FORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO. Dispositivo sperimentale. i l F B

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1 FORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO 0 Dispositivo sperimentale Consideriamo per semplicità un campo magnetico uniforme, le linee di forza sono parallele ed equidistanti. Si osserva una forza di origine magnetica F, esercitata sul filo immerso nel campo magnetico per un tratto di lunghezza l percorso dalla corrente i, che nel dispositivo sperimentale è equilibrata dalla forza elastica di facile misura. i N l S Sperimentalmente si verifica che l intensità della forza risulta direttamente proporzionale alla lunghezza del tratto di filo immerso nel campo magnetico (l), all intensità di corrente (i) ed è dipendente dall angolo () formato tra la direzione della corrente e le linee di forza del campo magnetico. La constante di proporzionalità (), dipendente solo dal corpo magnetico, è detta induzione magnetica. L intensità della forza risulta : F i l sen. Situazioni particolari: =0 F 0 Il filo è disposto nella direzione delle linee di forza. =/2 F i l La forza è massima se il filo risulta disposto perpendicolarmente alle linee di forza. La costante di proporzionalità dipende solo dal campo magnetico. In presenza di campi magnetici varianti essa varia da punto a punto ed è l intensità della grandezza vettoriale Vettore induzione magnetica che descrive le caratteristiche del campo magnetico. Il Vettore induzione magnetica presenta: Direzione : tangente alle linee di forza Verso: concorde con il verso di percorrenza delle linee di forza Intensità: ricavabile considerando la forza agente su di un tratto di filo disposta perpendicolarmente alle linee di forza F i l A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 1

2 o Unità di misura N / A m = J s / C m 2 = Volt s / m 2 = Tesla ( 1 Gauss = 10-4 Tesla) ( essendo 1 Volt s = 1 Weber 1 Volt s / m 2 = 1 Weber / m 2 ) o Formula dimensionale [ ] = [ m t -2 i -1 ] un vettore avente per direzione e verso quello della corrente ed intensità uguale alla lunghezza del conduttore immerso nel campo Considerando la grandezza vettoriale ed indicando con l magnetico,possiamo esprimere la forza F mediante il seguente prodotto vettoriale : La forza F presenta: Modulo : F i l sen Direzione : perpendicolare al piano individuato da l e Verso : definito mediante la regola della mano sinistra. F i l. i l N. : REGOLA DELLA MANO SINISTRA 1 vettore l : medio 2 vettore : indice Si ha che F è rappresentato dal pollice F MOMENTO MECCANICO AGENTE SU DI UNA SPIRA Consideriamo una spira rettangolare di lato: A CD a e AD C b disposta tra due poli magnetici che generano un campo magnetico uniforme: = Cost La normale alla spira ( n ) forma un angolo con le linee di forza del campo ( ) n α C A n D A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 2

3 Rappresentiamo le forze agenti sui tratti rettilinei di filo, tenendo presente la relazione vettoriale della forza F i l F 4 F 3 C A F 2 D F 1 Analizziamo nel dettaglio le forze: F 2 è perpendicolare al piano individuato dal segmento AD e dal vettore F 4 è perpendicolare al piano individuato dal segmento C e dal vettore F 2 e F 4 presentano la stessa intensità F i b e risultano disposte sulla stessa retta d azione, giacente sul piano della spira, il verso delle due forze è opposto in quanto le correnti che circolano nei tratti C e DA presentano verso opposto. Pertanto la risultante delle F 2 ed F 4 ed il loro momento risultante sono entrambi nulli. N D=C A= α n F3 S F 1 La forza agente sull tratto CD risulta: La forza agente sull tratto A risulta: F F 1 3 i a i a F ed F 3 presentato stessa intensità F F 1 F3 1, agiscono su rette parallele ed hanno verso opposto. Si è in presenza di una coppia di forza il cui momento, diverso da zero, pone in rotazione la spira. A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 3

