5.1- Conduzione elettrica

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1 5.1- Conduzione elettrica 5.1- Conduzione elettrica In questo capitolo abbandoniamo la statica per parlare di cariche in movimento. In un conduttore gli elettroni sono le cariche mobili e in condizioni normali e a temperatura ambiente hanno velocità tipiche di 10 6 m/s. Tuttavia la casualità delle loro direzioni non da luogo a movimenti o flussi netti di carica. I conduttori sono costituiti da un reticolo spaziale ai cui vertici vi sono gli ioni positivi del conduttore e al cui interno si muovono quasi liberamente gli elettroni. Nei metalli gli elettroni sono gli unici portatori mobili di carica. Il parametro caratteristico è quindi rappresentato dal numero di portatori di carica n che tipicamente nei conduttori è dell ordine di elettroni/m 3 Il moto degli elettroni normalmente è completamente disordinato e casuale per cui si ha che la loro velocità media è i v i N < v >= = 0 Quando si collegano due conduttori a potenziale diverso allora sotto l azione del campo elettrico che inzialmente c è (ricordate che V = E d s per cui se c è una ddp c è anche un campo elettrico) gli elettroni secondo una direzione netta dando luogo ad un flusso di cariche finchè non si ristabilisce un equilibrio Per realizzare una corrente in un conduttore occorre applicare un campo elettrico (non conservativo) all interno del conduttore. In questa situazione con campo elettrico le cariche si muovono tutte nella stessa direzione e danno luogo ad una corrente elettrica ed il fenomeno è quello della conduzione elettrica. Nell esempio indicato la corrente ed il campo elettrico durano solo per un tempo breve (è un fenomeno transiente) Un qualsiasi dispositivo però che sia in gradi di mantenere una ddp ai capi di un conduttore, ovvero capace di mantenere un campo elettrico dentro il conduttore viene detto generatore di forza elettromotrice o f.e.m. il cui esempio più noto è la pila. Gli elettroni del conduttore sotto l azione del campo elettrico, però non si muovono di moto accelerato (perchè urtano continuamente contro il reticolo del conduttore stesso e la situazione che si realizza è simile al moto con attrito viscoso) ma mediamente si muovono con una velocità costante detta velocità di deriva (molto più piccola di quella propria degli elettroni) e diretta come il campo elettrico. 5.2 corrente elettrica e densità di corrente Cap5-Vol II-Corrente elettrica 1

2 5.2 corrente elettrica e densità di corrente Supponiamo che in una porzione di un conduttore vi sia un campo elettrico sotto la cui azione si muovono gli elettroni. Se n sono i portatori per unità di volume, essi acquistano una velocità pari alla velocità di deriva v d nella direzione del campo elettrico. Se individuiamo all interno del conduttore, una supeficie cilindrica infinitesima di sezione da, la carica che transita nell unità di tempo attraverso la superfice A è intensità di corrente media definita come i m = q t e la corrente istantanea di conseguenza: q i = lim t 0 t = dq dt Vediamo adesso quanta carica è passata attraverso nell elemento infinitesimo considerato prima: il volume del cilindro descritto dalle cariche in moto è dτ = LdAcosθ = v d tdacosθ con θ l angolo di cui è inclinata la superficie rispetto alla velocità di deriva (o il campo elettrico) La carica che si è spostata è invece q = n + edτ = n + ev d tdacosθ per cui di = nev d dacosθ che ci permette di definire il vettore densità di corrente j = n + e v d per riscrivere di = jdacosθ = j û n da da cui su superfici finite si ottiene i = j û n dσ Σ relazionechemetteinrelazioneilflussodi j attraversolasuperficieconi. Nel caso comune in cui j sia uniforme e perpendicolare alla superficie si ottiene semplicemente i = jσ j = i Σ Da notare che nel conto abbiamo supposto implicitamente che si muovessero delle cariche positive. Se come nei conduttori, sono cariche negative a muoversi allora j = n e v d ed in generale quando vi sono più portatori di carica si ottiene: j = n + e v + n e v Implicitamente pertanto abbiamo quindi assunto che il verso della corrente è per convenzione, quello stabilito dal movimento delle cariche positive Unità di misura: la corrente elettrica si misura in ampere (A) che dalla definizione i = dq 1C dt discende che 1A = 1s. La densità di corrente si misura invece in A/m 2 Corrente stazionaria Corrente stazionaria Cap5-Vol II-Corrente elettrica 2

