Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 15

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1 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n Corrente adronica debole Decadimento del mesone π Decadimento del leptone τ: τ π ν τ Proprietà isotopiche della corrente adronica anno accademico

2 La corrente adronica Nello studio del decadimento beta abbiamo utilizzato l'operatore corrente adronica Ne abbiamo calcolato l elemento di matrice fra due stati (il neutrone iniziale e il protone finale) Abbiamo inoltre notato che il fattore κ diverso da 1 è dovuto al fatto che gli adroni non sono puntiformi Pertanto occorre tenere conto dell interazione forte Nello studio delle correnti degli adroni risulta conveniente utilizzare una corrente generica (non definita esplicitamente) È un operatore vettoriale (nel senso di Lorentz) Dagli esperimenti abbiamo visto che deve avere una parte vettoriale e una assiale Gli esperimenti ci dicono quali regole di selezione deve riprodurre Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 436

3 La corrente adronica Per il calcolo delle quantità osservabili occorre calcolare l elemento di matrice dell operatore fra stati di particelle Ad esempio, nel caso del decadimento β del neutrone si ha Le funzioni F μ sono un insieme di c-numbers (non sono operatori) A seconda del tipo di accoppiamento ipotizzato le funzioni F μ hanno uno (o più, o zero) indici di Lorentz In dipendenza dalla natura degli stati (iniziale e finale) le funzioni F μ hanno anche argomenti con degli indici Complessivamente hanno ben precise proprietà di trasformazione per trasformazioni di Lorentz Utilizzando le proprietà di invarianza (di Lorentz) e le regole di selezione si può scrivere la forma più generale dell elemento di matrice e confrontarlo con i dati sperimentali per determinare le parti incognite (ad esempio l'origine del fattore κ 1.26) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 437

4 Il decadimento π l ν l Abbiamo visto che la teoria di Fermi del decadimento β permette di calcolare la vita media del processo Con la stessa Hamiltoniana si può anche calcolare la vita media del processo D altro canto sappiamo che il pione si accoppia al nucleone tramite interazione forte Ad esempio sono possibili i processi π p p p n n Negli stati intermedi, ovviamente, non si conserverebbe l energia Sono pertanto stati virtuali n n p π p e ν e e ν e π Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 438

5 Il decadimento π l ν l È quindi possibile il processo π p n ν e e Questi erano i ragionamenti che si facevano verso la fine degli anni 40 Bisogna tenere sempre presente che i diagrammi riportati sono divergenti e non si sa come calcolarli. Pertanto, per calcolare sezioni d urto e larghezze si deve ricorrere a metodi e calcoli fenomenologici L Hamiltoniana del decadimento è Per semplicità non abbiamo indicato esplicitamente la natura operatoriale Nell Hamiltoniana L μ è la corrente leptonica e è la corrente adronica Lo stato iniziale e lo stato finale sono rispettivamente Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 439

6 Il decadimento π l ν l Notiamo in particolare che Per gli adroni si passa da uno stato con un pione allo stato vuoto Nel caso del decadimento β si passa dal neutrone al protone Per i leptoni, come nel caso del decadimento β si passa da uno stato vuoto allo stato con due leptoni Si può procedere come nel caso del decadimento β per giungere alla seguente espressione per l ampiezza La parte leptonica è identica a quanto visto per il decadimento β Consideriamo la parte adronica Deve essere proporzionale a q μ, il 4-momento del pione La costante di proporzionalità deve essere una funzione invariante Può dipendere solo da quantità invarianti: q 2 = m 2 Pertanto f(q 2 ) = f π è una costante Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 440

7 Il decadimento π l ν l Per la conservazione del 4-momento totale abbiamo La quantità f π è una costante che dipende dalla natura del mesone che decade e ha le dimensioni di una energia L elemento di matrice diventa pertanto Si può ulteriormente semplificare ricordando che Pertanto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 441

8 Il decadimento π l ν l Il modulo quadrato sommato sugli stati di polarizzazione finale si ottiene con le usuali tracce La traccia si calcola facilmente Si ha inoltre In conclusione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 442

9 Il decadimento π l ν l Notiamo che l elemento di matrice è costante, come ci si poteva attendere La larghezza di decadimento è Ricordiamo lo spazio delle fasi per uno stato finale di due particelle nel c.m. del π (vedi diapositiva ) L integrale è banale Più grande per l = e Più piccolo per l = μ Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 443