4 F3 α C d α i F 1 C b ed il braccio della coppia di forze risulta : d b sen Il momento scalare di tale coppia di forza risulta : M d F i a b sen essendo la superficie della spira S = ab, si ha: M i S sen Situazioni particolari: α = 0 M = 0 Il momento torcente è nullo si ha quindi una posizione di equilibrio stabile. α = 90 M = i S Il momento torcente è massimo la spira ruota verso la posizione di equilibrio stabile. α = 180 M = 0 Si ha una posizione di equilibrio instabile ovvero se sottoponiamo la spira a piccoli spostamenti essa tende ad abbandonare la posizione di equilibrio instabile ruotando verso la posizione di equilibrio stabile. Per angoli α 0 ed α 180 la spira ruota tendendo a posizionarsi perpendicolarmente alle linee di forza in modo che il vettore risulti disposto nel verso in cui avanza una vite destrorsa che si avviti nel verso della corrente. M i S sen La formula, ricavata nel caso precedente di una spira rettangolare, ha validità generale per spire di qualsiasi forma. MOMENTO MAGNETICO DI UNA SPIRA PERCORSA DA CORRENTE Il momento magnetico di una spira è una grandezza vettoriale, avente: Modulo : m s i S, con S la superficie della spira Direzione : perpendicolarmente al piano della spira Verso : coincidente con quello della normale al piano della spira; ovvero quello nel quale avanza una vite destrorsa quando gira nel verso della corrente. Si ha quindi : m s i S n (n è il versore normale al piano della spira) i M m s Possiamo quindi esprimere il modulo del momento meccanico M i S sen nel seguente modo: M ms sen. L espressione vettoriale del momento meccanico risulta: M m s. A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 4

5 MOMENTO MECCANICO AGENTE SU UN MAGNETE Ad ogni magnete è associato un momento magnetico va dal polo Sud al polo Nord del magnete. m s, avente la direzione Nord-Sud ed il verso che S F 2 N N S Il momento meccanico risulta: F 1 M m o Il magnete tende a disporsi lungo le linee di forza, tale che il vettore sia entrante nel polo Sud ed uscente nel polo Nord. TEOREMA DI EQUIVALENZA DI AMPERE Una spira di momento magnetico m s magnete il cui momento magnetico è m m s 0 e si ha che: un campo magnetico esterno esercita sulla spira e sul magnete una stessa azione meccanica, poiché si ha un identico momento meccanico. i S (sezione S e corrente elettrica i) è equivalente ad un il campo magnetico prodotto dalla spira e quello prodotto dal magnete, in punti sufficientemente lontani, sono identici. MOMENTO MAGNETICO ORITALE Ogni elettrone ruota intorno al proprio nucleo e si comporta come una microspira percorsa da corrente (corrente elementare) la quale ha evidentemente verso opposto a quella del moto dell elettrone e determina un momento magnetico orbitale μ orb. Il momento magnetico orbitale è quantizzato, cioè non può assumere qualsiasi valore, ma soltanto valori multipli interi di una quantità elementare detta «magnetone di ohr», pari a o = 9, A m 2. In considerazione del fatto che l elettrone ruota anche su se stesso (spin elettronico), esso possiede un «momento magnetico proprio». Possiamo concludere che ogni elettrone possiede un momento magnetico totale che è la risultante di quello orbitale e di quello proprio. Indicando con μ s il momento magnetico proprio dell elettrone dovuto alla rotazione su se stesso (spin elettronico) e con μ il momento magnetico orbitale si ha che ogni elettrone possiede un momento magnetico totale μ T = μ + μ S Il momento magnetico atomico è dato dalla somma dei momenti orbitali e di spin relativi a tutte le particelle cariche (elettroni e protoni) costituenti l atomo. La corretta trattazione del momento magnetico proprio, relativo ad un elettrone giacente entro un atomo, e del conseguente momento magnetico atomico necessita dell apporto della fisica quantistica in cui il momento magnetico di spin risulta μ S = o ed il momento magnetico orbitale risulta μ orb =m l o, dove o è il magnetone di ohr ed m l =0,1, 2... è il numero quantico magnetico. A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 5

