Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n Magnetismo nella materia Diamagnetismo. Paramagnetismo Teoria macroscopica del magnetismo nella materia Anno Accademico 2018/2019

2 Modello qualitativo del diamagnetismo Supponiamo di avere una particella di massa M e carica q che compie un moto circolare uniforme in un'orbita di raggio r La forza centripeta è fornita da una fune La tensione della fune è F 0, la velocità v 0 Inizialmente B = 0 Supponiamo adesso di stabilire nella regione un campo magnetico B 1 diretto come in figura Naturalmente dobbiamo passare da B = 0 a B 1 Avremo una campo magnetico variabile nel tempo Avremo anche un campo elettrico indotto La variazione del flusso sull'orbita determina la circuitazione del campo elettrico indotto Trascuriamo il segno che fisseremo alla fine con la legge di Lenz Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 289

3 Modello qualitativo del diamagnetismo Il campo elettrico indotto accelera l'elettrone L'equazione si integra facilmente La velocità è aumentata Se la velocità aumenta deve aumentare anche la forza centripeta Nei casi di interesse Δv v 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 290

4 Modello qualitativo del diamagnetismo Oltre alla tensione della fune abbiamo anche la forza di Lorentz: F 1 = F 0 + F m Trascuriamo ancora una volta i termini in Δv 2 Confrontiamo con il risultato della diapositiva precedente Vediamo l'interessante circostanza che il campo magnetico fornisce anche la necessaria forza centripeta aggiuntiva Necessaria per mantenere il raggio dell'orbita costante La tensione della fune non è cambiata Non dipende dal tipo di forza che lega la particella Funziona allo stesso modo con la legge di Coulomb Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 291

5 Modello qualitativo del diamagnetismo Veniamo al segno della forza elettromotrice In linea di principio Δv potrebbe essere negativa indicando una decelerazione della carica Utilizziamo la legge di Lenz La variazione velocità deve generare una variazione di flusso che si oppone alla variazione del flusso di B 1 Se q > 0 la variazione di velocità deve essere positiva: Δv > 0 In termini di momento di dipolo magnetico Inizialmente il momento di dipolo è (vedi diapositiva ) Dopo l'accelerazione il momento è aumentato Dalle diapositive precedenti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 292

6 Modello qualitativo del diamagnetismo Vediamo pertanto che l'elettrone acquista un momento di dipolo magnetico aggiuntivo L'aumento Δm è anti-parallelo al campo applicato B 1 Il momento di dipolo aggiuntivo è nel verso opposto a quello di B 1 anche quando l'elettrone ruota in senso inverso Succede per la legge di Lenz Per la legge di Lenz la variazione di velocità deve generare una variazione di flusso opposta a quella causata da B 1 Δv e Δm come nel caso precedente Concludiamo che per entrambi i versi della velocità dell'elettrone c'è un momento di dipolo aggiuntivo Anche per un atomo con due elettroni con due orbite percorse in senso opposto Un atomo che inizialmente ha momento angolare e momento magnetico nulli Acquista un momento di dipolo magnetico pari a 2 Δm Analogo all'atomo sferico che si deforma e acquista un dipolo elettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 293

7 Modello qualitativo del diamagnetismo Abbandoniamo l'ipotesi che l'orbita sia perpendicolare al campo magnetico La proiezione del campo magnetico sull'asse perpendicolare al piano dell'orbita è Bcosθ Nella somma dei momenti magnetici aggiuntivi rimane solo la componente z di Δm La grandezza r cosθ è la proiezione del raggio dell'orbita sul piano x y Mediando su tanti atomi D'altro canto Utilizzando questo risultato Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 294

8 Modello qualitativo del diamagnetismo Infine consideriamo un atomo in cui ci sono Z elettroni (q = e, M = m e ) Il momento magnetico che l'atomo acquista è Possiamo adesso calcolare il momento magnetico che acquista un volume V di materia che contiene n atomi per unità di volume Il numero di atomi è Il momento magnetico è M è la massa del volume V in g Ricordiamo che la forza su un momento magnetico m è ( diapositiva ) Notiamo che il verso della forza dipende dal segno di m B Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 295