10 Il decadimento π l ν l In definitiva otteniamo per la larghezza di decadimento Il pione decade circa nel 100% dei casi in muone ed ha una vita media Da questo valore si può ricavare il parametro fenomenologico f π M. Suzuki, PDG 2006, J. Phys. G 33 pag. 535 Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 444

11 Il decadimento π l ν l Il decadimento in elettrone è molto raro La misura della frazione di decadimento dà Va confrontata con il risultato del nostro calcolo Vediamo che il nostro calcolo riproduce molto bene l ordine di grandezza L ingrediente chiave è la massa del leptone la cui origine è dovuta all accoppiamento di tipo vettoriale ( γ μ o γ 5 γ μ ) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 445

12 Polarizzazione del leptone Come nel caso del decadimento β del neutrone è facile calcolare la polarizzazione del leptone carico nel decadimento del pione Otteniamo pertanto Si verifica facilmente che Il vettore di polarizzazione longitudinale del leptone è Dalla cinematica si ottiene facilmente Ricordiamo In definitiva Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 446

13 Polarizzazione del leptone Il risultato precedente mostra che nel sistema di riposo del pione il leptone è polarizzato al 100% nella sua direzione di moto Questo risultato era prevedibile in considerazione delle seguenti circostanze Il pione ha spin 0 π L antineutrino è right-handed Per la conservazione del momento angolare anche il leptone carico è right-handed Questo spiega qualitativamente perchè il decadimento in elettrone è molto più raro nonostante dovrebbe essere favorito per lo spazio delle fasi La conservazione del momento angolare obbliga il leptone a essere emesso con la polarizzazione sbagliata (rispetto a quella imposta dalla corrente V-A) Per l elettrone (che è molto più leggero e che ha un β 1) ciò è molto più difficile (probabilità 1 β) Se il leptone avesse massa nulla il decadimento avrebbe larghezza nulla Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 447

14 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ Mostriamo come il formalismo fin qui sviluppato può essere utilizzato anche per il calcolo della frazione di decadimento del leptone τ Osserviamo prima di tutto che per il calcolo della vita media o della larghezza totale occorrerebbe calcolare tutte le larghezze parziali Troppo lavoro. Calcoliamo solo la larghezza del decadimento in π ν τ e confrontiamola con la larghezza totale La larghezza totale può essere derivata dalla vita media Dal risultato sperimentale τ = s ricaviamo Calcoliamo adesso la larghezza del decadimento π ν τ Il calcolo è identico a quello fatto per il decadimento del pione Si utilizza l Hamiltoniana Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 448

15 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ La corrente leptonica J μ adesso contiene anche un termine per il leptone τ Lo stato iniziale e lo stato finale sono rispettivamente Notiamo in particolare che per quel che riguarda gli adroni si passa dallo stato vuoto allo stato con un pione La situazione opposta a quella del decadimento del pione Scriviamo pertanto l ampiezza di decadimento L elemento di matrice della parte adronica è il complesso coniugato di quello che avevamo nel decadimento del pione Dato che era reale sono uguali Il 4-vettore q μ è il momento del pione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 449

16 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ L elemento di matrice della parte leptonica è Per finire l ampiezza è Sostituendo Con la solita tecnica troviamo Dalla cinematica otteniamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 450

17 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ Mettendo insieme i vari pezzi otteniamo media sulle polarizzazioni iniziali Notiamo il fattore ½ introdotto prima dell elemento di matrice Questa volta il leptone è nello stato iniziale Bisogna mediare statisticamente fra le due polarizzazioni possibili Introduciamo i valori delle costanti e delle masse Otteniamo Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 451

18 Il decadimento del leptone τ: τ π ν τ Ricordando la larghezza totale ottenuta dalla vita media Otteniamo la frazione di decadimento Da confrontare con il valore sperimentale Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 452

19 Polarizzazione del leptone τ Calcoliamo adesso la larghezza di decadimento nel caso in cui il leptone τ sia polarizzato. L ampiezza mediata Diventa Adesso mettiamoci nel sistema di riposo del leptone Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 453

