CAPITOLO 4 CONDUTTORI DIELETTRICI ENERGIA ELETTROSTATICA

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1 CAPITOLO 4 CONDUTTORI DIELETTRICI ENERGIA ELETTROSTATICA

2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduttori in equilibrio MATERIALI CONDUTTORI Le cariche al loro interno sono relativamente libere di muoversi 1. Applicando un campo elettrico Si provoca un movimento di cariche corrente elettrica 2. Conduttore in EQUILIBRIO ELETTROSTATICO Le cariche sono fisse CONDIZIONE E = 0 ALL INTERNO Condizione media macroscopica

3 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduttori in equilibrio CONSEGUENZE della condizione E = 0 all interno: a) E = 0 Φ E = 0 q int = 0 All interno di un conduttore non ci sono cariche Carica in eccesso può stare solo sulla SUPERFICIE, con densità σ = dq /dσ b) Potenziale COSTANTE su tutto il conduttore Superficie del conduttore è EQUIPOTENZIALE Σ c) Campo elettrostatico in un punto esterno molto vicino al conduttore è PERPENDICOLARE alla superficie (TEOREMA DI COULOMB) E n = σ ε 0 u n

4 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduttori in equilibrio Un conduttore carico ISOLATO (lontano da altri conduttori carichi) presenta: Una distribuzione di carica superficiale In caso sia sferico: Distribuzione UNIFORME La carica deve avere LO STESSO SEGNO ovunque sulla superficie (no accumuli!) Conduttore carico sottoposto ad un CAMPO ELETTRICO ESTERNO E est : E est Movimento di elettroni che si accumulano Carica (di due segni!) INDOTTA sulla superficie Carica TOTALE rimane INVARIATA Campo elettrostatico indotto E ind all interno All EQUILIBRIO: E ind = E Ponendo DUE CONDUTTORI a CONTATTO, questi hanno LO STESSO POTENZIALE Si costituisce un UNICO CORPO CONDUTTORE E ind 0

5 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.1 Due sfere conduttrici rispettivamente di raggio R 1 e R 2 sono poste a distanza molto grande rispetto ai raggi e sono unite da un filo conduttore. La carica complessiva è q. Siano q 1 la carica distribuita con densità uniforme σ 1 sulla superficie Σ 1 della prima sfera, e q 2 la carica distribuita con densità uniforme σ 2 sulla superficie Σ 2 della seconda sfera. Si trascuri la carica che si trova sul filo. 1. Determinare i valori delle due cariche q 1 e q 2.

6 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduttore cavo schermo elettrostatico 1. Conduttore carico con una CAVITÀ al suo interno Sia nella massa del conduttore che nella cavità: 1. E = 0 Φ E = 0 q int = 0 Valido per qualunque Σ Sulle pareti della cavità: carica NULLA Non è possibile una separazione di cariche 2. Potenziale COSTANTE in ogni punto interno rispetto alla superficie 3. CARICA si distribuisce SEMPRE E SOLTANTO sulla superficie ESTERNA del conduttore E = 0 E = 0 V V Σ

7 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduttore cavo schermo elettrostatico 2. Conduttore C 2 con una cavità al suo interno, isolato e privo di carica Inserisco un altro conduttore C 1 carico (q) nella cavità, mantenendolo isolato da C 2 Fenomeno dell INDUZIONE COMPLETA Sulla superficie interna di C 2 risulta q Sulla superficie esterna di C 2 risulta q La carica si distribuisce secondo le caratteristiche geometriche delle superficie (con densità superficiale σ) Attraverso Σ interna a C 2 deve valere Φ E = 0 (poiché E = 0 all interno di C 2 ) C 1 Σ C 2

8 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduttore cavo schermo elettrostatico Le cariche sulla superficie esterna di C 1 e sulla superficie interna di C 2 producono un campo ALL INTERNO della cavità (E cav 0) Linee di forza del campo elettrostatico che partono da C 1 terminano su C 2 E est 0 Il campo rimane NULLO nel conduttore C 2 (E int = 0) L informazione sulla situazione interna NON PASSA ALL ESTERNO, perché all interno di C 2 il campo è nullo (per la proprietà dei conduttori in equilibrio) E int = 0 C 1 E cav 0 C 2