9 Modello qualitativo del diamagnetismo Calcoliamo la forza per le sostanze citate nella diapositiva Osserviamo che La forza è proporzionale alla massa e a B 2 Il gradiente del campo è negativo, la forza è diretta lungo il verso positivo dell'asse z È una forza repulsiva Calcoliamo il modulo Riproduce molto bene l'ordine di grandezza delle forze Per valori più accurati occorre il valore esatto di R 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 296

10 Teoria di Langevin del diamagnetismo La teoria del diamagnetismo descritta è adottata in molti testi È adottata da Purcell ma non da Mazzoldi Mazzoldi presenta la teoria classica di Langevin basata sulla precessione del momento angolare L Il momento della forza sull'elettrone orbitante ne fa precessare il momento angolare La rotazione aggiuntiva genera una corrente Δi L'atomo acquista un momento magnetico aggiuntivo Δm Osserviamo che in entrambi i casi si tratta di teorie qualitative che mostrano una serie di inconsistenze di natura termodinamica Una teoria rigorosa richiede la meccanica quantistica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 297

11 Paramagnetismo Abbiamo descritto l'effetto del campo magnetico legato al moto orbitale degli elettroni Abbiamo notato che quasi tutte le sostanze (molecole) hanno un momento angolare orbitale nullo Abbiamo inoltre notato che gli elettroni posseggono un momento angolare intrinseco (spin) la cui proiezione lungo un asse assume due soli valori: ± /2 Il momento magnetico intrinseco dell'elettrone è μ B magnetone di Bohr Per il principio di esclusione di Pauli gli elettroni tendono a disporsi in coppie con momento angolare nullo Anche il momento magnetico sarà nullo In alcune molecole il numero di elettroni è dispari (ad es. NO) oppure la configurazione elettronica è tale da non avere la cancellazione dello spin per due elettroni (O 2 ) In queste sostanze un campo magnetico esterno può allineare i momenti magnetici e far comparire un momento di dipolo Nello stesso verso del campo magnetico applicato Nel verso opposto rispetto al diamagnetismo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 298

12 Paramagnetismo Abbiamo visto che un dipolo magnetico in un campo magnetico B possiede un'energia potenziale data da In meccanica quantistica avviene la stessa cosa, ad esempio per lo spin di un elettrone atomico La proiezione del momento magnetico lungo B può avere solo 2 valori: m = ±μ B In un materiale a temperatura T gli elettroni hanno un'energia di agitazione termica KT Il numero di elettroni che hanno un determinato valore del momento magnetico si calcola utilizzando la statistica di Boltzmann Introducendo le energie dalla tabella a si determina imponendo che il numero totale di elettroni sia N Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 299

13 Paramagnetismo Calcoliamo la costante a Il momento magnetico degli N elettroni si calcola con la somma Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 300

14 Paramagnetismo La formula che abbiamo trovato fornisce il momento magnetico di un blocco di materia con N elettroni Ricordiamo che il momento magnetico degli elettroni era "quantizzato" nella direzione del campo magnetico B È nello stesso verso di B Osserviamo che per campi B molto elevati o temperature basse il momento magnetico indotto satura Tutti i momenti degli spin si allineano nello stesso senso di B NB Per campi magnetici dell'ordine di 1T e temperatura ambiente Questo è il risultato che si ottiene se si assume che il dipolo magnetico può assumere tutti i valori di energia fra μ B B e +μ B B Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 301

