Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Ferromagnetismo Equazioni di Maxwell nella materia Esempi Anno Accademico 2017/2018

2 Il campo H Calcoliamo la divergenza di H Otteniamo La condizione sulla componente tangenziale si ottiene come nel caso di B Per la componente normale calcoliamo il flusso di H attraverso la superficie di un cilindro di altezza trascurabile Abbiamo Contribuiscono solo le superfici circolari A Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 303

3 Esempio: solenoide con nucleo Consideriamo un lungo solenoide avvolto su un materiale lineare con suscettività χ m Le spire per unità di lunghezza sono n La corrente è I Per la simmetria del problema le linee del campo H sono parallele all'asse del cilindro Il campo è nullo all'esterno Utilizzando la legge di Ampère con il cammino in figura (la corrente esce dal piano) Usando la permeabilità del mezzo Osserviamo che nel vuoto si ha B = μ 0 ni L'effetto del mezzo è di generare un campo della stessa forma dovuto a una corrente χ m ni La magnetizzazione è Pertanto la corrente di magnetizzazione genera il campo magnetico aggiuntivo Se il materiale è paramagnetico il campo è più intenso Se il materiale e diamagnetico il campo è meno intenso Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 304

4 Ferromagnetismo Abbiamo già dato le caratteristiche essenziali delle forze nei materiali ferromagnetici Facendo riferimento alle misure con il solenoide La forza è attrattiva e molto intensa La forza dipende linearmente dalla corrente La forza dipende solo dal gradiente del campo La forza si calcola utilizzando la formula Per i materiali diamagnetici e paramagnetici abbiamo visto che m B La dipendenza lineare della forza dalla corrente (dal gradiente del campo) nel caso dei materiali ferromagnetici indica che m non varia più con B Si è raggiunto un limite di saturazione nell'allineamento dei dipoli magnetici La forza è attrattiva e quindi i dipoli si allineano nella direzione del campo Infine osserviamo che i materiali ferromagnetici possono essere magnetizzati anche in assenza di campo È importante notare che il fenomeno dipende dalla temperatura In particolare il ferromagnetismo scompare al di sopra di una certa temperatura caratteristica per ogni sostanza (Temperatura di Curie T c ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 305

5 Il campo di un magnete permanente Consideriamo un cilindro di materiale uniformemente polarizzato Non ci sono correnti di magnetizzazione all'interno dato che J M = M = 0 Le correnti superficiali sono date da Non ci sono correnti superficiali sulle basi del cilindro: C'è una corrente sulla superficie laterale: Il campo magnetico generato dalla corrente superficiale è quello generato da un solenoide di lunghezza finita Osserviamo che B e M non sono paralleli Inoltre Neppure H e M sono paralleli Evidentemente non è solo B a determinare a determinare la direzione dei dipoli Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 306

6 Ferromagnetismo È interessante interpretare numericamente i dati della tabella, diapositiva 1 Kg di ferro subisce una forza di 4000 N con B/ z = 17 T/m La magnetizzazione corrispondente al momento magnetico m è NB: 1 Kg Questo è il massimo valore della magnetizzazione del ferro (saturazione) Abbiamo anche detto che m = Nμ B Elettroni per m 3 Dato che nel ferro ci sono circa atomi/m 3 concludiamo che ogni atomo contribuisce con due elettroni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 307

7 Ferromagnetismo Il fenomeno che stiamo descrivendo è molto complesso Diamo adesso alcune spiegazioni qualitative Per motivi connessi alla struttura quantistica dell'atomo di ferro due elettroni di atomi adiacenti si trovano in uno stato energeticamente conveniente quando i loro spin sono allineati Questa circostanza tende ad allineare gli spin di tanti atomi Si tratta di un fenomeno collettivo La direzione in cui si allineano è casuale In realtà la simmetria del reticolo impone alcune direzioni Alcune sono più favorite di altre L'allineamento dei momenti magnetici avviene in regioni macroscopiche chiamate domini Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 308

8 Ferromagnetismo È possibile vedere i domini al microscopio Microscopi basati sull'effetto Kerr Riflessione della luce da superfici magnetizzate Nella foto i domini magnetici sono le strisce chiare e scure Se il campo esterno cresce i domini si allineano Succede anche che si modificano i confini dei domini L'animazione mostra l'evoluzione dei domini al crescere dell'intensità di un campo esterno entrante nello schermo Le regione bianche indicano una magnetizzazione uscente Le regioni scure magnetizzazione entrante By Zureks, Chris Vardon - Own work, CC BY-SA 3.0, Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 309

9 Esempio: toroide con nucleo Consideriamo un toroide avvolto intorno ad un nucleo di materiale con permittività magnetica μ = (1+χ m )μ 0 Il numero di spire è N, la corrente I Le linee del campo H sono delle circonferenze Utilizziamo la legge di Ampère per il campo H Consideriamo un circonferenza C di raggio r Il campo B e la magnetizzazione M sono Le densità superficiale di corrente nei punti r = r 1 e r = r 2 è differente La corrente di magnetizzazione è ovviamente costante: i m = K 2πr = χ m NI Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 310

