La soluzione approssimata consiste nella soluzione di un problema pi u facile che approssima quello dato. Nella tecnica di rilassamento l'approssimazi

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1 Tecniche di soluzione di sistemi di equazioni non-lineari Le tecniche di rilassamento riguardano principalmente la soluzione per via numerica di sistemi di equazioni. Risultano particolarmente semplici dal punto di vista della formulazione e di grande utilit a. Consideriamo come classe di problemi di riferimento: la soluzione dei problemi circuitali. Con riferimento a questa classe di problemi considereremo le altre per estensione. Prendiamo in esame il simulatore circuitale standard SPICE. Possiamo riassumere l'algoritmo di risoluzione Figura : Diagramma della soluzione di un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nel modo di figura. Il percorso che si segue per giungere alla soluzione consiste nel passaggio dall'equazione algebrica a un sistema non lineare, e di qui a un problema lineare. passi dell'algoritmo cresce pi u che linearmente con il numero di incognite. N! o(n fi ) fi =; Ξ ; 5 Il numero di Per la soluzione del problema si possono usare tecniche di integrazione di tipo esplicito che consistono nel risolvere l'equazione _x = f (x (t);x (t)) tramite x (t + x) x (t) t ο= f (x (t);x (t)) Con tale sistema non risolvo l'equazione ma calcolo un valore all'istante t+ t a partire dagli istanti precedenti. Tale procedimento ha l'inconveniente di non essere stabile se t non e piccolissimo. E` un problema STIFF e sono presenti costanti di tempo molto diverse, il che fa aumentare eccessivamente il numero di passi di integrazione. (formulazione implicita) che risolve l'equazione differenziale come x (t + t) x (t) t Alternativamente uso un metodo di Eulero = f (x (t + t);x (t + t)) e riesco a ottenere un risultato ragionevole 8 t assuma. Terminata tale panoramica introduttiva procediamo passando alle tecniche di rilassamento. Si tratta di tecniche iterative diverse da quelle dirette, si determina una successione di soluzioni approssimate che convergono alla soluzione esatta. Tecniche di rilassamento per sistemi di equazioni lineari Il nostro sistema da risolvere abbia la forma Ax = b dove [A] = n n. Invece di considerare il problema originario, si considera un problema approssimato per il quale si conosce la soluzione.

2 La soluzione approssimata consiste nella soluzione di un problema pi u facile che approssima quello dato. Nella tecnica di rilassamento l'approssimazione consiste nel considerare la soluzione di un sistema di equazioni disaccoppiate. Si rilascia che le equazioni del sistema non sono risolte simultaneamente. Esempio: ρ ax + a x = b a x + a x = b il rilassamento provoca il disaccoppiamento. Gli schemi principali sono due, vanno sotto il nome di: ffl Tecnica di Gauss-Jacobi ffl Tecnica di Gauss-Seidel.0. Tecnica di Gauss-Jacobi Ogni equazione viene risolta indipendentemente dalle altre in ogni passo di iterazione. La matrice Figura : La matrice A A (vedi fig: ) la possiamo scrivere come A = L + D + U e chiaramente questa non e una fattorizzazione. A questo punto possiamo scrivere al posto di Ax = b Dx (L + U )x + b e si determina la soluzione approssimata tramite Dx k+ (L + U )x k + b =) x (k+) D (L + U ) z } M GJx (K) + D b da cui segue che (.0. Tecnica di Gauss-Seidel In questo caso l'equazione Ax = b la riscriviamo e successivamente la soluzione da ovvero esplicitamente ( x k+ a a x k + a b x k+ a a x k + a b (D + L)x Ux + b (D + L)x (k+) =(D + L) U z } M GS x k+ a a x k + a b x k+ a a x k+ + a b notiamo che qui riutilizziamo il nuovo valore di x. x (k) +(D + L) b

3 .0.3 Convergenza del metodo La convergenza dipende dalle caratteristiche delle matrici M GS e M GJ. Dal punto di vista tecnico si dimostra che la condizione necessaria e sufficiente e che gli autovalori delle due matrici siano in modulo minori dell'unit a, si dice anche che "il raggio spettrale" di M GJ (o M GS )deve essere minore di uno. Esiste una condizione sufficiente di pi u immediata verifica sui coefficienti della diagonale: A deve essere diagonalmente dominante. Ci o implica che il modulo degli elementi della diagonale sia maggiore della somma dei moduli dei restanti termini della riga. La convergenza e indipendente dal valore di partenza nell'iterazione..0.4 Rapidit a diconvergenza In questo caso e lineare e la esprimiamo con kx k+ ^xk μοkx k ^xk Dipende dall'ordine delle equazioni. In particolare, per la tecnica di Gauss-Seidel, e pi u rapida se A e triangolare inferiore. Tecniche di rilassamento per sistemi di equazioni algebriche non lineari Consideriamo sistemi di equazioni non lineari ρ g (x ;x ) = 0 g (x ;x ) = 0 Nel caso di tecnica di Gauss Jacobi l'equazione non lineare viene approssimata con g j (x k ;xk ; ::; xk+ j ;::;x k n )=0 che e incognita nella variabile x j per tutte le j. Invece nel secondo caso, quello di Gauss-Seidel, per ciascuna j abbiamo g j (x k+ ;x k+ ;::;x k+ j ;x k j+ ; ::; xk n )=0 In pratica possiamo notare che si segue l'ordine di una struttura triangolare inferiore. Da un sistema di n equazioni non lineari algebriche con la tecnica di rilassamento viene si perviene a n equazioni non lineari..0.5 Convergenza Dato il sistema g(x) = 0 consideriamo, in un intorno della soluzione x =^a, la matrice g 0 n n Possiamo scrivere che g 0 (^x) =L 0 + D 0 + U 0 la matrice jacobiana, valutata nel punto ^x, e scomponibile a sua volta nella somma di tre matrici e quindi siamo in grado di definire nuove matrici M 0 GJ D0 (L 0 + U 0 ) j x=^x 3

