Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 13. Esperimenti allo specchio Violazione della parità Polarizzazione nel decadimento β

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1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco agusa Università di Milano Lezione n Esperimenti allo specchio Violazione della parità Polarizzazione nel decadimento β anno accademico

2 Esperimenti allo Specchio Le leggi della fisica classica possiedono una proprietà di invarianza a prima vista ovvia Consideriamo un esperimento possibile Ad esempio il moto di un oggetto sotto l effetto del campo gravitazionale Ciò che si ottiene osservando l esperimento allo specchio è anch esso un esperimento possibile e realizzabile In tutti e due gli esperimenti la forza di gravità si calcola allo stesso modo: È diretta verso il centro della terra o, approssimativamente, verso il basso Il moto di una massa sotto l effetto del campo gravitazionale è invariante per riflessioni spaziali x z y z y x Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 368

3 Esperimenti allo Specchio Un altro esperimento possibile è il moto di una particella carica in presenza di un campo magnetico La spira genera un campo magnetico (regola della mano destra) La Forza di Lorentz sulla carica si calcola con la regola della mano destra Se osserviamo lo stesso esperimento allo specchio Vediamo un esperimento realizzabile Anche nello specchio la spira genera un campo magnetico (calcolabile con la regola della mano destra) La Forza di Lorentz si calcola con la regola della mano destra Anche la deflessione di una particella in campo magnetico è invariante per riflessione spaziale F x z B y v z x y F = q v B Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 369

4 L esperimento di Wu et al. La prima verifica sperimentale della violazione della parità nel decadimento β: Si allineano gli spin con un campo magnetico Si scopre che il cobalto emette elettroni prevalentemente verso il basso in direzione opposta allo spin Nell esperimento speculare (x x) Il campo magnetico B z cambia segno; La direzione del momento magnetico μ (allineato al campo B) cambia segno Ci aspetteremmo pertanto che gli elettroni andassero prevalentemente verso l alto Invece, evidentemente, nell esperimento riflesso nello specchio vanno verso il basso L esperimento visto allo specchio è impossibile. Ciò è dovuto al fatto che nell esperimento reale si osserva una asimmetria PHYSICAL EVIEW VOL 10 PAG (197) x z y σ μ z x y B μ σ B Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 370

5 L esperimento di Wu et al. Per allineare gli spin occorre utilizzare temperature molto basse e un campo magnetico intenso Il grado di polarizzazione è misurato tramite la asimmetria delle emissioni γ nel decadimento del 60 Co rivelatore fotoni non dipende dal segno di B 60 Co β rivelatore elettroni 60 Ni* γ B dipende dal segno di B rivelatore fotoni I ( θ) 1+ ασ β e = 1+ αcosθ Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 371

6 La violazione di C Il decadimento β viola anche la simmetria fra particelle e antiparticelle La distribuzione angolare degli elettroni rispetto allo spin è non è uno specchio I ( θ) 1+ ασ β e = 1+ αcosθ Il coefficiente α È negativo per la materia È positivo per l antimateria Se nel nostro esperimento sostituiamo la materia con l antimateria α > 0 σ B B Il campo magnetico cambia direzione: la corrente è di antielettroni Il momento magnetico si allinea a B z μ μ σ Lo spin è in direzione opposta al momento magnetico: è un antinucleo (Q < 0) Il coefficiente α diventa positivo x y z y α < 0 Nell antimondo gli elettroni vanno verso l alto Nel verso dello spin x Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 37

7 Invarianza per trasformazioni CP Se si applicano contemporaneamente le due trasformazioni C e P si ottiene un esperimento possibile che produce un risultato identico all originale è uno specchio L esperimento originale L esperimento allo specchio e fatto di antimateria Il campo magnetico punta verso l alto La spira è percorsa in senso inverso La corrente è composta da antielettroni μ B Il momento magnetico punta verso l alto Si allinea a B α > 0 B Lo spin punta verso il basso È un antinucleo Dato che si tratta di un antinucleo α > 0 Gli elettroni vanno nella direzione dello spin verso il basso x z y σ z y μ σ α < 0 L interazione debole è invariante per CP x Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 373