6 Determiniamo solo a titolo d esempio, con considerazioni di fisica classica, il momento magnetico di un elettrone in un orbita circolare di raggio r avente velocità v. Il periodo di rotazione T è dato dal rapporto tra la lunghezza della circonferenza e la velocità: T=2r/v. L elettrone in rotazione si comporta come una microspira percorsa da corrente i=e/t la quale ha evidentemente verso opposto a quella del moto dell elettrone. Il momento magnetico risulta: S i r 2 e T μ IPOTESI D AMPERE SULLA NATURA DEL MAGNETISMO Alcune esperienze condotte dal fisico e matematico francese Ampere, non appena gli giunse la notizia della scoperta di H.C. Oersted di campi magnetici creati dalle correnti elettriche, rivelarono l equivalenza tra i magneti permanenti e i circuiti elettrici tanto da indurlo a ipotizzare che anche il magnetismo dei magneti permanenti fosse dovuto al movimento delle cariche elettriche contenute nei magneti stessi. Ampere suppose che ogni molecola di una sostanza magnetica sia percorsa interamente da una corrente elettrica, che la rende simile ad un microscopico magnete. Quando il materiale non è magnetizzato, ciò significa che questi minuscoli elettromagneti molecolari sono disposti disordinatamente, in modo che le loro azioni si annullano a vicenda Se invece il materiale è magnetizzato, essi sono orientati in una sola direzione. Si hanno le corrente elementari di Ampere, che danno luogo ad un magnetismo complessivo. Pertanto in presenza di un campo magnetico esterno, le «microspire» tendono ad orientarsi generando a loro volta un campo magnetico che va a sovrapporsi al campo magnetico esterno. Nei magneti naturali le correnti elementari di Ampere non sono orientate casualmente: i loro momenti magnetici hanno una direzione preferenziale che origina il campo magnetico. Questa teoria magnetica di Ampere ha un importanza storica in quanto precede l idea stessa di atomo che si affermerà molto più tardi. La teoria Amperiana è comunque accettata dai fisici moderni, che sulla base della struttura atomica (modello atomico di Rutheford) attribuiscono le proprietà magnetiche della materia al moto orbitale degli elettroni ed alla rotazione su se stessi (spin elettronico). MAGNETISMO NELLA MATERIA Il campo magnetico nel vuoto generato da un circuito percorso da corrente è descritto dal vettore induzione magnetica nel vuoto: 0. In presenza di un mezzo materiale si ha un differente vettore induzione magnetica che differisce da per un fattore r 0 r 0 r è una costate adimensionale ed è detta permeabilità magnetica relativa. Si definisce permeabilità magnetica assoluta il prodotto tra la permeabilità magnetica del vuoto e la permeabilità magnetica relativa 0r. Le relazioni individuate per il magnetismo nel vuoto sono d immediata trasformazione in presenza di un mezzo materiale mediante la semplice sostituzione di al posto di 0. Le proprietà magnetiche delle diverse sostanze sono dunque descritte dalla permeabilità magnetica o, equivalentemente, dalla suscettività magnetica m (grandezza adimensionale) che risulta: m 1 A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 6 r

7 INTENSITA MAGNETICA H E INTENSITA DI MAGNETIZZAZIONE M Nello studio del campo magnetico generato da un elettromagnete occorre considerare sia le correnti circuitali che le correnti elementari di Ampere. Indichiamo con i la corrente di conduzione ( solenoide ) i m la corrente di magnetizzazione (amperiane ) espressa per unità di lunghezza, la sua unità di misura è AMPERE / m Il campo magnetico complessivo è descritto dal vettore induzione magnetica. Introduciamo due nuove grandezze: o Direzione : tangente alle linee di forza o Verso: concorde con il verso di percorrenza delle linee di forza o Intensità: H n i unità di misura (AMPERE / m) Il vettore intensità magnetica H dipendente solo dalla corrente di conduzione. Il vettore intensità di magnetizzazione M dipendete solo dalle correnti di magnetizzazione. M è dipendente dalla natura magnetica della materia e quindi dalla suscettività magnetica m r 1. Si ha: M mh o equivalentemente M ( 1) H r Il vettore d induzione magnetica è dipendente sia dalle correnti di conduzione che dalla corrente di magnetizzazione e risulta: 0 ( H M ) Sostituendo M ( 1) H si ha: r H H r 0 Analizziamo le differenze esistenti tra il vettore induzione magnetica ed il vettore campo magnetico H considerando un solenoide percorso da una corrente i. Nel vuoto (assenza di mezzo materiale) all interno del solenoide si ha: 0 0 n i e H0 n i In presenza di una sostanza magnetica interna al solenoide si ha : r0 n i r 0 e H n i H0 Le relazioni evidenziano che l induzione magnetica assume valori differenti nei due casi mentre per l intensità magnetica H è valida la stessa relazione sia nel vuoto che in presenza di un mezzo materiale. A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 7