9 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Conduttore cavo schermo elettrostatico Il campo esterno a C 2 riprende il comportamento dovuto alla carica interna (E est 0) E est dipende solo da σ e non dalla posizione della carica nella cavità Se la carica interna è spostata lentamente nessun effetto verso l esterno! Se varia la distribuzione sulla superficie esterna di C 2 non si altera il campo locale nella cavità Definizione di SCHERMO ELETTROSTATICO: finché lo spazio interno ed esterno non sono comunicanti, il conduttore cavo costituisce una barriera tra interno ed esterno E int = 0 C 1 E cav 0 C 2 E est 0

10 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Condensatori Sistema costituito da due conduttori 1. Un conduttore sferico di raggio R 1 2. Un conduttore sferico cavo di raggio interno R 2 ed esterno R 3 Carica depositata su R 1 : q Carica indotta su R 2 : q Carica indotta su R 3 : q Campo nella cavità (R 1 < r < R 2 ): E r = q 4πε 0 r 2 r R 1 R 2 R 3 Differenza di potenziale tra i conduttori: V 1 V 2 = q 4πε 0 1 R 1 1 R 2

11 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Condensatori Si modifica la quantità di carica di un fattore arbitrario k: q = kq dq = kdq Di conseguenza, anche il potenziale varia dello stesso fattore: V = න dq 4πε 0 r = න k dq 4πε 0 r = k V q V La costante di proporzionalità è definita CAPACITÀ ELETTRICA C q = C ΔV

12 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Condensatori Nel caso dei due conduttori sferici possiamo definire la CAPACITÀ: C q ΔV = q V 1 V 2 = 4πε 0 R 1 R 2 R 2 R 1 La capacità risulta essere: 1. INDIPENDENTE dalla carica 2. DIPENDENTE da GEOMETRIA del sistema (R 1 e R 2 ) MEZZO CONTENUTO nella cavità (ε 0 )

13 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Condensatori Definizione di CONDENSATORE: Sistema costituito da DUE CONDUTTORI tra i quali c è INDUZIONE COMPLETA. È una sorta di «DEPOSITO» di carica. «ARMATURE» del condensatore CAPACITÀ del condensatore: rapporto tra carica presente sulle armature e d.d.p. tra le armature Utilizzati per IMMAGAZZINARE ENERGIA in forma di campo elettrico Condensatore tipico: condensatore piano ad armature parallele SIMBOLO per rappresentare un condensatore Condensatore «CARICO» se sulle sue armature è depositata la stessa carica (di segno opposto!)

14 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Condensatori Definizione di CAPACITÀ: C = q ΔV q = C ΔV ΔV = q C La capacità si misura in Farad (F): 1 Farad = 1 Coulomb / 1 Volt F = C V UNITÀ DI MISURA F Procedura di carica di un condensatore: Tramite un agente esterno (generatore, batteria) che trasferisce, collegandola al condensatore, cariche da un armatura all altra

15 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.2 Valutare la capacità del condensatore sferico: 1. Nel limite per R Nel limite per R 2 R 1 = h R 1 R 2 R = m, con h = 1 mm. R 1 R 2 r R 3

16 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.3 Determinare la capacità di un condensatore piano con le armature distanti h q h q

17 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.4 Determinare la capacità di un condensatore cilindrico di raggio interno R 1 e raggio esterno R 2 e lunghezza d.

18 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Collegamento di condensatori CONDENSATORI COLLEGATI IN PARALLELO La differenza di potenziale V applicata a ciascun condensatore è la stessa q 1 = C 1 V, q 2 = C 2 V, q 3 = C 3 V Carica globale sulle armature superiori Q = q 1 q 2 q 3 = C 1 C 2 C 3 V V C 1 C 2 C 3 Condensatore equivalente: C eq = Q V CAPACITÀ EQUIVALENTE: C eq = (C 1 C 2 C 3 ) = σ i n C i È sempre MAGGIORE di quella di ciascun componente

19 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Collegamento di condensatori CONDENSATORI COLLEGATI IN SERIE La carica Q immagazzinata su ciascun condensatore è la stessa q 1 = q 2 = q 3 = Q La differenza di potenziale totale è data dalla somma delle d.d.p. di ciascun condensatore: V = V 1 V 2 V 3 = Q 1 C 1 1 C 2 1 C 3 = Q C eq CAPACITÀ EQUIVALENTE V -- C 1 C 2 C 3 1 C eq = 1 C 1 1 C 2 1 C 3 = È sempre MINORE di quella di ciascun componente n i 1 C i

