Matematica II

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1 Matematica II Norma.. Norma di un ettore. Sia fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico con origine in un punto O. Possiamo interpretare un ettore = [ i ] = di R come il ettore con origine in O e punta nel punto di coordinate ( i ) = : O Ora, un punto che partendo da O si sposta di unita nella direzione dell asse e poi si sposta di unita nella direzione dell asse descrie i due cateti di un triangolo rettangolo che ammette come ipotenusa. O Dunque, per il Teorema di Pitagora, si ha che la lunghezza del ettore = [ i ] = e data, nell unita di misura scelta, da = + = +. La lunghezza dei ettori e legata alle operazioni sui ettori nel modo seguente: Consideriamo due ettori, w e il ettore + w loro somma.

2 w w + w w Osseriamo che un punto che partendo da O si sposta prima lungo il ettore e poi si sposta lungo il ettore w w descrie due lati di un triangolo che ammette il ettore + w come terzo lato. Ora, la lunghezza di un lato di un triangolo non supera la somma delle lunghezze degli altri due. Si ha cosi si ha disuguaglianza + w + w, detta appunto disuguaglianza triangolare. Consideriamo un ettore, uno scalre r e il ettore r multiplo di secondo r. Allora: r = r, doe r e il alore assoluto di r. Utilizzando il prodotto interno, possiamo riscriere la lunghezza di un ettore a di R nella forma a = a a. Il teorema di Pitagora puo essere espresso algebricamente nella forma: se due ettori e w sono fra loro ortogonali, allora il quadrato della lunghezza del ettore somma +w e uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze dei ettori addendi, w : + w = + w.

3 + w w w Sia fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico con origine in un punto O. Possiamo interpretare un ettore = [ i ] 3 i= di R3 come il ettore con origine nel punto origine O aente punta nel punto di coordinate ( i ) 3 i= : 3 z O Ora, un punto che partendo da O si sposta prima nel punto di coordinate (,, 0) e poi si sposta di 3 unita nella direzione dell asse z, descrie i due cateti di un triangolo rettangolo che ammette come ipotenusa. 3

4 z 3 O Dunque, per il Teorema di Pitagora, si ha che la lunghezza del ettore = [ i ] 3 i= e data, nell unita di misura scelta, da = = Utilizzando il prodotto interno, possiamo riscriere la lunghezza di un ettore a di R 3 nella forma a = a a. Nello spazio ettoriale R n definiamo la lunghezza di un ettore = [ i ] n i= di R n ponendo = n i =. i= Solitamente, specialmente nel caso n > 3, al termine lunghezza si preferisce il termine norma.. Proprieta. Il prodotto interno di due ettori u, e legato alle loro norme dalla disuguaglianza di Cauch-Schwarz: u u, o, in altri termini, u u. Questa disuguaglianza permette di definire l angolo formato da due ettori: il coseno dell angolo dei ettori u e iene definito ponendo cos û = 4 u u.

5 Si osseri che, in base a questa definizione, si ha: cos û = se u = t, con t > 0 0 se u se u = t, con t < 0. Un semplice conto particolarmente interessante: u + = (u + ) (u + ) = (u + )(u + ) = u u + u + u + = u + u T +. Le principali proprieta della norma dei ettori in R n sono: la norma di un ettore e sempre maggiore-uguale a zero e ale zero se e solo se il ettore e nullo: 0 R n ; = 0 se e solo se = 0 n. La norma del ettore prodotto di un ettore per uno scalare e uguale al prodotto della norma del ettore per il alore assoluto dello scalare: r = r, r R. La norma del ettore somma e minore o uguale alla somma delle norme dei ettori addendi: + w + w. Questa disuguaglianza iene detta disuguaglianza triangolare, per il significato che assume nel piano e nello spazio. Le prime due proprieta seguono direttamente dalle proprieta del prodotto interno. Mostriamo come la disuguaglianza triangolare si possa dimostrare usando la disuuaglianza di Cauch-Schwarz. Infatti si ha Dunque si ha la disuguaglianza u + ( u + ), che e equialente alla disuguaglianza u + u +, u + = u + u + u + u + u + u + = ( u + ). 5

