ELEMENTI DI CINEMATICA Una volta fissato un sistema di riferimento con la sua origine O è possibile descrivere in ogni istante la posizione del punto

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1 ELEMENTI DI CINEMATICA Una volta fissato un sistema di riferimento con la sua origine O è possibile descrivere in ogni istante la posizione del punto P al passare del tempo t per mezzo della terna di coordinate ( x(t), y(t), z(t) ) L insieme dei punti dello spazio attraversati da P al passare del tempo è detto TRAIETTORIA

2 IL PUNTO MATERIALE - 1 Spesso conviene considerare un oggetto come se fosse un punto senza dimensioni (punto materiale), dotato soltanto di massa. La validità di questa approssimazione dipende dall oggetto, ma ancor più dal fenomeno che si sta studiando. Un esempio: la Terra non è certo un punto materiale per chi ne abita la superficie. Ma nel contesto del Sistema Solare si può descrivere la sua orbita intorno al Sole come se a percorrerla fosse un punto, di massa uguale a quella terrestre.

3 IL PUNTO MATERIALE - 2 Un altro esempio: la traiettoria di un auto su un lungo rettilineo può essere schematizzata come quella di un punto su una retta e se ne può scrivere l equazione. Nel progetto dell auto, però, l aerodinamica ha un ruolo essenziale e per studiarla non si può certo approssimare l auto a un punto materiale. Nella descrizione della realtà si passa poi a corpi estesi ma di forma costante (CORPI RIGIDI) e poi se proprio si deve si introducono le deformazioni. Ovviamente le cose diventano MOLTO più complicate man mano che l approssimazione migliora. Noi resteremo quasi sempre al punto materiale

4 I VETTORI DEL MOTO Per una descrizione completa del moto serve definire dei vettori da associare alla traiettoria. Essi sono: - Il vettore posizione - Il vettore spostamento - Il vettore velocità (media e istantanea) - Il vettore accelerazione (media e istantanea)

5 VETTORE POSIZIONE OP È il vettore (detto anche ) che unisce l origine del riferimento scelto al punto P occupato dal corpo s

6 VETTORE SPOSTAMENTO P P s È il vettore 1 2 (o ) che unisce due posizioni successive del corpo (P 1, P 2 ) occupate agli istanti t 1 e t 2

7 Dall algebra dei vettori si ricava la relazione P P OP -OP o anche s = s - s

8 OSSERVAZIONI Il vettore posizione dipende dal sistema di riferimento scelto, il vettore spostamento NO e quindi descrive meglio la situazione. Entrambi i vettori, comunque, possono essere usati per definire i vettori velocità media e istantanea.

9 È il vettore VETTORE VELOCITÀ MEDIA v M s - s s P P t -t t t 2 1 Direzione e verso sono gli stessi del vettore spostamento, mentre il modulo viene diviso per l intervallo di tempo trascorso Δt = t 2 - t 1. Questo vettore dà un idea approssimativa della rapidità con cui il punto si sposta sulla traiettoria, ma il risultato dipende da come (e dove) si sceglie il punto P 2.

10 VETTORE VELOCITÀ ISTANTANEA L idea di rapidità si precisa ulteriormente facendo in modo che il vettore risulti più aderente alla traiettoria. A questo scopo si scelgono gli istanti t 1 e t 2 sempre più vicini, in modo che l oggetto non abbia il tempo di variare sensibilmente la sua posizione. Matematicamente l operazione costituisce quello che si chiama passaggio al limite, e quello che si ottiene è la velocità istantanea.

11 VELOCITÀ ISTANTANEA Man mano che il punto P 2 si avvicina a P 1 (e quindi Δt tende a zero, Δt 0) le velocità medie (secanti della traiettoria) tendono alla velocità istantanea v (tangente alla traiettoria nel punto P 1 ) v = v lim lim s M t 0 t 0 t

12 VELOCITÀ ISTANTANEA ATTENZIONE : il processo di passaggio al limite prevede che i due punti P 1 e P 2 arrivino ad essere infinitamente vicini, ma senza mai coincidere 0 (altrimenti il risultato dell operazione sarebbe cioè un assurdo ). Il concetto di limite è piuttosto 0 complesso e richiede un certo livello di astrazione. Questo discorso funziona perché implicitamente si assume che la realtà e le grandezze fisiche che la descrivono siano un qualcosa di continuo, senza salti.,

13 I VETTORI ACCELERAZIONE La descrizione del moto di un corpo non risulta completa se non si conosce anche quanto rapidamente varia la velocità istantanea. Per questo si introducono l accelerazione media v2- v1 v a e l accelerazione istantanea M t2- t1 t v a = lim am lim t 0 t 0 t in modo del tutto analogo a quanto già visto per i vettori velocità.

14 COMPLETEZZA Si potrebbe pensare che sia necessario definire anche la variazione dell accelerazione, andando avanti - magari all infinito. Invece si può dimostrare che la conoscenza ad ogni istante t dei tre vettori s, v, a basta da sola a caratterizzare e descrivere completamente qualsiasi moto (o quasi).