8 La violazione della parità La scoperta che la parità è violata nei decadimenti β impone una revisione dell Hamiltoniana i H = Ci( ψpγ ψn )( ψeγ iψ ν ) + hc.. i= SV,, AT, In particolare la richiesta che i singoli termini debbano essere scalari non ha più una motivazione fisica L Hamiltoniana più generale non deve necessariamente conservare la parità Ogni termine può avere sia una parte scalare sia una parte pseudoscalare Pertanto l Hamiltoniana risulta composta da due termini μ H = C ( ψψ )( ψ( 1 + αγ ) ψ ) C ( ψγ ψ )( ψ ( 1 α γ ) γ ψ ) S p n e S La parte PV dell Hamiltoniana contiene termini pseudoscalari ν V p n e ( μ C )( ( 1 ) μν + ψγγ ψ ψ + α γ γγψ ) + C ( ψσ ψ )( ψ( 1 + α γ ) σ ψ ) A p n e A μ PC PV H = H + H ν V T p n e T PV μ H = α ( ψψ )( ψγ ψ ) α ( ψγ ψ )( ψγ γψ ) SC S p n e ν + VCV p n e μ ν + μ ( )( μν + α ψγγ ψ ψ γ γ γ ψ ) +α C ( ψσ ψ )( ψ γ σ ψ ) AC A p n e μ ν T T p n e μν ν μ μν ν ν Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 374

9 La violazione della parità Il termine PC (Parity Conserving) è quello che abbiamo studiato fino ad ora ed è pari per trasformazioni di inversione Il nuovo termine PV (Parity Violating) contiene prodotti di grandezze dispari per trasformazioni di inversione PV 1 PV PH P = H icordiamo che l ampiezza di transizione è costruita con una serie perturbativa in funzione di H 4 In particolare al primo ordine Afi = i d x pe ν HI n Pertanto se l elemento di matrice di H' fosse nullo allora la transizione sarebbe proibita Consideriamo due autostati di P a> e b> con parità diversa Dimostriamo che a PH PC 1 PC P = H P a =+ a P b = b PC PV H b = 0 a H b 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 37

10 La violazione della parità Cominciamo con l elemento di matrice del termine PC fra due autostati di P con parità diversa a H PC b 1 PC 1 = a P PH P P b ( ) PC 1 = a + PH P ( b ) = a PH PC P 1 b ( PC ) = a +H b = a H PC b Quindi a PC H b = 0 Calcoliamo adesso l elemento di matrice del termine PV fra due autostati di P con parità diversa a H PV b 1 PV 1 = a P PH P P b ( ) PV 1 = a + PH P ( b ) = a PH PV P 1 b ( PV ) PV = a H b = + a H b int Quindi è possibile che a PV H b 0 Analogamente si può dimostrare che per due autostati di P con la stessa parità, ad esempio P a =+ a P b =+ b a PC PV H b 0 a H b = 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 376

11 Conseguenze Fenomenologiche Le modifiche introdotte non alterano la parte nucleare e pertanto Si mantiene la classificazione dei vari termini di interazione Transizioni di Fermi e transizioni di Gamov-Teller con le regole di selezione sugli spin nucleari dedotte precentemente Fino a quando non si studiano processi con polarizzazione del nucleone iniziale non si hanno termini di interferenza SA, ST, VA, VT Gli elementi di matrice si calcolano sempre utilizzando la tecnica delle tracce In particolare ricordiamo il calcolo dell elemento di matrice di Fermi MF = CS4mNTr[ ( k/ + me )( k/ m ν )] [(/ ) γ (/ ) γ ] V 4 N e C m Tr k + m k m ν [ CC mtr [( k/ m)( k/ m ) 0 ν γ ]] + e 4 + S V N e Assumendo m ν = 0 diventa (ipotesi non essenziale) M [(/ )( 1 αγ )/ ( 1 αγ )] F = CS4mNTr k + me + S k S [(/ )( + α γ ) γ / ( + α γ ) γ ] V 4 N e 1 V 0 1 V 0 + C m Tr k + m k 0 [ CC mtr[ ( k/ m)( 1 + α γ ) k/ ( + α γ ) γ ]] + e S V N e S V u n u ν Γ i u p u e Γ = 1 +αγ S S ( 1 ) Γ = +αγ γ μ V S Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 377