20 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.5 Ai capi di 3 condensatori in serie c è una differenza di potenziale ΔV = V B V A = 100 V. La capacità equivalente del sistema è C eq = 100 pf. C 3 V B 1. Calcolare i valori delle capacità C 1, C 2, C 3 affinchè rispetto a V A sia V 1 = 50 V e V 2 = 70 V. C 2 V 2 V 1 C 1 V A

21 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Energia del campo elettrostatico PROCESSO DI CARICA di un condensatore Si passa da avere zero carica ad avere cariche q e q sulle armature Separazione delle cariche richiede un LAVORO Carica totale in ogni istante è NULLA Si fissa un momento intermedio durante la carica del condensatore Carica q = CV presente sul condensatore a questo istante Per trasferire ulteriore carica dq dobbiamo fare del lavoro: dw = V dq = q C dq Lavoro complessivo (da 0 alla carica Q finale): Q q dq W = න dw = න 0 C = 1 2 Q 2 C

22 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Energia del campo elettrostatico Per la conservazione dell energia, tale lavoro è IMMAGAZZINATO nel condensatore come ENERGIA POTENZIALE ELTTROSTATICA Assumendo energia nulla quando Q = 0 allora W = U e Q 2 U e = 1 2 C 3 espressioni equivalenti = 1 2 C V2 = 1 2 Q V L energia è immagazzinata sotto forma di CAMPO ELETTRICO all interno del condensatore Va calcolata una DENSITÀ VOLUMETRICA DI ENERGIA

23 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Energia del campo elettrostatico Per un condensatore piano: U e = 1 2 ε 0 E 2 τ Dove τ = Σ h è il volume racchiuso dal condensatore La DENSITÀ DI ENERGIA ELETTROSTATICA è quindi u e = U e τ = 1 2 ε 0 E 2 Legame diretto tra la densità di energia elettrostatica e la presenza del campo elettrostatico Estensione di tale risultato: U e = න du e = න u e dτ = න 1 2 ε 0 E 2 dτ L energia TOTALE del campo elettrostatico corrisponde al lavoro speso per costruire la distribuzione di cariche che dà origine al campo

24 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dielettrici Si vuole studiare come viene modificato il campo elettrostatico nello spazio tra DUE CONDUTTORI CARICHI nel caso in cui lo spazio venga parzialmente o totalmente riempito con un MATERIALE ISOLANTE Ci interessano dunque i fenomeni che avvengono nel materiale isolante sottoposto ad un campo elettrostatico E

25 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dielettrici 1 Condensatore piano carico e isolato (h: distanza tra armature) Carica q 0, distribuita secondo σ 0 Capacità C 0 Campo elettrico: E 0 = σ ε 0 D.d.p.: V 0 = q 0 C 0 = E 0 h h E Si inserisce nel condensatore una lastra di materiale conduttore (s: spessore della lastra) Induzione elettrostatica completa Campo elettrico E 0 invariato D.d.p. diminuisce: V = E 0 h s < V 0 s 2

26 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dielettrici 3 Si inserisce nel condensatore una lastra di materiale isolante (s: spessore della lastra) D.d.p. diminuisce, ma l effetto è MINORE rispetto al caso 2 s 3 Non c è carica elettrica libera sulla lastra 4 Si inserisce nel condensatore una lastra di materiale isolante che occupi l intero spazio tra le armature (h: spessore della lastra) La d.d.p. assume un valore minimo V κ La capacità del condensatore aumenta h 4

27 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dielettrici SOSTANZE DIELETTRICHE o DIELETTRICI Proprietà di ridurre la d.d.p. (e quindi il campo elettrico) tra le armature COSTANTE DIELETTRICA RELATIVA κ = V 0 V κ > 1 Nel vuoto e nell aria: κ = 1 Tutti gli altri materiali hanno valori maggiori di 1 È una quantità ADIMENSIONALE

28 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dielettrici Calcolo del campo elettrostatico per il condensatore piano Ipotizzando che sia rimasto uniforme E κ = V κ h = V 0 κ h = E 0 κ = σ 0 κ ε 0 Variazione del campo elettrostatico: ΔE = E 0 E κ = σ 0 ε 0 σ 0 κ ε 0 = κ 1 κ σ 0 = χ ε 0 1 χ σ 0 ε 0 SUSCETTIVITÀ ELETTRICA DEL DIELETTRICO χ = k 1 È una quantità ADIMENSIONALE.