4 M 0 GS (D0 + L 0 ) U 0 j x=^x La convergenza riguarda queste matrici ed e formulata in modo del tutto ananlogo al precedente. Teorema della convergenza. Se il raggio spettrale di MGS 0 (M GJ 0 ) e minore di uno la tecnica di rilassamento converge se x 0 einunintorno limitato di ^x. La cosa importante da sottolineare e che la convergenza dipende dalla struttura delle equazioni ma anche dalla stima del valore iniziale x 0. Quindi devo premunirmi di avere pi u di una condizione iniziale. Passiamo a discutere come posso risolvere le singole equazioni algebriche non lineari. Adottiamo la tecnica di Newton-Ramsom secondo due schemi alternativi (vedi fig: 3). (a) (b) Figura 3: Applicazione della tecnica di Newton-Ramson secondo due alternative.0.6 Rapidit a diconvergenza Per quel che riguarda la rapidit a di convergenza dipende dall'ordine di risoluzione delle equazioni (G-S) e torna utile definire la matrice di dipendenza [P ij ]dove ciascun elemento p ij e unitario se g i dipende dalla variabile j, altrimenti nullo. Per incrementare la velocit a diconvergenza devo far in modo, riordinando, di avere una matrice P triangolare inferiore. 3 Confronto con un simulatore Concludiamo il discorso sul parallelo con la simulazione circuitale (vedi fig: 4). Non si trasforma Figura 4: Parallelo tra simulatore standard e tecnica di rilassamento il sistema differenziale in un sistema algebrico, ma ciascuna e risolta a s e. Rimuovo il vincolo del sistema anche a partire dall'equazione differenziale. Esempio: ( dx(t) dx (t) = f (x ;x ;t) = f (x ;x ;t) 4

5 con Gauss Seidel lo risolviamo grazie a dx k+ (t) = f (x k+ (t);x k (t);t) dx k+ (t) = f (x k+ (t);x k+ (t);t) usando una tecnica di rilassamento aformed'onda prima copro tutto il dominio temporale poi passo al k successivo. potenza inferiore all'unit a. Il tempo di risoluzione aumenta con il numero di incognite ma con una 4 Tecnica di sovrarilassamento Si tratta di una tecnica che circuitalmente e poco usata. Partendo da Gauss-Seidel ricaviamo x k+ (L + D) (Ux k b) scriviamo x k+ = x k (L + D) [(L + D + U )x k b] e definiamo una quantit a residuo al passo k r k Ax k b: A questo punto riscriviamo x k+ = x k (L + D) r k Facciamo intervenire la tecnica di sovrarilassamento e scriviamo x k+ = x k (!((L + D) r k dove! rappresenta il parametro di sovrarilassamento.si pu o dimostrare che questa tecnica converge se 0 <!< ; in particolare si distingue tra sottorilassamento (0 <!< ) e sovrarilassamento ( <! < ). Nel caso particolare in cui! sia unitario ritorniamo alla tradizionale tecnica di Gauss Seidel. La tecnica SOR pu o garantire una convergenza pi u veloce con opportuna scelte di!, seguendo criteri empirici. 5 Conclusione Qualunque problema integrale/differenziale, che sia ricondotto a una forma discreta come sistema di equazioni algebriche lineari o non lineari, pu o essere risolto con tecniche di rilassamento. Esempi: ffl Problemi variazionali =) con Eulero Lagrange e ricondotto a un sistema di equazioni differenziali di cui si considera la forma discretizzata =) mappatura su circuiti di resistenze e generatori R ffl Equazioni integrali! partendo dall'equazione e(x) =b K FB (x; x 0 )e(x 0 )dx 0 +s(x) diamo una forma discretizzata dell'integrale e(x) =b X j w j K FB (x; x 0 j )e(x0 j )+s(x) e infine discretizzando il sistema e(x i )=b X j w j K FB (x i ;x 0 j )e(x)0 j )+s(x i) 5

6 In definitiva abbiamo ricavato un sistema di equazioni lineari esprimibile attraverso e i = b X j ~k ij e j + s i ovvero in forma vettoriale A~e = vecs dove A ( b ~ k)ed echiaro che a questo punto possiamo applicare la tecnica di rilassamento. 6