Appendice 1 RISONANZE. Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 6 A. Andreazza - a.a. 2015/16

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1 Appendice RISONANZE Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 6

2 Generalizzazione a scattering anelastico (Krane.8) Nel caso ci sia la possibilità di assorbimento, questo può venire descritto generalizzando la forma dell onda uscente: ψ = A ψ = A kr l=0 i l+ (l +) e i(kr lπ /) e i(kr lπ /+δ l ) P (cosθ) l con la richiesta η l rappresenta il fatto che l ampiezza totale dell onda sferica uscente < dell onda sferica entrante. Seguendo gli stessi passaggi dello scattering elastico: ψ = ψ inc + Aeikr kr l=0 kr l=0 i(l +) [ η l ]P l (cosθ) i l+ (l +) e i(kr lπ /) i(kr lπ /) [ η l e ]P l (cosθ) Oltre alla sezione d urto elastica Sezione d urto anelastica: e totale: 53 σ an = π k l=0 (l +) [ Rη l ] σ el = π k l=0 (l +) [ η l ] σ an = π (l +) η k l l=0 Differenza in modulo tra onda entrante ed uscente Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione

3 Risonanze La sezione d urto è massima per sfasamento δl=±π/ Sviluppando cotδl cot δl (E) = cot δl (E R ) + (E E R ) e definendo cot δl +... E Si ottiene la sezione d urto risonante: π Γ σ = (l + ) k Γ / 4 + (E E R ) cot δl Γ= E in prossimità di tale valore dello sfasamento: E ER Γ/ sin δl = = + cot δl (E E R ) + Γ / 4 cot δl (E) = Γ / 4 = Γ / 4 + (E E R ) 54 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione

4 Risonanze Il fenomeno della risonanze si riscontra il altri processi di scattering. Può venire identificato con la produzione di uno nuova particelle instabile: massa pari all energia nel centro di massa con un proprio valore dello spin Γ può venire identificato con la larghezza di decadimento totale della risonanza. Se ci sono diversi canali di decadimento, si introducono le larghezze parziali per I vari canali: Γ= Γ i canali La risonanza è prodotta con spin I da particelle con spin s ed s, il fattore l+ va modificato: Stato iniziale Stato finale σ = π I + Γ in Γ out k (s +)(s +) Γ / 4 + (E E R ) 55 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione

5 Sezione d urto e + e ρ ω φ ρ J/ψ ψ(s) Υ Z σ[mb] J/ψ ψ(s) Υ s [GeV] Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione Z

6 Appendice DECADIMENTI γ

7 Decadimenti γ (Cenni da cap. 9 del Krane) I decadimenti γ consistono nel passaggio di un nucleo da uno stato eccitato ad uno stato di energia più bassa, accompagnato dall emissione di un fotone. Processo elettromagnetico decadimenti α: interazioni forti decadimenti β: interazioni deboli Intensità dipendente dai momenti elettrici e magnetici Estensione del fenomeno classico: irraggiamento elettromagnetico dovuto a cariche in moto accellerato Ci permetterà di illustrare un concetto generale: regole di selezione È possibile anche il processo inverso: assorbimento di un fotone cinematica del decadimento e assorbimento risonante effetto Mossbauer Lezioni del dott. Turra 58

8 Ripasso Supponiamo di aver risolto un problema di Schrödinger: le autofunzioni: spettro continuo k k = p /! spettro discreto: in caso di simmetrie, classificabili anche con altri numeri quantici: costituiscono un insieme ortonormale e completo k Energia n,l, m, P, Momento angolare i! ψ t = Hψ k ʹ = δ(k k ʹ), k n ʹ, l ʹ, m ʹ = 0, n,l, m n ʹ, l ʹ, m ʹ = δ n, ʹ qualunque funzione può venire espressa come combinazione lineare di autostati: ψ(x) = c k k + c n,l,m n,l, m, k n,l,m Parità e componente z n δ l, lʹ δ m, mʹ Il prodotto scalare con un autostato è il coefficiente di tale sviluppo: k ψ(x) = c k, n,l, m, ψ(x) = c n,l,m 59

9 Regola d oro Se aggiungiamo una perturbazione V, gli autostati di H evolvono nel tempo: i! ψ = (H +V )ψ t i! t n,l, m =,l,m n,l, m +V n,l, m Il termine V mescola diverse autofunzioni di H c n,l,m n,l, m + V n,l, m c n,l,m n,l, m + c n3,l 3,m 3 n 3,l 3, m 3 + c n4,l 4,m 4 n 4,l 4, m 4 + Da un trattamento rigoroso, a probabilità che, dato uno stato iniziale n,l,m, si osservi in uno stato finale n f,l f,m f è data dalla regola d oro di Fermi: P = π! n f,l f, m f V n,l, m ρ ( E f ) Spettro discreto: numero di stati finali accessibili 60 Spettro continuo: dn f /de f densità di stati finali accessibili