12 Conseguenze Fenomenologiche M [(/ )( αγ )/ ( αγ )] F = CS 4mN Tr k + me 1+ S k 1 S [(/ )( α γ ) γ / ( α γ ) γ ] V 4 N e 1 V 0 1 V 0 + C m Tr k + m + k + [ CC mtr [( k/ m)( α γ ) k/ ( α γ ) γ 0 ]] + e S V N e S V Fare attenzione al segno del secondo operatore di vertice icordiamo infatti che la somma sugli stati di polarizzazione dava ((/ ) m l + Γ (/ ) Γ ) Tr k m k m ν e Abbiamo allora l Γ = γ l ( Γ ) 0 0 γ E anche 0 ( ) ( ) 0 1+ αγ = γ 1+ αγ γ ( ) S S 0 1 S 0 = γ + α γ γ = αγ ( ) [( ) ] 0 1+ α γ γ = γ 1+ α γ γ γ = ( 1 + V ) V V γγ αγ γ 1 S ( ) 0 = +α γ γ 1 V Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 378

13 Gli elementi di matrice Le tracce possono essere semplicemente sviluppate ricordando le proprietà μ ν μ, ν Tr ( I ) = 4 Tr ( γ γ ) = 4g ( ) 4 Tr ab // = a b ( μ ν α β,,,,,, ) = μ ν α β μ α ν β + μ β ν Tr g g g g g g a γ γ γ γ 4 (// //) = ( )( ) ( )( ) + ( )( ) Tr abcd 4[ a b c d a c b d a d b c ] μ μ ν δ Tr Tr Tr dispari ( γ ) = ( γ γ γ ) = ( ) = 0 μ ν μ ν δ ( γ ) ( γ γ γ ) ( γ γ γ γ ) = = = 0 Tr Tr Tr Per gli elementi di matrice si ottiene Tr Tr ( γ γ γ γ γ ) μ ν α β μ, ν, α, β ( γ γ γ γ γ ) = 4iε =+ 4iε μ ν α β μ, ν, α, β M β β β β ( 1+ )( ) ( 1+ )( ) ( 1 ) F = 16mN EeEν CS αs 1 e ν + CV αv 1 + e ν + CSCV αsαv m E e e M GT 16 N e = m E E ν 1 1 3C 1 + 1C + C C 3 3 ( 1+ α )( β β ) ( 1+ α )( 1 β β ) 1 ( 1 α α ) A A e ν T T e ν A T A T m E e e Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 379

14 Conseguenze Fenomenologiche Consideriamo ad esempio l elemento di matrice di Fermi ( )( ) me MF = 16mNEeEν CS 1+ αs 1 βe βν + CV ( 1+ αv )( 1 + βe βν ) + CSCV ( 1 αsαv ) Ee L assenza del termine di interferenza, dedotta dallo studio della forma dello spettro, ha conseguenze meno dirette C S C V ( 1 α S α V ) = 0 Questo può succedere per una delle 3 condizioni C S = 0 C V = 0 1 αα S V = 0 Pertanto risulta più complicato trarre conclusioni dagli esperimenti già visti Per le correlazioni angolari non ci sono sostanziali differenze Infatti cambia solo il valore numerico delle due costanti di accoppiamento CS CS ( 1 + αs ) CV CV ( 1 + αv ) Occorre inventare nuovi esperimenti per determinare le nuove costanti L esperimento di Wu et al. fornisce le nuove informazioni necessarie I calcoli per interpretare gli esperimenti sono però un po più lunghi I nuclei sono polarizzati Non si annullano i termini di interferenza Fermi/Gamov-Teller Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 380

