Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza. Lezione 8. I decadimenti γ

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 8 I decadimenti γ

2 Decadimenti γ (Cenni da cap. 9 del Krane) I decadimenti γ consistono nel passaggio di un nucleo da uno stato eccitato ad uno stato di energia più bassa, accompagnato dall emissione di un fotone. Nel modello a shell: transizioni di un nucleone da un livello all altro Moti collettivi in nuclei con grande A Processo elettromagnetico decadimenti α: interazioni forti decadimenti β: interazioni deboli estensione del fenomeno classico: irraggiamento elettromagnetico dovuto a cariche in moto accelerato probabilità di transizione dalla regola d oro di Fermi Ci permetterà di illustrare un concetto generale: regole di selezione È possibile anche il processo inverso: assorbimento di un fotone Lezioni del dott. Turra cinematica del decadimento e assorbimento risonante effetto Mossbauer A. Andreazza - a.a. 05/6

3 Ripasso Supponiamo di aver risolto un problema di Schrödinger: le autofunzioni: spettro continuo k k = p / spettro discreto: in caso di simmetrie, classificabili anche con altri numeri quantici: costituiscono un insieme ortonormale e completo k Energia n,l, m, P, Momento angolare i ψ t = Hψ k ʹ = δ(k k ʹ), k n ʹ, l ʹ, m ʹ = 0, n,l, m n ʹ, l ʹ, m ʹ = δ n, ʹ qualunque funzione può venire espressa come combinazione lineare di autostati: ψ(x) = d kc k k + c n,l,m n,l, m, n,l,m Parità e componente z n δ l, lʹ δ m, mʹ Il prodotto scalare con un autostato è il coefficiente di tale sviluppo: k ψ(x) = c k, n,l, m, ψ(x) = c n,l,m A. Andreazza - a.a. 05/6

4 Regola d oro Se aggiungiamo una perturbazione V, gli autostati di H evolvono nel tempo: i ψ = (H +V )ψ t i t n,l, m =,l,m n,l, m +V n,l, m Il termine V mescola diverse autofunzioni di H V n,l, m c n,l,m n,l, m + c n,l,m n,l, m + c n,l,m n,l, m + c n4,l 4,m 4 n 4,l 4, m 4 + Da un trattamento rigoroso, la probabilità per unità di tempo che, dato uno stato iniziale n,l,m, evolva in uno stato finale n f,l f,m f è data dalla regola d oro di Fermi: P i f = π n f,l f, m f V n,l, m ρ ( E ) f Spettro discreto: numero di stati finali accessibili Spettro continuo: dn f /de f densità di stati finali accessibili 4 A. Andreazza - a.a. 05/6

5 Regole di selezione Lo studio delle probabilità di transizione: P i f = π n f,l f, m f V n,l, m ρ ( E f ) in generale permette di determinare delle proprietà dell interazione V. o viceversa, se si fa un ipotesi sull interazione V, si possono determinare le probabilità di transizione da confrontare con osservazioni sperimentali. In particolare l osservazione empirica dei possibili stati finali in cui uno stato iniziale può evolvere risulta in regole di selezione: osservazione di P i f n f,l f, m f V n,l, m 0 non osservazione di P i f n f,l f, m f V n,l, m = 0 o viceversa, data un interazione V, spesso alcune sue proprietà di simmetria, ci permettono di prevedere quali transizioni sono possibili e quali proibite. 5 A. Andreazza - a.a. 05/6

6 Dipolo elettrico Per esempio, supponiamo di avere un interazione proporzionale al momento di dipolo elettrico di un nucleo: operatore di dipolo: d=qr q=ze carica del nucleo Gli stati del nucleo sono classificabili in base al loro spin ed alla loro parità (oltre che alla loro energia) Gli stati risultanti dall applicazione dell operatore d hanno parità opposta rispetto agli stati iniziali P( d ) = ( d)η P = η P ( d ) regola di selezione: un interazione mediata dal dipolo elettrico (es.: V=E d), può solo causare transizioni con cambio di parità. Interazioni proporzionali al dipolo magnetico µ invece mantengono invariata la parità: P µ η P = η P µ = +µ 6 A. Andreazza - a.a. 05/6