3 Consideriamo un conduttore percorso da corrente di densità j come in figura,e supponiamo inoltre di considerare due diverse sezioni del conduttore. Le correnti che passano attraverso le due sezioni sono ovviamente: i 1 = j 1 û 1 dσ 1,i 2 = j 2 û 2 dσ 2 Σ 1 Σ 2 se consideriamo la porzione di volume delimitato da Σ 1 e Σ 2 avremo che nell ipotesi che la quantità di carica nel volume non cambi, e che tanta carica entra ed altrettanto ne esce, allora è evidente che si deve avere i 1 = i 2 Che si riassume dicendo che in condizione stazionarie l intensità di corrente è costante attraverso ogni sezione del conduttore. Notare che la stazionarietà dela corrente non significa che la corrente non varia con il tempo, può variare purchè la quantità di carica che entra corrisponde a quella che esce Legge di Ohm 5.3- Legge di Ohm In un conduttore sottoposto ad una ddp, in regime stazionario, il legame tra la j che si stabilisce nel conduttore ed il campo E nel conduttore è j = σ E con σ grandezza caratteristica del conduttore detta conducibilità elettrica. Questa relazione è detta legge di Ohm della conduttibilità elettrica. Spesso la legge di Ohm è piuttosto indicata nell altra forma: E = ρ j con ρ = 1 σ e viene detta resistività del conduttore Applichiamo ora questa legge al caso di un conduttore metallico cilindrico di lunghezza L e sezione Σ Ai capi di questo tratto di conduttore vi sia una ddp pari a V e consideriamo il regime stazionario, nel quale la corrente è la medesima attraverso ogni sezione del conduttore si ha: E = ρj = ρ i Σ e dalla definizione di potenziale elettrico V = E d s = EL si ottiene V = Eh = ρl Σ i Definendo come Resistenza il termine R = ρ L Σ allora la relazione precedentediventav = V = RicheènotacomeLegge di Ohm per i conduttori metallici, le unità di misura sono Ω (Ohm) (1Ω = 1 Volt/1 Ampere) Cap5-Vol II-Corrente elettrica 3

4 Nei casi in cui la sezione del conduttore è variabile consideriamo tratti infinitesimi di lunghezza dl e otteniamo: dv = E d s = ρ dl Σ i Cheintegrataportaa V = B A E d s = RiavendodifattopostoR = B A ρdl Σ Potenza nei circuiti Potenza nei circuiti Potenza nei circuiti, Effetto Joule QualunquedispositivoaicuicapisiamantenutaunaddppariaVedassorba una corrente i necessita di una potenza per mantenere inalterata la ddp. Se consideriamo una carica dq che si muova tra i morsetti del dispositivo abbiamo che questa carica vede una caduta di potenziale V per cui la sua energia potenziale diminuisce di du = Vdq = Vi dt per cui il lavoro compiuto dal campo elettrico per questo spostamento è dw = Vdq = Vidt quindi dividendo tutto per dt la potenza trasferita è risultata P = dw = V i. Se il dt dispositivo è un conduttore, valendo la legge di Ohm si ha P = Ri 2 = V 2 R questa potenza è trasferita al conduttore il quale si scalda (effetto Joule) per effetto dell ingresso di tale energia (microscopicamente è dovuto agli urti che gli elettroni trasferiscono al reticolo del conduttore). Parte I modello classico 5.4-Modello classico di conduzione 5.4-Modello classico di conduzione Il modello classico di conduzione elettrica dei metalli dimostra con un semplice modello le ragioni che portano alla legge di Ohm. Si ipotizza che gli elettroni si muovano attraverso un reticolo cristallino, in cui gli ioni del metallo sono sostanzialmente fissi e nei vertici del reticolo, e gli elettroni si muovono con un moto disordinato. Le interazioni degli elettroni con il Cap5-Vol II-Corrente elettrica 4

