Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 13

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1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Violazione della parità Polarizzazione nel decadimento β Esperimento di Frauenfelder Hamiltoniana del decadimento β anno accademico

2 La violazione della parità La scoperta che la parità è violata nei decadimenti β impone una revisione dell Hamiltoniana In particolare la richiesta che i singoli termini debbano essere scalari non ha più una motivazione fisica L Hamiltoniana più generale non deve necessariamente conservare la parità Ogni termine può avere sia una parte scalare sia una parte pseudoscalare Pertanto l Hamiltoniana risulta composta da due termini La parte PV dell Hamiltoniana contiene termini pseudoscalari Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 374

3 La violazione della parità Il termine PC (Parity Conserving) è quello che abbiamo studiato fino ad ora ed è pari per trasformazioni di inversione Il nuovo termine PV (Parity Violating) contiene prodotti di grandezze dispari per trasformazioni di inversione Ricordiamo che l ampiezza di transizione è costruita con una serie perturbativa in funzione di H In particolare al primo ordine Pertanto se l elemento di matrice di H' fosse nullo allora la transizione sarebbe proibita Consideriamo due autostati di P a> e b> con parità diversa Dimostriamo che Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 375

4 La violazione della parità Cominciamo con l elemento di matrice del termine PC fra due autostati di P con parità diversa Quindi Calcoliamo adesso l elemento di matrice del termine PV fra due autostati di P con parità diversa Quindi è possibile che Analogamente si può dimostrare che per due autostati di P con la stessa parità, ad esempio Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 376

5 Conseguenze Fenomenologiche Le modifiche introdotte non alterano la parte nucleare e pertanto Si mantiene la classificazione dei vari termini di interazione Transizioni di Fermi e transizioni di Gamov-Teller con le regole di selezione sugli spin nucleari dedotte precentemente Fino a quando non si studiano processi con polarizzazione del nucleone iniziale non si hanno termini di interferenza SA, ST, VA, VT Gli elementi di matrice si calcolano sempre utilizzando la tecnica delle tracce In particolare ricordiamo il calcolo dell elemento di matrice di Fermi Assumendo m ν = 0 diventa (ipotesi non essenziale) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 377

6 Conseguenze Fenomenologiche Fare attenzione al segno del secondo operatore di vertice Ricordiamo infatti che la somma sugli stati di polarizzazione dava Abbiamo allora E anche Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 378

7 Gli elementi di matrice Le tracce possono essere semplicemente sviluppate ricordando le proprietà Per gli elementi di matrice si ottiene Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 379

8 Conseguenze Fenomenologiche Consideriamo ad esempio l elemento di matrice di Fermi L assenza del termine di interferenza, dedotta dallo studio della forma dello spettro, ha conseguenze meno dirette C S C V ( 1 α S α V ) = 0 Questo può succedere per una delle 3 condizioni Pertanto risulta più complicato trarre conclusioni dagli esperimenti già visti Per le correlazioni angolari non ci sono sostanziali differenze Infatti cambia solo il valore numerico delle due costanti di accoppiamento Occorre inventare nuovi esperimenti per determinare le nuove costanti L esperimento di Wu et al. fornisce le nuove informazioni necessarie I calcoli per interpretare gli esperimenti sono però un po più lunghi I nuclei sono polarizzati Non si annullano i termini di interferenza Fermi/Gamov-Teller Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 380

9 Elettroni polarizzati L osservazione della direzione privilegiata di emissione degli elettroni nell esperimento di Wu et al. ha una implicazione molto importante sulla direzione dello spin (polarizzazione) dell elettrone J i f = Ni* 60 Co S = 1 Per conservare il momento angolare l elettrone e il neutrino devono portare via una quantità S = 1 di momento angolare Il neutrino e l elettrone devono avere gli spin paralleli Dall esperimento di Wu gli elettroni sono emessi preferibilmente in basso Più precisamente in direzione opposta allo spin del nucleo L elettrone deve quindi essere polarizzato in direzione opposta alla sua direzione di moto: elettrone left-handed Verifichiamo se l Hamiltoniana che abbiamo scritto prevede questo fenomeno Calcoliamo la polarizzazione degli elettroni nel decadimento β Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 381

10 Polarizzazione nel decadimento β La polarizzazione degli elettroni è definita come Il numero degli elettroni Right-Handed è N R Il numero degli elettroni Left-Handed è N L I numeri N R e N L sono proporzionali alle larghezze di decadimento Come in precedenza l elemento di matrice contiene interazioni S,V,A,T Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 382