29 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dielettrici Il CAMPO NEL DIELETTRICO risulta: E κ = E 0 ΔE = σ 0 κ 1 σ 0 = σ 0 σ P ε 0 κ ε 0 ε 0 ε 0 Avendo definito la densità superficiale del dielettrico σ P = κ 1 κ Nel dielettrico si SOVRAPPONGONO I CAMPI dovuti 1. Alle cariche libere sulle armature (σ 0 ) 2. Alla distribuzione di carica nel dielettrico (σ P, con verso opposto) che si immagina depositata sulle facce della lastra dielettrica La carica che si forma sulle superfici del dielettrico vale: q P = κ 1 κ σ 0 q 0

30 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dielettrici CAPACITÀ del condensatore con dielettrico: C κ = q 0 V κ = κ q 0 V 0 = κ C 0 La capacità AUMENTA dello stesso fattore di cui diminuisce la d.d.p. La carica del condensatore è rimasta costante Si definisce dunque la COSTANTE DIELETTRICA ASSOLUTA ε = κ ε 0 Ha le stesse dimensioni di ε 0 [F/m] Per il condensatore piano: C κ = κ C 0 = κ ε 0 Σ h = ε Σ h Il vuoto corrisponde ad un dielettrico con ε = ε 0, κ = 1, χ = 0

31 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dielettrici ENERGIA ELETTROSTATICA in un condensatore piano in presenza di dielettrico U e = 1 2 ε E2 Σ h DENSITÀ DI ENERGIA elettrostatica: u e = 1 2 ε E2 Energia elettrostatica in generale: RIGIDITÀ ELETTRICA: U e = න τ u e dτ = න τ 1 2 ε E2 dτ Massimo valore del campo elettrostatico E max che può essere applicato a un dielettrico senza che avvengano scariche al suo interno

32 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.5 Si consideri un condensatore piano con armature di area Σ distanti h e caricato con carica q 0, contenente al suo interno una lastra dielettrica di spessore s < h e avente la stessa area delle armature del condensatore. Determinare 1. La differenza di potenziale tra le armature; 2. La capacità equivalente del sistema. s h

33 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Polarizzazione dei dielettrici Struttura elettrica microscopica della materia Conduttori: Induzione completa gas di elettroni «liberi» Isolanti: strofinio con un panno spostamento locale delle cariche Assenza di campo elettrico Presenza di campo elettrico x E Distribuzione e simmetrica Spostamento e contrario a E MOMENTO DI DIPOLO ELETTRICO microscopico: p a = Z e x Z: numero atomico (numero e o p), ed e = carica e x: vettore tra il centro della carica negativa e il nucleo positivo

34 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Polarizzazione dei dielettrici POLARIZZAZIONE ELETTRONICA: Un atomo sotto azione di un campo esterno si «deforma» diventando dipolo e acquistando un momento di dipolo elettrico microscopico p a p a è indotto da E, ed è ad esso parallelo e concorde In un campo elettrico esterno i dipoli si manifestano nel materiale e tendono ad allinearsi secondo il campo elettrico Insieme di dipoli allineati genera un campo opposto a quello esterno Campo esterno risulta attenuato

35 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Polarizzazione dei dielettrici Sostanze le cui molecole presentano un momento di dipolo INTRINSECO Sostanze poliatomiche (H 2 O, NH 3 ) 1. In assenza di campo elettrico: Orientazione casuale (urti per moto di agitazione termica) 2. Applicando un campo elettrico: Orientamento parziale dei dipoli Grado di allineamento aumenta se Diminuisce la temperatura Aumenta il campo elettrico POLARIZZAZIONE PER ORIENTAMENTO Momento di dipolo elettrico medio p

36 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Polarizzazione dei dielettrici Si consideri un volume Δτ nell intorno di un punto O in cui sono contenuti ΔN atomi Momento di dipolo risultante: Δp = ΔN < p > Momento di dipolo per unità di volume P = Δp Δτ = ΔN Δ τ < p > = n < p > n: numero di atomi o molecole per unità di volume P = VETTORE POLARIZZAZIONE (parallelo a E)