15 Paramagnetismo La teoria descritta può essere estesa anche ad atomi e molecole con configurazioni di momento angolare più complicate Il grafico mostra l'accordo fra calcoli teorici basati sui concetti descritti e dati sperimentali Per atomi con momento angolare J = 3/2, 5/2, 7/2 Va sottolineato che la teoria che abbiamo discusso descrive i concetti fondamentali necessari per descrivere il paramagnetismo Tuttavia per una trattazione rigorosa che riproduca esattamente i dati sperimentali occorre esaminare in maggiore dettaglio il momento angolare delle sostanze che si vogliono descrivere Analisi del genere sono al di là degli obbiettivi del corso Il ferromagnetismo è un fenomeno legato anch'esso allo spin dell'elettrone La descrizione microscopica del fenomeno è molto complicata Daremo dei cenni dopo la trattazione fenomenologica del magnetismo nella materia Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 302

16 Magnetizzazione e suscettività Abbiamo visto che in presenza di campi magnetici esterni nella materia vengono indotti momenti di dipolo magnetico Possono essere paralleli (paramagnetismo, ferromagnetismo) oppure anti-paralleli (diamagnetismo) Come nel caso del campo elettrico, per descrivere il magnetismo nella materia si introducono delle quantità macroscopiche Le quantità macroscopiche si calcolano a partire dalle corrispondenti quantità microscopiche realizzando delle medie spaziali Su volumi grandi se confrontati con i volumi atomici Su volumi piccoli se confrontati con i volumi tipici del sistema macroscopico La prima quantità importante (Magnetizzazione) viene introdotta per descrivere il momento magnetico indotto in un volume ΔV di materia Si definisce magnetizzazione il momento magnetico totale per unità di volume Il momento magnetico dovuto ai dipoli atomici Nel caso generale la magnetizzazione è una funzione della posizione: M(r) Le unità di misura Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 303

17 Magnetizzazione e suscettività Consideriamo adesso materiali diamagnetici o paramagnetici A temperature non troppo basse e campi magnetici non troppo intensi Abbiamo visto che in entrambi i casi i momenti di dipolo magnetico indotti dipendono linearmente dal campo B Se nelle formule precedenti N diventa una densità di elettroni per unita di volume le espressioni danno la magnetizzazione Si definisce suscettività magnetica χ m di una sostanza La definizione precedente è quella "logica" ma è differente da quella reale in funzione del campo H Lo vedremo in seguito Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 304

18 Densità di corrente superficiali Richiamiamo la definizione di densità di corrente superficiale (vedi diapositiva ) Per definizione la corrente è il flusso della densità di corrente Supponiamo per semplicità che il conduttore sia un parallelepipedo orientato come in figura Per semplicità supponiamo che la densità di corrente J non vari nella direzione y Il flusso di J attraverso la faccia rettangolare L d posta a y = y 0 è dato da Definiamo la densità superficiale di corrente K La corrente trasportata dal conduttore è pertanto Se K non dipende da x Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 305

19 Densità di corrente superficiali Riscriviamo la formula per il potenziale vettore in funzione della densità superficiale di corrente (vedi diapositiva 793 ) L'integrale è esteso a tutto lo spazio Ovviamente contribuiscono solo le regioni in cui J 0 Se il conduttore è molto sottile, al limite infinitesimo è conveniente utilizzare la densità superficiale di corrente Per completezza diamo anche la formula del potenziale vettore nel caso di una corrente trasportata da un conduttore di sezione infinitesima ( L 0 ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 306

20 Campo B da materia magnetizzata Consideriamo un blocco di materia uniformemente magnetizzato Per semplicità supponiamo che la magnetizzazione M sia diretta lungo l'asse z Non ci preoccupiamo di come la magnetizzazione sia causata o mantenuta Ricordiamo che la magnetizzazione M è la somma dei contributi di tutti i dipoli magnetici elementari contenuti nel blocco di materia Suddividiamo adesso il blocco in "fette" di spessore dz e perpendicolari a M Possiamo ulteriormente suddividere la fetta in tanti piccoli "cubetti" Il momento di dipolo del cubetto è Sappiamo che ogni momento di dipolo è equivalente ad una spira di area da e corrente i Da cui otteniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 307