6 in quanto sia u + che u + sono 0. Nello spazio R n ale il teorema di Pitagora: se due ettori a e b sono ortogonali, cioe se a b = 0 = b a, allora a + b = a + b. Infatti a + b = a + a b + b = a + b. Minimi quadrati. Consideriamo il sistema lineare + = + = = 4. Questo sistema non ha soluzioni. Per ogni s = (s, s ) R, possiamo considerare il ettore degli scarti fra i primi e i secondi membri s + s E(s) = s + s 3 s + 3s 4 come l errore che si commette assumendo che s sia una soluzione del sistema; questo errore e un ettore di R 3, che possiamo misurare con la sua norma E(s). Ad esempio, per s = (, 0), si ha E(s) = e per s = (0, ), si ha E(s) = = 5, = 3, Siammo cosi condotti a preferire la coppia (0, ) alla coppia (, 0). Ci possiamo chiedere se c e una scelta ottima per s.. Soluzioni ai minimi quadrati Consideriamo un sistema lineare di m equazioni in n incognite A = b, A R m n, b R m. 6

7 Per ogni alore s di R n, possiamo considerare il ettore scarto fra il primo ed il secondo membro E(s) = As b come l errore che si commette assumendo che s sia una soluzione del sistema; questo errore e un ettore di R m, che possiamo misurare con la sua norma E(s) = As b. Si noti che s e una soluzione del sistema se e solo se E(s) = 0. Un ettore R n cui corrisponde un errore di norma minima, cioe tale che E( ) E() R n, si dice soluzione ai minimi quadrati del sistema. Teorema. Sia A = b, un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Le soluzioni ai minimi quadrati del sistema A = b sono tutte e sole le soluzioni del sistema di n equazioni in n incognite A T A = A T b; questo sistema ha sempre qualche soluzione; la soluzione e unica se e solo se le colonne di A sono linearmente indipendenti; in questo caso, l unica soluzione e data da = ( A T A ) A T b. Dunque abbiamo che un sistema lineare A = b ha sempre qualche soluzione ai minimi quadrati; la soluzione ai minimi quadrati e unica se e solo se le colonne di A sono linearmente indipendenti; in questo caso, l unica soluzione ai minimi quadrati e data dal coefficiente di Fourier di b rispetto ad A. 3. Interpolazione Consideriamo un insieme alori osserati. m di due ariabili, ed una famiglia F di funzioni. m = f(). 7

8 Possiamo allora cercare nella famiglia F una funzione f che interpola i alori osserati delle ariabili: i = f( i ), i =,,..., m. Supponiamo che il numero m dei dati osserati sia grande e che la famiglia F sia costituita da poche funzioni, cosi che non ci sia in F alcuna funzione che interpola i dati osseerati. Per ogni funzione f possiamo considerare il ettore degli scarti E(f) = [f( i ) i ] m come l errore che si commette assumendo che f interpoli i dati osserati, e possiamo misurare questo errore con la sua norma E(f) = [f( i ) i ] m. Se E(f) E(q), diciamo che f interpola meglio di g l insieme dei dati osserati, nel senso dei minimi quadrati. Consideriamo il caso in cui F = { = c 0 + c + c c n n ; c j R } sia la famiglia dei polinomi di grado minore di n. Un polinomio interpola i dati osserati se e solo se i suoi n coefficienti c 0, c,..., c n sono soluzioni del sistema di m equazioni lineari c 0 + c i + c i c n n i = i, i =,,..., m In generale, se m > n, questo sistema non ha soluzioni. Le soluzioni ai minimi quadrati di questo sistema lineare forniscono i polinomi che approssimano meglio l insieme dei dati osserati. 4. Esempio Determinare la retta = a + b che meglio approssima nel senso dei minimi quadrati l insieme dei dati -3 5 Il problema non ha una soluzione esatta, in quanto i punti (, ), (, ), ( 3, 5) non sono allineati. 8

9 Imponendo che la retta passi dai punti dati, si ha il sistema lineare [ ] a =. b 3 5 Le due colonne della matrice dei coefficienti sono linearmente indipendenti, dunque il sistema ha una ed una sola soluzione ai minimi quadrati, data dal coefficiente di Fourier della colonna dei termini noti rispetto alla matrice dei coefficienti: [ ] [ ] a b = 3 [ ] [ 3 0 = 0 4 [ ] = ] [ ] 3 Cosi c e una ed una sola retta che meglio approssima l insieme dei tre punti dati nel senso dei minimi quadrati: la retta di equazione =