CAPITOLO 5 CORRENTE ELETTRICA

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1 CAPITOLO 5 CORRENTE ELETTRICA

2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduzione elettrica Materiali conduttori SOLIDI: Costituiti da un reticolo spaziale Ai vertici: ioni positivi All interno: movimento libero degli elettroni Parametro caratteristico per molti metalli: Numero di portatori di carica n 1029 elettroni m 3 Moto degli elettroni liberi in un conduttore metallico: Completamente disordinato e casuale Velocità media NULLA: v m = 1 N σ i v i = 0 NON esiste una direzione di moto preferenziale per gli elettroni

3 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduzione elettrica Collegamento di due conduttori C 1 e C 2, a potenziali V 1 e V 2 diversi Condizione di equilibrio: conduttori allo stesso potenziale V Per raggiungere l equilibrio: Passaggio di elettroni dal conduttore a potenziale minore a quello a potenziale maggiore, sotto l azione del campo elettrico E (dovuto alla d.d.p. ΔV = V 2 V 1 ) Moto ORDINATO di elettroni in una certa direzione CORRENTE ELETTRICA Tale fenomeno è un esempio di CONDUZIONE ELETTRICA

4 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduzione elettrica Occorre disporre di un dispositivo capace di MANTENERE UNA D.D.P., quindi un campo elettrico, tra due conduttori a contatto, o tra due punti dello stesso conduttore Così facendo il flusso di elettroni può durare per molto tempo GENERATORE DI FORZA ELETTROMOTRICE Cella o pila voltaica Energia chimica o meccanica trasformata in elettrica Simbolo nei circuiti Estremità A e B sono dette POLO POSITIVO e POLO NEGATIVO B + A

5 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Corrente elettrica Si consideri una porzione di un conduttore dove sia presente un campo elettrico E, prodotto da un generatore di f.e.m., e si consideri il movimento di n + portatori di carica +e per unità di volume Movimento dovuto all azione della forza elettrica F = ee v D : velocità dei portatori sotto l azione della forza elettrica o VELOCITÀ DI DERIVA Lungo la direzione del campo

6 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Corrente elettrica Si considerino Una superficie cilindrica infinitesima di sezione Σ all interno del conduttore Si definisce quindi l INTENSITÀ DI CORRENTE come la quantità di carica q che transita attraverso Σ nel tempo Δt: i = lim Δt 0 Δq Δt = dq dt Σ E v D

7 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Corrente elettrica Si consideri quanta carica passa attraverso la superficie infinitesima dσ la cui normale u n formi un angolo con il campo elettrico E (e con la velocità di deriva v D ) in un intervallo di tempo Δt: Carica contenuta nel volume infinitesimo dτ = v D Δt dσ cos θ: Δq = n + e dτ Intensità di corrente: di = Δq Δτ = n + e v D dσ cos θ E dσ + v D Δx = v D Δt u n E

8 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Corrente elettrica Definizione di DENSITÀ DI CORRENTE Ԧj = n + e v D Da cui: di = Ԧj u n dσ Integrando si ottiene l INTENSITÀ DI CORRENTE: i = න Ԧj u n dσ Σ Flusso del vettore densità di corrente attraverso la superficie Σ Se Σ è ortogonale a Ԧj (ovvero u n Ԧj), dunque a v D, e Ԧj ha lo stesso valore in tutti i punti di Σ, si ottiene: i = j Σ j = i Σ

9 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Corrente elettrica Se i portatori sono negativi, allora Ԧj = n e v + v + In generale, quando vi sono più portatori di carica Ԧj = n + e v D n e v Il verso della corrente è PER CONVENZIONE quello stabilito dal movimento delle cariche POSITIVE v ev + E ev Unità di misura: Corrente: Ampere, simbolo A Densità di corrente: Ampere su m 2 1 Ampere = A m 2 1 Coulomb 1 secondo UNITÀ DI MISURA A

10 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.1 Un conduttore cilindrico di rame, avente sezione di area Σ = 4 mm 2, è percorso da una corrente di intensità i = 8 A. 1. Calcolare la velocità di deriva degli elettroni, sapendo che nel rame n = elettroni/m 3. Σ + Ԧj E B +

