IST. DI MATEMATICA I [A-E] 14. Lezione. lunedì 14 novembre Il problema della velocità.

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1 IST. DI MATEMATICA I [A-E] lunedì 14 novembre Lezione Il problema della velocità. Supponiamo che un automobilista abbia percorso 600 km in 6 ore: la sua velocità media è stata di 100 km orari. Un indagine più precisa ha condotto a riconoscere che: nelle prime 2 ore ha percorsi appena 100 km, nelle due ore successive ha percorsi addirittura 300 km, forse un lungo tratto autostradale, nelle ultime due ore di viaggio ha percorsi 200 km. La velocità media di 100 km/h, tenendo conto delle maggiori informazioni raccolte come pure dei presumibili rallentamenti non sembra corrispondere all effettivo svolgimento del viaggio. In conclusione, la media di 100 km ora non fornisce indicazioni delle reali velocità con cui si è viaggiato durante le 6 ore. Già più interessanti appaiono le medie parziali nelle prime due ore la velocità media è stata circa 50 km/h, nelle successive due ore la velocità media è stata di 150 km/h, nelle ultime due ore la velocità media è stata di 100 km/h. Un insieme di informazioni più dettagliato avrebbe potuto, ad esempio, mostrare che le prime due ore in cui ha percorsi solo 100 km sono suddivise in: 1 ora in cui si sono traversati due centri cittadini per complessivi 20 km, alla media di 20 km/h, 1 ora in cui sono stati percorsi 80 km su una strada nazionale viaggiando a una media di 80 km/h. Analoghe informazioni aggiuntive avrebbero permesso di descrivere meglio anche il tipo di viaggio nelle ore successive. Concludendo si riconosce che la velocità media nell intervallo di tempo [t A, t B ] durante il quale si è percorsdo il tratto [s A.s B ] v = s B s A t B t A é tanto più significativa quanto più riferita a intervalli di tempo brevi.

2 2 FIGURA 1. Velocità medie In luogo di dichiarare che quell automobilista ha viaggiato le prime due ore alla velocità media di 50 km/h avrebbe molto più interesse poter dire in ciascuno dei 120 minuti di quelle due ore quale sia stata la velocità effettiva: minuti t 0 in cui stava addirittura fermo in coda, v(t 0 ) = 0, minuti t 1 in cui viaggiava addirittura a 90 km/h, v(t 1 ) = 90, minuti t 2 in cui, rispettoso dei centri abitati, viaggiava a 45 km/h, v(t 2 ) = 45, ecc. ecc. DEFINIZIONE Detta s(t) la funzione che associa ad ogni tempo il kilometraggio percorso, si possono considerare in ogni intervallo [t, t 0 + ] la velocità media v m = s(t 0 + ) s(t 0 ) assegnato un tempo t 0 la velocità istantanea al tempo t 0 v(t 0 ) = 0 s(t 0 + ) s(t 0 ) La velocità istantanea ha maggiore interesse della velocità media che, come visto sopra, può fornire dati assai poco aderenti alla realtà.

3 14. LEZIONE 3 La velocità istantanea è frutto di un procedimento di ite s(t 0 + ) s(t 0 ) 0 applicato alla funzione s che rappresenta per ogni t 0 la distanza s(t 0 ) percorsa al tempo t 0. Il procedimento di ite indicato ha il nome classico di derivazione e il valore del ite, quello che abbiamo denominato velocità istantanea ha il nome classico di derivata della funzione s in t 0 e si indica tradizionalmente con s (t 0 ). Il rapporto s(t 0 + ) s(t 0 ) rappresenta il rapporto di due variazioni o incrementi: la variazione, l incremento, s(t 0 + ) s(t 0 ) del kilometraggio, la variazione, l incremento, del parametro t [t 0,t 0 + ] che rappresenta il tempo. Per questo motivo il rapporto considerato prende il nome di rapporto incrementale della funzione s I rapporti incremerntali. Si incontrano questioni che riguardano rapporti incrementali in moltissime occasioni: sostanzialmente tutte le volte che ha interesse calcolare quanto varino i valori di una funzione f al variare di x. Indagini di questo tipo erano state incontrate quando, inizialmente, abbiamo parlato di funzioni crescenti (o decrescenti). In tali osservazioni interessava solo decidere se aumentare x aumentare f (x) L indagine che coinvolge i rapporti incrementali è più fine: un incremento della x da x a x + che incremento f (x + ) f (x) produce sui valori della funzione? ESEMPIO Sia f (x) = x 2 passando da x 0 = 1 a x si fa f (1 + 2) f (1) = Uno stesso incremento = 2 partendo da x 0 = 5 avrebbe portato a f (5 + 2) f (5) 2 = 24 2

4 4 Riferendoci invece a x 0 e generici avremmo f (x 0 + ) f (x 0 ) = (x 0 + ) 2 x0 2 = 2x 0 + da cui, pensando al ite per 0 avremo f (x 0 + ) f (x 0 ) = (2x 0 + ) = 2x L espressione trovata 2x è una funzione di x che si chiama derivata di x 2 e si indica con uno dei simboli (x 2 ) = 2x, dx 2 dx = 2x Si noti che dicnhiarare che f (x 0 + ) f (x 0 ) = f (x 0 ) 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) f (x 0 ) costituisce l approssimazione lineare quasi sempre usata in modo del tutto intuitivo: sia f (10) = 2.5, f (0) = 0.5 quanto si pensa che valga f (2)? Risposta: passando da 0 a 10, cioè aumentando di = 10 i valori della funzione sono aumentati di 2, passando da 0 a 2 cioè aumentando di un quinto dell aumento precedente i valori della funzione aumenteranno... di un quinto dell aumento precedente... cioè di 0.4 Valore che corrisponde alla formula f (2) f (0) + f (2) 0.9 f (10) f (0) Derivazione dei polinomi. 2 = = 0.9 Il calcolo del ite f (x + ) f (x) 0 è ben noto per le potenze i polinomi P(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 : Consideriamo i casi n = 0 : P(x + ) P(x) 0 P (x) 0, P(x + ) P(x) n = 1 : a 1 P (x) a 1 P(x + ) P(x) n = 2 : 2a 2 x + a 2 + a 1 P (x) 2a 2 x + a 1

5 14. LEZIONE 5 n = 3 : P(x + ) P(x) 3a 3 x 2 + 3a 3 x + a a 2 x + a 2 + a Il significato geometrico. P (x) 3a 3 x 2 + 2a 2 x + a 1 Assegnata una funzione f e scelti due punti x 0 e x 0 + del suo dominio possiamo considerare la retta determinata dai due punti P 0 = (x 0, f (x 0 )), L equazione di questa retta è P = (x 0 +, f (x 0 + )) y = f (x 0 ) + f (x 0 + ) f (x 0 ) (x x 0 ) In termini di grafico la retta per P 0 e P sarà una secante del grafico di f e, per 0 y = f (x 0 ) + f (x 0 + ) f (x 0 ) (x x 0 ) y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) la retta assume la posizione intuitivamente detta di tangente al grafico in P 0 ESEMPIO Sia f (x) = 3x 2 5x+1 la retta tangente al grafico nel punto P 0 = (1, 1) ha equazione y = f (1) + f (1)(x 1) = 1 + (x 1) y = x 2 È interessante notare che se f (x 0 ) = 0 allora la retta tangente è orizzontale Regole di derivazione. Siano f e g due funzioni derrivabili: allora ( f (x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) g 2 (x)