10 Curva di magnetizzazione Supponiamo adesso che il nucleo sia ferromagnetico Studiamo sperimentalmente la curva di magnetizzazione Per ogni valore di I conosciamo H Con uno strumento adatto (sonda Hall) misuriamo B Possiamo anche determinare μ = B/H Potremmo ottenere un grafico del genere Osserviamo che le due scale hanno unità diverse Se nel toroide non ci fosse il ferro B = μ 0 H H 300 A/m B = μ 0 H = T Invece B 1.3 T, circa 3000 volte più intenso Dato che B = μ 0 (H + M) e dato che μ 0 H è piccolissimo, il campo B è praticamente dovuto tutto alla magnetizzazione del ferro Orientamento dei domini Osserviamo che si raggiunge un regime in cui la magnetizzazione cresce più lentamente Si raggiunge una saturazione B, T B μ/μ 0 H, amp/m μ/μ 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 311

11 Isteresi Supponiamo adesso di volere ritornare allo stato iniziale O, cioè lo stato H = 0, B = 0 Riduciamo quindi la corrente nell'avvolgimento fino a raggiungere il valore H = 0 Si raggiunge lo stato b e si scopre che il campo magnetico B non è tornato a zero Ricordiamo che B = μ 0 (H + M) Il materiale rimane magnetizzato anche senza eccitazione esterna M = B /μ 0 Per riportare a zero la magnetizzazione bisogna eccitare il toroide con una corrente inversa a quella utilizzata inizialmente In questo modo si può riportare a zero la magnetizzazione quando si raggiunge lo stato c in cui μ 0 (H+M) = 0 Continuando a ridurre H si raggiunge un'altra regione di saturazione Se a questo punto si fa crescere di nuovo H si raggiunge nuovamente la regione di saturazione nello stato a ma percorrendo una traiettoria nel piano H B diversa da quella precedente Si ha pertanto un comportamento in cui lo stato del sistema dipende dalla sua storia precedente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 312

12 Equazioni di Maxwell nella materia Vogliamo riformulare le equazioni di Maxwell nel caso in cui ci sia materia Naturalmente le equazioni nel vuoto sono sempre valide Tuttavia diventa molto complesso tenere conto di tutte le sorgenti Cariche e correnti dovute a fenomeni di polarizzazione e magnetizzazione Risulta conveniente utilizzare i campi D e H Abbiamo già visto la legge di Gauss quando si tiene conto della polarizzazione Avevamo inoltre visto che la polarizzazione fa comparire cariche di volume e cariche superficiali Se la polarizzazione è funzione del tempo le cariche di polarizzazione fanno comparire delle correnti Consideriamo un cilindretto di materia polarizzata Per costruzione le basi siano perpendicolari a P Sulle due basi c'è una densità di carica ±σ P = ±P La carica sulle due basi è q = ±σ P da = ±Pda Se il campo elettrico varia nel tempo varierà anche la polarizzazione La carica varia nel tempo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 313

13 Equazioni di Maxwell nella materia Se la carica sulle basi varia vuol dire che c'è una corrente che trasporta carica da una base all'altra La corrente è il flusso di una densità di corrente Il vettore J P ha le proprietà di una densità di corrente In particolare soddisfa l'equazione di continuità Pertanto in presenza di materia le cariche e le correnti totali sono Come abbiamo già visto in elettrostatica si tiene conto di ρ P introducendo il campo D nella legge di Gauss Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 314

14 Equazioni di Maxwell nella materia Si può procedere analogamente per la legge di Ampère Non richiedono modifiche le equazioni Infatti in queste equazioni non appaiono le sorgenti ρ e J Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 315

15 Equazioni di Maxwell nella materia Riassumiamo le equazioni di Maxwell nella materia Queste equazioni devono essere complementate Dalle relazioni fenomenologiche che definiscono i campi D e H Ad esempio per i mezzi lineari omogenei Dalle condizioni al contorno nel passaggio da un materiale all'altro mezzo lineare σ f = 0 K f = 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 316

16 Soluzione di problemi con materiali Abbiamo visto che le equazioni fondamentali della magnetostatica sono Si tratta di equazioni molto complesse che richiedono metodi di soluzione differenti a seconda della complessità del problema Passiamo in rassegna alcuni casi importanti Problemi che richiedono l'uso del potenziale vettore A In questi problemi la densità di corrente J(r) è data Inoltre occorre definire le condizioni al contorno sulle superfici che delimitano il volume in cui si cerca la soluzione Occorre definire la componente tangenziale di A Per questi problemi le equazione per il potenziale sono Combinando In generale un'equazione la cui soluzione analitica è praticamente impossibile Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 317