5 reticolo sono assimilabili ad una serie di urti tra essi e il reticolo, tra un urto e l altro il moto degli elettroni è libero con traiettorie rettilinee (moto rettilineo uniforme). Le direzioni delle traiettorie dopo gli urti sono completamente casuali (discorso simile alla trattazione fatta come teoria cinetica dei gas) per cui nessuna direzione è privilegiata e non si hanno flussi netti di carica. Possiamo stabilire il tempo medio τ tra due urti consecutivi ed il cammino libero medio l che saranno legati dalla relazione τ = l v con v la velocità degli elettroni nel metallo. Questa è la situazione quando non vi sono campi elettrici nel conduttore. Se applichiamo invece un campo elettrico allora ogni elettrone viene accelerato con accelerazione a = F/m = e E m. Quindi alle velocità casuali proprie degli elettroni si sovrappone una componente di velocità quadagnata che è nella direzione del campo elettrico, ma il cui valore è tuttavia in modulo molto più piccolo della tipica velocità degli elettroni. Ne consegue che in modulo la velocità cambia poco e anche il tempo medio tra due urti calcolato prima non si modifica. Possiamo adesso vedere cosa succede alle velocità tra due urti successivi. Se ci riferiamo all urto i-simo e vogliamo vedere qual è la velocità giusto prima l urto successivo si ha: v i+1 = v i ee m τ Per cui facendo la media di questa espressione su un gran numero di urti si ottiene di fatto la definizione della velocità di deriva: < v >= v d = 1 N v i+1 = 1 ( v i e E N m τ) = i 1 N i v i 1 N i i e E m τ e poichè i v i = 0 in quanto le direzioni dopo gli urti sono casuali ed essendo costante il secondo termine si ottiene che v d = eτ me in altre parole la gli elettroni acquistano una velocità di deriva diretta come il campo elettrico e proporzionale al campo elettrico stesso La densità di corrente acquisita da questo spostamento di cariche è quindi j = ne v d = ne2 τ m E se allora identifichiamo σ = ne2 τ m otteniamo la definizione di conduttività e il suo collegamento alle caratteristiche del metallo ritrovando la legge j = σ E Cap5-Vol II-Corrente elettrica 5

6 Parte II resistori serie parallelo 5.5-Resistori serie e parallelo 5.5-Resistori serie e parallelo I conduttori ohmici sono caratterizzati da un determinato valore di resistenza. I dispositivi inseriti come elementi circuitali aventi un determinato valore di resistenza sono detti resistori e hanno il simbolo in figura. I collegamenti di base tra questi elementi, come per i condensatori, sono quello in serie e quello in parallelo. Resistori in serie Nel collegamento in figura le resistenze sono in serie ovvero collegate in cascata e mantenendo una ddp ai capi degli estremi della catena. In condizione di regime stazionario, la corrente è la stessa in tutti gli elementi. La somma delle ddp ai capi di ognuna di esse è la ddp di tutta la catena. V 1 = R 1 i, V 2 = R 2 i, V 3 = R 3 i e V = V 1 + V 2 + V 3 Le resistenze in serie possono essere sostituite da una equivalente: V = R eq i R eq = (R 1 +R 2 +R 3 ) che in generale possiamo così scrivere: R e q = i R i Resistori in parallelo Cap5-Vol II-Corrente elettrica 6