20 Polarizzazione del leptone τ Si ottiene infine la distribuzione angolare dei pioni nel sistema di riposo del leptone τ Nel rapporto i termini costanti dello spazio delle fasi si elidono e pertanto possiamo semplicemente fare il rapporto fra i quadrati delle ampiezze Osserviamo infine che il segno di fronte al prodotto ξ k ν dipende dal segno della massa nell espressione La massa compare con questo segno perchè nell ampiezza era presente lo spinore u del τ (particella) Se invece ci fosse stato un τ + (antiparticella) allora ci sarebbe stato uno spinore v e quindi una massa con il segno opposto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 454

21 La misura della polarizzazione del τ A LEP coppie di leptoni τ sono prodotti nelle collisioni e + e all energia del centro di massa pari a M Z I due leptoni hanno momento opposto (uguale in modulo) e energia E = M Z /2 I leptoni sono prodotti con una polarizzazione che dipende dagli accoppiamenti della Z 0 ai leptoni (lo vedremo) Dalla misura della polarizzazione si possono misurare gli accoppiamenti Nel sistema di riposo del leptone τ, il π e il neutrino sono prodotti ad un angolo θ rispetto alla direzione di volo del τ π θ β τ ν τ Il momento e l energia del pione sono Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 455

22 La misura della polarizzazione del τ La massa del τ è m τ = MeV e per i nostri scopi è possibile approssimare a zero la massa del pione Nel laboratorio, l energia di un pione emesso ad un angolo θ nel c.m. è γ e β sono i fattori relativistici del leptone τ L energia del pione è pertanto Al variare di cos θ l energia del pione varia fra Il valore massimo M Z /2 che si raggiunge per cos θ = 1 il valore minimo 0 che si raggiunge per cos θ = 1 Se non si trascura la massa del leptone l'intervallo è ridotto Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 456

23 La misura della polarizzazione del τ Abbiamo visto che nel sistema di riposo del τ l angolo di emissione del pione ha una distribuzione Nel sistema di laboratorio avremo pertanto Dai calcoli cinematici precedenti e inoltre Mettendo insieme i vari pezzi Introduciamo la variabile Si ottiene La misura fatta a LEP Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 457

24 Decadimenti deboli Abbiamo visto che l interazione di Fermi (interazione corrente-corrente) può essere utilizzata con successo per descrivere i decadimenti deboli Assumendo l universalità l Hamiltoniana può essere scritta come La corrente J α (x) è fatta da due pezzi: J α (x) = l α (x) + h α (x) La corrente leptonica l α (x) contiene i campi delle tre famiglie di leptoni I leptoni sono soggetti solo all interazione elettrodebole e la loro descrizione mediante campi liberi di Dirac è adeguata Notiamo che la presenza nell Hamiltoniana sia della corrente J che della corrente J permette di descrivere processi coniugati Ad esempio richiede i campi richiede i campi Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 458

25 La corrente adronica La corrente adronica h α (x) è più complicata Non può essere scritta in termini di campi liberi Deve descrivere fenomeni per un gran numero di decadimenti di adroni Decadimenti di bosoni ad esempio decadimento dei mesoni π o K Decadimenti di fermioni, ad esempio del neutrone n o della Λ Nel seguito dedurremo alcune proprietà e parametrizzazioni della corrente adronica utilizzando le sue simmetrie dedotte dai dati sperimentali Innanzitutto ricordiamo che l interazione debole viola la parità La corrente è la somma di due termini: h α (x) = V α (x) A α (x) Una componente vettoriale-polare V α (x) Una componente vettoriale-assiale A α (x) Inoltre i decadimenti deboli adronici sono classificabili in due grandi famiglie Decadimenti adronici senza violazione di stranezza per i quali ΔS = 0 Ad esempio i decadimenti Decadimenti adronici con violazione di stranezza per i quali ΔS 0 Ad esempio i decadimenti Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 459

26 La corrente adronica La corrente adronica contiene pertanto Un termine che conserva la stranezza Un termine che viola la conservazione della stranezza Studiamo dapprima le proprietà della corrente, la parte ΔS = 0 I processi deboli studiati fino ad ora hanno tutti la proprietà che la carica elettrica dello stato adronico (o leptonico) cambia di una unità: ΔQ = ±1 Questa proprietà fissa delle regole di commutazione fra le correnti e l operatore carica elettrica Q Infatti dati due stati i> e f> Verifichiamo che la regola di commutazione implica che ΔQ = ±1 Pertanto, se l elemento di matrice è diverso da zero Analogamente per la corrente J α abbiamo Pertanto le interazioni deboli (correnti cariche) hanno la regola di selezione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 460