17 Uso del potenziale vettore Si ha una notevole semplificazione del problema se il mezzo è lineare In questo caso Questa equazione può essere messa nella forma (vedi diapositiva ) Sappiamo che il potenziale vettore è definito a meno di f(r) (f arbitraria) Possiamo utilizzare questa indeterminazione per richiedere che A = 0 L'equazione diventa Vediamo pertanto che ciascuna delle componenti di A soddisfa l'equazione di Poisson Tuttavia la richiesta A = 0 rende le equazioni dipendenti Bisogna inoltre fissare le condizioni al contorno (all'infinito o su confini) In coordinate curvilinee le equazioni per A k non sono separate Infine, se ci sono più mezzi, ciascuno di permeabilità μ i allora in ogni mezzo il potenziale vettore soddisfa l'equazione 2 A i = μ i J Le varie soluzioni nei diversi mezzi devono essere raccordate utilizzando le condizioni di discontinuità al confine fra i materiali differenti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 318

18 Il problema della magnetostatica Nella diapositiva abbiamo trovato l'equazione differenziale che definisce il potenziale vettore Imponendo il gauge di Coulomb A = 0 si ottiene l'equazione Somiglia molto all'equazione di Poisson È un'equazione vettoriale In coordinate cartesiane ( e SOLO in coordinate cartesiane) equivale a Nota la densità di corrente si trova una soluzione particolare La soluzione generale è la somma della soluzione particolare e di una soluzione dell'equazione omogenea che permette di soddisfare le condizioni al contorno Normalmente le condizioni al contorno sono le discontinuità all'interfaccia e campi nulli all'infinito Normalmente le correnti J non sono modificate dalla presenza di materia Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 319

19 Il problema della magnetostatica Studiando l'elettrostatica abbiamo visto che le coordinate curvilinee permettono di semplificare molto le condizioni al contorno o all'interfaccia In elettrostatica l'equazione di Laplace è per il potenziale scalare In magnetostatica abbiamo il potenziale vettore Il grosso problema è che in coordinate curvilinee i versori dipendono dalle coordinate stesse Ad esempio la forma esplicita dell'equazione del potenziale vettore in coordinate sferiche Osserviamo che ciascuna delle tre equazioni contiene tutte tre le componenti Inoltre deve essere anche soddisfatta A = 0 In pratica risolubile quando per simmetria alcune delle componenti sono nulle Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 320

20 Esempio: guscio sferico di corrente Per illustrare i concetti precedenti risolviamo un problema che abbiamo già visto Un guscio sferico di carica che ruota intorno all'asse con velocita angolare ω La corrente superficiale è Calcoliamo il prodotto vettoriale Otteniamo Il problema possiede una simmetria rotazionale intorno all'asse z Il potenziale vettore non dipende da φ Si può verificare che in coordinate sferiche il potenziale vettore ha solo la componente A φ (r,θ) Il campo B ha solo due componenti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 321

21 Esempio: guscio sferico di corrente Utilizzando la formula della diapositiva si ha Introducendo la formula del laplaciano in coordinate sferiche l'equazione diventa Per trovare una soluzione si può procedere nel modo seguente All'interno (r < R regione 1) della sfera e all'esterno (r > R, regione 2) il potenziale A φ soddisfa l'equazione omogenea Con il metodo della separazione delle variabili si trovano le soluzioni dell'equazione omogenea Saranno delle serie infinite, come nel caso della sfera in elettrostatica Si impongono continuità, andamento per r 0 e r Si calcolano le componenti tangenziali di B (B θ ) per r = R + e r = R Si eguaglia la discontinuità alla corrente superficiale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 322

22 Esempio: guscio sferico di corrente Si dimostra che la soluzione generale dell'equazione omogenea ha la forma Le funzioni P 1 l(θ) sono le funzioni associate di Legendre Nella regione interna alla sfera poniamo D l = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe nell'origine Analogamente, all'esterno C l = 0 altrimenti il potenziale divergerebbe all'infinito In definitiva La continuità per r = R implica D l = C l Si verifica che le componenti radiali di B (normale alla superficie sferica) sono automaticamente continue Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 323

23 Esempio: guscio sferico di corrente Calcoliamo le componenti tangenziali B θ Notiamo che la densità superficiale di corrente è proporzionale a sinθ Avremo pertanto un sistema di equazioni per l 1 e una equazione per l = 1 Per l 1 Per l = 1 In definitiva, nella regione interna alla sfera (r < R) abbiamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 324

24 Esempio: guscio sferico di corrente Nella regione esterna alla sfera (r > R) otteniamo Da confrontare con il risultato dell'integrazione diretta della formula di Biot e Savart Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'interno del guscio (r < R) La componente polare B θ La componente radiale B r Riassumendo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 325

25 Esempio: guscio sferico di corrente Calcoliamo il campo di induzione magnetica B all'esterno del guscio (r > R) La componente polare B θ La componente radiale B r Riassumendo esterno sfera interno sfera Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 326

26 Esempio: guscio sferico di corrente All'interno della sfera il campo è uniforme È parallelo all'asse z Infatti, la quantità tra parentesi è il versore All'esterno abbiamo un campo dipolare Ricordiamo il campo del dipolo elettrico (diapositiva 252 parte I) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 327