il neutrone Le figure mostrano i risultati di esperimenti e n e n che permettono di misurare i fattori di forma in funzione del momento trasferito q 2 Misure dei Fattori di Forma del neutrone mostrano una complessa struttura di cariche e correnti Il neutrone si comporta come se avesse un nucleo positivo e una superficie negativa (con la carica totale ovviamente nulla): n p + π n Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 479