11 Polarizzazione nel decadimento β Rivediamo i singoli termini Osserviamo in particolare la polarizzazione degli spinori dell elettrone Scalare Vettoriale Vettoriale assiale Tensoriale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 383

12 Polarizzazione nel decadimento β Il calcolo del quadrato del modulo procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente sommando su tutti gli stati di polarizzazione non osservati ( n, p, ν ) Dato che sommiamo sulla polarizzazione iniziale (del neutrone) non ci sono termini di interferenza SA, ST, VA, VT Di nuovo abbiamo i due elementi di matrice di Fermi e di Gamov-Teller Le somme sugli stati di polarizzazione si fanno con la tecnica delle tracce La polarizzazione degli elettroni si introduce tramite i proiettori di spin L elemento di matrice di Fermi è pertanto n p ν e k k' Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 384

13 Polarizzazione nel decadimento β Occorre definire i vettori di polarizzazione Il vettore s R definisce una polarizzazione parallela alla direzione di moto: polarizzazione Right-Handed Il vettore polarizzazione ξ (nel sistema di riposo) è parallelo a p ( ξ = 1) Il vettore s L si ottiene semplicemente cambiando ξ ξe quindi Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 385

14 Polarizzazione nel decadimento β Ricordiamo la definizione di polarizzazione Il numero di elettroni per le due polarizzazioni è dato da Pertanto la polarizzazione è data da L integrale sullo spazio delle fasi è su tutte le variabili cinematiche escluso E e Vedremo che dipende dall energia Calcoliamo il numeratore Ricordiamo che Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 386

15 Polarizzazione nel decadimento β Esaminiamo adesso un generico termine Ad es. il termine scalare commuta con anticommuta con Possiamo trasportare ( 1 α S γ 5 ) a sinistra trasformandolo in ( 1 + α S γ 5 ) Ricordiamo che ( γ 5 ) 2 = I Otteniamo pertanto Introduciamo questi risultati nel calcolo Possiamo ancora anticommutare γ 5 con Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 387

16 Polarizzazione nel decadimento β Per il terzo termine Introducendo nell espressione E finalmente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 388

17 Polarizzazione nel decadimento β Siamo quasi alla fine!!! Ricordiamo la proprietà del vettore s μ : s R k = 0 Per finire, ricordiamo che s R, k, k sono Introduciamoli nel calcolo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 389

18 Polarizzazione nel decadimento β Ricordiamo che L integrale sulle direzioni dell elettrone e del neutrino elimina i pezzi dipendenti da cosθ eν Il numeratore Diventa Per quel che riguarda il denominatore notiamo che i termini M R e M L contengono rispettivamente La somma di questi due termini è pertanto 1 Il denominatore (integrato sulle direzioni) risulta uguale al risultato trovato per la distribuzione dell energia Abbiamo usato il risultato sperimentale che l interferenza di Fierz è 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 390

19 Polarizzazione nel decadimento β La polarizzazione degli elettroni è pertanto Vedremo fra poco che gli studi sperimentali della polarizzazione degli elettroni che hanno mostrato che Pertanto le misure sperimentali richiedono che Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 391

20 Polarizzazione nel decadimento β Ricordiamo che dalla misura della distribuzione dell energia si conclude che il termine di interferenza di Fierz è assente L implicazione di questo risultato sulle costanti di accoppiamento è Abbiamo già notato non possiamo trarre conclusioni solo da questo risultato D altro canto, dalla misura delle correlazioni angolari Questo risultato implica Da cui, come prima dell introduzione della violazione della parità C S = 0 Combinando questo risultato con la misura della polarizzazione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 392

21 Misura della Polarizzazione Per misurare la polarizzazione di un elettrone occorre chiedersi se ci sono effetti misurabili dipendenti dalla polarizzazione nella interazione di un elettrone o con un campo coulombiano o con un elettrone atomico Fra i metodi principali Mott scattering Scattering con il campo Coulombiano del nucleo di un atomo pesante Sensibile solo polarizzazione trasversale alla direzione di moto Møller scattering Interazione dell elettrone che si vuole analizzare con un elettrone atomico L elettrone atomico deve essere polarizzato Bhabha scattering Come il precedente ma per analizzare la polarizzazione di positroni Analizzeremo solo un esperimento che usa il primo metodo Purtroppo lo scattering Coulombiano dipende dalla polarizzazione solo al secondo ordine dell approssimazione di Born L effetto è piccolo: si usano nuclei pesanti Inoltre, come già osservato, è sensibile solo ad una polarizzazione trasversale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 393