11 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Corrente elettrica stazionaria Si considerino due sezioni Σ 1 e Σ 2 di un conduttore percorso da corrente di densità Ԧj es i calcolino le intensità di corrente attraverso queste due sezioni: i 1 = න Σ 1 Ԧj 1 u 1 dσ 1 i 2 = න Σ 2 Ԧj 2 u 2 dσ 2 CARICA ENTRANTE i 1 e USCENTE i 2 dal volume delimitato da Σ 1 e Σ 2 e dalla superficie laterale Σ l (attraverso la quale non ho flusso di carica!) Se all interno del volume considerato la carica NON VARIA nel tempo, allora i 1 = i 2 CONDIZIONE DI STAZIONARIETÀ

12 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A La legge di Ohm Relazione che lega la densità di corrente al campo elettrico all interno di un conduttore, in regime stazionario: Ԧj = σ E σ = CONDUCIBILITÀ o CONDUTTIVITÀ ELETTRICA. Forma equivalente: E = ρ Ԧj RESISTIVITÀ DEL CONDUTTORE ρ = 1 σ Minore è ρ, ovvero MAGGIORE è σ, MAGGIORE è la densità di corrente che può circolare in un conduttore, a parità di campo elettrico!

13 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A La legge di Ohm Caso di un conduttore metallico cilindrico di lunghezza h e sezione Σ. Ai capi di questo tratto di conduttore vi sia una d.d.p. pari a Si consideri il regime stazionario: B V = V A V B = න E ds = Eh A i = j Σ = E ρ Σ E = i ρ Σ h Σ A Ԧj E B B +

14 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A La legge di Ohm Ricordando che V = Eh si ottiene ρ h V = Σ i Definizione di RESISTENZA DEL CONDUTTORE ρ h R Σ LEGGE DI OHM per i CONDUTTORI METALLICI V = R i Unità di misura della resistenza R 1 Ohm = 1 Volt/1 Ampere [Ω] UNITÀ DI MISURA W

15 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A La legge di Ohm Se il conduttore ha sezione variabile, il potenziale ottenuto integrando lungo A E dh i B tutto il conduttore vale: Σ B V = න E ds = Ri A Dove si definisce la resistenza del conduttore: + B R = න ρ dh A Σ R dipende dalla natura (ρ) e dalle dimensioni (Σ e h) del conduttore In regime stazionario, R definisce il rapporto tra d.d.p. e intensità di corrente applicata ai capi di un conduttore metallico Unità di misura della RESISTIVITÀ UNITÀ DI MISURA W m

16 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Potenza nei circuiti Si consideri una carica dq che si muova attraversando la differenza di potenziale V = V A V B Il lavoro compiuto per questo spostamento: dw = V dq = V i dt La POTENZA TRASFERITA risulta dunque: P = dw dt = V i Se il dispositivo è un conduttore, dunque vale la legge di Ohm, si trova: P = R i 2 = V2 R

17 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Potenza nei circuiti Il passaggio di corrente attraverso un conduttore metallico per un tempo t comporta dunque un lavoro: t t W = න P dt = න R i 2 dt 0 0 Se la corrente è costante nel tempo, il lavoro vale: W = R i 2 t Necessario per vincere la resistenza opposta dal reticolo cristallino Lavoro assorbito dal conduttore, la cui energia interna aumenta EFFETTO JOULE: Effetto di RISCALDAMENTO di un conduttore PERCORSO DA CORRENTE

18 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Modello classico di conduzione Si ipotizza che gli elettroni si muovano attraverso un reticolo cristallino Ioni del metallo fissi nei vertici del reticolo Elettroni si muovono con un moto disordinato Interazioni elettroni reticolo serie di URTI Tra un urto e l altro: moto degli elettroni è libero con traiettorie rettilinee (moto rettilineo uniforme) Direzioni delle traiettorie dopo gli urti: completamente casuali Non si hanno flussi netti di carica E = 0