15 Elettroni polarizzati L osservazione della direzione privilegiata di emissione degli elettroni nell esperimento di Wu et al. ha una implicazione molto importante sulla direzione dello spin (polarizzazione) dell elettrone J i f = 4 60 Ni* 60 Co S = 1 Per conservare il momento angolare l elettrone e il neutrino devono portare via una quantità S = 1 di momento angolare Il neutrino e l elettrone devono avere gli spin paralleli Dall esperimento di Wu gli elettroni sono emessi preferibilmente in basso Più precisamente in direzione opposta allo spin del nucleo L elettrone deve quindi essere polarizzato in direzione opposta alla sua direzione di moto: elettrone left-handed Verifichiamo se l Hamiltoniana che abbiamo scritto prevede questo fenomeno Calcoliamo la polarizzazione degli elettroni nel decadimento β Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 381

16 Polarizzazione nel decadimento β La polarizzazione degli elettroni è definita come N = N Il numero degli elettroni ight-handed è N N + N L L Il numero degli elettroni Left-Handed è N L I numeri N e N L sono proporzionali alle larghezze di decadimento N dγ L, L, 1 L, dγ L, = M dφ m N Come in precedenza l elemento di matrice contiene interazioni S,V,A,T L, L, L, L, L, = S + V + + A T M M M M M Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 38

17 Polarizzazione nel decadimento β L, L, L, L, L, = S + V + + A T M M M M M ivediamo i singoli termini Osserviamo in particolare la polarizzazione degli spinori dell elettrone Scalare Vettoriale Vettoriale assiale Tensoriale ( )( ) ( ) L M, S = CS 1 ue k, s, L 1+ αsγ vν k ( )( ) ( ) L M, V = CV 1 ue k, s, L 1+ αvγ γ 0 vν k j (, )( 1 ) ( ) L M, A j e, L A A = C σ u k s + α γ γ γ vν k j ( )( ) ( ) L M, T = CT σj ue k, s, L 1+ αtγ Σ vν k Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 383

18 Polarizzazione nel decadimento β Il calcolo del quadrato del modulo procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente sommando su tutti gli stati di polarizzazione non osservati ( n, p, ν ) Dato che sommiamo sulla polarizzazione iniziale (del neutrone) non ci sono termini di interferenza SA, ST, VA, VT Di nuovo abbiamo i due elementi di matrice di Fermi e di Gamov-Teller Le somme sugli stati di polarizzazione si fanno con la tecnica delle tracce La polarizzazione degli elettroni si introduce tramite i proiettori di spin L elemento di matrice di Fermi è pertanto n p M L, F CSmNTr k me 1 s L 1 S k 1 S (/ )( γ /, )( α γ )/ ( α γ ) = (/ )( /, )( ) / ( ) + C V mntr k + me + γ s L + αvγ γ k + αvγ γ + (/ )( /, )( )/ ( ) 0 + e CC S VmTr N k+ me 1+ γ s L 1+ αsγ k 1+ αvγ γ Γ ν e k k' ( k/ + m )( 1 + γ s/ ) e ( k/ ) m ν L Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 384

19 Polarizzazione nel decadimento β Occorre definire i vettori di polarizzazione Il vettore s definisce una polarizzazione parallela alla direzione di moto: polarizzazione ight-handed Il vettore polarizzazione ξ (nel sistema di riposo) è parallelo a p ( ξ = 1) s 0 = k ξ m e ( ξ k) k s = ξ + m ( E + m ) e e e s s 0 k ξ k = = m m e k k k = + k m ( E + m ) e e e e me( Ee + me ) + k = m ( E + m ) k e e e k = me e e + Ee m ( E + m ) e e e k k = E m e e k k s k Ee k =, m m k e e Il vettore s L si ottiene semplicemente cambiando ξ ξe quindi s L = s Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 38

20 Polarizzazione nel decadimento β icordiamo la definizione di polarizzazione N NL = N + NL Il numero di elettroni per le due polarizzazioni è dato da 1 L, NL, dγ dγ L, L, = M dφ m Pertanto la polarizzazione è data da L integrale sullo spazio delle fasi è su tutte le variabili cinematiche escluso E e Vedremo che dipende dall energia Calcoliamo il numeratore icordiamo che s/ = s/ L N = ( + γ s/ ) ( + γ s/ ) 1 ( M L M ) ( M L M ) 1 L dφ + dφ sl = γ γ / s/ = γ s/ M L F M 1 F C S m N Tr k m e S k S [(/ ) γ s/ ( α γ )/ ( 1 α γ )] = [(/ 0 ) γ s/ ( α γ ) γ / ( α γ ) γ ] V N e 1 V 1 V 0 + C m Tr k + m + k [ CC mtr[ ( k/ + m) γ s/ ( αγ ) k/ ( αγ ) γ ]] + e S V N e S V Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 386