7 Nella figura si vede un collegamento con più resistenze in parallelo tra loro. In questo caso (come per i condensatori) tutte le resistenze hanno la stessa ddp e vogliamo trovare la resistenza che sostituita al posto dell intero collegamento presente caratteristiche elettriche equivalenti. Per ognuna abbiamo che i 1 = V R 1 i 2 = V R 2 e i 3 = V R 3 ma, generalizzando la situazione vista nel paragrafo 5.2 della corrente stazionaria, abbiamo che anche nel caso di conduttori che si dividono, come ad esempio in questa figura, si deve avere che tanta carica entra quanta ne esce da cui l esempio della figura si tradurrebbe nello scrivere i = i 1 +i 2. Nel nostro collegamento allora si avrà che i = i 1 + i 2 + i 3 = V( 1 R R R 3 ) = V R eq Pertanto abbiamo che: 1 1 R eq = i R i 5.6-Forza elettromotrice 5.6-Forza elettromotrice La figura mostra un generatore di f.e.m.(una batteria) che è parte di un semplice circuito con resistenze. (notare il simbolo circuitale del generatore). Il generatore produce e mantiene una ddp tra i suoi poli. Se la batteria è staccata non c è alcun flusso di cariche internamente alla batteria. Nel momento in cui vi è un collegamento esterno Cap5-Vol II-Corrente elettrica 7

8 invece si ha un flusso di cariche interne (per effetto di reazioni chimiche nelle pile o con altri processi in altri dispositivi) verso il polo positivo e all esterno nel circuito dal polo + verso il -. Consideriamo ora il più semplice circuito che si ottiene collegando i poli del generatore con un resistore. Avremo ai capi del resistore la legge di Ohm: V = B A E d s = Ri e calcolando la circuitazione del campo elettrico sull intero circuito si ha E d s = Ri Ricordando (cap2) che avevamo definito come fem E = E d s = Ri abbiamocheneconseguechenon è per opera di un campo elettrostaticoche si può realizzare tale situazione ma occorre un processo di altra natura. Più precisamente nei conduttori del circuito si avrà un certo campo elettrico E el dovuto alla presenza delle cariche sui poli del generatore ed un certo campo E all internodelgeneratorepertantootteniamochee = E d s = B A E d s calcolatalungounpercorsoentroilgeneratoretraipoliaeb Neigeneratori di f.e.m. ideali non si hanno resistenze interne che ostacolano il movimento di carica da un polo all altro. Nella realtà invece qualunque batteria ha una resistenza interna dovuta agli ostacoli interni alla batteria. Indicheremo per questi generatori reali la presenza della resistenza interna evidenzando la resistenza e collocandola in serie ad un generatore ideale. Calcoliamo la circuitazione partendo dal generatore polo negativo andando verso il polo +. Abbiamo allora: V A +E ri Ri = V A E = (r+r)i e i = E R R+r Percuiladdpaicapidelresistoreesternoè V = Ri = r+r E = E ri la ddp ai capi di un resistore collegato ad un generatore reale è inferiore alla fem a causa della resistenza interna. 5.9-Leggi Kirchhoff per le reti elettriche 5.9-Leggi Kirchhoff per le reti elettriche Un circuito a più maglie è quello in figura. Nei circuiti a più maglie identifichiamo i nodi che sono i punti del circuito nel quale convergono almeno 3 Cap5-Vol II-Corrente elettrica 8

9 tratti di conduttore differenti, e rami che sono tratti di collegamenti tra due nodi. Per risolvere questi circuiti si usano le due leggi di Kirchhoff: Legge dei nodi o prima legge di Kirchhoff: la somma delle correnti che entrano in un nodo deve essere uguale alla somma delle correnti che escono k i k = 0 Legge delle maglie o seconda legge di Kirchhoff: la somma algebrica delle differenze di potenziale in un circuito chiuso in un giro completo è nulla o anche la somma delle fem è uguale alla somma delle cadute di potenziale k R ki k = j E j I criteri che si devono seguire per applicare le leggi sono: si sceglie arbitrariamente un verso per la maglia se nel ramo k-simo la corrente è concorde al verso di percorrenza il termine R k i k ha segno positivo altrimenti il contrario se una fem viene percorsa dal - al + dal suo interno, la fem va considerata con il segno positivo altrimenti il contrario In base a queste il circuito fornisce due equazioni da mettere a sistema: maglia bad (a sinistra) in senso antiorario: E 1 i 1 R 1 +i 3 R 3 = 0 Maglia destra (bcd) e antiorario da c: E 2 i 3 R 3 i 2 R 2 = 0 da mettere a sistema con la legge del nodo b: i 2 = i 1 +i Carica e scarica di un condensatore 5.7- Carica e scarica di un condensatore Carica di un condensatore Consideriamo la situazione di carica realistica di un condensatore. Esso viene collegato ad un generatore di fem, che lo carica, e il collegamento viene fatto tramite conduttori che hanno comunque una resistenza Cap5-Vol II-Corrente elettrica 9