37 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Polarizzazione dei dielettrici Si consideri il caso di un condensatore piano carico con all interno una lastra di dielettrico, supposta polarizzata uniformemente (P costante) Si suddivida il dielettrico in elementi infinitesimi di volume (prismi) con: Volume dτ = dσ 0 h (base (area) dσ 0 ed altezza dh) Momento di dipolo: dp = P dτ = P dσ 0 dh dh corientato come P Si sostituisca l elemento infinitesimo con un sistema costituito da due cariche poste nel vuoto e distanti dh: ±dq P = ±P dσ 0 Densità di carica superficiale ±σ P = ± dq P dσ 0 = ±P

38 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Polarizzazione dei dielettrici Assumendo il vettore P come uniforme, si considerino elementi consecutivi con una base comune (due cariche dq P e dq P adiacenti si annullano) sino a quando non si arriverà sulle armature del condensatore Avviene una COMPENSAZIONE DELLA CARICA all interno del dielettrico MA: Sulla superficie del dielettrico non c è compensazione LOCALIZZAZIONE DELLA CARICA entro uno strato superficiale di dimensioni atomiche Lastra dielettrica diventa EQUIVALENTE a due DISTRIBUZIONI SUPERFICIALI DI CARICA, con densità superficiale ±σ P = ±P Cariche di polarizzazione NON SONO LIBERE, ma rimangono vincolate agli atomi o molecole

39 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Polarizzazione dei dielettrici Generalizzando a dielettrici di forma qualunque: σ P = P u N = P cosθ Densità superficiale di carica di polarizzazione è uguale alla componente di P nella direzione normale alla superficie Se la polarizzazione è UNIFORME, non si manifestano cariche all interno del dielettrico e la carica totale superficiale deve essere NULLA Nella maggior parte dei dielettrici P è proporzionale a E : P = ε 0 κ 1 E = ε 0 χ E DIELETTRICI LINEARI Materiali amorfi caratterizzati da ISOTROPIA SPAZIALE

40 Equazioni generali dell elettrostatica in presenza di dielettrici Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Teorema di Gauss: Φ E = ර E u N dσ = q q P ε 0 Dove si esplicitano TUTTE LE CARICHE, sia quelle libere q che quelle di polarizzazione q P Si consideri la superficie cilindrica tratteggiata Carica totale q q P dove q P = σ P Σ = PΣ Inoltre P = 0 nell armatura conduttrice Σ u n κ Per l intera superficie cilindrica chiusa: ර P u N dσ = P Σ P E

41 Equazioni generali dell elettrostatica in presenza di dielettrici Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Si può dunque riscrivere il teorema di Gauss come: Φ E = ර E u N dσ = q q P ε 0 = 1 ε 0 q ර P u N dσ ර ε 0 E P u N dσ = q Introducendo il vettore D = ε 0 E P detto INDUZIONE DIELETTRICA si ottiene: Φ D = ර D u N dσ = q LEGGE DI GAUSS DEL VETTORE D q: solo le cariche libere, non quelle di polarizzazione

42 Equazioni generali dell elettrostatica in presenza di dielettrici Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Qualora vi sia linearità tra P ed E: D = ε 0 E P = ε 0 E ε 0 κ 1 E = ε 0 κ E = ε E Nel caso del condensatore piano: D = σ 0 u N Il valore di D coincide con la densità superficiale di carica libera D e P hanno la stessa dimensione di una densità superficiale di carica

43 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Riassunto condensatori Capacità condensatore sferico C = 4πε 0 R 1 R 2 R 2 R 1 Per R 2 : C = 4πε 0 R 1 Per h = R 2 R 1 R 1 R 2 R: C = ε 0Σ Capacità condensatore cilindrico C = 2πε 0 d h ln R 2 R 1 Per h = R 2 R 1 R 1 R 2 R: C = ε 0Σ Capacità condensatore piano C = ε 0Σ h h con Σ = 4πR2 con Σ = 2πRd

44 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.6 Una sfera conduttrice di raggio R avente carica q, è immersa in un dielettrico indefinito di costante dielettrica relativa κ. 1. Determinare le espressioni in funzione di r dei vettori: a) D κ b) E c) P 2. Determinare l espressione della carica di polarizzazione q P. u r R u n r u n E

45 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.7 Si supponga di cominciare ad inserire di un tratto x una lastra dielettrica di spessore h = 1 cm che occupi tutto lo spazio tra le armature quadrate di lato l = 20 cm di un condensatore piano, mantenute a ΔV = 500 V costante. Determinare: 1. La forza F con cui la lastra è risucchiata all interno del condensatore. 2. Il lavoro complessivo W compiuto dalla forza. 3. L energia erogata da un generatore durante tale processo. h

46 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.8 Tra le armature di area Σ = 115 cm 2 di un condensatore piano, distanti h = cm, viene inserito un dielettrico di spessore s = cm e costante dielettrica relativa κ = Prima dell inserimento della lastra dielettrica, il condensatore è stato caricato a ΔV 0 = V e tenuto isolato. 1. Qual è la d.d.p. dopo l inserimento del dielettrico?