21 Polarizzazione nel decadimento β Esaminiamo adesso un generico termine Ad es. il termine scalare L M 1 1 F = S N + e + S S Possiamo trasportare ( 1 α S γ ) a sinistra trasformandolo in ( 1 + α S γ ) icordiamo che ( γ ) = I Otteniamo pertanto ( ) 1+ αγ S = 1+ αγ S + αs Introduciamo questi risultati nel calcolo M L 4 ( ) ( 1 ) F M = C m Tr k/ m γ s α γ k/ F S N e / S ( ) ( ) CVmNTr k/ + me γ s 1+ αvγ γ k/ γ / + Possiamo ancora anticommutare γ con [(/ ) γ / ( α γ )/ ( α γ )] MF C m Tr k m s k [ CC mtr [( k/ m) γ s/ ( α γ )( α γ ) k/ γ 0 ]] + 8e S V N e S V ( + ) = γ ( + α γ + α ) ( ) 1 SV, γ α γ s/ 1 SV, SV, anticommuta con SV, SV, = 1+ α γ + α commuta con k/ k/ Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 387

22 Polarizzazione nel decadimento β Per il terzo termine ( 1+ )( 1 ) = γ ( α γ + α γ α α ) S V γ α γ α γ 1 S V S V Introducendo nell espressione M L 4 1 F S N e S S E finalmente [(/ )/ (( α ) γ α )/ ] MF = C m Tr k + m s + + k + [(/ )/ (( α ) γ α ) γ / γ ] V N e V V 0 0 4C m Tr k + m s 1+ + k + [ CC mtr [( k/ m) s/ (( αα ) γ ( α α )) k/ γ 0 ]] 8e S V N e S V S V ks // γ k/ ks // k/ L M F = 4 S N S e / [ α / ] MF C m Tr m s k s/ γ 0 k/ V S S V 0 0 ks // γγk/ γ 0 0 ks // γ k/ γ s/ 1 S V S V = γ ( α α ) + γ ( α α ) γ = ( αα ) γ + ( α α ) 0 0 γγ [ α / γ / γ ] 0 0 V N S e 4C m Tr m s k 8e[ CC mtr [( 1 αα ) γ ksk // / γ 0 + ( α α ) ksk // / γ 0 ]] S V N S V S V 0 k/ γ 0 0 s/ γ 0 0 / γ s/ k k/ γ 0 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 388

23 Polarizzazione nel decadimento β Siamo quasi alla fine!!! L F S N S e 4 [ α / 0 0 M M = / ] 4C m Tr[ α m s/ γ k/ γ ] F C m Tr m s k S N S e ( ) = 8C m α m 4 s k V N V e 8e[ CC mtr [( 1 αα ) γ ksk // / γ 0 + ( α α ) ksk // / γ 0 ]] S V N S V S V (// //) = ( )( ) ( )( ) + ( )( ) Tr abcd 4[ a b c d a c b d a d b c ] Tr ( γ γ γ γ γ ) μ ν α β μ, ν, α, β = 4iε ( ) 0 V N V e ν 8C m α m 4 s E s k 0 ( α α ) CC m ( s ke k ks Es k ) S V S V N ν e icordiamo la proprietà del vettore s μ : s k = 0 Per finire, ricordiamo che s, k, k sono k = ( E k Ee k e, k) Introduciamoli nel calcolo s =, me m e k k = ( E ν, k ν ) L M M = 8C m α 4E E ( β cosθ ) 8C m α 4E E ( β + cosθ ) F F S N S ν e e eν V N V ν e e eν ( αs αv ) CC S VmN me e ν θeν cos μνα,,,0 e[ 4iε k ( s ) k ] = 0 μ ν α Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 389