22 Rotazione del Vettore di Polarizzazione Come trasformare la polarizzazione longitudinale in trasversale? Ovviamente con un campo elettromagnetico Per descrivere l effetto di un campo elettromagnetico classico sullo spin di una particella si può utilizzare l equazione semiclassica ( Bargman,Michel,Telegdi ) momento magnetico momento magnetico anomalo L equazione descrive il moto del vettore di polarizzazione s μ sotto l effetto di un campo elettromagnetico Il campo non deve essere troppo intenso Vale per qualunque campo macroscopico Solo per campi a livello microscopico potrebbe essere non valida Ė più intuitivo utilizzare una equazione che descriva il moto del vettore ξ nel sistema di riposo istantaneo della particella In questo sistema l equazione diventa (per l elettrone si può assumere m'= 0) Landau, Lifshitz Quantum Electrodynamics 41p,151 Pergamon Press 1982 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 394

23 Rotazione del Vettore di Polarizzazione Il sistema utilizzato per ruotare la polarizzazione fu inventato nel 1951 da Tolhoek e de Groot Una guida circolare realizza un campo elettrico radiale (B = 0) Gli elettroni di energia opportuna seguono una traiettoria circolare Il campo elettrico fornisce una forza centripeta Se l energia dell elettrone non è elevata ( γ 1) Il moto è praticamente non relativistico Vedremo che la polarizzazione non risente del campo elettrico La direzione dello spin rimane invariata Se l energia dell elettrone è elevata (γ 1) Lo spin sente l effetto del campo elettrico e precessa Calcoliamo adesso la rotazione del vettore polarizzazione senza assunzioni sulla velocità dell elettrone Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 395

24 Rotazione del Vettore di Polarizzazione Iniziamo calcolando il raggio dell orbita in funzione del campo elettrico E e della velocità La legge di Newton La variazione di quantità di moto dell elettrone quando ha percorso una lunghezza Rdθ è dp = pdθ Pertanto La velocità angolare è R θ Il periodo A questo punto calcoliamo il raggio dell orbita Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 396

25 Rotazione del Vettore di Polarizzazione Studiamo adesso la precessione dello spin Ricordiamo l equazione Bargman, Michel, Telegdi Per B = 0 diventa Il vettore E β è perpendicolare al piano individuato da E e β Il vettore ξ (E β) è sul piano ed è perpendicolare a ξ Riscriviamo l equazione di BGT E Descrive una precessione Lo spin quindi precessa La variazione dello spin dξ è sul piano β Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 397

26 Rotazione del Vettore di Polarizzazione Supponiamo adesso che l elettrone abbia percorso un tratto Δ dell arco Vogliamo calcolare l angolo fra La quantità di moto p Il vettore di polarizzazione ξ Per percorrere la distanza Δ l elettrone impiega un tempo α Ricordiamo la velocità della precessione dello spin Pertanto il vettore di polarizzazione ξ e il vettore p ruotano rispettivamente Eliminiamo β Concludendo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 398

27 Rotazione del Vettore di Polarizzazione Pertanto dopo aver percorso uno spazio Δ = RΔα l angolo fra i due vettori è Pertanto, affinché la quantità di moto e lo spin siano perpendicolari deve essere α Dato un elettrone di energia mc 2 γ la guida deve avere una lunghezza RΔα L angolo Δα è dato da Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 399

28 Sezione d urto Mott La sezione d urto Mott è relativa all interazione di un elettrone con il campo Coulombiano p i Il bersaglio ha massa infinita Si tiene conto dello spin dell elettrone con la teoria di Dirac Abbiamo fatto questo calcolo al primo ordine della teoria perturbativa A questo ordine non appaiono effetti legati alla polarizzazione Una dipendenza dalla polarizzazione compare al secondo ordine Diamo solo il risultato del calcolo p f Per le funzioni I(θ) e D(θ) vedi Landau vedi Landau Lifshitz Quantum Electrodynamics 12.1 pag 534 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 400

29 Esperimento di Frauenfelder La figura mostra schematicamente l apparato dell esperimento di Frauenfelder per la misura della polarizzazione degli elettroni di un decadimento β Notiamo che se l angolo di deflessione θ va a sinistra il prodotto vettoriale cambia segno (cambia il segno della componente 1 di p 2 ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 401