47 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.9 Si consideri una sfera metallica di raggio R 1 = 4 cm, con una carica q = 1 nc, contenuta entro un guscio sferico metallico isolato, di raggio interno R 2 = 6 cm e raggio esterno R 3 = 8 cm, con una carica totale Q. Il campo elettrico misurato in un punto P a distanza l = 10 cm dal centro del sistema vale E l = 1800 V/m. Determinare: 1. L espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio; 2. Le cariche Q 2 e Q 3 sulle due superfici del guscio sferico, e la carica totale Q del guscio; 3. Il potenziale della sfera interna.

48 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.10 Si consideri una sfera conduttrice di raggio R 1 = 6 cm posta all'interno di un guscio sferico conduttore di raggio interno R 2 = 10 cm e raggio esterno R 2 = 12 cm. Il guscio viene portato ad un potenziale di 1500 V e poi isolato. 1. Determinare la carica sulla superficie interna e su quella esterna del guscio sferico e sulla sfera. Si carica a questo punto la sfera di raggio R 1 con una carica Q = 20 nc. Determinare: 2. La carica sulla superficie interna e su quella esterna della sfera cava; 3. La d.d.p. tra le due sfere.

49 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.11 Si consideri una carica puntiforme Q = 1 nc circondata da un guscio sferico conduttore carico con carica Q = 2 nc di raggio interno R 1 = 9 cm e raggio esterno R 2 = 15 cm. Determinare: 1. Le cariche affacciate sulle superfici del guscio; 2. L espressione del campo elettrico in tutte le regioni dello spazio; 3. Il potenziale elettrostatico a distanza R A = 6 cm e R B = 18 cm dal centro del sistema.

50 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.12 Una sfera conduttrice di raggio R 1 = 12 cm, carica con una carica Q 1, è circondata da un guscio sferico conduttore, inizialmente scarico, concentrico con la sfera, di raggio interno R 2 = 18 cm e raggio esterno R 3 = 30 cm. Il potenziale elettrostatico della sfera è pari a 550 V. Determinare: 1. L espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio; 2. Il valore della carica Q 1. Al guscio sferico viene fornita una carica Q = 20 nc. 3. Determinare le cariche affacciate sulle tre superfici conduttrici. La sfera e il guscio vengono collegati con un sottile filo conduttore. 4. Ad equilibrio elettrostatico raggiunto determinare il potenziale del guscio sferico.

51 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.13 Un guscio sferico conduttore carico, di raggio interno R 2 = 40 cm e raggio esterno pari R 3 = 50 cm, racchiude al suo interno una sfera scarica di raggio R 1 = 20 cm. Il campo elettrostatico nel punto P distante R P = 60 cm dal centro del sistema vale E P = 10 4 V/m. 1. Determinare la carica Q posseduta dal guscio sferico. Successivamente si carica la sfera interna con una carica Q 1 e il campo misurato in P vale E P = V/m. Determinare: 2. La carica Q distribuita sulla superficie esterna della sfera cava dopo l introduzione della carica Q 1 ; 3. Il valore della carica Q 1 ; 4. Il potenziale nel punto P 2 distante R P2 = 10 cm dal centro del sistema.