19 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Modello classico di conduzione 1. Situazione priva di campi elettrici Si definiscono tra due urti consecutivi: Il tempo medio τ Il cammino libero medio l v D τ = l v Con v velocità degli elettroni nel metallo 2. Applicando un campo elettrico E Ciascun elettrone viene accelerato con a = F = e E m m Accelerazione opposta al campo!! Alle velocità casuali si sovrappone la componente di velocità di «deriva» (valore molto più piccolo della tipica v)

20 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Modello classico di conduzione Si calcola come varia la velocità tra due urti successivi Velocità v i : subito dopo un urto Velocità v i+1 : subito prima dell urto successivo Dunque: + v + ev + E v i+1 = v i + aτ = v i Facendo la media su un gran numero di urti: e E m τ ev v v D = 1 N i v i+1 = 1 N i v i e E m τ Poiché σ i v i = 0, si ottiene l espressione per la VELOCITÀ DI DERIVA: v D = e E m τ

21 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Modello classico di conduzione DENSITÀ DI CORRENTE Ԧj = n e v D = n e2 τ m E CONDUTTIVITÀ σ = n e2 τ m Grandezza tipica del materiale, intrinsecamente positiva E si ritrova così la LEGGE DI OHM: Ԧj = σ E Valida anche per portatori di carica positiva Il verso di Ԧj non dipende dal segno del portatore

22 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.2 La resistività del rame (n = elettroni/m 3 ) alla temperatura t = 20 C vale ρ = Ω m. Si calcolino: 1. Il valore del campo elettrico E necessario a mantenere in un conduttore di rame una densità di corrente j = 2 A/mm Il tempo medio e il cammino libero medio fra due urti successivi, sapendo che la «velocità di Fermi» per gli elettroni vale v F = m/s.

23 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Resistori I conduttori ohmici sono caratterizzati da un determinato valore di RESISTENZA I dispositivi inseriti come elementi circuitali aventi un determinato valore di resistenza sono detti RESISTORI e hanno il simbolo in figura R Solitamente viene specificato il valore massimo della potenza che può essere in essi dissipata senza causare alterazioni irreversibili I collegamenti di base tra questi elementi, come per i condensatori, sono quello IN SERIE e quello IN PARALLELO.

24 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Resistori in serie Resistenze collegate IN CASCATA In regime stazionario: corrente uguale in tutti gli elementi Si valutino le d.d.p. ai capi di ognuna V A V B = R 1 i V B V C = R 2 i V A V C = R 1 + R 2 i = R eq i A A i R 1 B + R eq R 2 C C RESISTENZA EQUIVALENTE i R eq = R 1 + R R n = n R i i=1 + Somma delle singole resistenza (R eq > R i ) Inoltre: P = R eq i 2 = P 1 + P 2

25 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Resistori in parallelo In questo caso, tutte le resistenze hanno la stessa d.d.p. V = V a V B e sono percorse da due correnti i 1 e i 2, diverse se R 1 R 2 Per la condizione di stazionarietà: i = i 1 + i 2 Pertanto i = V R 1 + V R 2 = V R eq RESISTENZA EQUIVALENTE 1 R eq = 1 R R R n = n 1 R i i=1 A i 1 R 1 R 2 B R eq < R i i i 2 i Inoltre: P = V2 R eq = R eq i 2 +

26 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.3 Nella rete elettrica di resistori collegati come in figura i valori delle resistenze sono R 1 = 3 Ω e R 2 = 9 Ω. Tra i terminali A e B è applicata una d.d.p. V = V A V B = V. Determinare: 1. La resistenza equivalente del circuito; 2. La potenza spesa nel circuito; 3. La d.d.p. V C V F ; R 1 R 2 4. I valori delle intensità A C D di corrente nelle due parti del circuito. R 1 R 2 B F E R 1 R 2

27 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Forza elettromotrice Legge di Ohm per i conduttori = Relazione tra l intensità di corrente con il campo elettrico prodotto da un generatore esterno Considerando un CIRCUITO CHIUSO: B V A V B = න E ds = R i A ර E ds = R T i R T : resistenza TOTALE del circuito E ds: definizione di f.e.m. Per ottenere una corrente di intensità i è NECESSARIA la presenza nel circuito di una sorgente di f.e.m., ovvero di un campo elettrico la cui circuitazione NON SIA NULLA