24 Polarizzazione nel decadimento β M M dφ icordiamo che = L ( M + M ) dφ L integrale sulle direzioni dell elettrone e del neutrino elimina i pezzi dipendenti da cosθ eν Il numeratore L ( ) L F MF 8CSmNαS4EνEe βe cosθeν 8CVmNαV4EνEe βe cosθeν ( αs αv ) CC S VmN me e ν θeν M = ( ) ( + ) cos 8Cm Diventa S NαS4EE ν eβe 8CVmNαV4EE ν eβe Per quel che riguarda il denominatore notiamo che i termini M e M L contengono rispettivamente 1 ( 1 1 γ s/ ) ( 1 + γ s/ ) La somma di questi due termini è pertanto 1 Il denominatore (integrato sulle direzioni) risulta uguale al risultato trovato per la distribuzione dell energia [ ( + ) + ( + )] e N ν S αs V αv 16m E E C 1 C 1 Abbiamo usato il risultato sperimentale che l interferenza di Fierz è 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 390

25 Polarizzazione nel decadimento β La polarizzazione degli elettroni è pertanto S NαS ν eβe V NαV ν eβe N e ν [ S ( + αs ) + V ( + αv )] 8Cm 4EE 8C m 4EE = 16m E E C 1 C 1 = β e C CSαS + CVαV S S V V ( 1+ α ) + C ( 1+ α ) Vedremo in seguito gli studi sperimentali della polarizzazione degli elettroni che hanno mostrato che = β e Pertanto le misure sperimentali richiedono che C CSαS + CVαV S S V V ( 1+ α ) + C ( 1+ α ) C = 1 ( ) ( ) S ( αs ) CV ( αv ) = 0 ( ) ( ) SαS + VαV = S + αs + V + αv C C C 1 C 1 S αs SαS V αv VαV C 1+ C + C 1+ C = 0 Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 391

26 Polarizzazione nel decadimento β icordiamo che dalla misura della distribuzione dell energia si conclude che il termine di interferenza di Fierz è assente L implicazione di questo risultato sulle costanti di accoppiamento è Abbiamo già notato non possiamo trarre conclusioni solo da questo risultato D altro canto, dalla misura delle correlazioni angolari Questo risultato implica a F CC ( αα ) 1 = 0 S V S V ( 1+ α ) C ( 1+ α ) ( 1+ α ) + C ( 1+ α ) V V S S V V S S C = = C ( 1+ α ) ( 1+ α ) = ( 1+ α ) + ( 1+ α ) V V S S V V S S C C C C ( 1 α ) C ( 1 α ) S S S S C + = + + Da cui, come prima dell introduzione della violazione della parità C S = 0 Combinando questo risultato con la misura della polarizzazione C S ( αs ) CV ( αv ) = 0 C ( 1 α ) = 0 α = 1 V V 1 V Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 39

27 Misura della Polarizzazione Per misurare la polarizzazione di un elettrone occorre chiedersi se ci sono effetti misurabili dipendenti dalla polarizzazione nella interazione di un elettrone o con un campo coulombiano o con un elettrone atomico Fra i metodi principali Mott scattering Scattering con il campo Coulombiano del nucleo di un atomo pesante Sensibile solo polarizzazione trasversale alla direzione di moto Møller scattering Interazione dell elettrone che si vuole analizzare con un elettrone atomico L elettrone atomico deve essere polarizzato Bhabha scattering Come il precedente ma per analizzare la polarizzazione di positroni Analizzeremo solo un esperimento che usa il primo metodo Purtroppo lo scattering Coulombiano dipende dalla polarizzazione solo al secondo ordine dell approssimazione di Born L effetto è piccolo: si usano nuclei pesanti Inoltre, come già osservato, è sensibile solo ad una polarizzazione trasversale Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 393

28 otazione del Vettore di Polarizzazione Come trasformare la polarizzazione longitudinale in trasversale? Ovviamente con un campo elettromagnetico Per descrivere l effetto di un campo elettromagnetico classico sullo spin di una particella si può utilizzare l equazione semiclassica ( Bargman,Michel,Telegdi ) μ ds μν μ νλ = mf sν u m F u s dτ ν λ e m = mc L equazione descrive il moto del vettore di polarizzazione s μ sotto l effetto di un campo elettromagnetico Il campo non deve essere troppo intenso Vale per qualunque campo macroscopico Solo per campi a livello microscopico potrebbe essere non valida Ė più intuitivo utilizzare una equazione che descriva il moto del vettore ξ nel sistema di riposo istantaneo della particella In questo sistema l equazione diventa (per l elettrone si può assumere m'= 0) Landau, Lifshitz Quantum Electrodynamics 41p,11 Pergamon Press 198 momento magnetico Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 394 m d ξ m m = ξ B + ξ ( E β ) dt γ γ + 1 momento magnetico anomalo