8 PROPRIETA MAGNETICHE DELLA MATERIA Analizziamo gli effetti prodotto da un campo magnetico sulla materia ed al tempo stesso le variazioni del campo magnetico in presenza di un mezzo materiale. La materia può essere suddivisa in sostanze diamagnetiche, sostanze paramagnetiche e sostanze ferromagnetiche. SOSTANZE DIAMAGNETICHE hanno generalmente un numero pari di elettroni e non hanno un momento magnetico proprio; le molecole risultano magnetizzate per deformazione (precessione di LARMOR) e la sostanza acquista una debole magnetizzazione opposta al campo e le correnti di magnetizzazione sono opposte alle correnti elettroniche. permeabilità magnetica relativa μ r < 1 = μ r 0 < 0 SOSTANZE PARAMAGNETICHE hanno generalmente un numero dispari di elettroni e hanno un debole momento magnetico proprio le molecole risultano magnetizzate per orientamento e la sostanza acquista una magnetizzazione nella direzione del campo e le correnti di magnetizzazione sono concordi alle correnti elettroniche. permeabilità magnetica relativa μ r > 1 = μ r 0 > 0 SOSTANZE FERROMAGNETICHE Esistono zone dette domini ferromagnetici (domini di Weiss) nelle quali i momenti magnetici degli atomi, anche in assenza di campo magnetico esterno, sono già paralleli tra loro Nella sostanza ferromagnetica non magnetizzata i domini si annullano reciprocamente Immergendo una sostanza ferromagnetica in un campo magnetico, anche se debole, i domini già orientati concordemente con il campo crescono a spese degli altri Aumentando l intensità del corpo magnetico esterno, tutti i domini tendono a disporsi secondo la direzione ed il verso del campo stesso, fino a raggiungere la saturazione magnetica La magnetizzazione persiste anche all annullarsi del campo magnetico esterno μ r >> 1 è dipendente dall intensità del campo magnetico applicata per provocare la magnetizzazione e dipende dalla temperatura a temperature superiori al punto di CURIE (dipendente dalla sostanza) le sostanze ferromagnetiche diventano paramagnetiche in quanto l aumentata agitazione termica impedisce l allineamento dei momenti magnetici degli atomi. A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 8

9 CICLO D ISTERESI Le proprietà delle sostanze ferromagnetiche sono descritte dal ciclo d isteresi, che consiste in un diagramma di stato, in cui è riportato, in funzione del campo H, il campo magnetico presente all interno del materiale ferromagnetico. Il ciclo di isteresi si crea misurando l induzione magnetica () come conseguenza delle variazioni imposte al campo magnetico applicato (H). Consideriamo il dispositivo schematizzato in figura. Da tale schema si vede come possiamo variare il valore della corrente i spostando i due cursori del potenziometro e possiamo variare anche il verso della corrente i, lasciando fisso il numero di spire n. Possiamo calcolare H dalla formula H n i Con un altro strumento siamo in grado di misurare il valore della induzione magnetica che si ha tra i poli magnetici dell elettromagnete per effetto della variazione di H. Lo stato iniziale è quello in cui non si ha corrente elettrica e la sostanza è smagnetizzata. Facendo variare la corrente elettrica varia il valore del campo H ed otteniamo il ciclo d isteresi che è un diagramma del tipo: Analizziamo nel dettaglio il ciclo d isteresi: Stato iniziale: Sostanza smagnetizzata ( i = 0, H = i n = 0 ) La posizione nel diagramma è l origine O Tratto 0 s : all aumentare della corrente i si ha l aumento dell intensità dei vettori H = i n e. Si osserva che il vettore non aumenta linearmente. Si giunge alla saturazione magnetica ( s ) in cui l aumento ulteriore di i e quindi di H non causa variazione del vettore. ( s è l induzione magnetica di saturazione) A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 9

10 Tratto s r : al diminuire della corrente i si ha che l intensità dei vettori H e diminuiscono. Si osserva che quando si arriva ad avere i = 0 non si ha = 0 in quanto la sostanza rimane magnetizzata e si ha un magnetismo residuo r 0 Tratto r (-H c ) Si osserva che per avere un magnetismo nullo = 0 accorre annullare il magnetismo residuo e bisogna quindi invertire il verso della corrente fino a raggiungere una intensità magnetica H c che è detta forza coercitiva. Tratto (- H c ) (- s ) Si osserva che aumentando l intensità di corrente, di verso negativo, si giunge alla situazione di saturazione opposta s. Il tratto s a s presenta caratteristiche equivalenti alla trattazione precedente. L area del ciclo d isteresi fornisce una misura del lavoro speso per magnetizzare il provino, lavoro che si trasforma in energia termica, in quanto, durante il processo il campione si riscalda. Magneti temporanei: materiali ferromagnetici che presentano una magnetizzazione residua molto piccola ( ferro dolce). Magneti permanenti: materiali ferromagnetici che presentano una elevata magnetizzazione residua (acciaio = lega di ferro e carbone) Per smagnetizzare un magnete possiamo procedere in modi differenti. innalzando la temperatura al di sopra della temperatura di Curie (dipendente dalla sostanza ) il materiale presenta caratteristiche paramagnetiche sottoponendo il corpo a ripetute sollecitazioni esterne, come esempio una successione di martellate Memorie magnetiche Elettromagneti Relè elettromagnetici FORZA DI LORENTZ Consideriamo un filo percorso da una corrente elettrica i, immerso in un campo magnetico. L intensità di corrente (i = Q/ t) che attraversa un conduttore di sezione S è dipendente dalla velocità di deriva v d degli elettroni che ha verso opposto rispetto a quello della corrente elettrica. Poiché occorre operare con grandezze vettoriali, è opportuno predefinire il verso positivo, tra i dei possibili, nella direzione del filo percorso da corrente. Consideriamo come verso positivo quello della velocità di deriva v d, rispetto al quale hanno verso opposto la corrente elettrica i ed il vettore l, avente lo stesso verso di i ed intensità uguale alla lunghezza del filo percorso da corrente. In questo caso occorre inserire un segno negativo nella relazione della forza che il campo magnetico esercita sul filo rettilineo percorso da corrente e si ha : F i l S l vd t Detto N il numero di elettroni contenuti nel cilindretto di sezione S ed altezza elettrica che fluisce attraverso la sezione S risulta: l vd t, la carica A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 10

