ELETTROSTATICA II. 3 mm

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1 ELETTROSTATICA I 1.1 Una goccia d acqua sferica di raggio 0.1 cm possiede una carica negativa tale che il campo elettrico sulla sua superficie è V/cm. Quale campo verticale deve essere applicato per impedire alla goccia di cadere? [ V/m ] 1.2 Un dipolo elettrico è costituito da dua cariche opposte di modulo q = 10-6 C poste ad una distanza d = 2 cm. Esso è immerso in un campo elettrico uniforme di intensità 10 3 N/C. Determinare: a) il valore massimo del momento meccanico che si esercita sul dipolo; b) il lavoro che occorre compiere per ruotare il dipolo di 180 gradi attorno al suo baricentro partendo dalla posizione di equilibrio stabile [ N m ; J ] 1.3 Una sferetta di un grammo è sospesa, mediante un filo isolante, ad una armatura di un condensatore piano, disposta come in figura. Il periodo di oscillazione in assenza di carica è T 1 = s. dopo aver caricato sia il condensatore che la sferetta, il periodo diventa T 2 = s (in entrambi i casi si tratta di piccole oscillazioni). a) Qual è la forza esercitata dal campo elettrico sulla sferetta? b) Qual è la velocità con cui la sferetta passa per la posizione verticale se è abbandonata da ferma sotto un angolo α = 10? [ N ; 0.25 m/s ] α 1.4 Una carica è distribuita all interno di una sfera di raggio R = 10 cm con densità ρ = c/r con c = C/m 2. Determinare: a) il campo elettrico come funzione di r per r > R e r R e in particolare per r = 5 cm e r = 15 cm; b) il tempo che un elettrone, inizialmente fermo sulla superficie della sfera, impiegherà ad attrvarsarla. [ N/C; N/C; s. ] 1.5 In un cilindro di lunghezza indefinita di raggio a = 50 cm è distribuita una carica elettrica positiva con densità ρ(r) = k (a - r) ove k = C/m 4 ed r è la distanza dall asse del cilindro. Calcolare intensità e direzione della forza che la distribuzione di carica esercita su una carica puntiforme q = C posta a distanza r = a / 2 dall asse del cilindro. [ N, diretta radialmente verso l asse ]

2 ELETTROSTATICA II 2.1 Una bolla di sapone di raggio r = 7 cm è caricata al potenziale V 1 = 150 V. La parete della bolla ha spessore s = cm. Se si fa scoppiare la bolla e si suppone di raccogliere tutto il liquido in una goccia sferica, quanto vale il potenziale V 2 di tale goccia? [V 2 = V/m ] 2.2 Due sfere metalliche concentriche, di raggi r 1 = 5 cm e r 2 = 10 cm sono state entrambe caricate positivamente con densità di carica uguale, pari a 10-7 C/m 2. Calcolare il potenziale di ognuna delle due sfere, ponendo uguale a zero il potenziale all infinito. [ 1694 V; 1412 V ] 2.3 Una sfera metallica di diametro uguale ad 1 m, immersa nell aria, può venire caricata fino ad un potenziale massimo V oltre il quale avviene la scarica. Calcolare tale potenziale massimo sapendo che la rigidità elettrica dell aria in condizioni normale vale E 0 = 30 kv/cm. Se invece di una sfera si avesse un elissoide di rotazione, in corrispondenza di quali punti sulla superficie si innescherebbe la scarica? [V = V ] 2.4 Tre piatti conduttori paralleli A, B e C, ciascuno quadrato di 10 cm di lato, sono tenuti a potenziali di 500 V, 1000 V e 100 V (rispetto a terra) rispettivamente. B si trova tra A e C e dista da essi rispettivamente 1 mm e 3 mm. Trovare che massa deve avere il piatto B perché sia in equilibrio (nella posizione indicata) tra i piatti A e C. l equilibrio è stabile o instabile? [ 0.72 g; instabile ] A mm B mm C Una sfera conduttrice di raggio a = 50 cm è disposta in modo concentrico all interno di un guscio anch esso sferico di raggio interno b = 1 m e raggio esterno c = 1.2 m. sfera e guscio sono entrambi carichi, e le loro cariche nette valgono rispettivamente q = 10-6 C e Q = C. Determinare: a) il potenziale V g del guscio b) il potenziale V s della sfera. [V g = V ; V s = V ] 2.6 Tre grandi piastre metalliche ventila stessa superficie S sono disposte l una parallela all altra. La piastra che sta nel mezzo dista rispettivamente d 1 = 1 cm e d 2 = 2 cm dalle altre due. La piastra interna è isolata e possiede una carica Q = 10-6 C, mentre le due piastre esterne, complessivamente neutre, sono collegate da un filo metallico. Determinare le cariche indotte sulle superfici interne ed esterne delle due piastre elettriche. [ Q int1 = C; Q int2 = C; Q est1 = Q est2 = C]