27 Proprietà isotopiche della corrente adronica Sappiamo che l isospin è una simmetria delle interazioni forti Ad esempio per nucleoni e pioni se si trascurano le differenze di massa Anche se l interazione debole viola la conservazione dell isospin tuttavia lo utilizziamo per descrivere gli stati adronici iniziali e finali Introduciamo pertanto il formalismo dell isospin per i campi del protone e del neutrone Se utilizziamo il formalismo dell isospin il protone e il neutrone sono un unica particella di Isospin T = ½ con due stati caratterizzati da T 3 = ±½ Il campo Ψ del nucleone è un isospinore Il campo Ψ è una quantità a due componenti Ciascuna delle due componenti è a sua volta uno spinore di Dirac a 4 componenti La Lagrangiana del nucleone si riscrive tramite il campo Ψ Espandendo la notazione compatta Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 461

28 Proprietà isotopiche della corrente adronica La simmetria dell isospin si introduce richiedendo l invarianza della Lagrangiana rispetto al gruppo SU(2) nello spazio isospinoriale Una trasformazione è funzione di 4 parametri (α, Λ 1, Λ 2, Λ 3 ); si può scrivere τ i matrici di Pauli La trasformazione che si ottiene per Λ = 0 è l invarianza per trasformazioni globali di fase già vista L applicazione del teorema di Noether porta alla corrente conservata La carica conservata associata è La conservazione di questa carica esprime la conservazione del numero barionico Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 462

29 Proprietà isotopiche della corrente adronica L invarianza rispetto ad una trasformazione con Λ 0 porta alla corrente (di Isospin) conservata La corrente definita è un oggetto complesso È un operatore vettoriale (nel senso di Lorentz) rispetto all indice μ È un operatore vettoriale (nello spazio dell isospin) rispetto all indice i degli operatori di Pauli τ i Per ogni componente i si definiscono le cariche isotopiche L operatore T appena definito È un operatore come gli operatori di campo Ψ Agisce sugli stati dello spazio di Fock (in particolare sul vuoto) Gli stati hanno adesso anche il grado di libertà isospin T può essere espresso in termini di operatori di creazione e distruzione Si possono verificare le seguenti regole di commutazione Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 463

30 Proprietà isotopiche della corrente adronica Consideriamo adesso la corrente di isospin Dall ultima relazione della diapositiva precedente si può ricavare In analogia a quanto si fa nella teoria del momento angolare (o dello spin isotopico) si possono definire le correnti Utilizzando le regole di commutazione precedenti si ottiene Notiamo che le ultime relazioni trovate sono formalmente identiche a quelle della diapositiva La differenza è la sostituzione dell operatore carica elettrica Q con l operatore T 3 Questa circostanza suggerisce una relazione fra la corrente debole carica J e la corrente di isospin J + Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 464

31 Proprietà isotopiche della corrente adronica Gli operatori dello spazio isotopico sono classificati secondo le loro proprietà di trasformazione sotto l azione di un operatore U di SU(2) Operatori isoscalari: ad esempio il numero barionico Infatti Operatori isospinoriali: ad esempio il campo Ψ Si può dimostrare che Ψ si trasforma come un isospinore Operatori isovettoriali: ad esempio la corrente La verifica che sia un isovettore è più complicata Si può verificare che per Λ infinitesimo Bernstein, Elementary Particles and their currents,w.h. Freeman & Company (1968) Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 465

32 Proprietà isotopiche della corrente adronica Discutiamo adesso l importante relazione Consideriamo l operatore B Consideriamo adesso l operatore T 3 In definitiva Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 466

33 Proprietà isotopiche della corrente adronica Per finire possiamo definire la carica elettrica del sistema (in unità di e) come il numero di protoni Abbiamo utilizzato le seguenti matrici 2 2 Ovviamente si ha Utilizzando la relazione precedente si trova Interazioni Elettrodeboli Francesco Ragusa 467