Condensatore. una ba8eria ideale man0ene una ΔV costante fra le due armature convertendo energia chimica in energia ele8rica

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Benedetto Frigerio
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1 Capacità

2 Condensatore Disposi0vo che immagazzina in un campo ele8rosta0co energia che può essere rilasciata in modo controllato cos0tuito da due condu8ori spazialmente separa0 che possono essere carica0 (ad es. collegandoli a una ba8eria) con cariche uguali e opposte +q e - q una ba8eria ideale man0ene una ΔV costante fra le due armature convertendo energia chimica in energia ele8rica

3 capacità Si osserva che q ΔV q = CΔV C = q ΔV unità di misura farad 1 F = 1 coulomb / volt (nella pra0ca µf = 10-6 F, pf = F) La capacità dipende dalla geometria del disposi8vo e dal materiale che riempie lo spazio fra le armature, non dipende da q né da ΔV

4 Condensatore piano Trascurando gli effeo di bordo C = A d dipende solo dalla geometria (non da q né da ΔV) nello spazio fra le armature c è il vuoto ( ) La capacità serve ad immagazzinare delle cariche: una C molto grande consente di immagazzinare molta carica mantenendo limitata ΔV.

5 Condensatore sferico C = 4π ab b a

6 Condensatore cilindrico - + L C = 2π L ln b / a ( )

7 Esempio: cavo coassiale Un cavo coassiale è cos0tuito da un filo condu8ore di raggio 0.5 mm e da uno strato di condu8ore esterno di raggio 1.5 mm. Trovare la capacità riferita all unità di lunghezza. C L = 2π ln 1.5 / 0.5 ( ) = 50.6 pf/m

8 Condensatori in parallelo e in serie C eq = C 1 + C 2 +C 3 1 C eq = 1 C C C 3

9 esempio Calcolare la C eq fra i pun0 a e b: a C C C b C C C eq = 2 C

10 Accumulo di energia in un campo ele8rico Per caricare un condensatore bisogna compiere del lavoro contro le forze del campo: dl = du = ΔVdq = q Q Q C dq U = du = q C 0 0 dq = Q2 2C U = Q2 2C = 1 2 CV 2 = 1 2 QV

11 Condensatore piano C = A/d U = ½ C V 2 V = Ed Possiamo associare una densità di energia ele8rosta0ca u E in ogni regione di spazio in cui esiste un campo ele8rico u E = 1 2 E 2 [ u ] = J E m 3 risultato generalizzabile

12 esempio Allontaniamo le armature di un condensatore piano isolato: Q = costante C' = A 2d = 1 2 C U ' = Q 2 2C' = Q2 = 2U 2C 2 V ' = Q C' = 2V E ' = E u' = 1 2 E 2 = u

13 se il condensatore è connesso a una ba8eria: ΔV = costante C' = C 2 U ' = 1 2 C'V 2 = 1 2 C 2 V 2 = U 2 Q' = Q 2 E ' = E 2 u' = u 4

14 esercizio Un condensatore piano in aria, le cui piastre sono spaziate di d 1 = 0.5 mm, è caricato a una differenza di potenziale di 6 kv. L area delle piastre è di 12.5 cm 2. La distanza delle piastre viene portata a d 2 = 1 cm in uno dei due modi seguen0: a) il condensatore rimane connesso alla ba8eria; b) prima di allontanare le piastre il condensatore viene staccato dalla ba8eria. Per ciascuno dei due casi calcolare: 1) Come varia la capacità del condensatore; 2) Come varia il flusso del campo ele8rico a8raverso l area degli ele8rodi; 3) Come varia densità di energia del campo ele8rico.

Diele8rici Materiali isolan0 in cui gli ele8roni sono saldamente lega0 ai rispeovi atomi/molecole che possono possedere un momento di dipolo (permanente o indo8o) Dipolo in un campo ele8rico: τ = p E

15 Diele8rici Materiali isolan0 in cui gli ele8roni sono saldamente lega0 ai rispeovi atomi/molecole che possono possedere un momento di dipolo (permanente o indo8o) Dipolo in un campo ele8rico: τ = p E p = qd momento di dipolo Il campo risultante all interno del diele8rico: E < E o E = E o ε r ε r > 1 costante dielettrica relativa Alcuni valori di ε r : aria: , vetro pyrex: 4.7, silicio: 12, ceramiche al 0tanio: 130

16 Condensatori con diele8rico Si trova sperimentalmente che la capacità di un condensatore riempito di materiale diele8rico viene accresciuta: C = ε r C Caso del condensatore piano: a) Viene mantenuta costante ΔV: la ba8eria provvede ad aumentare la carica q sulle armature b) Viene mantenuta la carica q scollegando la ba8eria: il diele8rico diminuisce la ΔV La capacità in ogni caso aumenta di un fa8ore ε r

17 Condensatore piano: C = ε r A d Condensatore sferico: C = 4πε r ab b a Condensatore cilindrico: C = 2πε r L ln b / a ( ) Le relazioni sono le: stesse, basta sos0tuire con ε = ε r

18 Esercizio 1 Un condensatore piano (A, d, C o ) ha come diele8rico il vuoto. Esso viene caricato conne8endolo ad un generatore di d.d.p.v o e poi isolato. Successivamente lo spazio fra le armature viene riempito con un diele8rico di costante diele8rica rela0va ε r. Determinare la variazione di energia ele8rosta0ca del sistema e ripetere il calcolo nel caso in cui il generatore rimane connesso.

19 Esercizio 2 Un condensatore di capacità C 1 = 20 µf è caricato a ΔV o = 1000 V. I terminali del condensatore carico vengono poi collega0 a quelli di un condensatore scarico di capacità C 2 = 5 µf. Calcolare: a) le cariche Q 1 e Q 2 finali di ciascun condensatore; b) la d.d.p. ΔV finale ai capi dei due condensatori; c) l energia ele8rosta0ca finale del sistema. Successivamente il primo condensatore viene riempito con un diele8rico di costante diele8rica rela0va ε r = 2.5. Calcolare: d) la d.d.p. ΔV ai capi dei due condensatori; e) la variazione di energia rispe8o alla situazione precedente.

20 Esercizio 3 Un condensatore cos0tuito da due piastre quadrate di lato l = 60 cm distan0 d = 1 cm, è connesso ad un generatore che fornisce una differenza di potenziale ΔV. Un blocco di materiale diele8rico, di costante diele8rica rela0va ε r, a forma di parallelepipedo con basi quadrate di lato l e altezza d, può scorrere senza a8rito tra le armature del condensatore. Quando la lastra è entrata per una lunghezza l = 40 cm nel condensatore si trova che il rapporto fra la carica Q 1 che sta sulla parte delle piastre coperte dal diele8rico e la carica Q 2 che sta sulla parte non coperta vale Q 1 /Q 2 = 3. 1) Calcolare la costante diele8rica rela0va ε r del materiale. Sapendo inoltre che per far entrare la lastra le forze del campo hanno fa8o un lavoro L = J, calcolare: 2) La d.d.p. ΔV fornita dal generatore (f.e.m.) e il campo ele8rico nel condensatore. 3) La carica Q o posseduta dal condensatore quando la lastra era fuori, e la carica Q o * quando la lastra è entrata per la lunghezza l. l V Q 2 Q 1 ε r l

21 Legge di Gauss in presenza di diele8rici ε r E o d A = q E 0 = q A E d A = q q' E = q A q' A E = E o ε r = q ε r A q ε r A = q A q' A # 1 q' = q% 1 $ ε r & ( ' Φ E = E d A = q ε r La legge resta la stessa con la sos0tuzione di è ε r

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