21 Campo B da materia magnetizzata Osserviamo che, dato che la magnetizzazione M è costante, tutte le correnti delle piccole spire sono uguali fra di loro Inoltre osserviamo che nella parte interna della "fetta" le correnti delle piccole spire si elidono Tuttavia le correnti ai bordi non si elidono Per la discontinuità del materiale In definitiva l'intera "fetta" di materiale genera lo stesso momento magnetico di un "nastro" di corrente superficiale i L'intero blocco è equivalente ad una densità superficiale di corrente Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 308

22 Campo B da materia magnetizzata Il campo magnetico generato dal materiale magnetizzato all'esterno del blocco è Si tratta di un campo macroscopico Non bisogna andare molto vicini alla superficie Molto vicino significa a distanze dell'ordine delle dimensioni atomiche Consideriamo adesso il campo all'interno del blocco Si tratta di una discussione analoga a quella del campo elettrico all'interno del dielettrico (diapositiva 272, I parte) In quel caso avevamo utilizzato il fatto che il campo elettrostatico è conservativo Si potrebbe dimostrare che il campo B generato dalla corrente superficiale K è uguale alla media del campo microscopico B all'interno del blocco Il campo B è quello generato dai dipoli magnetici atomici È un campo con forti variazioni spaziali all'interno della materia A livello macroscopico è importante la media spaziale Per questa dimostrazione si utilizza il fatto che B è solenoidale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 309

23 Correnti di magnetizzazione Abbiamo visto che gli effetti della magnetizzazione possono essere descritti introducendo una densità superficiale di corrente K = M Dimostreremo che questo risultato si può esprimere in generale come Il versore n è la normale alla superficie È facile verificare che per M costante la formula riproduce il risultato che abbiamo utilizzato fino ad ora Se la magnetizzazione non è uniforme compaiono anche correnti all'interno del volume della materia magnetizzata Per dimostrarlo consideriamo un blocco di materiale suddiviso in tanti blocchetti La magnetizzazione può essere considerata uniforme in ogni blocchetto Assumiamo che sia diretta lungo l'asse z M varia spostandosi lungo l'asse y Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 310

24 Correnti di magnetizzazione Ogni blocchetto può essere sostituito da una spira percorsa da una corrente La corrente nella prima spira è La corrente nella seconda spira è La differenza fra le correnti delle spire genera una corrente Δi lungo x Analogamente una componente della magnetizzazione lungo y che varia lungo z genera un altro contributo di corrente lungo x Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 311

25 Correnti di magnetizzazione Riassumiamo il risultato Sappiamo che una corrente è il risultato del flusso di una densità di corrente attraverso una superficie La corrente che abbiamo calcolato è nella direzione x Perpendicolare alla superficie ΔyΔz Definisce la componente x del vettore densità di corrente Occorre osservare che questa corrente è il risultato dell'orientamento dei dipoli atomici Una situazione analoga a quanto avveniva in elettrostatica per le cariche di volume ρ P = P A volte si usa anche l'aggettivo legato (bound) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 312

26 Campo B da materia magnetizzata Anche nel caso appena descritto il campo magnetico generato dalla magnetizzazione si può calcolare utilizzando le formule introdotte per il campo magnetico generato da correnti reali Ricaviamo adesso in modo più formale (matematico) le relazioni che abbiamo ricavato con ragionamenti fisici Supponiamo di avere un blocco di materia magnetizzata caratterizzata con un vettore di magnetizzazione M(r) Consideriamo un elemento di volume dv Ha un momento magnetico Ricordiamo il potenziale vettore di un dipolo nell'approssimazione di grande distanza (diapositiva ) Dipolo nell'origine Dipolo in r Il potenziale vettore di tutto il corpo si calcola integrando Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 313

27 Campo B da materia magnetizzata Utilizziamo la relazione L'operatore agisce sulla variabile r Utilizziamo la identità (vedi diapositiva ) Il primo integrale permette di introdurre J M Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 314

28 Campo B da materia magnetizzata Per il secondo integrale utilizziamo la relazione Otteniamo Definiamo Otteniamo infine Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 315