52 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.14 Cinque fogli metallici sferici di spessore trascurabile tutti concentrici, aventi raggi pari a 1, 2, 3, 4, 5 cm, inizialmente scarichi, sono collegati come in figura. Una carica Q = 4 nc è depositata sul conduttore più interno. Determinare: 1. Le cariche q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, presenti su ciascuna superficie; 2. Il campo elettrostatico in funzione della distanza dal centro; 3. La d.d.p. tra il conduttore più interno e quello più esterno; 4. L energia elettrostatica del sistema; 5. Come variano il campo e l energia se il conduttore 5 è collegato a terra

53 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.15 Un sistema è costituito da una sfera isolante con k = 3, avente carica Q distribuita uniformemente nel volume e con raggio R 1 = 10 cm, e da un guscio conduttore, concentrico alla sfera, di raggio interno R 1 e raggio esterno R 2 = 20 cm, avente carica Q. Il campo elettrico sulla superficie di raggio R 1 vale E 1 = 1200 V/m, mentre vale E 2 = 2400 V/m sulla superficie conduttrice di raggio R 2. Determinare: 1. Le cariche Q e Q. La sfera isolante viene eliminata. Determinare: 2. L espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio; 3. Il potenziale della superficie interna del guscio. R 2 R 1

54 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.16 Si consideri una sfera isolante di raggio R con costante dielettrica relativa k, avente carica Q distribuita uniformemente nel suo volume. La sfera è ricoperta da un sottile guscio conduttore, concentrico ad essa, collegato a terra. Determinare: 1. L espressione del campo elettrico e del potenziale in tutti i punti dello spazio; 2. La densità di carica superficiale indotta nel metallo; 3. La densità di carica di polarizzazione sulla superficie della sfera.

55 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.17 Si consideri una sfera conduttrice di raggio R 1 = 2 cm e carica Q = 1 mc, circondata da un guscio di materiale dielettrico avente costante dielettrica relativa k = 3, concentrico alla sfera, di raggio interno R 2 = 4 cm e raggio esterno R 3 = 8 cm. Determinare: L espressione del campo elettrico; L energia elettrostatica del sistema. R 1 R 3 R 2

56 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.18 Una d.d.p. ΔV = 100 V è applicata al sistema di condensatori schematizzato in figura, in cui C 0 = 20 pf, C 1 = 4 C 0 e C 2 è la capacità di un condensatore piano, le cui armature di area A = 100 cm 2 sono poste a distanza d = 8, 85 mm. Determinare: 1. Le cariche presenti sulle armature dei tre condensatori; 2. Le differenze di potenziale ai capi di C 0 e di C 1. DV C 0 C 1 C 2

57 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.19 Due condensatori di capacità C 1 = 100 pf e C 2 = 200 pf sono caricati rispettivamente alla d.d.p. ΔV 1 = 300 V e ΔV 2 = 250 V. Ad un certo istante, l armatura positiva di ciascun condensatore viene collegata con l armatura negativa dell altro. Determinare: 1. La carica presente su ciascun condensatore; 2. La d.d.p. ΔV ai capi del sistema; 3. L energia elettrostatica nella configurazione finale. C 1 C 2

58 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.20 Si consideri un condensatore piano avente armature distanti d, collegato ad un generatore di f.e.m. costante ε = 100 V. Fra le armature viene inserita una lastra dielettrica di spessore d e costante dielettrica k = 5. In assenza di dielettrico la capacità del condensatore vale C 0 = 10 nf. Determinare: 1. La capacità del condensatore dopo l inserimento della lastra; 2. La carica di polarizzazione del dielettrico; 3. La carica fornita dal generatore.

59 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.21 Si consideri un condensatore piano con armature di area Σ = 100 cm 2 distanti d = 1 cm. Il condensatore viene caricato ad una differenza di potenziale ΔV 0 = 900 V e poi isolato. Viene quindi riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa k di spessore pari a d e volume pari alla metà del volume del condensatore. La d.d.p. misurata fra le armature ora vale ΔV = ΔV 0 /3. Determinare La capacità equivalente del sistema; Il valore della costante dielettrica relativa; Il modulo del campo elettrico E e del vettore D; La densità di carica libera σ nel vuoto e nel dielettrico.

60 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.22 Si consideri un condensatore di capacità C 0 = 30 pf, carico con carica Q 0, è collegato ad un generatore di f.e.m. costante ΔV = 500 V. Se lo spazio fra le armature viene riempito con un dielettrico, la carica del condensatore varia di ΔQ = 150 nc. Determinare: 1. La costante dielettrica relativa; 2. Il lavoro compiuto dal generatore per variare la carica sulle armature.