10 Dipolo elettrico Per esempio, supponiamo di avere un interazione proporzionale al momento di dipolo elettrico di un nucleo: operatore di dipolo: d=qr q=ze carica del nucleo Gli stati del nucleo sono classificabili in base al loro spin ed alla loro parità (oltre che alla loro energia) Gli stati risultanti dall applicazione dell operatore d hanno parità opposta rispetto agli stati iniziali P( d ) = ( d)η P = η P ( d ) regola di selezione: un interazione mediata dal dipolo elettrico (es.: V=E d), può solo causare transizioni con cambio di parità. Interazioni proporzionali al dipolo magnetico µ invece mantengono invariata la parità: ( ) = +µ P µ ( ) ( )η P = η P µ 6

11 Dipolo elettrico Un altra regola di selezione si ottiene considerando il momento angolare (componente z): d x verifichiamo le regole di commutazione: = ( xp y yp x )qx = i! x y y qx x = i!qy + qx i! ( ) x y y viene naturale considerare le combinazioni lineari d+ e d-: = i!d y + d x x = i! x y y d y = ( xp y yp y )qy qy= i!qx + qy( i! ) x = i!d x + d y x y y x = i! x y y d z = ( xp y yp y )qz qz = qz( i! ) x = d z x y y x d + = d x + id y d = d x id y d ± = d ± id x y ( ) = i!d ( + d L y x z) + i i!d ( x + d y ) =!d + + d + ( ) = i!d ( y + d x )+ i ( )( i!d x + d y ) =!d + d 6

12 Dipolo elettrico L applicazione di d ad autostati di, ne cambia l autovalore: d + ( ) = (!d + + d + ) = ( + m J )!d + ( ) = d + ( ) = 0 + m J d z ( )!d z m J m J + m J m J ( d ) = ( + m J )!d m J m J - Nel caso di V=E d V=E x d x +E y d y +E z d z : definendo E ± =(E x ±ie y )/ V=E - d + +E z d z +E + d - n f,l f, m f V n,l, m = n f,l f, m f E d + + E z d z + E + d n,l, m = n f,l f, m f E d + n,l, m + n f,l f, m f E z d z n,l, m + n f,l f, m f E + d n,l, m m f =m+ m f =m m f =m- regola di selezione: Δm=m f -m=0,± Estendendo il discorso a L, si può dimostrare che V,J,m J ha momento angolare compreso tra J+ e J- d si comporta come un oggetto di momento angolare L= 63

13 Radiazione di dipolo elettrico Il motivo per cui abbiamo scelto d per gli esempi è che il più semplice fenomeno di emissione classico è quello di un dipolo oscillante: E = ω de -iωt 4πε 0 c B = ω 4πε 0 c 3 La potenza irraggiata è ( ) ( ˆr d) ei ωr/c ωt r Per trasferirlo alla meccanica quantistica si può procedere intuitivamente: l energia è quantizzata: ad una frequenza ω corrispondono fotoni con E=ħω Per stimare una probabilità di transizione da uno stato i ad uno stato f: sostituiamo d con f d i ( ˆr d) ˆr ( ) ei ωr/c ωt S = R(E) ω 4 R(B) = ( ˆr d) ˆr cos ωr / c ωt µ 0 6π ε 0 µ 0 c 5 r P = de dt = πε 0 ω 4 c 3 d Il numero di quanti emesso per unità di tempo sarà λ=p/ħω Non è rigoroso, ma permette di avere un idea degli ordini di grandezza r ε 0 µ 0 =/ c ( ) 64

14 Radiazione di dipolo elettrico Esplicitamente: irraggiamento classico: in termini di energia dei fotoni: elemento di matrice: de dt = πε 0 ω 4 c 3 d de dt = πε 0! de dt = πε 0! (!ω) 4 = (!c) 3 d E 4 f d i (!c) 3 solo una delle componenti conta, a seconda, del Δm πε 0! E γ 4 (!c) 3 d f d + i f d z i f d i costante di decadimento: Ordini di grandezza: 65 f d i e Carica r 0 =.6 fm ( ) λ ( ) A /3 r 0 Raggio E γ 3 πε 0! (!c) 3 e A /3 r 0 = 3 α c E 3 3 γ r 0 r 0!c ( ) 3 A/3 3 α 03 s λ = E γ de dt = πε 0! e = 3 4πε 0!c c E γ!c E γ 5 MeV ( ) 3 ( ) 3 A/3 r 0 3 A /3 E γ 3 f d i (!c) 3 = 3 α c E 3 3 γ r 0 r 0 (!c) 3 A/3 E s γ MeV 3 A /3

15 Radiazione di dipolo magnetico L elemento di matrice di dipolo elettrico ha delle regole di selezione ben precise: cambio di parità ΔJ=0,± (ma non 0 0) Se queste non sono soddisfatte la radiazione può avvenir tramite altri operatori. Dipolo magnetico Classicamente una spira percorsa da corrente irraggia de dt = πε 0 ω 4 c 5 µ Ordini di grandezza Confrontando con l espressione del dipolo elettrico, la costante di decadimento per una transizione indotta da un dipolo magnetico è minore di un fattore µ / c µ = N e! = =!c d cea /3 r 0 m N cea /3 r 0 A /3 m N c r 0 Regole di selezione: stessa parità = A /3 ΔJ=0,± (ma non 0 0) Ripetendo lo stesso ragionamento del dipolo elettrico: λ = πε 0! E γ 3 (!c) 3 c f µ i 66