29 otazione del Vettore di Polarizzazione Il sistema utilizzato per ruotare la polarizzazione fu inventato nel 191 da Tolhoek e de Groot Una guida circolare realizza un campo elettrico radiale (B = 0) Gli elettroni di energia opportuna seguono una traiettoria circolare Il campo elettrico fornisce una forza centripeta Se l energia dell elettrone non è elevata ( γ 1) Il moto è praticamente non relativistico Vedremo che la polarizzazione non risente del campo elettrico La direzione dello spin rimane invariata Se l energia dell elettrone è elevata (γ 1) Lo spin sente l effetto del campo elettrico e precessa Calcoliamo adesso la rotazione del vettore polarizzazione senza assunzioni sulla velocità dell elettrone Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 39

30 otazione del Vettore di Polarizzazione Iniziamo calcolando il raggio dell orbita in funzione del campo elettrico E e della velocità La legge di Newton dp dt = e E La variazione di quantità di moto dell elettrone quando ha percorso una lunghezza dθ è dp = pdθ Pertanto d dθ = p dt = F p p La velocità angolare è Il periodo T π = ω p ω p dθ = = dt = mc γβ π ee eedt eedt = = p mcγβ ee mcγβ θ dp p dθ A questo punto calcoliamo il raggio dell orbita π = βct = πβmc ee γβ = mc ee γβ Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 396

31 otazione del Vettore di Polarizzazione Studiamo adesso la precessione dello spin icordiamo l equazione Bargman, Michel, Telegdi d ξ m m = ξ B + ξ ( E β ) dt γ γ + 1 Per B = 0 diventa d ξ m = ξ ( E β ) dt γ + 1 Il vettore E β è perpendicolare al piano (E e β sono sul piano) Il vettore ξ (E β) è sul piano ed è perpendicolare a ξ iscriviamo l equazione di BGT dξ = ξ Ωξ dt Descrive una precessione ξ = m Ω Lo spin quindi precessa ( γ + 1) E β La variazione dello spin dξ è sul piano dθ dξ ξ = = ξ Ω ξ ξ dt dθ dt = ω = Ω = ξ ωξ ξ m ( γ + 1) E ee = β mc ( γ + 1) β e m = mc β e = mc ( γ + 1) E β E Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 397

32 otazione del Vettore di Polarizzazione Supponiamo adesso che l elettrone abbia percorso un tratto Δ dell arco Δ = Δα = mc ee γβ Δα Vogliamo calcolare l angolo fra mc La quantità di moto p = ee γβ Il vettore di polarizzazione ξ Per percorrere la distanza Δ l elettrone impiega un tempo α Δ Δ T = βc = mc ee γβδα ee icordiamo la velocità della precessione dello spin ωξ = β mc ( γ + 1) Pertanto il vettore di polarizzazione ξ e il vettore p ruotano rispettivamente ee mc γβ Δ θp = Δα Δ θξ = ωξδt = β γβδα = Δα mc ( γ + 1) ee ( γ + 1) Eliminiamo β Concludendo 1 γ 1 = γ + 1 γ 1 γ 1 = β γ 1 Δ θξ = Δα γ = γ 1 γβ Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 398

33 otazione del Vettore di Polarizzazione Pertanto dopo aver percorso uno spazio Δ = Δα l angolo fra i due vettori è γ 1 Δθpξ Δθp Δ θξ = 1 Δα γ Δ θ = pξ Δα γ Pertanto, affinché la quantità di moto e lo spin siano perpendicolari deve essere π Δ θpξ = = Δα γ α Dato un elettrone di energia mc γ la guida deve avere una lunghezza Δα L angolo Δα è dato da Δ α = γ π Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 399