28 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Forza elettromotrice La sorgente di f.e.m. deve avere al suo interno FORZE DI NATURA NON ELETTROSTATICA, NON CONSERVATIVE, tali da determinare il moto continuo delle cariche 1. Campo elettrostatico E el dovuto alla presenza delle cariche ai poli Sempre diretto da A (pos) a B (neg) Sia nel conduttore che all interno del generatore 2. Campo di natura non elettrostatica E All interno del generatore CAMPO ELETTROMOTORE, capace di far muovere le cariche E el E el all interno del generatore CONTRO il campo elettrostatico. A E el E generatore B E el

29 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Forza elettromotrice Integrando E lungo il circuito A Ɛ = ර E dԧl = න E dԧl B Pari alla tensione tra B e A calcolata lungo una linea INTERNA al generatore Generatore di f.e.m. sfrutta Azioni meccaniche Reazioni chimiche (pile e accumulatori) Induzione elettromagnetica Altri meccanismi (celle solari, etc)

30 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Forza elettromotrice Nei generatori di f.e.m. ideali: Non si considerano resistenze interne Nei generatori di f.e.m. REALI: Qualunque batteria ha una RESISTENZA INTERNA r È normalmente indicata IN SERIE ad un generatore ideale R r Ɛ A B

31 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Forza elettromotrice Nel caso del generatore REALE si trova che Ɛ = r + R i = R T i R T è quindi la resistenza TOTALE del circuito La d.d.p. ai capi del resistore vale: ΔV = V A V B = R i = Ɛ r i Definizione OPERATIVA di f.e.m. Ɛ = ΔV a CIRCUITO APERTO (i = 0) Il lavoro fornito dal generatore viene DISSIPATO nelle resistenze del circuito In termini di potenza: P = Ɛ i = R T i 2

32 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.4 Nel circuito in figura si trova un generatore reale di f.e.m. Ɛ = 100 V e resistenza interna r = 10 Ω. Esso è collegato a tre resistori in serie di valori R 1 = 40 Ω, R 2 = 50 Ω e R 3 = 100 Ω. Partitore resistivo 1. Calcolare la d.d.p. ai capi di ciascun resistore e ai capi del generatore. r Ɛ i R 3 R 2 R 1

33 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche Circuito con geometria più complicata = esempio di RETE ELETTRICA Elementi geometrici distintivi: 1. NODI PUNTO nel quale CONVERGONO almeno 3 CONDUTTORI 2. RAMI Componenti ATTIVI o PASSIVI che COLLEGANO due nodi Analisi delle reti elettriche 3. MAGLIE Determinati CAMMINI CHIUSI, costituiti da PIÙ RAMI Per risolvere questi circuiti si usano le due LEGGI DI KIRCHHOFF

34 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche PRIMA LEGGE DI KIRCHHOFF o LEGGE DEI NODI La somma algebrica delle n correnti che CONFLUISCONO in un nodo è NULLA: n i k = 0 k=1 i 1 i 5 Σ 0 Si può considerare ad esempio Corrente uscente dal nodo: POSITIVA Corrente entrante nel nodo: NEGATIVA i 2 i 3 i 4 i 1 i 2 + i 3 i 4 + i 5 = 0

35 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche SECONDA LEGGE DI KIRCHHOFF o LEGGE DELLE MAGLIE La somma algebrica delle differenze di potenziale in un circuito chiuso in un giro completo è NULLA Oppure La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami della maglia è uguale alla somma algebrica delle d.d.p. ai capi dei resistori situati nei rami della maglia R k i k = Ɛ k k k

36 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Corrente di spostamento Corrente: normalmente associata allo spostamento di cariche Situazione della carica/scarica del condensatore La carica q varia nel tempo Nel circuito scorre una corrente i t Tuttavia: Tra le armature del condensatore NON C È passaggio di carica Ipotizziamo una corrente i s non dovuta ad un moto di cariche che avviene tra le armature del condensatore i s deve risultare uguale a quella del resto del circuito i s deve essere dovuta al fatto che la carica (e quindi anche il campo elettrico) sia VARIABILE NEL TEMPO