3 CONDENSATORI, DIELETTRICI e CIRCUITI 3.1 Le armature di un condensatore a facce piane e parallele sono costituite da piastre circolari di raggio r =20cm e la loro distanza e d =1cm. Il condensatore sia caricato a 3000 V e le armature siano isolate in modo che la carica su ciascuna di esse resti costante. a) Quanto vale l'energia immagazzinata dal condensatore? b) Si introduca una grande lamina metallica avente lo spessore di 2 mm nello spazio compreso fra le armature, mantenendola parallela alle armature stesse. Qual'e illavoro fatto dal campo per introdurre tale lamina? c) Quanto vale la d.d.p. tra le armature dopo che si e introdotta la lamina? [ 5 10 ;4 J 10 ;4 J 2400 V ] 3.2 Una lastra di materiale dielettrico, avente spessore b = 0:5 cm e costante dielettrica relativa r = 7, viene introdotta in un condensatore piano parallelamente alle due armature, che distano d = 1 cm, con le seguenti modalita: 1) in assenza di dielettrico viene applicata alle armature una d.d.p. V 0 = 100 V 2) il generatore di d.d.p. viene scollegato (mantenendo isolate le due armature del condensatore), e successivamente viene inserita la lastra di dielettrico. Sia S = 100 cm 2 l'area delle armature. Determinare: a) la capacita C 0 del condensatore prima dell'inserimento del dielettrico, e la carica Q presente sulle armature del condensatore b) l' intensita del campo elettrico nella regione compresa fra le armature e il dielettrico (spazio vuoto), e all'interno del dielettrico c) la dierenza di potenziale tra le armature e la capacita C del condensatore (entrambe con dielettrico inserito). [ C 0 =8:85 10 ;12 F, Q =8:85 10 ;10 C E 0 =10 4 V=m, E 1 =1: V=m V =57V, C =1:55 10 ;11 F ] 3.3 Un circuito e costituito da un condensatore C 1 da 50 F, da un condensatore C 2 eda una resistenza R (vedi gura). Inizialmente l'interruttore T 1 e aperto e la d.d.p. ai capi di C 1 e 120 V (mentre ai capi di C 2 e zero). Si apre l'interruttore T 2 esichiude l'interruttore T 1. Ad equilibrio raggiunto la d.d.p. ai capi di C 1 risulta di 30 V. Calcolare: a) la capacita del condesatore C 2 b) l'energia dissipata dalla resistenza durante l'intero processo di scarica. [ 150F 0:27 J ]

4 3.4 A due condensatori di capacita C 1 = 500 pf e C 2 = 1000 pf, connessi in serie, e collegato un generatore che mantiene una d.d.p. costante V = 400 Volt. Una lastra di dielettrico, con costante dielettrica r = 4, viene inserita in C 1, cos i da riempirlo completamente. Calcolare la variazione della carica di C 2, la variazione della d.d.p. ai capi di C 1, la carica di polarizzazione su ciascuna faccia del dielettrico, l'energia fornita dal generatore nel processo. [ q 2 =1:33 10 ;7 C V 1 = ;133 V q p =2 10 ;7 C L gen =5:3 10 ;5 J ] 3.5 Si consideri il circuito schematizzato in gura. La batteria che alimenta il circuito ha f.e.m. = 100V e resistenza interna trascurabile. Le resistenze inserite nel circuito hanno i valori R 0 = 100, R 1 = 120, R 2 = 280. I due condensatori hanno capacita C 1 =30F e C 2 =70F. Si determini, in condizioni di regime: a) la carica sulle armature di ciacun condensatore b) la carica sulle armature di ciascun condensatore nel caso in cui i due punti A e B siano connessi metallicamente. [ 1:68 10 ;3 C q 1 =7:2 10 ;4 C, q 2 =3:9 10 ;3 C ] 3.6 Qual'e l'errore che si commette misurando la f.e.m. di una pila di resistenza interna r =10 3 con un voltmetro di resistenza interna R =15k? [ 6:25 % ] 3.7 Un condensatore di capacita C = 5 10 ;2 F viene collegato mediante un cavo di resistenza R = 300 ad una batteria di f.e.m. = 200 V e resistenza interna r = 100. Calcolare: a) la carica del condensatore in condizioni di regime b) il tempo che il condensatore impiega a caricarsi al 50 % rispetto alla condizione di regime c) l'energia dissipata per eetto Joule, l'energia immagazzinata nel condensatore e il lavoro compiuto dalla batteria durante tale tempo. [ 10 ;5 C 1:39 10 ;5 s Q J =7:5 10 ;4 J,U cond =2:5 10 ;4 J,L batt =10 ;3 J ]