7 Dipolo elettrico Un altra regola di selezione si ottiene considerando il momento angolare (componente z): d x verifichiamo le regole di commutazione: = ( xp y yp x )qx = i x y y qx x = iqy + qx i x y y viene naturale considerare le combinazioni lineari d + e d - : = id y + d x x = i x y y d y = ( xp y yp y )qy qy= iqx + qy( i ) x = id x + d y x y y x = i x y y d z = ( xp y yp y )qz qz = qz( i ) x = d z x y y x d + = d x + id y d = d x id y d ± = d ± id x y = id ( + d L y x z) + i id ( x + d y ) = d + + d + = id ( y + d x )+ i ( id x + d y ) = d + d 7 A. Andreazza - a.a. 05/6

8 Dipolo elettrico L applicazione di d ad autostati di, ne cambia l autovalore: d + = (d + + d + ) = ( + m J )d + = d + = 0 + m J d z d z m J m J + m J m J ( d ) = ( + m J )d m J m J - Nel caso di V=E d V=E x d x +E y d y +E z d z : definendo E ± =(E x ±ie y )/ V=E - d + +E z d z +E + d - n f,l f, m f V n,l, m = n f,l f, m f E d + + E z d z + E + d n,l, m = n f,l f, m f E d + n,l, m + n f,l f, m f E z d z n,l, m + n f,l f, m f E + d n,l, m m f =m+ m f =m m f =m- regola di selezione: Δm=m f -m=0,± Estendendo il discorso a L, si può dimostrare che V,J,m J ha momento angolare compreso tra J+ e J- d si comporta come un oggetto di momento angolare l= 8 A. Andreazza - a.a. 05/6

9 Radiazione di dipolo elettrico Il motivo per cui abbiamo scelto d per gli esempi è che il più semplice fenomeno di emissione classico è quello di un dipolo oscillante: E = ω de -iωt 4πε 0 c B = ω 4πε 0 c La potenza irraggiata è ( ˆr d) ei ωr/c ωt r Per trasferirlo alla meccanica quantistica si può procedere intuitivamente: l energia è quantizzata: ad una frequenza ω corrispondono fotoni con E=ħω Per stimare una probabilità di transizione da uno stato i ad uno stato f: sostituiamo d con f d i ( ˆr d) ˆr ei ωr/c ωt S = R(E) ω 4 R(B) = ( ˆr d) ˆr cos ωr / c ωt µ 0 6π ε 0 µ 0 c 5 r P = de πε 0 ω 4 c d Il numero di quanti emesso per unità di tempo sarà λ=p/ħω Non è rigoroso, ma permette di avere un idea degli ordini di grandezza r ε 0 µ 0 =/ c 9 A. Andreazza - a.a. 05/6

10 Radiazione di dipolo elettrico Esplicitamente: irraggiamento classico: de πε 0 ω 4 c d in termini di energia dei fotoni: elemento di matrice: de πε 0 de πε 0 (ω) 4 = (c) d E 4 f d i (c) πε 0 solo una delle componenti conta, a seconda del Δm E γ 4 (c) d f d + i f d z i f d i costante di decadimento: Ordini di grandezza: f d i e 0 Carica r 0 =.6 fm λ A / r 0 Raggio πε 0 λ = E γ de πε 0 E γ (c) e A / r 0 E γ = α c E γ r 0 r 0 (c) A/ α 0 s f d i (c) e = 4πε 0 c c E γ c A/ r 0 E γ 5 MeV A / = α c r 0 E γ r 0 (c) A/ E s γ MeV A / A. Andreazza - a.a. 05/6

11 Radiazione di dipolo magnetico L elemento di matrice di dipolo elettrico ha delle regole di selezione ben precise: cambio di parità ΔJ=0,± (ma non 0 0) Se queste non sono soddisfatte la radiazione può avvenir tramite altri operatori. Dipolo magnetico Classicamente una spira percorsa da corrente alternata irraggia de πε 0 ω 4 c 5 µ Ordini di grandezza Confrontando con l espressione del dipolo elettrico, la costante di decadimento per una transizione indotta da un dipolo magnetico è minore di un fattore µ / c µ = N e = = c d cea / r 0 m N cea / r 0 A / m N c r 0 Regole di selezione: stessa parità = 4 0 A / ΔJ=0,± (ma non 0 0) Ripetendo lo stesso ragionamento del dipolo elettrico: λ = πε 0 E γ (c) c f µ i A. Andreazza - a.a. 05/6