61 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.23 Si consideri un condensatore piano, di area Σ = 10 dm 2, con armature distanti h = 1 cm, tra le quali viene inserita parallelamente, ad una distanza d = 6 mm dall armatura superiore, una lastra conduttrice di spessore s = 1 mm ed area uguale a quella delle armature. Il condensatore viene collegato ad un generatore di d.d.p. con ΔV = 800 V e poi isolato. Determinare: 1. La carica sulle armature del condensatore. La regione compresa tra la lastra conduttrice e l armatura superiore viene quindi completamente riempita con un dielettrico di costante dielettrica k = 4. Determinare: 2. La capacità del sistema; 3. Il campo elettrico nelle tre regioni. h d s

62 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.24 Tre piastre conduttrici di area A = 1 m 2 sono disposte, come in figura, parallelamente l una all altra. Le piastre esterne sono collegate mediante un filo. La piastra interna è isolata e possiede una carica distribuita sulle due superfici con densità superficiale σ = 10 6 C/m 2. Determinare: 1. Le densità superficiali σ 1 e σ 2 sulle due facce; 2. Il campo elettrico nelle due regioni. Le due regioni vengono riempite con due dielettrici omogenei (k 1 = 2, k 2 = 3). 3. Determinare i campi E e D nelle due regioni. h 2 =4cm h 1 =8cm

63 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.25 Un condensatore piano, aventi armature quadrate, di lato l = 10 cm e distanti h = 1 cm è collegato ad un generatore di f.e.m. con ΔV = 400 V e poi isolato. Tra le armature viene dunque inserita una lastra di materiale dielettrico di spessore d = 6 mm, area Σ = l 2 e costante dielettrica k = 3. Determinare: 1. La capacità del sistema; 2. Il campo elettrico nel vuoto e nel dielettrico; 3. La densità di carica di polarizzazione sulle superfici del dielettrico.

64 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.26 Due condensatori piani di uguali dimensioni, aventi armature di area Σ = 200 cm 2, distanti d = 2mm, sono completamente riempiti con due dielettrici di costante dielettrica k 1 = 2 e k 2 = 5, rispettivamente. Essi sono collegati in parallelo e caricati a una differenza di potenziale ΔV 0 = 2000 V. Determinare: 1. La capacità equivalente; 2. L energia immagazzinata nel sistema; 3. Le cariche Q 1 e Q 2 su ciascuno dei condensatori; 4. I campi elettrici E 1 ed E 2 per ciascuno dei condensatori.

65 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.27 Si consideri un condensatore cilindrico con armature di raggio interno R 1 = 5 mm e raggio esterno R 2 = 10 mm, lunghe l = 20 cm, completamente riempito con un materiale isolante di costante dielettrica relativa k = 3. Esso è caricato con una carica Q = 2 nc. Calcolare: 1. La densità di carica e il campo elettrostatico su ciascuna armatura; 2. La d.d.p. tra le armature; 3. La carica di polarizzazione sulle superfici del dielettrico.

66 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.28 A due condensatori di capacità C 1 = 500 pf e C 2 = 1 nf, collegati in serie, è collegato un generatore che mantiene una d.d.p. costante ΔV = 400 V. Ad un certo istante una lastra isolante di costante k = 4 viene inserita in C 1 in modo da riempirlo completamente. Determinare: 1. La variazione di carica ΔQ erogata dal generatore; 2. La d.d.p. ΔV 1 ai capi del condensatore C 1 ; 3. L energia elettrostatica fornita dal generatore.

67 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.29 Su una sfera conduttrice carica di raggio R 1 = 5 cm è posta una carica Q = 1 nc. La sfera è circondata da un guscio sferico dielettrico, ad essa concentrico, di raggio interno R 1 e raggio esterno R 2 = 15 cm. Il campo elettrico in un punto P distante R P = 10 cm dal centro della sfera vale E P = 300 V/m. Determinare: 1. L espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio; 2. La costante dielettrica del guscio sferico; 3. Le densità di carica di polarizzazione sulle superfici R 1 ed R 2 ; 4. Il potenziale a distanza l = 30 cm dal centro del sistema.

68 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 4.30 Una sfera conduttrice di raggio R 1 = 10 cm è circondata da uno strato di dielettrico di raggio interno R 1 e raggio esterno R 2 = 20 cm. La carica di polarizzazione vale q P = 2 nc e il campo elettrico in un punto a distanza R C = 15 cm dal centro della sfera vale E C = 400 V/m. Determinare: L espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio; La carica libera sulla sfera conduttrice; La costante dielettrica k; La differenza di potenziale tra un punto a distanza R A = 12 cm e un punto a distanza R B = 18 cm dal centro della sfera.