10 stabilita dalla legge di Ohm. Consideriamo la situazione all istante generico nel quale il condensatore si trova con una certa carica q. Se applichiamo la legge delle maglie otteniamo E i R q/c = 0 questa possiamo scriverla nella forma E dq dt R q C = 0 ovvero E R = dq dt + q RC Questa è una eq. differenziale immediatamente integrabile. q 0 dq q CE = t 0 E q C = Rdq dq dt E q = dt C R dq q CE = dt RC dt RC ln(q CE CE ) = t RC q(t) = CE(1 e t RC ) da cui infine ricaviamo la corrente i = dq dt = CE RC e t/rc = E R e t/rc La costante τ = RC è detta costante di tempo capacitiva: dalla andamento della corrente desumiamo che la corrente è massima a t=0, dopo un tempo pari a 1τ la corrente si riduce al 37% dopo 3τ si è ridotta al 5% proseguendo con andamento esponenziale. Analogamente l operazione di carica si può ritenere virtualmente completata dopo 5τ (99.3%) e la carica massima è q 0 = CE Infine vediamo il lavoro compiuto dal generatore nel processo di carica: W gen = Edq = E dq = Eq 0 = CE 2 (1) Per la potenza complessivamente spesa, si può verificare che P gen = P R (t)+ P C (t) Scarica di un condensatore Scarica di un condensatore L eq. dellamaglianelcasoincuinoncisiapiùilgeneratoredifemdescrivedi fatto la scarica del condensatore su una resistenza. Quindi basta mettere E = 0 per avere la descrizione della nuova situazione: q = q 0 e t RC è l andamento della carica sul condensatore e derivando l espressione si trova la corrente ovvero: i = dq dt = q 0 RC e t/rc Cap5-Vol II-Corrente elettrica 10

11 La potenza complessivamente spesa risulterà W R = P R (t)dt = Ri 2 = R q2 0 R 2 C 2 0 e 2t/RC dt = (CV 0 ) 2 RC RC 2 2 = 1 2 CV 0 2 L energia immagazzinata nel condensatore è stata interamente dissipata sulla resistenza 5.8-Corrente spostamento 5.8-Corrente spostamento Abbiamo finora associato le correnti agli spostamenti di cariche. Tuttavia se pensiamo alla situazione della carica/scarica del condensatore, processo nel quale la carica sta variando nel tempo, abbiamo che in tutto il circuito scorre una corrente i(t). Ma tra le armature del condensatore non c è passaggio di carica eppure sull altra armatura si manifesta la stessa corrente della prima armatura come se ci fosse una continuitità di passaggio di corrente anche tra le armature. Ipotizziamo quindi una corrente i s non dovuta ad un moto di cariche che avviene tra le armature del condensatore. Il ragionamento da fare è quindi ipotizzare che questa corrente sia uguale a quella del resto del circuito e che sia dovuto al fatto che la carica (e quindi anche il campo elettrico) sia variabile nel tempo. i s = i = dq dt = d dt (CV) = ǫ d ΣV 0 dt( h ) = ǫ d 0 dt (EΣ) = ǫ dφ(e) 0 dt Questa equazione evidenzia l origine della corrente i s come dovuta alla variazione nel tempo del flusso del campo elettrico. La corrente i s fu introdotta da Maxwell e detta corrente di spostamento per risolvere alcune incongruenze delle eq. del campo elettromagnetico. Il termine corrente di spostamento non allude ad uno spostamento di cariche o materia ma allude, come accenneremo, allo spostamento di campi elettromagnetici. Infine possiamo indicare la densità di corrente di spostamento che sarà j = i Σ = ǫ 0 de dt ; in generale quindi potremo indicare j = j c +ǫ 0 d E dt 5.10-circuiti particolari Cap5-Vol II-Corrente elettrica 11