30 Esperimento di Frauenfelder Supponiamo adesso che gli elettroni siano completamente polarizzati In un caso paralleli alla quantità di moto (RH) Nell altro caso antiparalleli (LH) Dopo la rotazione gli elettroni sono ancora completamente polarizzati Nel primo caso verso l alto Nel secondo verso il basso Ricordiamo la formula della sezione d urto Le misure da fare sono La sezione d urto per un angolo θ R Spin up R Spin down La sezione d urto per un angolo θ L opposto a θ R Spin up Spin down L Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 402

31 Esperimento di Frauenfelder Nell esperimento gli elettroni non sono completamente polarizzati La misura della polarizzazione è l obbiettivo dell esperimento La polarizzazione degli elettroni è data da N + polarizzati up (probabilità ) N polarizzati down (probabilità ) La sezione d urto osservata per un angolo θ R è Analogamente, per un angolo θ L si osserva Definiamo l asimmetria δ Ci mettiamo nella condizione Si può verificare che Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 403

32 Esperimento di Frauenfelder S(θ) è noto: la misura di δ permette di misurare Osservazioni S(θ) dipende anche dall energia dell elettrone È necessario che gli angoli θ R e θ L siano perfettamente simmetrici L esperimento è sensibile solo alla polarizzazione trasversale Un errore nella rotazione dello spin porta ad un errore sistematico su L effetto aumenta al crescere di Z Si usano metalli pesanti come l oro Per ottimizzare l esperimento si può cercare l angolo al quale l effetto è più grande Occorre però tenere presente che al crescere dell angolo la sezione d urto diminuisce Occorre pertanto trovare un compromesso tra la dimensione dell effetto misurato e l errore statistico con cui esso viene determinato Il risultato dell esperimento è e e S( ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 404

33 Determinazione di C A e C V Abbiamo già visto che la misura della vita media di nuclei permette di determinare la costante di accoppiamento G β Tuttavia, il parametro ξ contiene una dipendenza dal rapporto C A /C V I decadimenti di Fermi contengono solo il termine <1> e permettono pertanto la determinazione di G β senza ulteriori informazioni C A /C V Ulteriori misure di su transizioni di Gamov-Teller o miste permettono la determinazione di C A /C V Blucher, Marciano PDG 2006 J. Phys. G 33 pag. 677 Ceccucci, Ligeti, Sakai PDG 2006 J. Phys. G 33 pag. 138 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 405

34 Determinazione di C A e C V Il segno relativo delle due costanti si può determinare con la misura di un osservabile che dipenda dal prodotto C A C V e quindi dall interferenza fra termini di Fermi e Gamov-Teller Occorre pertanto studiare transizioni di nuclei polarizzati Per nuclei non polarizzati l elemento di matrice contiene il termine 1 + a β e β ν Osservabili che dipendono dal vettore di polarizzazione del nucleo σ contengono termini del tipo Per neutroni polarizzati si trova Misure di correlazione angolare fra la direzione dell elettrone (o del neutrino) e lo spin nucleare mostrano che il segno relativo è positivo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 406

35 L Hamiltoniana del Decadimento β Gli esperimenti descritti hanno permesso la determinazione della forma dell Hamiltoniana del decadimento β Sono stati esclusi i termini Scalare e Tensoriale Sono state determinate le costanti degli accoppiamenti Vettoriale e Assiale L Hamiltoniana pertanto contiene solo i termini V e A Il termine assiale può essere semplificato utilizzando (γ 5 ) 2 = I Infine raccogliamo la parte leptonica Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 407

36 L Hamiltoniana del Decadimento β Possiamo ulteriormente semplificare E ancora Come abbiamo già detto κ = 1.27 e GC V G β Il valore di κ diverso da 1 dipende dal fatto che il nucleone non è una particella puntiforme Il protone ha una struttura Ritorneremo su questo punto in seguito Per il momento trascuriamo questo aspetto e assumiamo κ = 1 In una notazione più moderna è diventato abituale spostare la matrice γ μ a sinistra Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 408

37 L Hamiltoniana del Decadimento β Definiamo due generiche correnti ( sia adronica che leptonica) Una corrente Vettoriale Una corrente Assiale Le due correnti (adronica e leptonica) compaiono nell Hamiltoniana nella combinazione Ė questa la famosa forma V A delle correnti deboli ( cariche ) Infine, per uniformarci alle notazioni maggiormente utilizzate ridefiniamo la costante di Fermi La costante G è stata definita da Fermi prima della scoperta della violazione della parità La generalizzazione dell interazione di Fermi e l introduzione della violazione della parità hanno condotto ad una Hamiltoniana che contiene due correnti (V A) Per mantenere la stessa definizione di Fermi è necessario dividere G per Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 409