34 Sezione d urto Mott La sezione d urto Mott è relativa all interazione di un elettrone con il campo Coulombiano p i Il bersaglio ha massa infinita Si tiene conto dello spin dell elettrone con la teoria di Dirac Abbiamo fatto questo calcolo al primo ordine della teoria perturbativa A questo ordine non appaiono effetti legati alla polarizzazione Una dipendenza dalla polarizzazione compare al secondo ordine Diamo solo il risultato del calcolo p f p 1 p ξ θ σ θ, ξ I θ ( ) ( ) D ( θ ) + p1 p sin θ ξ Per le funzioni I(θ) e D(θ) vedi Landau vedi Landau Lifshitz Quantum Electrodynamics 1.1 pag 34 Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 400

35 Esperimento di Frauenfelder La figura mostra schematicamente l apparato dell esperimento di Frauenfelder per la misura della polarizzazione degli elettroni di un decadimento β 3 p 1 ξ 1 p θ σ θ, ξ I θ ( ) ( ) D ( θ ) + p1 p sin θ ξ Notiamo che se l angolo di deflessione θ va a sinistra il prodotto vettoriale p1 p cambia segno (cambia il segno della componente 1 di p ) = ε j k = ε pp 1 p p ( ) 1 3 3jk pp Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 401

36 Esperimento di Frauenfelder Supponiamo adesso che gli elettroni siano completamente polarizzati In un caso paralleli alla quantità di moto (H) Nell altro caso antiparalleli (LH) Dopo la rotazione gli elettroni sono ancora completamente polarizzati Nel primo caso verso l alto Nel secondo verso il basso D ( θ ) icordiamo la formula della sezione d urto σ( θ, ξ) I ( θ) + p1 p sin θ ξ Le misure da fare sono La sezione d urto per un angolo θ Spin up Spin down σ( θ, ) I( θ ) D( θ ) σ( θ, ) I( θ ) + D( θ ) ξ ξ p 1 p p 1 p θ La sezione d urto per un angolo θ L opposto a θ Spin up Spin down σ( θ, ) I( θ ) + D( θ ) L L L σ( θ, ) I( θ ) D( θ ) L L L ξ ξ p 1 p p p 1 θ L Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 40

37 Esperimento di Frauenfelder Nell esperimento gli elettroni non sono completamente polarizzati La misura della polarizzazione è l obbiettivo dell esperimento La polarizzazione degli elettroni è data da N N+ N + N + polarizzati up (probabilità ) = N = N + N N N+ + N N N polarizzati down (probabilità ) N La sezione d urto osservata per un angolo θ è σ ( θ N+ N ) (, ) (, ) N σ θ = + N σ θ σ( θ ) I( θ ) D( θ ) Analogamente, per un angolo θ L si osserva σ ( θ N+ N L ) ( L, ) ( L, ) N σ θ = + N σ θ σ( θl ) I( θl ) + D( θl ) + Definiamo l asimmetria δ δ = Ci mettiamo nella condizione θ = θ θ Si può verificare che L I D θ σ( θl ) σ( θ ) σ( θ ) + σ( θ ) L = I θ ( ) ( ) θ = D θ ( ) ( ) δ D I θ θ ( ) = S ( θ) ( ) Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 403

38 Esperimento di Frauenfelder S(θ) è noto: la misura di δ permette di misurare D ( θ ) δ = S ( θ) Osservazioni I ( θ ) S(θ) dipende anche dall energia dell elettrone È necessario che gli angoli θ e θ L siano perfettamente simmetrici L esperimento è sensibile solo alla polarizzazione trasversale Un errore nella rotazione dello spin porta ad un errore sistematico su L effetto aumenta al crescere di Z Si usano metalli pesanti come l oro Per ottimizzare l esperimento si può cercare l angolo al quale l effetto è più grande Occorre però tenere presente che al crescere dell angolo la sezione d urto diminuisce Occorre pertanto trovare un compromesso tra la dimensione dell effetto misurato e l errore statistico con cui esso viene determinato Il risultato dell esperimento è = β e e e + 00 S(π/) Interazioni Elettrodeboli Francesco agusa 404