15 LO STUDIO DEL MOTO La conoscenza dei vettori posizione, velocità e accelerazione fornisce quelle che si chiamano equazioni del moto del sistema. Un altro strumento utile sono i cosiddetti grafici del moto, cioè la rappresentazione grafica di s, v, a in funzione del tempo t. L utilità è immediata soprattutto nel caso particolare di moti unidimensionali, cioè che si svolgono lungo una retta (e per i quali il concetto di vettore diventa superfluo).

16 I GRAFICI DEL MOTO-1 I grafici s(t), v(t) e a(t) sono strettamente collegati tra loro. Si può passare dall uno all altro attraverso l analisi di due caratteristiche: 1) la pendenza della tangente al grafico; 2) l area compresa tra la curva e l asse delle ascisse.

17 I GRAFICI DEL MOTO - 2 In blu: la tangente al grafico e la sua pendenza In rosso: l area sotto la curva

18 I GRAFICI DEL MOTO-3 Relazioni tra i grafici del moto: Pendenza della tangente al grafico Area sotto il grafico, compresa fra gli istanti t 1 e t 2 s (t) v (t) v (t) a (t) s (t 2 ) - s (t 1 ) a (t) v (t 2 ) - v (t 1 )

19 I GRAFICI DEL MOTO-4 Grafici spazio/tempo, velocità/tempo e accelerazione/tempo di un moto unidimensionale. Si noti come i massimi e i minimi di un grafico corrispondano agli zeri del grafico successivo.

20 MOTO RETTILINEO UNIFORME È il moto di un corpo che si muove con accelerazione a = 0. In questo caso la velocità è un vettore costante (perché l accelerazione è appunto la variazione della velocità) e quindi il moto può solo essere rettilineo; infatti, modulo, direzione e verso di v rimangono costanti. In questo tipo di moto (come vedremo) la somma delle forze esterne agenti sul corpo è nulla. È più facile ottenerlo nello spazio che qui sulla Terra, e questo a causa della presenza dell attrito.

21 MOTO RETTILINEO UNIFORME I grafici del moto rettilineo uniforme (esempio). Equazioni del moto: a = 0 v ( t) = v ( costante) s ( t) = s + v t 0

22 MOTO RETTILINEO UNIFORME ATTENZIONE: dire che il vettore v è costante significa dire che non cambiano né il modulo, né la direzione, né il verso. È una condizione più forte della sola v = 0. Proposta di esercizio: «Un auto viaggia per un tempo complessivo pari a un ora. Nei primi 10 minuti la velocità è 90 km/h, poi per 15 minuti l auto viaggia a 54 km/h. Per altri 15 minuti la velocità è 36 km/h, poi per 10 minuti diventa 126 km/h e infine fino al termine dell ora 72 km/h.» Qual è la velocità mediadell auto? Se il limite di velocità su quel tratto di strada è 80 km/h, un eventuale tutor farebbe scattare la contravvenzione?

23 SOLUZIONE Basta applicare la formula della velocità media: v M = (spazio totale percorso)/ (tempo trascorso) Occorre prima convertire il tempo tutto nelle stesse unità, perché nelle velocità abbiamo le ore e nei tempi i minuti. Si può scegliere l unità che si preferisce il risultato è 70,5 km/h. Infatti 10 minuti = 1/6 ora, 15 minuti = 1/4 ora, quindi lo spazio totale è 90/6 + 54/4 + 36/ /6 + 72/6 = 70,5 km, che sono stati percorsi esattamente in un ora.

24 FORZA COSTANTE: IL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO È il moto di un corpo che si muove con accelerazione a costante. Come vedremo, questo è il moto di un corpo soggetto ad una forza costante. Dal punto di vista algebrico l accelerazione in questo caso si comporta come la velocità nel moto precedente. Allora si può scrivere per analogia v(t) = a t + v 0 Lo spazio invece aumenta in modo quadratico: s(t) = s 0 + v 0 t + (1/2)a t 2

25 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO L area sotto il grafico a(t) tra gli istanti 0 e t è un rettangolo di area a t si ha v(t) - v 0 = a t e quindi v(t) = v 0 + a t, che rappresenta l equazione del moto della velocità. Inoltre l area sotto il grafico v(t) è un trapezio di area 1 2 [v 0 + v(t)] t/2 = [v 0 + v 0 + a t] t/2 = v 0t + at, 2 che rappresenta la differenza s(t) - s 0

26 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO In conclusione abbiamo mostrato che il grafico spazio-tempo è un arco di parabola e le equazioni del moto sono quelle già anticipate: 1 s( t) = s 0 + v 0t + at 2 v( t) = v 0 + a t a = costante 2

27 MOTO PARABOLICO È la combinazione di un moto rettilineo uniforme e di un moto uniformemente accelerato, perpendicolari tra loro. Una delle sue applicazioni più importanti in fisica è lo studio del moto dei proiettili (ammesso che rimangano vicini alla superficie terrestre): in tal caso il moto uniformemente accelerato è quello in verticale, e la causa dell accelerazione (g = 9,81 m/s 2 ) è la gravità terrestre.