37 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Corrente di spostamento Corrente di spostamento i s = ε 0 dφ E dt Dovuta alla variazione nel tempo del flusso del campo elettrico E Introdotta da Maxwell per risolvere alcune incongruenze delle equazioni del campo elettromagnetico Densità di corrente di spostamento j s = i s Σ = ε de 0 dt

38 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Definizioni generali Corrente Densità di corrente Corrente di spostamento i = i c + i s = i c + ε 0 dφ E Ԧj = Ԧj c + Ԧj s = Ԧj c + ε 0 de dt All interno di un conduttore (densità e intensità di corrente di conduzione): Ԧj = Ԧj c e i = i c All interno di un condensatore (in caso di dielettrico, si sostituisce ε 0 con ε) dt Ԧj = ε 0 de dt e i = ε 0 dφ E dt

39 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Misure di corrente e di d.d.p. AMPEROMETRO Strumento che misura le correnti in un circuito Inserito IN SERIE al circuito Ha resistenza trascurabile rispetto a quelle del circuito in esame VOLTMETRO Strumento che misura le d.d.p. in un circuito Inserito IN PARALLELO al circuito Tra i due punti di cui si vuole misurare la d.d.p. Ha resistenza molto maggiore del circuito in esame

40 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.5 I fusibili dei circuiti sono costituiti da un filo metallico progettato in modo da fondere, interrompendo il circuito, se la corrente che lo attraversa supera un certo valore. Si supponga che il materiale usato per il fusibile fonda quando la densità di corrente supera il valore di j max = 440A/cm Che diametro deve avere il filo, di forma cilindrica, affinché limiti la corrente a i max = 0. 5 A?

41 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.6 Un filo di resistenza R = 6 Ω viene stirato sino ad allungarsi di 3 volte. 1. Qual è la nuova resistenza del filo nell ipotesi che resistività e volume del filo non siano cambiati?

42 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.7 Un elemento riscaldante viene fatto funzionare mantenendo una d.d.p. di ΔV = 75 V su un filo conduttore di sezione Σ = m 2 e resistività di ρ = Ωm. 1. Se l elemento dissipa P = 5000 W, qual è la lunghezza del filo?

43 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.8 Si consideri un conduttore cilindrico di raggio R 0 la cui densità di corrente sia variabile a seconda della distanza dall asse r secondo l equazione J r = J 0 1 r R 0 1. Determinare l espressione della corrente attraverso una sezione del conduttore.

44 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.9 Si consideri una stufa elettrica, alimentata da una linea a 200 V, con ha una resistenza a incandescenza di 14 Ω. 1. Quanta potenza elettrica viene dissipata in calore? 2. Al prezzo di 0, 10 euro/kwh, quanto costa far funzionare la stufa per 5 h?

45 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.10 Si consideri un elemento riscaldante che venga fatto funzionare mantenendo una differenza di potenziale di 75 V su un filo conduttore di nichelcromo avente una sezione di m 2 e una resistività di 0. 5 μω m. 1. Se l'elemento dissipa una potenza di 5000 W quanto vale la lunghezza del filo? 2. Se si applica una d.d.p. di 100 V per ottenere la stessa potenza in uscita, quale dovrebbe essere la lunghezza?

46 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.11 In un circuito alimentato da una batteria con d.d.p. 6 V circola, per un tempo di 5, 75 min, una corrente di 5, 12 A. 1. Di quanto si riduce l energia chimica della batteria?

47 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.12 La corrente in un circuito a singola maglia è pari a 5 A. Quando una resistenza aggiuntiva di 2 Ω viene inserita in serie, la corrente scende a 4 A. 1. Quale era la resistenza nel circuito originale?

48 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 5.13 Gli enti normativi fissano la massima corrente ritenuta sicura per vari tipi di cavo di diverse dimensioni rivestiti in gomma. Per quello in rame (ρ = Ωm) di diametro d = 2. 5 mm, la massima corrente di sicurezza è pari a 25 A. Determinare 1. La densità di corrente; 2. Il campo elettrico; 3. La differenza di potenziale per un cavo di lunghezza pari a 300 m; 4. La potenza elettrica dissipata in un cavo di tale lunghezza.