Misure della distanza tra punti e propagazione dell errore

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1 Misure della distanza tra punti e propagazione dell errore Ing. Pier Paolo Conti Asti 04 Gennaio 2014 Introduzione Con la presente esposizione mi propongo di mostrare che la propagazione dell incertezza di un operazione di misura (per esempio la distanza tra due punti) dipende oltre che dalle ovvie incertezze dei fattori originali anche dalla forma dello spazio in cui viene svolta la misura stessa. Questo in linea di principio permetterebbe di identificare lo spazio in cui vengono svolti esperimenti di misura analizzando i risultati in termini di propagazione degli errori. Verrà mostrato che solo le misure di distanza svolte in spazi euclidei hanno la proprietà di essere isovariabili nel senso che l operazione di misura determina un valore della distanza che ha un incertezza uguale a quella delle incertezze iniziali dei punti nello spazio, cosa che non vale per una geometria Riemanniana ad esempio. Introducendo il concetto di incertezza della misura e inglobando questa informazione nell espressione della misura stessa, verrà mostrato che molte proprietà geometriche e algebriche non sono più valide. 1/10

2 Propagazione degli errori di misura Il principio alla base di questa esposizione è quello dello studio della propagazione degli errori.[1] Per esempio è applicato in ingegneria per inferire l incertezza estesa di una certa quantità fisica a partire dalle incertezze delle quantità delle variabili fisiche indipendenti. Per esempio nella relazione dei gas perfetti: questi studi permettono di determinare quale sarà l incertezza della variabile pressione (P) a partire dalle incertezze delle variabili fisiche indipendenti come in questo caso il numero di moli(n), l elasticità del gas(r), la temperatura(t) e il volume(v). Il principio della propagazione degli errori si basa sui seguenti concetti. Consideriamo una funzione a due o più variabili: dove le variabili non sono correlate e ad ognuna di esse è associata una propria incertezza. Si può calcolare l incertezza estesa della funzione partendo dalle incertezze di ciascuna variabile calcolando le derivate parziali di rispetto ad esse: (1) La relazione (1) vale nella maggior parte dei casi in cui la funzione coinvolta sia abbastanza regolare ed è sufficiente a descrivere gli effetti delle piccole variazioni di fattori d influenza e degli errori accidentali. In alcuni casi, però, ci si può trovare in presenza di forti interazioni tra fattori, che possono richiedere la presenza dei termini di ordine superiore dello sviluppo in serie di Taylor e anche misti.[2]-[3] Nel caso isovariabile in cui denominiamo l incertezza generica, la (1) diventa: (2) In cui i termini si possono considerare come funzioni caratteristiche della sensibilità della propagazione dell incertezza inziale. 2/10

3 In effetti le mie argomentazioni verteranno principalmente sullo studio di queste funzioni e della loro influenza in diversi contesti sulla propagazione dell incertezza. Per Brevità denominerò questi termini e quindi la (2) diventa: (3) Una qualsiasi variabile fisica verrà espressa con la notazione dove la identifica l incertezza del suo valore. 3/10

4 Applicazioni del calcolo della propagazione degli errori di misura Applichiamo la relazione (3) in alcuni contesti. Somma di due segmenti giacenti sullo stesso asse. Siano e due segmenti; supponiamo di unirli in modo da ottenere il segmento somma dove l incertezza iniziale u diventerà n volte quella iniziale: e quindi il segmento somma vale dove notiamo che l incertezza del segmento somma aumenta sempre rispetto alle incertezze dei due segmenti iniziali di un fattore. Da notare che questo vale anche nel caso della sottrazione di due segmenti e in modo particolare notiamo che se i due segmenti sono uguali la differenza sarà. In generale la differenza di due variabili uguali non rende nullo il risultato. Altra considerazione che si può fare è che aggiungendo e togliendo una stessa quantità da un certo valore non si riottiene lo stesso valore iniziale, infatti: Somma e sottrazione di n segmenti. L operazione di somma di n segmenti uguali non è in generale uguale all operazione di moltiplicazione di un segmento per un fattore n. L operazione di sottrazione di n segmenti uguali da una certa quantità non è in generale uguale all operazione di divisione di un segmento per n. Le operazioni che coinvolgono termini senza incertezze possiamo definirle operazioni simboliche per distinguerle da quelle naturali dove l incertezza è sempre presente. 4/10

5 Rapporto incrementale e derivata di una funzione in un punto Sia una funzione definita in un intervallo [a;b] e sia il rapporto incrementale della funzione nell intorno di un punto intermedio all intervallo. Dalla analisi sappiamo che se, al tendere a zero dell incremento della variabile, esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale di una funzione nell intorno di un suo punto, tale limite è la derivata della funzione in quel punto: = Geometricamente il significato della derivata di una funzione in un suo punto è quello di coefficiente angolare della tangente alla curva in quel punto. Passando ora dalle operazioni simboliche a quelle naturali abbiamo che: = ; U = = ; L incertezza della derivata aumenta al diminuire dell incremento ; dal punto di vista fisico questo corrisponde al fatto che partendo da una rilievo di variazione di spostamento nel tempo non sarà mai possibile definire con assoluta precisione la velocità istantanea ma piuttosto una velocità media in un sufficientemente ampio. 5/10

6 Determinare l ipotenusa dati i due cateti. Problema della norma euclidea. Siano e due cateti di un triangolo; il valore dell ipotenusa varrà: Quindi l ipotenusa varrà questo risultato ci dice che questa operazione non modifica l incertezza e otteniamo una nuova quantità in cui l incertezza è rimasta inalterata. Possiamo dire che l operazione di misura della distanza di due punti nel piano euclideo è isovariabile. Allo stesso risultato si giunge partendo da una relazione analoga Questo significa che le due funzioni producono risultati identici: = 6/10

7 Questo non vale in generale, per esempio la funzione: della precedente ma non isovariabili: produce gli stessi valori Che per Anche partendo dall ipotenusa tornando indietro a uno dei cateti l incertezza non è isovariabile e dipende dai valori iniziali stessi: 7/10

8 Generalizzazione della misura della distanza tra due punti Come abbiamo appena visto la norma euclidea è un operazione isovariabile. A partire da un segmento di lunghezza unitaria possiamo costruire un segmento di lunghezza qualsiasi e incertezza unitaria come successiva applicazione della norma euclidea: Ci chiediamo adesso se questo sia valido anche su una superficie sferica e quindi procederemo alla misura di una geodetica su una superfice sferica. Consideriamo il teorema di Pitagora per i triangoli sferici, cioè che il coseno dell ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei due cateti. Sia il raggio della sfera, il lato orizzontale e quello verticale, la distanza tra due punti è data dalla relazione: L incertezza della misura della geodetica non è costante e dipende dalla distanza dei punti considerati, varia da 0 a 1. In linea di principio questo comportamento permette di identificare lo spazio in cui vengono fatte le misure e distinguere attraverso lo studio della propagazione degli errori se siamo in uno spazio euclideo oppure no. 8/10

9 Conclusioni Con questa esposizione si è voluto portare all onore dell Analisi anche gli aspetti della propagazione dell incertezza nelle operazioni naturali che in molti campi scientifici e tecnologici sono assai più interessanti delle semplici relazioni simboliche. Bibliografia [1] Ku, H. H. (October 1966), Notes on the use of propagation of error formulas, Journal of Research of the National Bureau of Standards, ISSN [2] G. Barbato, Misurare per decidere, Editrice Esculapio, p.213 [3] UNI CEI ENV 13005:2000, Guida all espressione dell incertezza di misura, paragrafo /10