12 1 PROBLEMA 27.5E 5.10-circuiti particolari Esempio 5.5-partitore resistivo In figura(vedi Mazzoldi) un partitore resistivo costituito da tre resistori in serie collegati ad un generatore di fem pari a 100 V, e resistenza interna r = 10Ω. I resistori hanno R 1 = 40Ω, R 2 = 50Ω,R 3 = 100Ω. Calcolare la ddp ai capi di ogni resistore (R1 in basso), e ai capi dei morsetti A e B del generatore di fem. La resistenza totale del circuito è R = r +R 1 +R 2 +R 3 = ( )Ω = 200Ω da cui ci ricaviamo la corrente nel circuito i = E R = 0.5A di conseguenza le ddp ai capi dei condensatori sono V 1 = R 1 i = 20V V 2 = R 2 i = 25V V 3 = R 3 i = 50V Da cui ricaviamo la ddp ai capi dei morsetti del generatore di fem V A V B = E ri = V 1 +V 2 +V 3 = 95V Il partitore resistivo così realizzato permette di ripartire la fem in valori più piccoli determinati dai valori delle resistenze in pratica: V 1 : V 2 : V 3 = R 1 : R 2 : R 3 Misure di corrente Chiamiamo amperometro lo strumento che misura le correnti in un circuito. Per misurare una corrente deve essere necessariamente inserito in serie al circuito in modo da intercettare la corrente ma continuando a farla scorrere nel circuito. Misure di differenze di potenziale Voltmetro è invece lo strumento per misurare le ddp, va inserito in parallelo al circuito e tra i due punti di cui si vuole misurare la ddp. 1 Problema 27.5E Problema 27.5E I fusibili dei circuiti sono costituiti da un filo metallico progettato in modo da fondere, interrompendo il circuito, se la corrente che lo attraversa supera un certo valore. Supponiamo che il materiale usato per il fusibile fonda quando la densità di corrente supera il valore di 440 A/cm 2. Che diametro deve avere il filo, di forma cilindrica, affinchè limiti la corrente a 0.5 A? La corrente deve essere i = j A = jπr 2 r 2 = i otteniamo r = cm d = cm = 0.38 mm jπ = 0.5 π440 cm da cui Cap5-Vol II-Corrente elettrica 12

13 3 PROBLEMA 32P 2 Problema 15E Problema 15E Un filo di resistenza 6Ω viene stirato sino ad allungarsi di 3 volte. Qual è la nuova resistenza del filo nell ipotesi che resistività e massa volumetrica del filo non siano cambiate? Il volume è lo stesso quindi si deve avere: V = πr 2 0 L 0 = πr 2 3L 0 da cui il raggio finale risulta: r = r 0 / 3. Di conseguenza la resistenza è : R = ρ L/A = ρ 3L 0 πr 2 = ρ 3L 0 πr 2 0 /3 = ρ9l 0 3 Problema 32P πr 2 0 = = 9R = 54Ω Un elemento riscaldante viene fatto funzionare mantenendo una ddp di 75 V su un filo conduttore di sezione m 2 e resistività di Ω m. Se l elemento dissipa 5000 W qual è la lunghezza del filo? La potenza dissipata da una resistenza è P = R i 2 = V2 R pertanto si ha che P = V 2 ρ L/A L = V 2 A ρp = = 5.85 m Cap5-Vol II-Corrente elettrica 13