5 CAMPO MAGNETICO E CORRENTE. LEGGI DI AMPERE, BIOT-SAVART e FARADAY-LENZ. 4.1 Un fascio di corpuscoli la cui carica e e = 1:6 10 ;19 C non e deviato dall'azione simultanea di un campo elettrico di intensita E = 100 kv=m e di un campo di induzione magnetica di intensita B = 1:33 T,entrambi ortogonali alla velocita del fascio e perpendicolari l'uno all'altro. I corpuscoli sono successivamente sottoposti all'azione del solo campo ~B e descrivono un semicerchio di raggio R = 58:5 cm. Determinare: a) la massa dei corpuscoli b) la loro energia cinetica. [ 1:66 10 ;24 kg 0:47 10 ;14 J ] 4.2 Un lungo lo rettilineo e percorso da una corrente i 1 di 15 A. Una spira rettangolare di lati b =40cm e c =6cm e posta con i suoi due lati maggiori paralleli al lo, e con il lato piu vicino al lo ad una distanza da questo di a =2cm. La spira e percorsa da una corrente i 2 =20A. Calcolare la forza risultante che agisce sul lo rettilineo. [ 9 10 ;4 N ] 4.3 Due spire circolari una di raggio a = 10cm e l'altra di raggio b = 2cm aventi lo stesso centro, ma poste in modo che i loro piani formino un angolo di 90, sono collegate in parallelo ad un generatore di f.e.m.. Calcolare il rapporto tra le resistenze delle due spire, anche il campo magnetico creato da esse nel centro comune abbia una direzione di 45 rispetto al piano di una di esse (e quindi anche dell'altra). Quale sarebbe la direzione del campo magnetico se le due spire fossero collegate in serie? [ R b =R a =5 = 11 ] 4.4 Una sbarretta e poggiata su due conduttori rettilinei paralleli, congiunti da una resistenza R = 3 10 ;3, in modo da costituire un circuito di forma rettangolare. La sbarretta viene spostata parallelamente a se stessa, con velocita costante v = 0:4 m=s. Tutto il circuito e immerso in un campo ~ B uniforme, di intensita B = 10 ;2 T, la cui direzione forma un angolo di 30 con il piano del circuito (vedi gura). La distanza tra i conduttori e a = 30 cm. a) Calcolare la forza elettromotrice indotta nel circuito. b) Sapendo che la sbarretta ha resistivita =10 ;7 m e sezione A =10mm 2,e che i due conduttori hanno resistenza trascurabile, calcolare la forza che occorre applicare alla sbarretta per mantenerla in moto alla velocita di cui sopra. [ 6 10 ;4 V 1:5 10 ;4 N ]

6 4.5 Una spira quadrata, di lato b =20cm e resistenza di 40 e totalmente immersa in un campo di induzione magnetica di intensita B = 1 T, perpendicolare alla spira. Uno dei lati della spira giace sulla retta OO 0 che limita il campo (vedi gura). Alla spira viene applicata una forza ~ F che la estrae dal campo. Sapendo che la massa della spira e m =2g eche l'accelerazione e costante e pari a 10 cm=s 2, calcolare: a) il valore assoluto della carica che uisce nella spira mentre essa viene estratta completamente dal campo b) il tempo impiegato dalla spira ad uscire completamente dal campo c) il lavoro fatto per estrarre la spira. [ 10 ;3 C 2s 6:67 10 ;5 J ] 4.6 Un solenoide superconduttore a forma di toro e costituito da N =10 4 spire di raggio r = 1cm avvolte uniformemente attorno ad un anello di raggio medio R = 20cm. Il solenoide e percorso da una corrente di 10 3 A. a) Quanto vale l'intensita del campo ~ B all'interno del solenoide? b) Quanto vale l'energia magnetica immagazzinata nel solenoide? c) Se la corrente e fatta scendere bruscamente a meta del suo valore in un tempo t = 1 ms, quant'e la d.d.p. indotta che si stabilisce ai capi dell'avvolgimento del solenoide durante l'intervallo di tempo t? [ 10 T 1: J 1: V ] 4.7 Tre li rettilinei paralleli, percorsi dalle correnti i 1 =1A, i 2 =2A, i 3 =1A sono disposti come in gura, con d = 50 cm. Sapendo che il verso delle correnti e concorde con l'asse z: a) determinare il campo ~ B generato dai tre li nel punto O b) determinare le componenti della forza risultante agente su un tratto di lunghezza l =1m del lo percorso dalla corrente i 3. [ (8 10 ;7 T ~ i ; 8 10 ;7 T ~ j) (;2 10 ;7 N ~ i +10 ;6 N ~ j) ] 4.8 Una spira quadrata di lato l =10cm e resistenza R =20e disposta in un campo ~B uniforme la cui direzione forma un angolo di 60 con il piano della spira. Sapendo che l'intensita del campo ~ B varia in funzione del tempo secondo la relazione B = B 0 e ;t=, con B 0 =1:5 10 ;1 T e =2:4 10 ;3 s,eche la spira e mantenuta ferma, determinare nell'istante t = : a) la corrente indotta nella spira b) il modulo del momento meccanico necessario per mantenerla ferma. [ 10 ;2 A 2:8 10 ;6 N m ]