11 Essendo t e la forza F poiché v d Considerata l v d 19 Q e N con e 16, 19 C si ha che intensità di corrente risulta: i l Q vd i e N t l che il campo magnetico esercita sul filo rettilineo percorso da corrente risulta: v F e N l d l ed l hanno stessa direzione e verso opposto possiamo scrivere: l F e N vd ovvero F N ( e vd ) l f e v la forza esercitata dal campo magnetico su ogni elettrone si ha: F N f d. Possiamo, quindi, affermare che la forza agente sul conduttore è la somma di tante piccole forze agenti sui singoli elettroni. La forza di origine magnetica esercitata sulle cariche in moto in un campo magnetico è detta forza di 19 Lorentz e per un elettrone si ha: f e vd, dove e 16, 19 C è la carica dell elettrone. Nel caso di una qualsiasi carica elettrica q in moto in un campo magnetico con la velocità v la forza di Lorentz agente sulla carica q risulta: f q v f v La forza di Lorentz ha: Intensità : f q v sen dove è l angolo formato tra il vettore velocità v ed il vettore induzione magnetica ; Direzione : perpendicolare al piano su cui giacciono il vettore v e Verso : definito mediante la regola della mano sinistra. Situazioni particolari: α = 0 f=0 v La forza di Lorentz è nulla se il moto della carica avviene lungo una linea di forza α = π/2 f = q v La forza di Lorentz presenta intensità massima. La forza di Lorentz f è sempre perpendicolare alla velocità v pertanto essa non compie lavoro, non si ha alcuna variazione di energia cinetica ( L = E cinetica ) e la velocità si mantiene costante in modulo. Essa è una forza di natura solo deflettente e l accelerazione acquisita dalla carica risulta perpendicolare alla velocità, cioè è centripeta. f 90 v A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 11

12 Moto di una carica immessa in un campo magnetico con velocità V perpendicolare a v f = q v f Consideriamo una carica q in moto in un campo magnetico con velocità perpendicolari alle linee di forza. La forza di Lorentz ( f q v ) è perpendicolare alla traiettoria e quindi il moto della carica sarà circolare uniforme. 2 v Il moto circolare uniforme è caratterizzato dalla forza centripeta che risulta: f m. Uguagliando quest ultima relazione alla forza di Lorentz si ha Da cui possiamo ricavare: il raggio della traiettoria circolare la frequenza del moto f è indipendente dalla velocità. m v r q v f 2 2 r risulta q 2 v v m r q f 2 m r q r v m Nel caso in cui la velocità v della carica immersa nel corpo magnetico, presenta sia componente perpendicolare alle linee di forza V che una componente V nella direzione del vettore, il moto risulta essere di tipo elicoidale. La componente V perpendicolare a origina un moto rotatorio circolare sul piano perpendicolare a. La componente V parallelo a non viene modificata ed origina un moto traslatorio nella direzione del campo magnetico, la componente del moto nella direzione delle linee di forza è rettilineo uniforme. La composizione delle due componenti origina il moto elicoidale. Forza agente su di una carica elettrica soggetta sia ad un campo magnetico che a un campo elettrico La risultante delle forze di natura elettrica e di natura magnetica risulta: f q E q v Se la velocità v è nulla oppure è parallelo a si ha la sola forza di natura elettrica f q E A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 12